ถ้าตัวเลข A, B, C และ D ทั้งหมดไม่เป็นศูนย์ สมการทั่วไปของระนาบจะเรียกว่า เสร็จสิ้น. มิฉะนั้นจะเรียกว่าสมการทั่วไปของระนาบ ไม่สมบูรณ์.

พิจารณาสมการไม่สมบูรณ์ทั่วไปที่เป็นไปได้ทั้งหมดของระนาบใน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด Oxyz ในพื้นที่ 3 มิติ

ให้ D = 0 แล้วเราจะได้สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบของแบบฟอร์ม ระนาบนี้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ผ่านจุดกำเนิด อันที่จริง เมื่อแทนที่พิกัดของจุดให้เป็นสมการที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบ เรามาที่เอกลักษณ์ .

สำหรับ , หรือ , หรือ เรามีสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบ หรือ , หรือตามลำดับ สมการเหล่านี้กำหนดระนาบขนานกับระนาบพิกัด Oxy , Oxz และ Oyz ตามลำดับ (ดูบทความเงื่อนไข Parallelism สำหรับระนาบ) และผ่านจุด และตามลำดับ ที่. ตั้งแต่ประเด็น เป็นของระนาบตามเงื่อนไข แล้วพิกัดของจุดนี้ต้องเป็นไปตามสมการของระนาบ นั่นคือ ความเสมอภาคต้องเป็นจริง จากนี้ไปเราจะพบว่า ดังนั้นสมการที่ต้องการจึงมีรูปแบบ .

เรานำเสนอวิธีที่สองในการแก้ปัญหานี้

เนื่องจากระนาบซึ่งเป็นสมการทั่วไปที่เราต้องเขียนนั้นขนานกับระนาบ Oyz จากนั้นในฐานะเวกเตอร์ปกติเราสามารถหาเวกเตอร์ปกติของระนาบ Oyz ได้ เวกเตอร์ปกติของระนาบพิกัด Oyz คือเวกเตอร์พิกัด ตอนนี้เรารู้เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบและจุดระนาบแล้ว ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการทั่วไปของมันได้ (เราแก้ปัญหาที่คล้ายกันในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความนี้):
ดังนั้นพิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบ ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน ที่เราพบ ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการทั่วไปที่ต้องการของระนาบได้ มันมีรูปแบบ .

ตอบ:

บรรณานุกรม.

• Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น เล่มที่หนึ่ง: องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์
• Ilyin V.A. , Poznyak E.G. เรขาคณิตวิเคราะห์.

เพื่อให้ระนาบเดียวลากผ่านจุดสามจุดใดๆ ในอวกาศ จำเป็นที่จุดเหล่านี้จะไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

พิจารณาจุด M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไป

เพื่อให้จุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) อยู่ในระนาบเดียวกันกับจุด M 1 , M 2 , M 3 เวกเตอร์จะต้องเป็นระนาบเดียวกัน

(
) = 0

ทางนี้,

สมการของระนาบที่ผ่านสามจุด:

สมการระนาบเทียบกับจุดสองจุดและเวกเตอร์โคลิเนียร์กับระนาบ

ให้จุด M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) และเวกเตอร์
.

ให้เราเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด M 1 และ M 2 และจุดใดก็ได้ M (x, y, z) ขนานกับเวกเตอร์ .

เวกเตอร์
และเวกเตอร์
ต้องเป็น coplanar นั่นคือ

(
) = 0

สมการระนาบ:

สมการระนาบเทียบกับจุดหนึ่งจุดและเวกเตอร์สองตัว

เครื่องบินคอลลิเนียร์

ให้เวกเตอร์สองตัว
และ
, เครื่องบินคอลลิเนียร์ จากนั้นสำหรับจุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) ที่เป็นของระนาบ เวกเตอร์
ต้องเป็นระนาบเดียวกัน

สมการระนาบ:

สมการระนาบด้วยจุดและเวกเตอร์ปกติ .

ทฤษฎีบท. ถ้าให้จุด M ในช่องว่าง 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) แล้วสมการระนาบที่ผ่านจุด M 0 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งฉาก (อา, บี, ค) ดูเหมือน:

อา(x – x 0 ) + บี(y – y 0 ) + ค(z – z 0 ) = 0.

