สมการเชิงเส้น วิธีแก้ปัญหา ตัวอย่าง

สมการที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง ซึ่งหลังจากเปิดวงเล็บและลดพจน์ที่เหมือนกันแล้ว จะอยู่ในรูป

ขวาน + ข = 0โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขตามอำเภอใจ เรียกว่า สมการเชิงเส้น กับที่ไม่รู้จัก วันนี้เราจะหาวิธีแก้สมการเชิงเส้นเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น สมการทั้งหมด:

2x + 3 \u003d 7 - 0.5x; 0.3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - เชิงเส้น

ค่าของสิ่งที่ไม่รู้ซึ่งเปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงเรียกว่า การตัดสินใจ หรือ รากของสมการ .

ตัวอย่างเช่น หากในสมการ 3x + 7 \u003d 13 เราแทนที่ตัวเลข 2 แทน x ที่ไม่รู้จัก เราก็จะได้ค่าเท่ากัน 3 2 + 7 \u003d 13 ซึ่งหมายความว่าค่า x \u003d 2 คือคำตอบ หรือรากของสมการ

และค่า x \u003d 3 ไม่ได้เปลี่ยนสมการ 3x + 7 \u003d 13 ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง เนื่องจาก 3 2 + 7 ≠ 13 ดังนั้นค่า x \u003d 3 จึงไม่ใช่คำตอบหรือรากของสมการ

การแก้สมการเชิงเส้นใด ๆ จะลดลงเป็นคำตอบของสมการของรูปแบบ

ขวาน + ข = 0

เราโอนเทอมอิสระจากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา โดยเปลี่ยนเครื่องหมายหน้า b ไปเป็นตรงกันข้าม เราได้

ถ้า a ≠ 0 แล้ว x = – b/a .

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ 3x + 2 =11

เราโอน 2 จากด้านซ้ายของสมการไปทางขวาในขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายที่อยู่ข้างหน้า 2 ไปเป็นตรงกันข้ามเราจะได้
3x \u003d 11 - 2

มาทำการลบกัน
3x = 9

ในการหา x คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวประกอบที่ทราบ นั่นคือ
x = 9:3

ดังนั้นค่า x = 3 คือคำตอบหรือรากของสมการ

คำตอบ: x = 3.

ถ้า a = 0 และ b = 0จากนั้นเราจะได้สมการ 0x \u003d 0 สมการนี้มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน เนื่องจากเมื่อคูณจำนวนใดๆ ด้วย 0 เราจะได้ 0 แต่ b ก็เป็น 0 เช่นกัน คำตอบของสมการนี้คือตัวเลขใดๆ

ตัวอย่าง 2แก้สมการ 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1

มาขยายวงเล็บ:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2

นี่คือสมาชิกที่คล้ายกัน:
0x = 0

คำตอบ: x คือจำนวนใด ๆ.

ถ้า a = 0 และ b ≠ 0จากนั้นเราจะได้สมการ 0x = - b สมการนี้ไม่มีคำตอบ เนื่องจากเมื่อคูณจำนวนใดๆ ด้วย 0 เราจะได้ 0 แต่ b ≠ 0

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ x + 8 = x + 5

ให้เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีคำที่ไม่รู้จักทางด้านซ้าย และคำศัพท์ฟรีทางด้านขวา:
x - x \u003d 5 - 8

นี่คือสมาชิกที่คล้ายกัน:
0x = - 3

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ไข

บน รูปที่ 1 แผนภาพสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นจะปรากฏขึ้น

มาเขียนกันเถอะ โครงการทั่วไปคำตอบของสมการที่มีตัวแปรเดียว พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 4 มาแก้สมการกัน

1) คูณพจน์ทั้งหมดของสมการด้วยตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วน เท่ากับ 12

2) หลังจากลดเราได้รับ
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) หากต้องการแยกสมาชิกที่มีสมาชิกที่ไม่รู้จักและเป็นอิสระ ให้เปิดวงเล็บ:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86

4) เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่ไม่รู้จักในส่วนอื่น ๆ และอีกส่วนหนึ่ง - คำศัพท์ฟรี:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12

5) นี่คือสมาชิกที่คล้ายกัน:
- 22x = - 154.

