ในบทเรียนนี้ ทุกคนจะสามารถศึกษาหัวข้อ "กล่องสี่เหลี่ยม" ได้ ในตอนต้นของบทเรียน เราจะทำซ้ำสิ่งที่ขนานกันโดยพลการและตรง จำคุณสมบัติของใบหน้าตรงข้ามและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นเราจะพิจารณาว่าลูกบาศก์คืออะไรและหารือเกี่ยวกับคุณสมบัติหลักของมัน
หัวข้อ: ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ
บทเรียน: ทรงลูกบาศก์
พื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เท่ากันสองตัว ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 และสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่ ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 เรียกว่า ขนานกัน(รูปที่ 1).
ข้าว. 1 ขนานกัน
นั่นคือ: เรามีสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เท่ากัน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 (ฐาน) ซึ่งอยู่ในระนาบคู่ขนานเพื่อให้ขอบด้านข้าง AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ขนานกัน ดังนั้นพื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานจึงเรียกว่า ขนานกัน.
ดังนั้น พื้นผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
1. ด้านตรงข้ามของ parallelepiped นั้นขนานกันและเท่ากัน
(ตัวเลขเท่ากันนั่นคือสามารถรวมกันได้โดยการซ้อนทับ)
ตัวอย่างเช่น:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับตามคำจำกัดความ)
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 B 1 B และ DD 1 C 1 C เป็นใบหน้าตรงข้ามของ
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 D 1 D และ BB 1 C 1 C เป็นใบหน้าตรงข้ามของ
2. เส้นทแยงมุมของเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดหนึ่งและผ่าครึ่งจุดนั้น
เส้นทแยงมุมของ AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ที่ขนานกันจะตัดกันที่จุดหนึ่ง O และแต่ละเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดนี้ (รูปที่ 2)
ข้าว. 2 เส้นทแยงมุมของจุดตัดคู่ขนานและแบ่งครึ่งจุดตัด
3. มีสามสี่เท่าของขอบเท่ากันและขนานกันของ parallelepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1
คำนิยาม. Parallepiped เรียกว่าตรงถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน
ให้ขอบด้านข้าง AA 1 ตั้งฉากกับฐาน (รูปที่ 3) ซึ่งหมายความว่าเส้น AA 1 ตั้งฉากกับเส้น AD และ AB ซึ่งอยู่ในระนาบของฐาน ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจึงอยู่ที่ด้านข้าง และฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพลการ แสดงว่า ∠BAD = φ มุม φ สามารถเป็นค่าใดก็ได้
ข้าว. 3 กล่องขวา
ดังนั้น กล่องด้านขวาคือกล่องที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานของกล่อง
คำนิยาม. Parallepiped เรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 แบบขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 4) ถ้า:
1. AA 1 ⊥ ABCD (ขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน กล่าวคือ เป็นเส้นตรงขนานกัน)
2. ∠BAD = 90° กล่าวคือ ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ข้าว. 4 ทรงลูกบาศก์
กล่องสี่เหลี่ยมมีคุณสมบัติทั้งหมดของกล่องที่กำหนดเองแต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ได้มาจากนิยามของทรงลูกบาศก์
ดังนั้น, ทรงลูกบาศก์เป็นเส้นขนานที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานของทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า.
1. ในทรงลูกบาศก์ ใบหน้าทั้งหกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามคำจำกัดความ
2. ซี่โครงด้านข้างตั้งฉากกับฐาน. ซึ่งหมายความว่าทุกด้านของทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
3. มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของทรงลูกบาศก์เป็นมุมฉาก
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณามุมไดฮีดรัลของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบ AB นั่นคือมุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ ABB 1 และ ABC
AB เป็นขอบ จุด A 1 อยู่ในระนาบเดียว - ในระนาบ ABB 1 และจุด D ในอีกระนาบ - ในระนาบ A 1 B 1 C 1 D 1 มุมไดฮีดรัลที่พิจารณาสามารถแสดงได้ดังนี้: ∠А 1 АВD
ใช้จุด A บนขอบ AB AA 1 ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ ABB-1, AD ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ ABC ดังนั้น ∠A 1 AD คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่กำหนด ∠A 1 AD \u003d 90 ° ซึ่งหมายความว่ามุมไดฮีดรัลที่ขอบ AB คือ 90 °
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°
มีการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันว่ามุมไดฮีดรัลใดๆ ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่เหลี่ยมนั้นถูกต้อง
สี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวทแยงของทรงลูกบาศก์ เท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสามมิติ
บันทึก. ความยาวของขอบทั้งสามที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดเดียวกันของทรงลูกบาศก์เป็นการวัดของทรงลูกบาศก์ บางครั้งเรียกว่าความยาว ความกว้าง ความสูง
ให้: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - สี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 5)
พิสูจน์: .