การพิสูจน์. สำหรับจุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) ที่เป็นของระนาบ เราสร้างเวกเตอร์ เพราะ เวกเตอร์ - เวกเตอร์ตั้งฉาก แล้วก็ตั้งฉากกับระนาบ แล้วก็ตั้งฉากกับเวกเตอร์
. แล้วผลคูณสเกลาร์

= 0

ดังนั้นเราจึงได้สมการของระนาบ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สมการของระนาบในกลุ่ม

ถ้าในสมการทั่วไป Axe + Wu + Cz + D \u003d 0 ให้หารทั้งสองส่วนด้วย (-D)

,

แทนที่
, เราได้รับสมการของระนาบเป็นเซ็กเมนต์:

ตัวเลข a,b,c คือจุดตัดของระนาบตามลำดับโดยมีแกน x, y, z

สมการระนาบในรูปเวกเตอร์

ที่ไหน

- เวกเตอร์รัศมีของจุดปัจจุบัน M(x, y, z)

เวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางตั้งฉากตกลงมาจากจุดกำเนิดบนระนาบ

,  และ  คือมุมที่เกิดจากเวกเตอร์นี้ด้วยแกน x, y, z

p คือความยาวของเส้นตั้งฉากนี้

ในพิกัด สมการนี้มีรูปแบบดังนี้

xcos + ycos + zcos - p = 0

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน

ระยะทางจากจุดใดก็ได้ M 0 (x 0, y 0, z 0) ถึงระนาบ Axe + Vy + Cz + D \u003d 0 คือ:

ตัวอย่าง.หาสมการของระนาบโดยรู้ว่าจุด P (4; -3; 12) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกจากจุดกำเนิดไปยังระนาบนี้

ดังนั้น A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13 ใช้สูตร:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ตัวอย่าง.หาสมการระนาบที่ผ่านจุดสองจุด P(2; 0; -1) และ

Q(1; -1; 3) ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y - z + 5 = 0

เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y - z + 5 = 0
ขนานกับระนาบที่ต้องการ

เราได้รับ:

ตัวอย่าง.หาสมการระนาบที่ผ่านจุด A(2, -1, 4) และ

В(3, 2, -1) ตั้งฉากกับระนาบ X + ที่ + 2z – 3 = 0.

สมการระนาบที่ต้องการมีรูปแบบดังนี้ A x+ บี y+ C z+ D = 0, เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้ (A, B, C). เวกเตอร์
(1, 3, -5) เป็นของเครื่องบิน เครื่องบินที่ให้เราตั้งฉากกับเครื่องบินที่ต้องการมีเวกเตอร์ปกติ (1, 1, 2). เพราะ จุด A และ B เป็นของระนาบทั้งสอง และระนาบตั้งฉากกัน ดังนั้น

ดังนั้นเวกเตอร์ปกติ (11, -7, -2). เพราะ จุด A เป็นของระนาบที่ต้องการ พิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบนี้ กล่าวคือ 12 + 71 - 24 + D= 0; D= -21

โดยรวมแล้ว เราได้สมการของระนาบ: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

ตัวอย่าง.หาสมการของระนาบโดยรู้ว่าจุด P(4, -3, 12) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกจากจุดกำเนิดไปยังระนาบนี้

การหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติ
= (4, -3, 12) สมการที่ต้องการของระนาบมีรูปแบบดังนี้ 4 x – 3y + 12z+ D = 0 ในการหาสัมประสิทธิ์ D เราแทนที่พิกัดของจุด Р ลงในสมการ:

16 + 9 + 144 + D = 0

โดยรวมแล้วเราได้สมการที่ต้องการ: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

ตัวอย่าง.กำหนดพิกัดของจุดยอดพีระมิด A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

จงหาความยาวของขอบ A 1 A 2 .

หามุมระหว่างขอบ A 1 A 2 และ A 1 A 4

หามุมระหว่างขอบ A 1 A 4 กับหน้า A 1 A 2 A 3

ขั้นแรก ให้หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับใบหน้า A 1 A 2 A 3 เป็นผลคูณของเวกเตอร์
และ
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

หามุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์
.

-4 – 4 = -8.

มุมที่ต้องการ  ระหว่างเวกเตอร์กับระนาบจะเท่ากับ  = 90 0 - 

หาพื้นที่ใบหน้า A 1 A 2 A 3 .

หาปริมาตรของพีระมิด.

หาสมการระนาบ А 1 А 2 А 3 .