6) หารด้วย - 22 , เราได้
x = 7

อย่างที่คุณเห็น รากของสมการคือเจ็ด

โดยทั่วไปเช่น สามารถแก้สมการได้ดังนี้:

ก) นำสมการมาอยู่ในรูปจำนวนเต็ม

b) วงเล็บเปิด;

c) จัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักในส่วนหนึ่งของสมการ และคำศัพท์อิสระในอีกส่วนหนึ่ง

d) นำสมาชิกที่คล้ายกัน;

e) แก้สมการของรูปแบบaх = b ซึ่งได้มาจากการนำพจน์ที่เหมือนกันมา

อย่างไรก็ตาม แผนภาพนี้ไม่จำเป็นสำหรับทุกสมการ เมื่อแก้ได้อีกมากมาย สมการง่ายๆคุณต้องเริ่มต้นไม่ใช่จากครั้งแรก แต่ต้องเริ่มจากวินาที ( ตัวอย่าง. 2), ที่สาม ( ตัวอย่าง. สิบสาม) และแม้กระทั่งจากขั้นตอนที่ห้า ดังตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ 2x = 1/4

เราพบ x ที่ไม่รู้จัก \u003d 1/4: 2
x = 1/8 .

พิจารณาคำตอบของสมการเชิงเส้นบางตัวที่พบในข้อสอบหลัก

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ 2 (x + 3) = 5 - 6x

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

คำตอบ: - 0.125

ตัวอย่าง 7แก้สมการ - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

คำตอบ: 2.3

ตัวอย่างที่ 8 แก้สมการ

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

ตัวอย่างที่ 9หา f(6) ถ้า f (x + 2) = 3 7's

การตัดสินใจ

เนื่องจากเราต้องหา f(6) และรู้ว่า f (x + 2)
แล้ว x + 2 = 6

เราแก้สมการเชิงเส้น x + 2 = 6
เราได้ x \u003d 6 - 2, x \u003d 4

ถ้า x = 4 แล้ว
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

คำตอบ: 27.

หากคุณยังคงมีคำถาม แสดงว่ามีความปรารถนาที่จะจัดการกับการแก้สมการอย่างละเอียดถี่ถ้วนมากขึ้น ฉันยินดีที่จะช่วยคุณ!

TutorOnline ยังแนะนำให้ดูวิดีโอการสอนแบบใหม่จากครูสอนพิเศษของเรา Olga Alexandrovna ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจทั้งสมการเชิงเส้นและอื่นๆ

blog.site ที่คัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์สมการเชิงเส้นทั้งชุดที่แก้โดยใช้อัลกอริธึมเดียวกัน นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด

ในการเริ่มต้น มานิยามกัน: สมการเชิงเส้นคืออะไร และสมการใดควรเรียกว่าง่ายที่สุด

สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ในระดับแรกเท่านั้น

สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:

สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดให้เป็นสมการที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:

1. วงเล็บเปิด ถ้ามี
2. ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปอยู่ด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายพจน์ที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
3. นำพจน์ที่เหมือนกันไปทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
4. หารสมการผลลัพธ์ด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$

แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือว่าบางครั้ง หลังจากการคำนวณทั้งหมดนี้ สัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ จะกลายเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:

1. สมการไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อคุณได้รับบางอย่างเช่น $0\cdot x=8$ นั่นคือ ด้านซ้ายเป็นศูนย์ และด้านขวาเป็นตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะพิจารณาสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
2. คำตอบคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเป็นการสร้าง $0\cdot x=0$ ค่อนข้างสมเหตุสมผลว่าไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไร มันก็จะกลายเป็น “ศูนย์เท่ากับศูนย์” นั่นคือ ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง

และตอนนี้เรามาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรกับตัวอย่างของปัญหาจริง

ตัวอย่างการแก้สมการ

วันนี้เราจัดการกับสมการเชิงเส้นและสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และจะไปได้เฉพาะระดับแรกเท่านั้น

โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:

1. ก่อนอื่น คุณต้องเปิดวงเล็บ หากมี (ดังในตัวอย่างที่แล้ว);
2. แล้วนำสิ่งที่คล้ายกันมา
3. สุดท้าย แยกตัวแปรออก เช่น ทุกอย่างที่เชื่อมโยงกับตัวแปร - เงื่อนไขที่มีอยู่ - จะถูกถ่ายโอนไปยังด้านหนึ่งและทุกอย่างที่เหลือโดยไม่ได้ถูกโอนไปยังอีกด้านหนึ่ง