ข้าว. 5 ทรงลูกบาศก์
การพิสูจน์:
เส้น CC 1 ตั้งฉากกับระนาบ ABC และด้วยเหตุนี้กับเส้น AC สามเหลี่ยม CC 1 A เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
พิจารณา สามเหลี่ยมมุมฉากเอบีซี ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
แต่ BC และ AD เป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยม ดังนั้น BC = AD แล้ว:
เนื่องจาก , แ , แล้ว. เนื่องจาก CC 1 = AA 1 ดังนั้นสิ่งที่ต้องพิสูจน์
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน
ให้เรากำหนดขนาดของ ABC แบบขนานเป็น a, b, c (ดูรูปที่ 6) จากนั้น AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
หรือ (เทียบเท่า) รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหกใบหน้าที่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน หกเหลี่ยม
สี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ ใบหน้าด้านขนานนี้ ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานเหล่านี้คือ ขอบขนานและจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ ยอด ขนานกัน. แต่ละหน้าของ Parallepiped คือ สี่เหลี่ยมด้านขนาน.
ตามกฎแล้วใบหน้าที่ตรงกันข้ามที่ 2 ใด ๆ จะถูกแยกแยะและเรียกมันว่า ฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและใบหน้าที่เหลือ ใบหน้าด้านข้างของ. ขอบของด้านขนานที่ไม่อยู่ในฐานคือ ซี่โครงข้าง.
2 ใบหน้าของทรงลูกบาศก์ที่มีขอบร่วมกันคือ ที่เกี่ยวข้อง, และอันที่ไม่มีขอบทั่วไป - ตรงข้าม.
ส่วนที่เชื่อม 2 จุดยอดที่ไม่อยู่ในใบหน้าที่ 1 คือ เส้นทแยงมุมของ.
ความยาวของขอบของทรงลูกบาศก์ที่ไม่ขนานกันคือ มิติเชิงเส้น (การวัด) แบบขนาน สี่เหลี่ยมด้านขนานสี่เหลี่ยมมี 3 มิติเชิงเส้น
ประเภทของ Parallepiped
มีหลายประเภท:
โดยตรงเป็นเส้นขนานที่มีขอบ ตั้งฉากกับระนาบบริเวณ
ทรงลูกบาศก์ที่มีทั้ง 3 มิติมีขนาดเท่ากันคือ ลูกบาศก์. ใบหน้าของลูกบาศก์แต่ละอันเท่ากัน สี่เหลี่ยม .
Parallepiped โดยพลการปริมาตรและอัตราส่วนในกล่องเบ้ส่วนใหญ่จะกำหนดโดยใช้พีชคณิตเวกเตอร์ ปริมาตรของกล่องเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์ 3 ตัว ซึ่งกำหนดโดย 3 ด้านของกล่อง (ซึ่งมาจากจุดยอดเดียวกัน) อัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านของด้านขนานกับมุมระหว่างทั้งสองแสดงว่าดีเทอร์มีแนนต์แกรมของเวกเตอร์ 3 ตัวที่ให้มาเท่ากับกำลังสองของผลิตภัณฑ์ผสมของพวกมัน
คุณสมบัติของ Parallepiped
- ส่วนขนานกับจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมมีความสมมาตร
- ส่วนใด ๆ ที่มีปลายที่เป็นของพื้นผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานและที่ผ่านจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน เส้นทแยงมุมทั้งหมดของเส้นตัดคู่ขนานกันที่จุดที่ 1 และแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน
- ด้านตรงข้ามของด้านขนานขนานกันและมีขนาดเท่ากัน
- กำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์คือ
Parallepiped เป็นปริซึมสี่เหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน ในรูปความสูงจะแสดงเป็นเส้น 
. Parareepipeds มีสองประเภท: ตรงและเฉียง โดยปกติ, ติวเตอร์คณิตขั้นแรกให้คำจำกัดความที่เหมาะสมสำหรับปริซึม แล้วจึงโอนไปยังปริซึมแบบขนาน เราจะทำเช่นเดียวกัน
ผมขอเตือนคุณว่าปริซึมเรียกว่าตรง ถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ถ้าไม่มีการตั้งฉาก ปริซึมจะเรียกว่าเฉียง คำศัพท์นี้ยังสืบทอดมาจาก Paraleepiped 
Parallepiped ด้านขวาไม่มีอะไรมากไปกว่าปริซึมตรงชนิดหนึ่งซึ่งขอบด้านข้างซึ่งตรงกับความสูง คำจำกัดความของแนวคิดต่างๆ เช่น ใบหน้า ขอบ และจุดยอด ซึ่งพบได้ทั่วไปในตระกูลรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดจะยังคงอยู่ แนวคิดของใบหน้าตรงข้ามปรากฏขึ้น Parallepiped มีหน้าตรงข้าม 3 คู่ จุดยอด 8 จุด และขอบ 12 จุด
เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นทแยงมุมของปริซึม) คือส่วนที่เชื่อมจุดยอดสองจุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมและไม่อยู่ในใบหน้าใดๆ
ส่วนในแนวทแยงคือส่วนของเส้นขนานที่ลากผ่านเส้นทแยงมุมและเส้นทแยงมุมของฐาน
คุณสมบัติกล่องเฉียง:
1) ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และหน้าตรงข้ามมีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน
2)
เส้นทแยงมุมของเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดหนึ่งและผ่าครึ่งที่จุดนั้น
3)
Parallepiped แต่ละอันประกอบด้วยปิรามิดสามเหลี่ยมหกอันที่มีปริมาตรเท่ากัน เพื่อแสดงให้นักเรียนเห็น ครูสอนคณิตศาสตร์ต้องตัดครึ่งหนึ่งของส่วนที่ขนานกันด้วยส่วนในแนวทแยงและแยกออกเป็นปิรามิด 3 อัน ฐานต้องอยู่คนละด้านของกล่องเดิม ครูสอนคณิตศาสตร์จะค้นหาแอปพลิเคชันสำหรับคุณสมบัตินี้ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ใช้เพื่อหาปริมาตรของพีระมิดจากผลคูณผสมของเวกเตอร์
สูตรสำหรับปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
1) โดยที่พื้นที่ฐาน h คือความสูง
2) ปริมาตรของเส้นขนานเท่ากับผลคูณของพื้นที่หน้าตัดที่ขอบด้านข้าง
ติวเตอร์คณิต: อย่างที่คุณทราบ สูตรนี้ใช้กันทั่วไปในปริซึมทั้งหมด และหากติวเตอร์ได้พิสูจน์แล้ว ก็ไม่มีประโยชน์ที่จะทำซ้ำแบบเดียวกันสำหรับปริซึม อย่างไรก็ตาม เมื่อทำงานกับนักเรียนระดับกลาง (สูตรที่อ่อนแอไม่มีประโยชน์) ขอแนะนำให้ครูทำสิ่งที่ตรงกันข้าม ปล่อยให้ปริซึมอยู่คนเดียว และดำเนินการพิสูจน์ที่ถูกต้องสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
3) ปริมาตรของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมหนึ่งในหกรูปที่ประกอบขึ้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่ที่ไหน
4) ถ้า แล้ว
พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด:
พื้นผิวทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด นั่นคือ พื้นที่ + พื้นที่ฐานสองส่วน:
เกี่ยวกับงานของติวเตอร์ที่มีความเอนเอียง:
ติวเตอร์ในวิชาคณิตศาสตร์มักไม่ค่อยจัดการกับปัญหาเรื่องเส้นขนานที่เอียง ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะปรากฏตัวในการสอบค่อนข้างน้อยและการสอนก็แย่อย่างไม่เหมาะสม ปัญหาที่เหมาะสมไม่มากก็น้อยสำหรับปริมาตรของเส้นขนานที่เอียงทำให้เกิดปัญหาร้ายแรงที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดตำแหน่งของจุด H - ฐานของความสูง ในกรณีนี้ ติวเตอร์คณิตศาสตร์อาจได้รับคำแนะนำให้ตัดกล่องให้เหลือปิรามิดหกอัน (ซึ่งจะกล่าวถึงในคุณสมบัติ #3) พยายามหาปริมาตรของมันแล้วคูณด้วย 6
ถ้าขอบด้านข้างของด้านขนานฉากมีมุมเท่ากันกับด้านข้างของฐาน ดังนั้น H จะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม A ของฐาน ABCD และถ้าเช่น ABCD เป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ดังนั้น
งานกวดวิชาคณิตศาสตร์:
1) ใบหน้าของคู่ขนานนั้นเท่ากับปล้นด้วยด้าน 2 ซม. และ มุมแหลม. หาปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
2) ในแนวขนานเอียงขอบด้านข้างคือ 5 ซม. ส่วนที่ตั้งฉากกับมันคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมตั้งฉากกันซึ่งมีความยาว 6 ซม. และ 8 ซม. คำนวณปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
3) ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเฉียง เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า และในคำจำกัดความของ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านยาว 2 ซม. และมีมุมเท่ากับ . กำหนดปริมาตรของเส้นขนาน
ครูสอนคณิตศาสตร์ Alexander Kolpakov