เราใช้สูตรสมการระนาบผ่านสามจุด

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

เมื่อใช้เวอร์ชั่น PC ของ “ หลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูง” คุณสามารถเรียกใช้โปรแกรมที่จะแก้ไขตัวอย่างข้างต้นสำหรับพิกัดใดๆ ของจุดยอดพีระมิด

ดับเบิลคลิกที่ไอคอนเพื่อเปิดโปรแกรม:

ในหน้าต่างโปรแกรมที่เปิดขึ้น ให้ป้อนพิกัดของจุดยอดพีระมิดแล้วกด Enter ดังนั้นคะแนนการตัดสินใจทั้งหมดสามารถรับได้ทีละจุด

หมายเหตุ: ในการรันโปรแกรม คุณต้องติดตั้ง Maple ( Waterloo Maple Inc.) บนคอมพิวเตอร์ของคุณ เวอร์ชันใดก็ได้ที่ขึ้นต้นด้วย MapleV รีลีส 4

สมการระนาบ จะเขียนสมการระนาบได้อย่างไร?
การจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบิน งาน

เรขาคณิตเชิงพื้นที่ไม่ได้ซับซ้อนกว่าเรขาคณิต "แบน" มากนัก และเที่ยวบินของเราในอวกาศเริ่มต้นด้วยบทความนี้ การจะเข้าใจหัวข้อนั้น ต้องมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับ เวกเตอร์นอกจากนี้ยังเป็นที่พึงปรารถนาที่จะทำความคุ้นเคยกับเรขาคณิตของระนาบ - จะมีความคล้ายคลึงกันมากมายการเปรียบเทียบมากมายดังนั้นข้อมูลจะถูกย่อยได้ดีขึ้นมาก ในชุดบทเรียนของฉัน โลก 2D เปิดขึ้นพร้อมกับบทความ สมการของเส้นตรงบนระนาบ. แต่ตอนนี้แบทแมนได้ก้าวออกจากทีวีจอแบนและกำลังเปิดตัวจาก Baikonur Cosmodrome

เริ่มจากภาพวาดและสัญลักษณ์กันก่อน แผนผังสามารถวาดระนาบเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งให้ความรู้สึกของพื้นที่:

เครื่องบินไม่มีที่สิ้นสุด แต่เรามีโอกาสที่จะพรรณนาเพียงบางส่วนเท่านั้น ในทางปฏิบัติ นอกจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว ยังวาดวงรีหรือแม้แต่ก้อนเมฆด้วย ด้วยเหตุผลทางเทคนิค ฉันสะดวกกว่าที่จะพรรณนาเครื่องบินในลักษณะนี้และในตำแหน่งนี้ เครื่องบินจริงที่เราจะพิจารณาใน ตัวอย่างการใช้งานจริง, จัดเรียงได้ตามใจชอบ - วาดรูปด้วยมือแล้วบิดในอวกาศ ให้ระนาบมีความลาดเอียง ทุกมุม

สัญกรณ์: เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดระนาบด้วยตัวอักษรกรีกตัวเล็ก ๆ เพื่อไม่ให้สับสนกับ ตรงขึ้นเครื่องบินหรือกับ ตรงไปในอวกาศ. ฉันเคยชินกับการใช้ตัวอักษร ในภาพวาด มันคือตัวอักษร "ซิกม่า" ไม่ใช่รูแต่อย่างใด แม้ว่าระนาบที่มีรูพรุน แต่ก็เป็นเรื่องตลกมาก

ในบางกรณี เป็นการสะดวกที่จะใช้อักษรกรีกตัวเดียวกันกับตัวห้อยเพื่อกำหนดระนาบ เช่น .

เห็นได้ชัดว่าระนาบถูกกำหนดโดยจุดที่แตกต่างกันสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นการกำหนดเครื่องบินสามตัวอักษรจึงเป็นที่นิยม - ตามคะแนนที่เป็นของพวกเขาเป็นต้น มักมีตัวอักษรอยู่ในวงเล็บ: เพื่อไม่ให้สับสนระนาบกับรูปทรงเรขาคณิตอื่น

สำหรับผู้อ่านที่มีประสบการณ์ฉันจะให้ เมนูทางลัด:

• จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์สองตัวได้อย่างไร
• จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร

และเราจะไม่อ่อนระโหยโรยแรงในการรอคอยนาน

สมการทั่วไปของระนาบ

สมการทั่วไปของระนาบมีรูปแบบ โดยที่สัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