ตามกฎแล้วคุณต้องนำความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นในแต่ละด้านมาเหมือนกันและหลังจากนั้นก็เหลือเพียงหารด้วยสัมประสิทธิ์ที่ "x" และเราจะได้รับคำตอบสุดท้าย

ในทางทฤษฎี มันดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถทำผิดพลาดเชิงรุกในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยปกติ ข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บเหลี่ยม หรือเมื่อนับ "บวก" และ "ลบ"

นอกจากนี้ มันเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือเพื่อให้คำตอบเป็นเส้นจำนวนเต็ม กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะวิเคราะห์รายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มตามที่คุณเข้าใจแล้วมากที่สุด งานง่ายๆ.

แบบแผนสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ในการเริ่มต้น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดอีกครั้งสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด:

1. ขยายวงเล็บ หากมี
2. แยกตัวแปร กล่าวคือ ทุกอย่างที่มี "x" จะถูกโอนไปด้านหนึ่งและไม่มี "x" - ไปยังอีกด้านหนึ่ง
3. เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
4. เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ที่ "x"

แน่นอนว่าโครงการนี้ใช้ไม่ได้ผลเสมอไป มีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่าง และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ภารกิจ #1

ในขั้นตอนแรก เราต้องเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ ดังนั้นเราจึงข้ามขั้นตอนนี้ ในขั้นตอนที่สอง เราต้องแยกตัวแปร โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงข้อกำหนดส่วนบุคคลเท่านั้น มาเขียนกัน:

เราให้คำศัพท์ที่คล้ายกันทางด้านซ้ายและด้านขวา แต่สิ่งนี้ได้ทำไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยปัจจัย:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ที่นี่เราได้คำตอบ

งาน #2

ในงานนี้ เราสามารถสังเกตวงเล็บได้ ดังนั้นมาขยายกัน:

ทั้งด้านซ้ายและด้านขวา เราเห็นโครงสร้างใกล้เคียงกัน แต่ลองทำตามอัลกอริทึมนั่นคือ ตัวแปรซีเควสเตอร์:

นี่คือบางส่วนเช่น:

มันทำงานที่รากอะไร? คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า $x$ เป็นจำนวนใดๆ

งาน #3

สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่าอยู่แล้ว:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

มีวงเล็บหลายอันอยู่ที่นี่ แต่ไม่ได้คูณด้วยอะไร พวกมันมีเครื่องหมายต่างกันอยู่ข้างหน้า มาทำลายพวกเขากันเถอะ:

เราทำขั้นตอนที่สองที่เรารู้อยู่แล้ว:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

มาคำนวณกัน:

เราทำขั้นตอนสุดท้าย - เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ที่ "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

หากเราละเลยงานง่ายเกินไป ข้าพเจ้าขอกล่าวดังนี้

• ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบ - บางครั้งก็ไม่มีราก
• แม้ว่าจะมีรากอยู่ก็ตาม แต่ศูนย์ก็สามารถเข้าไปได้ - ไม่มีอะไรผิดปกติกับสิ่งนั้น

ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกับส่วนที่เหลือ คุณไม่ควรแยกแยะหรือคิดเอาเองว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณทำอะไรผิด

คุณลักษณะอื่นที่เกี่ยวข้องกับการขยายวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บ เราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม. จากนั้นเราสามารถเปิดมันตามอัลกอริธึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน

การเข้าใจข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณไม่ทำผิดพลาดที่โง่เขลาและทำร้ายจิตใจในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย เมื่อการกระทำดังกล่าวถือเป็นเรื่องปกติ

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

มาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กัน ตอนนี้โครงสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้นเมื่อทำการแปลงต่างๆ อย่างไรก็ตาม คุณไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะหากตามความตั้งใจของผู้เขียน เราแก้สมการเชิงเส้น จากนั้นในกระบวนการแปลง โมโนเมียมทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะต้องลดลง

ตัวอย่าง #1

เห็นได้ชัดว่าขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บ มาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:

ตอนนี้ขอความเป็นส่วนตัว:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

นี่คือบางส่วนเช่น:

เห็นได้ชัดว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นในคำตอบเราเขียนดังนี้:

\[\ความหลากหลาย \]

หรือไม่มีราก

ตัวอย่าง #2

เราทำตามขั้นตอนเดียวกัน ขั้นแรก:

ย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มี - ไปทางขวา:

นี่คือบางส่วนเช่น:

แน่นอน สมการเชิงเส้นนี้ไม่มีคำตอบ เราจึงเขียนแบบนี้:

\[\varnothing\],

หรือไม่มีราก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ ในตัวอย่างของนิพจน์ทั้งสองนี้ เราตรวจสอบอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกสิ่งทุกอย่างต้องไม่ธรรมดา: สามารถมีได้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง หรือไม่มีเลย หรือหลายอย่างไม่จำกัด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ โดยทั้งสองสมการไม่มีราก

แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อเท็จจริงอื่น: วิธีใช้งานวงเล็บเหลี่ยมและวิธีขยายวงเล็บหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณานิพจน์นี้:

ก่อนเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "x" โปรดทราบ: คูณ แต่ละเทอม. ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ สองเทอมและถูกคูณ

และหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญและอันตรายเหล่านี้เสร็จสิ้นแล้วเท่านั้น วงเล็บสามารถเปิดได้จากมุมมองว่ามีเครื่องหมายลบตามมา ใช่ ใช่ ตอนนี้ เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกอย่างด้านล่างเพียงแค่เปลี่ยนเครื่องหมาย ในเวลาเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันสนใจข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เนื่องจากการแก้สมการมักจะเป็นลำดับของการแปลงเบื้องต้น ซึ่งการที่ไม่สามารถดำเนินการง่ายๆ ได้อย่างชัดเจนและมีความสามารถ นำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่ายๆ ดังกล่าวอีกครั้ง

แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณจะฝึกฝนทักษะเหล่านี้ให้เป็นระบบอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการแปลงจำนวนมากในแต่ละครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณกำลังเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขในตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม

ภารกิจ #1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

ลองคูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:

มาทำถอยกันเถอะ:

นี่คือบางส่วนเช่น:

มาทำขั้นตอนสุดท้ายกัน:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่าในกระบวนการแก้ เรามีสัมประสิทธิ์ที่มีฟังก์ชันกำลังสอง พวกมันก็ทำลายล้างซึ่งกันและกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงพอดี ไม่ใช่กำลังสอง

งาน #2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

มาทำขั้นตอนแรกกันอย่างระมัดระวัง: คูณทุกองค์ประกอบในวงเล็บปีกกาแรกด้วยทุกองค์ประกอบในวินาที โดยรวมแล้ว ควรได้รับคำศัพท์ใหม่สี่คำหลังจากการแปลง:

และตอนนี้ทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:

ลองย้ายเงื่อนไขด้วย "x" ไปทางซ้ายและไม่มี - ไปทางขวา:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

เราได้รับคำตอบที่ชัดเจน

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

ข้อสังเกตที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้คือ ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บซึ่งมีมากกว่าหนึ่งพจน์ ก็จะเป็นไปตามกฎต่อไปนี้: เรานำพจน์แรกจากตัวแรกและคูณกับแต่ละองค์ประกอบ จากวินาที; จากนั้นเรานำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณด้วยองค์ประกอบจากองค์ประกอบที่สองในทำนองเดียวกัน เป็นผลให้เราได้รับสี่เทอม

เกี่ยวกับผลรวมเชิงพีชคณิต

จากตัวอย่างที่แล้ว ฉันต้องการเตือนนักเรียนว่าผลรวมเชิงพีชคณิตคืออะไร ในคณิตศาสตร์คลาสสิก โดย $1-7$ เราหมายถึงโครงสร้างง่ายๆ เราลบเจ็ดออกจากหนึ่ง ในพีชคณิต เราหมายความดังนี้: สำหรับเลข "หนึ่ง" เราบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" ผลรวมเชิงพีชคณิตนี้แตกต่างจากผลรวมเลขคณิตปกติ

ทันทีที่ทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ

โดยสรุป มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหานั้น เราจะต้องขยายอัลกอริทึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

ในการแก้ปัญหาดังกล่าว จะต้องเพิ่มขั้นตอนหนึ่งในอัลกอริทึมของเราเข้าไปอีก แต่ก่อนอื่น ฉันจะเตือนอัลกอริทึมของเรา:

1. เปิดวงเล็บ.
2. แยกตัวแปร
3. เอาแบบเดียวกัน.
4. หารด้วยปัจจัย

อนิจจา อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ สำหรับประสิทธิภาพทั้งหมด ไม่เหมาะสมอย่างยิ่งเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ข้างหน้าเรา และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่าง เรามีเศษส่วนทางซ้ายและทางขวาในสมการทั้งสอง

วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเพิ่มอีกขั้นตอนหนึ่งในอัลกอริทึม ซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนการดำเนินการครั้งแรกและหลังจากนั้น กล่าวคือ กำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:

1. กำจัดเศษส่วน
2. เปิดวงเล็บ.
3. แยกตัวแปร
4. เอาแบบเดียวกัน.
5. หารด้วยปัจจัย

การ "กำจัดเศษส่วน" หมายความว่าอย่างไร และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก อันที่จริง ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวเลขในแง่ของตัวส่วน นั่นคือ ทุกที่ที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข ดังนั้น หากเราคูณสมการทั้งสองส่วนด้วยจำนวนนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วน

ตัวอย่าง #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

กำจัดเศษส่วนในสมการนี้กัน:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

โปรดทราบ: ทุกอย่างถูกคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้งนั่นคือ เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองอัน ไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละวงเล็บด้วย "สี่" มาเขียนกัน:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

มาเปิดกันเลย:

เราดำเนินการแยกตัวแปร:

เราดำเนินการลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน:

][-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

เราได้รับคำตอบสุดท้ายแล้ว เราผ่านไปยังสมการที่สอง

ตัวอย่าง #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ที่นี่เราดำเนินการเหมือนกันทั้งหมด:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

แก้ไขปัญหา.

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกในวันนี้

ประเด็นสำคัญ

การค้นพบที่สำคัญมีดังนี้:

• รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
• ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
• ไม่ต้องกังวลหากคุณมีฟังก์ชันกำลังสองอยู่ที่ไหนสักแห่ง เป็นไปได้มากว่าในกระบวนการแปลงเพิ่มเติม พวกมันจะลดลง
• รากในสมการเชิงเส้น แม้จะเป็นแบบที่ง่ายที่สุด ก็มีสามประเภท: รูทเดียว, เส้นจำนวนทั้งหมดคือรูท, ไม่มีรูทเลย

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญในหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพิ่มเติม หากไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์ แก้ตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามมีสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!

ทักษะที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งใน เข้าเรียน ป.5คือความสามารถในการแก้สมการง่าย ๆ เพราะชั้น ป.5 อยู่ไม่ไกล โรงเรียนประถมศึกษาจึงมีสมการไม่มากนักที่นักเรียนจะแก้ได้ เราจะแนะนำให้คุณรู้จักกับสมการหลักทุกประเภทที่คุณต้องแก้ให้ได้หากต้องการ ลงทะเบียนเรียนในโรงเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์.

1 ประเภท: "กระเปาะ"
นี่คือสมการที่คุณจะเจอเมื่อ การเข้าโรงเรียนใด ๆหรือวงกลม ป.5 เป็นงานแยก แยกแยะได้ง่ายจากตัวแปรอื่น: ประกอบด้วยตัวแปรเพียงครั้งเดียว ตัวอย่างเช่นหรือ.
พวกเขาได้รับการแก้ไขอย่างง่ายมาก: คุณเพียงแค่ต้อง "รับ" กับสิ่งที่ไม่รู้จักค่อยๆ "เอา" ทุกสิ่งที่ไม่จำเป็นรอบ ๆ ออก - ราวกับว่าปอกหัวหอม - ดังนั้นชื่อ เพื่อแก้ปัญหานี้ก็เพียงพอที่จะจำกฎสองสามข้อจากชั้นสอง แสดงรายการทั้งหมด:

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

1. เทอม 1 + เทอม 2 = ผลรวม
2. เทอม 1 = ผลรวม - เทอม2
3. เทอม2 = ผลรวม - เทอม1

การลบ

1. minuend - subtrahend = ความแตกต่าง
2. minuend = subtrahend + ความแตกต่าง
3. subtrahend = minuend - ความแตกต่าง

การคูณ

1. ตัวคูณ 1 * ตัวคูณ 2 = ผลิตภัณฑ์
2. ตัวคูณ1 = ผลิตภัณฑ์: ตัวคูณ2
3. ตัวคูณ 2 = ผลิตภัณฑ์: ตัวคูณ1