การคำนวณทางทฤษฎีจำนวนหนึ่งและ งานปฏิบัติสามารถใช้ได้ทั้งแบบธรรมดาและแบบธรรมดาและแบบอิงพื้นที่ (ถ้าน้ำมันเป็นน้ำมันให้กลับไปที่บทเรียน การพึ่งพาเวกเตอร์เชิงเส้น (ไม่) พื้นฐานเวกเตอร์). เพื่อความง่าย เราจะถือว่าเหตุการณ์ทั้งหมดเกิดขึ้นแบบออร์โธนอร์มัลและระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน

และตอนนี้เรามาฝึกจินตนาการเชิงพื้นที่กันเถอะ ไม่เป็นไรถ้าคุณมีมันแย่ ตอนนี้เราจะพัฒนามันเล็กน้อย แม้แต่การเล่นประสาทก็ต้องฝึกฝน

ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่ เมื่อตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์ เครื่องบินจะตัดกันทั้งสามแกน ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเครื่องบินยังคงดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนดในทุกทิศทาง และเรามีโอกาสแสดงภาพเพียงบางส่วนเท่านั้น

พิจารณาสมการระนาบที่ง่ายที่สุด:

จะเข้าใจสมการนี้ได้อย่างไร ลองคิดดู: "Z" เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "X" และ "Y" เท่ากับศูนย์ นี่คือสมการของระนาบพิกัด "ดั้งเดิม" ที่จริงแล้ว สมการอย่างเป็นทางการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: จากที่เห็นได้ชัดว่าเราไม่สนใจ ค่า "x" และ "y" ใช้อะไรเป็นสิ่งสำคัญที่ "z" เท่ากับศูนย์

ในทำนองเดียวกัน:
คือ สมการระนาบพิกัด ;
คือสมการระนาบพิกัด

มาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นหน่อย พิจารณาระนาบ (ที่นี่และเพิ่มเติมในย่อหน้าที่เราคิดว่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์) ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ: . จะเข้าใจได้อย่างไร? "X" เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "y" และ "z" เท่ากับจำนวนที่แน่นอน ระนาบนี้ขนานกับระนาบพิกัด ตัวอย่างเช่น เครื่องบินขนานกับระนาบและผ่านจุดหนึ่ง

ในทำนองเดียวกัน:
- สมการระนาบซึ่งขนานกับระนาบพิกัด
- สมการระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด

เพิ่มสมาชิก: . สมการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: นั่นคือ "Z" สามารถเป็นอะไรก็ได้ มันหมายความว่าอะไร? "X" และ "Y" เชื่อมต่อกันด้วยอัตราส่วนที่ลากเส้นตรงในระนาบ (คุณจะจำได้ สมการเส้นตรงในระนาบ?) เนื่องจาก Z สามารถเป็นอะไรก็ได้ บรรทัดนี้จึง "จำลอง" ที่ความสูงเท่าใดก็ได้ ดังนั้น สมการจึงกำหนดระนาบขนานกับแกนพิกัด

ในทำนองเดียวกัน:
- สมการระนาบซึ่งขนานกับแกนพิกัด
- สมการระนาบซึ่งขนานกับแกนพิกัด

หากเงื่อนไขอิสระเป็นศูนย์ เครื่องบินจะผ่านแกนที่เกี่ยวข้องโดยตรง ตัวอย่างเช่น "สัดส่วนโดยตรง" แบบคลาสสิก: ลากเส้นตรงในระนาบแล้วคูณด้วยใจขึ้นและลง (เพราะ "z" เป็นใดๆ) สรุป: ระนาบที่กำหนดโดยสมการผ่านแกนพิกัด

เราสรุปการทบทวน: สมการของระนาบ ผ่านแหล่งกำเนิด ตรงนี้ค่อนข้างชัดเจนว่าจุดนั้นตรงกับสมการที่กำหนด

และสุดท้าย กรณีที่แสดงในภาพวาด: - เครื่องบินเป็นเพื่อนกับแกนพิกัดทั้งหมด ในขณะที่มันมักจะ "ตัด" สามเหลี่ยมที่สามารถอยู่ในแปดอ็อกเทนต์ตัวใดก็ได้

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในอวกาศ

เพื่อให้เข้าใจข้อมูล จำเป็นต้องศึกษาให้ดี ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในระนาบเพราะหลายๆ อย่างก็จะคล้ายๆ กัน ย่อหน้าจะเป็นภาพรวมโดยสังเขปพร้อมตัวอย่างบางส่วน เนื่องจากเนื้อหาค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ

หากสมการกำหนดระนาบ แสดงว่าอสมการ
ถาม ครึ่งช่องว่าง. หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด (สองรายการสุดท้ายในรายการ) วิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันนอกเหนือจากครึ่งสเปซจะรวมระนาบด้วย

ตัวอย่างที่ 5

หาเวกเตอร์ปกติหน่วยของระนาบ .

วิธีการแก้: เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่ง หมายถึง ให้เวกเตอร์ผ่าน . ค่อนข้างชัดเจนว่าเวกเตอร์เป็นแบบ collinear:

อันดับแรก เราลบเวกเตอร์ตั้งฉากออกจากสมการของระนาบ: .

จะหาเวกเตอร์หน่วยได้อย่างไร? ในการหาเวกเตอร์หน่วย คุณต้องมี ทั้งหมดพิกัดเวกเตอร์หารด้วยความยาวเวกเตอร์.

ลองเขียนเวกเตอร์ปกติใหม่ในรูปแบบและหาความยาวของมัน:

ตามข้างต้น:

ตอบ:

ตรวจสอบ: ซึ่งจำเป็นต้องตรวจสอบ

ท่านผู้อ่านที่ศึกษาย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียนอย่างรอบคอบแล้วคงสังเกตว่า พิกัดของเวกเตอร์หน่วยคือทิศทางของโคไซน์ของเวกเตอร์:

ลองพูดนอกเรื่องจากปัญหาการถอดประกอบ: เมื่อคุณได้รับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตามอำเภอใจ, และโดยเงื่อนไข มันจะต้องค้นหาทิศทางของโคไซน์ (ดูภารกิจสุดท้ายของบทเรียน ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์) ที่จริงแล้ว คุณยังหาเวกเตอร์หน่วย collinear กับเวกเตอร์ที่กำหนดด้วย อันที่จริง สองงานในขวดเดียว

ความจำเป็นในการหาเวกเตอร์ปกติของหน่วยเกิดขึ้นในปัญหาบางอย่างของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

เราหาการตกปลาของเวกเตอร์ปกติแล้ว ตอนนี้เราจะตอบคำถามตรงข้าม:

จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร

โครงสร้างที่เข้มงวดของเวกเตอร์ปกติและจุดนี้เป็นที่รู้จักกันดีโดยเป้าหมายปาเป้า โปรดเหยียดมือไปข้างหน้าและเลือกจุดที่ต้องการในอวกาศเช่นแมวตัวเล็กในตู้ข้าง เห็นได้ชัดว่า ผ่านจุดนี้ คุณสามารถวาดระนาบเดียวตั้งฉากกับมือของคุณ

สมการของระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์นั้นแสดงโดยสูตร:

บทความนี้ให้แนวคิดเกี่ยวกับวิธีการเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในปริภูมิสามมิติที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ให้เราวิเคราะห์อัลกอริธึมข้างต้นโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหาทั่วไป

การหาสมการระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในอวกาศตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

ให้พื้นที่สามมิติและระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z อยู่ในนั้น จุด M 1 (x 1, y 1, z 1) เส้นตรง a และระนาบ α ที่ผ่านจุด M 1 ตั้งฉากกับเส้นตรง a ก็จะได้รับเช่นกัน จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบ α

ก่อนดำเนินการแก้ไขปัญหานี้ ให้ระลึกถึงทฤษฎีบทเรขาคณิตจากโปรแกรมสำหรับเกรด 10 - 11 ซึ่งอ่านว่า:

คำจำกัดความ 1

ระนาบเดียวผ่านจุดที่กำหนดในปริภูมิสามมิติและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ตอนนี้ให้พิจารณาวิธีหาสมการของระนาบเดี่ยวนี้ที่ผ่านจุดเริ่มต้นและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการทั่วไปของระนาบถ้าทราบพิกัดของจุดที่เป็นของระนาบนี้ เช่นเดียวกับพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ

ตามเงื่อนไขของปัญหาเราได้รับพิกัด x 1, y 1, z 1 ของจุด M 1 ที่ระนาบ α ผ่าน หากเรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ α เราก็จะสามารถเขียนสมการที่ต้องการได้

เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ α เนื่องจากมันไม่ใช่ศูนย์และอยู่บนเส้น a ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ α จะเป็นเวกเตอร์กำกับใดๆ ของเส้น a ดังนั้น ปัญหาในการหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ α จึงกลายเป็นปัญหาในการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a .