แผนก

1. เงินปันผล: ตัวหาร = ผลหาร
2. เงินปันผล = ตัวหาร * ผลหาร
3. ตัวหาร = เงินปันผล: ผลหาร

มาดูตัวอย่างการใช้กฎเหล่านี้กัน

โปรดทราบว่าเราแบ่งปัน บนและเราได้รับ ในสถานการณ์นี้ เรารู้ตัวหารและผลหาร ในการหาเงินปันผล คุณต้องคูณตัวหารด้วยผลหาร:

เราเข้าใกล้ตัวเองมากขึ้นเล็กน้อย ตอนนี้เราเห็นแล้วว่าเพื่อ เพิ่มและได้รับ ดังนั้น ในการหาคำศัพท์ใดคำหนึ่ง คุณต้องลบพจน์ที่ทราบออกจากผลรวม:

และอีกหนึ่ง "เลเยอร์" จะถูกลบออกจากสิ่งที่ไม่รู้จัก! ตอนนี้เราเห็นสถานการณ์ที่มีค่าที่ทราบของผลิตภัณฑ์ () และตัวคูณที่รู้จักหนึ่งตัว ()

ตอนนี้สถานการณ์คือ "ลด - ลบ = ความแตกต่าง"

และขั้นตอนสุดท้ายคือผลิตภัณฑ์ที่ทราบ () และปัจจัยหนึ่ง ()

2 แบบ: สมการพร้อมวงเล็บ
สมการประเภทนี้มักพบในปัญหา - 90% ของปัญหาทั้งหมดสำหรับ เข้าเรียนชั้น ป.5. ไม่เหมือน "สมการหัวหอม"ตัวแปรที่นี่อาจเกิดขึ้นได้หลายครั้ง ดังนั้นจึงไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการจากย่อหน้าก่อน สมการทั่วไป: หรือ
ปัญหาหลักคือการเปิดวงเล็บให้ถูกต้อง หลังจากที่เราทำถูกต้องแล้ว เราก็ควรนำพจน์ที่เหมือนกัน (ตัวเลขเป็นตัวเลข ตัวแปรเป็นตัวแปร) และหลังจากนั้นเราจะได้ค่าที่ง่ายที่สุด "สมการหัวหอม"ที่เราแก้ได้ แต่สิ่งแรกก่อน

การขยายวงเล็บ. เราจะให้กฎสองสามข้อที่ควรใช้ในกรณีนี้ แต่จากการฝึกฝนแสดงให้เห็นว่านักเรียนเริ่มเปิดวงเล็บอย่างถูกต้องหลังจากแก้ปัญหา 70-80 เท่านั้น กฎพื้นฐานคือ: ปัจจัยใดๆ นอกวงเล็บต้องคูณด้วยแต่ละคำในวงเล็บ และเครื่องหมายลบก่อนวงเล็บจะเปลี่ยนเครื่องหมายของนิพจน์ทั้งหมดที่อยู่ภายใน ดังนั้น กฎพื้นฐานของการเปิดเผยข้อมูล:

นำมาซึ่งความคล้ายคลึงกัน. ทุกอย่างง่ายกว่ามากที่นี่: โดยการโอนเงื่อนไขผ่านเครื่องหมายเท่ากับ คุณต้องแน่ใจว่าในมือข้างหนึ่งมีเพียงคำศัพท์ที่ไม่รู้จักและอีกนัยหนึ่ง - เฉพาะตัวเลขเท่านั้น กฎพื้นฐานคือ: แต่ละเทอมที่ดำเนินการผ่านจะเปลี่ยนเครื่องหมาย - ถ้าอยู่ด้วย จะกลายเป็นด้วย และในทางกลับกัน หลังจากโอนสำเร็จแล้ว จำเป็นต้องนับจำนวนรวมของค่าที่ไม่ทราบจำนวน เลขท้ายด้านความเท่าเทียมกันมากกว่าตัวแปร และแก้โจทย์ง่ายๆ "สมการหัวหอม".

วงเล็บใช้เพื่อระบุลำดับการดำเนินการเป็นตัวเลขและ นิพจน์ตามตัวอักษรเช่นเดียวกับในนิพจน์ที่มีตัวแปร สะดวกในการส่งผ่านจากนิพจน์ที่มีวงเล็บเหลี่ยมไปยังนิพจน์ที่เท่ากันโดยไม่มีวงเล็บ เทคนิคนี้เรียกว่าการเปิดวงเล็บ

การขยายวงเล็บหมายถึงการกำจัดนิพจน์ของวงเล็บเหล่านี้

อีกประเด็นหนึ่งสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษซึ่งเกี่ยวข้องกับลักษณะเฉพาะของการเขียนวิธีแก้ปัญหาเมื่อเปิดวงเล็บ เราสามารถเขียนนิพจน์เริ่มต้นด้วยวงเล็บและผลลัพธ์ที่ได้หลังจากเปิดวงเล็บให้เท่ากัน ตัวอย่างเช่น หลังจากเปิดวงเล็บ แทนนิพจน์
3−(5−7) เราได้นิพจน์ 3−5+7 เราสามารถเขียนนิพจน์ทั้งสองนี้เป็นความเท่าเทียมกัน 3−(5−7)=3−5+7

และจุดสำคัญอีกประการหนึ่ง ในวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อลดจำนวนรายการ เป็นเรื่องปกติที่จะไม่เขียนเครื่องหมายบวก ถ้าเป็นตัวแรกในนิพจน์หรือในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราบวกจำนวนบวกสองจำนวน เช่น เจ็ดและสาม เราจะไม่เขียน +7 + 3 แต่เขียนเพียง 7 + 3 แม้ว่าเจ็ดจะเป็นจำนวนบวกก็ตาม ในทำนองเดียวกัน ถ้าคุณเห็นนิพจน์ (5 + x) - รู้ว่ามีเครื่องหมายบวกอยู่ด้านหน้าวงเล็บซึ่งไม่ได้เขียนไว้ และมีเครื่องหมายบวก + (+5 + x) อยู่ด้านหน้า ห้า.

กฎการขยายวงเล็บสำหรับการเพิ่มเติม

เมื่อเปิดวงเล็บเหลี่ยม หากมีเครื่องหมายบวกก่อนวงเล็บเหลี่ยม เครื่องหมายบวกนี้จะถูกละเว้นพร้อมกับวงเล็บเหลี่ยม

ตัวอย่าง. เปิดวงเล็บในนิพจน์ 2 + (7 + 3) ก่อนเครื่องหมายวงเล็บ plus จากนั้นอักขระที่อยู่ข้างหน้าตัวเลขในวงเล็บจะไม่เปลี่ยนแปลง

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

กฎการขยายวงเล็บเมื่อลบ

หากมีเครื่องหมายลบก่อนเครื่องหมายวงเล็บ เครื่องหมายลบนี้จะถูกละเว้นพร้อมกับเครื่องหมายวงเล็บ แต่คำที่อยู่ในวงเล็บจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปทางตรงกันข้าม การไม่มีเครื่องหมายก่อนเทอมแรกในวงเล็บหมายถึงเครื่องหมาย +

ตัวอย่าง. เปิดวงเล็บในนิพจน์ 2 − (7 + 3)

มีเครื่องหมายลบก่อนวงเล็บ ดังนั้นคุณต้องเปลี่ยนเครื่องหมายก่อนตัวเลขจากวงเล็บ ไม่มีเครื่องหมายในวงเล็บก่อนเลข 7 ซึ่งหมายความว่าเจ็ดเป็นค่าบวก ถือว่าเครื่องหมาย + อยู่ข้างหน้า

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

เมื่อเปิดวงเล็บ เราจะลบเครื่องหมายลบออกจากตัวอย่าง ซึ่งอยู่ก่อนเครื่องหมายวงเล็บ และตัววงเล็บเอง 2 − (+ 7 + 3) และเปลี่ยนเครื่องหมายที่อยู่ในวงเล็บเป็นเครื่องหมายตรงข้าม

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

วงเล็บขยายเมื่อคูณ

หากมีเครื่องหมายคูณอยู่หน้าวงเล็บ ตัวเลขแต่ละตัวในวงเล็บจะถูกคูณด้วยตัวประกอบที่อยู่ด้านหน้าวงเล็บ ในเวลาเดียวกัน การคูณลบด้วยลบได้บวก และการคูณลบด้วยบวก เช่น การคูณบวกด้วยลบ

ดังนั้นวงเล็บในผลิตภัณฑ์จึงถูกขยายตามคุณสมบัติการกระจายของการคูณ

ตัวอย่าง. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

เมื่อคูณวงเล็บด้วยวงเล็บ แต่ละเทอมของวงเล็บแรกจะถูกคูณด้วยทุกๆ เทอมของวงเล็บที่สอง

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

อันที่จริง ไม่จำเป็นต้องจำกฎทั้งหมด แค่เพียงกฎเดียวเท่านั้น: c(a−b)=ca−cb ทำไม เพราะถ้าเราแทนที่หนึ่งแทน c เราจะได้รับกฎ (a−b)=a−b และถ้าเราแทนลบหนึ่ง เราจะได้กฎ −(a−b)=−a+b ถ้าคุณเปลี่ยนวงเล็บอื่นแทน c คุณจะได้กฎข้อสุดท้าย

ขยายวงเล็บเมื่อหาร

หากมีเครื่องหมายหารหลังวงเล็บ ตัวเลขแต่ละตัวในวงเล็บจะถูกหารด้วยตัวหารหลังวงเล็บ และในทางกลับกัน

ตัวอย่าง. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

วิธีขยายวงเล็บซ้อน

หากนิพจน์มีวงเล็บที่ซ้อนกัน วงเล็บจะถูกขยายตามลำดับ โดยเริ่มจากภายนอกหรือภายใน

ในเวลาเดียวกัน เมื่อเปิดวงเล็บปีกกาอันใดอันหนึ่ง เป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่แตะต้องวงเล็บอื่น ๆ เพียงเขียนใหม่ตามที่เป็นอยู่

ตัวอย่าง. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

ไม่ใช่ทุกสมการที่มีวงเล็บจะแก้ด้วยวิธีเดียวกัน แน่นอน ส่วนใหญ่มักจะต้องเปิดวงเล็บและให้คำที่คล้ายกัน (แต่วิธีการเปิดวงเล็บต่างกัน) แต่บางครั้งคุณไม่จำเป็นต้องเปิดวงเล็บ ลองพิจารณากรณีเหล่านี้ทั้งหมดด้วยตัวอย่างเฉพาะ:

1. 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16)
2. 2x - 3(x + 5) = -12
3. (x + 1)(7x - 21) = 0

การแก้สมการด้วยการเปิดวงเล็บ

วิธีการแก้สมการนี้เป็นวิธีที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด แต่ถึงแม้จะมีความเป็นสากลที่ชัดเจนทั้งหมด แต่ก็แบ่งออกเป็นชนิดย่อยขึ้นอยู่กับวิธีการเปิดวงเล็บ

1) คำตอบของสมการ 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16)

ในสมการนี้มีเครื่องหมายลบและบวกอยู่หน้าวงเล็บ หากต้องการเปิดวงเล็บในกรณีแรกซึ่งนำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ เครื่องหมายทั้งหมดภายในวงเล็บควรกลับด้าน วงเล็บคู่ที่สองนำหน้าด้วยเครื่องหมายบวก ซึ่งจะไม่ส่งผลต่อเครื่องหมายในวงเล็บ จึงสามารถละเว้นได้ เราได้รับ:

5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16

เราโอนเทอมด้วย x ไปทางด้านซ้ายของสมการ และที่เหลือไปทางขวา (เครื่องหมายของเทอมที่โอนจะเปลี่ยนไปทางตรงข้าม):

5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

ในการหาตัวประกอบที่ไม่รู้จัก x ให้หารผลคูณ 18 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 6:

x \u003d 18 / 6 \u003d 3

2) คำตอบของสมการ 2x - 3(x + 5) = -12

ในสมการนี้ คุณต้องเปิดวงเล็บก่อน แต่ใช้คุณสมบัติการกระจาย: เพื่อคูณ -3 ด้วยผลรวม (x + 5) คุณควรคูณ -3 ด้วยแต่ละเทอมในวงเล็บและเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้:

2x - 3x - 15 = -12

x = 3 / (-1) = 3

การแก้สมการโดยไม่เปิดวงเล็บ

สมการที่สาม (x + 1) (7x - 21) \u003d 0 สามารถแก้ไขได้โดยการเปิดวงเล็บ แต่ในกรณีเช่นนี้จะใช้คุณสมบัติการคูณได้ง่ายกว่ามาก: ผลิตภัณฑ์จะเป็นศูนย์เมื่อปัจจัยตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ . วิธี:

x + 1 = 0 หรือ 7x - 21 = 0