การกำหนดพิกัดของเวกเตอร์การกำกับของเส้นตรง a สามารถทำได้หลายวิธี: ขึ้นอยู่กับตัวแปรของการตั้งค่าเส้นตรง a ในเงื่อนไขเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเส้น a ในเงื่อนไขของปัญหาถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของรูปแบบ

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

หรือสมการพาราเมตริกของแบบฟอร์ม:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

จากนั้นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงจะมีพิกัด a x, a y และ a z ในกรณีที่เส้นตรง a แทนด้วยจุดสองจุด M 2 (x 2, y 2, z 2) และ M 3 (x 3, y 3, z 3) พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางจะถูกกำหนดเป็น (x3 - x2, y3 - y2 , z3 - z2).

คำจำกัดความ 2

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด:

กำหนดพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a: a → = (a x, a y, a z) ;

เรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ α เป็นพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a:

n → = (A , B , C) โดยที่ A = a x , B = a y , C = a z;

เราเขียนสมการระนาบผ่านจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และมีเวกเตอร์ตั้งฉาก n→=(A, B, C) ในรูปแบบ A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 นี่จะเป็นสมการที่ต้องการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในอวกาศและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

สมการทั่วไปที่เป็นผลลัพธ์ของระนาบ: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 ทำให้ได้สมการของระนาบในส่วนต่างๆ หรือสมการปกติของระนาบ

ลองแก้ตัวอย่างโดยใช้อัลกอริทึมที่ได้รับด้านบน

ตัวอย่าง 1

ให้จุด M 1 (3, - 4, 5) ซึ่งเครื่องบินผ่านและระนาบนี้ตั้งฉากกับเส้นพิกัด O z

วิธีการแก้

เวกเตอร์ทิศทางของเส้นพิกัด O z จะเป็นเวกเตอร์พิกัด k ⇀ = (0 , 0 , 1) ดังนั้นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบจึงมีพิกัด (0 , 0 , 1) . ลองเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด M 1 (3, - 4, 5) ซึ่งเวกเตอร์ปกติมีพิกัด (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

ตอบ: z - 5 = 0 .

พิจารณาวิธีอื่นในการแก้ปัญหานี้:

ตัวอย่าง 2

ระนาบที่ตั้งฉากกับเส้น O z จะได้รับจากสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบของรูปแบบ С z + D = 0 , C ≠ 0 . มากำหนดค่าของ C และ D: ค่าที่เครื่องบินผ่านจุดที่กำหนด แทนที่พิกัดของจุดนี้ในสมการ C z + D = 0 เราได้รับ: C · 5 + D = 0 . เหล่านั้น. ตัวเลข C และ D สัมพันธ์กันโดย - D C = 5 . รับ C \u003d 1 เราได้ D \u003d - 5

แทนที่ค่าเหล่านี้ลงในสมการ C z + D = 0 และรับสมการที่จำเป็นสำหรับระนาบตั้งฉากกับเส้น O z และผ่านจุด M 1 (3, - 4, 5) .

จะมีลักษณะดังนี้: z - 5 = 0

ตอบ: z - 5 = 0 .

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดและตั้งฉากกับเส้นตรง x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

วิธีการแก้

ตามเงื่อนไขของปัญหา เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าเวกเตอร์นำทางของเส้นตรงที่กำหนดนั้นสามารถใช้เป็นเวกเตอร์ปกติ n → ของระนาบที่กำหนดได้ ดังนั้น: n → = (- 3 , - 7 , 2) . ลองเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุด O (0, 0, 0) และมีเวกเตอร์ปกติ n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

เราได้รับสมการที่จำเป็นสำหรับระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ตอบ:- 3x - 7y + 2z = 0

ตัวอย่างที่ 4

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ในพื้นที่สามมิติ มันมีจุดสองจุด A (2 , - 1 , - 2) และ B (3 , - 2 , 4) ระนาบ α ผ่านจุด A ตั้งฉากกับเส้น AB จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบ α เป็นส่วนๆ

วิธีการแก้

ระนาบ α ตั้งฉากกับเส้น AB จากนั้นเวกเตอร์ AB → จะเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ α พิกัดของเวกเตอร์นี้พิจารณาจากความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุด B (3, - 2, 4) และ A (2, - 1, - 2):

AB → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ AB → = (1 , - 1 , 6)

สมการทั่วไปของระนาบจะถูกเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

ตอนนี้เราเขียนสมการที่ต้องการของระนาบในส่วนต่างๆ:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

ตอบ:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

ควรสังเกตด้วยว่ามีปัญหาที่ต้องเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดและตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดสองระนาบ โดยทั่วไป การแก้ปัญหานี้คือการเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในแนวตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด เนื่องจาก ระนาบตัดกันสองระนาบกำหนดเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 5

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ในนั้นคือจุด M 1 (2, 0, - 5) . สมการของระนาบสองระนาบ 3 x + 2 y + 1 = 0 และ x + 2 z - 1 = 0 ซึ่งตัดกันตามเส้นตรง a จำเป็นต้องเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุด M 1 ตั้งฉากกับเส้น a

วิธีการแก้

ลองหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a มันตั้งฉากกับทั้งเวกเตอร์ตั้งฉาก n 1 → (3 , 2 , 0) ของระนาบ n → (1 , 0 , 2) และเวกเตอร์ตั้งฉาก 3 x + 2 y + 1 = 0 ของระนาบ x + 2 z - 1 = 0 .

จากนั้นเวกเตอร์กำกับ α → เส้นตรง a เราใช้ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ n 1 → และ n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

ดังนั้นเวกเตอร์ n → = (4, - 6, - 2) จะเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบตั้งฉากกับเส้น a เราเขียนสมการที่ต้องการของระนาบ:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

ตอบ: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

คุณสมบัติของเส้นตรงในเรขาคณิตแบบยุคลิด

มีเส้นมากมายที่สามารถลากผ่านจุดใดก็ได้

ผ่านจุดที่ไม่ตรงกันสองจุดใด ๆ จะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียว

เส้นที่ไม่บังเอิญสองเส้นในระนาบที่ตัดกันที่จุดเดียวหรือ are

ขนานกัน (ต่อจากอันที่แล้ว)

ที่ พื้นที่สามมิติมีสามตัวเลือก ตำแหน่งสัมพัทธ์สองเส้นตรง:

• เส้นตัดกัน

• เส้นตรงขนานกัน

• เส้นตรงตัดกัน

ตรง ไลน์- เส้นโค้งพีชคณิตของลำดับแรก: ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เส้นตรง

ให้บนระนาบโดยสมการของดีกรีหนึ่ง (สมการเชิงเส้น)

สมการทั่วไปของเส้นตรง

คำนิยาม. เส้นใดๆ ในระนาบสามารถกำหนดได้โดยสมการลำดับที่หนึ่ง

อา + วู + C = 0,

และค่าคงที่ A, Bไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า ทั่วไป

สมการเส้นตรงขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ A, Bและ จากกรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- เส้นผ่านต้นทาง

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( โดย + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน โอ้

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( ขวาน + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน OU

. B = C = 0, A ≠ 0- เส้นตรงกับแกน OU

. A = C = 0, B ≠ 0- เส้นตรงกับแกน โอ้

สมการของเส้นตรงสามารถแสดงได้ในรูปแบบต่างๆ

เงื่อนไขเบื้องต้น

สมการของเส้นตรงโดยจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก

คำนิยาม. ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ (A, B)

ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดโดยสมการ

อา + วู + C = 0

ตัวอย่าง. หาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด เอ(1, 2)ตั้งฉากกับเวกเตอร์ (3, -1).

วิธีการแก้. มาเขียนที่ A \u003d 3 และ B \u003d -1 สมการของเส้นตรง: 3x - y + C \u003d 0 เพื่อหาสัมประสิทธิ์ C

เราแทนที่พิกัดของจุดที่กำหนด A ลงในนิพจน์ผลลัพธ์ เราได้รับ: 3 - 2 + C = 0 ดังนั้น

ค = -1 รวม: สมการที่ต้องการ: 3x - y - 1 \u003d 0

สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด

ให้สองคะแนนในช่องว่าง M 1 (x 1 , y 1 , z 1)และ M2 (x 2, y 2 , z 2),แล้ว สมการเส้นตรง,

ผ่านจุดเหล่านี้:

หากตัวส่วนใดมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวเศษที่ตรงกันควรตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ บน

ระนาบ สมการของเส้นตรงที่เขียนด้านบนนั้นง่ายขึ้น:

ถ้า x 1 ≠ x 2และ x = x 1, ถ้า x 1 = x 2 .

เศษส่วน = kเรียกว่า ปัจจัยความชัน ตรง.

ตัวอย่าง. จงหาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด A(1, 2) และ B(3, 4)

วิธีการแก้. ใช้สูตรข้างต้นเราได้รับ:

สมการของเส้นตรงโดยจุดและความชัน

ถ้าสมการทั่วไปของเส้นตรง อา + อู๋ + C = 0นำมาสู่แบบฟอร์ม:

และกำหนด จากนั้นสมการผลลัพธ์จะเรียกว่า

สมการเส้นตรงที่มีความชัน k

สมการของเส้นตรงบนจุดและเวกเตอร์กำกับ

โดยการเปรียบเทียบกับจุดที่พิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถเข้าสู่ภารกิจ

เส้นตรงผ่านจุดและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

คำนิยาม. ทุกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (α 1 , α 2)ซึ่งส่วนประกอบตรงตามเงื่อนไข

Aα 1 + Bα 2 = 0เรียกว่า เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

อา + วู + C = 0

ตัวอย่าง. หาสมการของเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A(1, 2)

วิธีการแก้. เราจะมองหาสมการของเส้นตรงที่ต้องการในรูปแบบ: ขวาน + โดย + C = 0ตามคำจำกัดความว่า

สัมประสิทธิ์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข:

1 * A + (-1) * B = 0 เช่น เอ = บี

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีรูปแบบดังนี้ ขวาน + อาย + C = 0,หรือ x + y + C / A = 0

ที่ x=1, y=2เราได้รับ C/ A = -3, เช่น. สมการที่ต้องการ:

x + y - 3 = 0

สมการของเส้นตรงในส่วน

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ah + Wu + C = 0 C≠0 จากนั้นหารด้วย -C เราจะได้:

หรือ ที่ไหน

ความรู้สึกทางเรขาคณิตสัมประสิทธิ์โดยที่สัมประสิทธิ์ a คือพิกัดของจุดตัดกัน

ตรงด้วยเพลา โอ้,เอ ข- พิกัดจุดตัดของเส้นกับแกน อ.

ตัวอย่าง. จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง x - y + 1 = 0หาสมการของเส้นตรงนี้เป็นส่วนๆ

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าทั้งสองข้างของสมการ อา + อู๋ + C = 0หารด้วยตัวเลข , ซึ่งเรียกว่า

ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราจะได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 -สมการปกติของเส้นตรง.

ต้องเลือกเครื่องหมาย±ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ μ * C< 0.

R- ความยาวของเส้นตั้งฉากลดลงจากจุดกำเนิดถึงเส้น

เอ φ - มุมที่เกิดขึ้นจากแนวตั้งฉากนี้กับทิศทางบวกของแกน โอ้.

ตัวอย่าง. จากสมการทั่วไปของเส้นตรง 12x - 5y - 65 = 0. จำเป็นต้องเขียน ประเภทต่างๆสมการ

เส้นตรงนี้

สมการของเส้นตรงนี้ในส่วนต่างๆ:

สมการของเส้นตรงนี้ที่มีความชัน: (หารด้วย 5)

สมการของเส้นตรง:

cos φ = 12/13; บาป φ= -5/13; พี=5

ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นตรงที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นตรง

ขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิด

มุมระหว่างเส้นบนระนาบ

คำนิยาม. ถ้าให้สองบรรทัด y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, แล้ว มุมแหลมระหว่างบรรทัดเหล่านี้

จะถูกกำหนดเป็น

เส้นสองเส้นขนานกัน if k 1 = k 2. สอง เส้นตรงตั้งฉากกัน,

ถ้า k 1 \u003d -1 / k 2 .

ทฤษฎีบท.

โดยตรง อา + อู๋ + C = 0และ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วน

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. ถ้ายัง С 1 \u003d λСแล้วเส้นจะตรงกัน พิกัดจุดตัดของสองเส้น

พบว่าเป็นคำตอบของระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นที่ลากผ่านจุดที่กำหนดจะตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

คำนิยาม. เส้นที่ลากผ่านจุด ม 1 (x 1, y 1)และตั้งฉากกับเส้น y = kx + b

แสดงโดยสมการ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

ทฤษฎีบท. หากได้รับคะแนน M(x 0, y 0),จากนั้นระยะทางถึงเส้น อา + อู๋ + C = 0กำหนดเป็น:

การพิสูจน์. ให้ประเด็น ม 1 (x 1, y 1)- ฐานตั้งฉากหลุดจากจุด เอ็มสำหรับให้

โดยตรง. แล้วระยะห่างระหว่างจุด เอ็มและ M 1:

(1)

พิกัด x 1และ 1สามารถหาคำตอบของระบบสมการได้ดังนี้

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ตั้งฉาก

เส้นที่กำหนด ถ้าเราแปลงสมการแรกของระบบเป็นรูปแบบ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้น แก้ เราได้รับ:

การแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว