การเขียนเงื่อนไขของปัญหาโดยใช้สัญกรณ์ที่ยอมรับในวิชาคณิตศาสตร์ทำให้เกิดสิ่งที่เรียกว่านิพจน์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งเรียกง่ายๆ ว่านิพจน์ ในบทความนี้เราจะพูดถึงรายละเอียดเกี่ยวกับ นิพจน์ตัวเลข ตัวอักษร และตัวแปร: เราจะให้คำจำกัดความและยกตัวอย่างการแสดงออกของแต่ละประเภท
การนำทางหน้า
นิพจน์ตัวเลข - มันคืออะไร?
ความคุ้นเคยกับการแสดงออกทางตัวเลขเริ่มต้นเกือบตั้งแต่บทเรียนแรกสุดของคณิตศาสตร์ แต่ชื่อของพวกเขา - นิพจน์ตัวเลข - พวกเขาได้มาในภายหลังเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น หากคุณปฏิบัติตามหลักสูตรของ M. I. Moro สิ่งนี้จะเกิดขึ้นบนหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 มีการแสดงนิพจน์ตัวเลขดังนี้: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1, เป็นต้น - มันคือทั้งหมด นิพจน์ตัวเลขและหากเราดำเนินการตามที่ระบุในนิพจน์ เราจะพบ ค่าการแสดงออก.
สรุปได้ว่าในขั้นนี้ของการศึกษาคณิตศาสตร์ นิพจน์เชิงตัวเลขเรียกว่าเร็กคอร์ดที่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยตัวเลข วงเล็บ และเครื่องหมายของการบวกและการลบ
หลังจากทำความคุ้นเคยกับการคูณและการหารแล้ว รายการของนิพจน์ตัวเลขจะเริ่มมีเครื่องหมาย "·" และ ":" นี่คือตัวอย่างบางส่วน: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 เป็นต้น
และในโรงเรียนมัธยมปลาย ความหลากหลายของรายการสำหรับการแสดงออกทางตัวเลขก็เติบโตขึ้นเหมือนก้อนหิมะกลิ้งลงมาจากภูเขา เศษส่วนร่วมและทศนิยม จำนวนคละและจำนวนลบ ยกกำลัง ราก ลอการิทึม ไซน์ โคไซน์ และอื่นๆ ปรากฏขึ้น
มาสรุปข้อมูลทั้งหมดในคำจำกัดความของนิพจน์ตัวเลข:
คำนิยาม.
นิพจน์ตัวเลขคือการรวมกันของตัวเลข เครื่องหมายของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ จังหวะเศษส่วน สัญญาณราก (รากศัพท์) ลอการิทึม สัญกรณ์ตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติผกผัน และฟังก์ชันอื่นๆ รวมทั้งวงเล็บและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษอื่นๆ ที่รวบรวมตามกฎที่ยอมรับใน คณิตศาสตร์.
ให้เราอธิบายส่วนประกอบทั้งหมดของคำจำกัดความที่เปล่งออกมา
ตัวเลขใดๆ ก็ตามสามารถมีส่วนร่วมในนิพจน์เชิงตัวเลขได้ ตั้งแต่ธรรมชาติจนถึงจำนวนจริง หรือแม้แต่ซับซ้อน นั่นคือในนิพจน์ตัวเลขเราสามารถพบ
ทุกอย่างชัดเจนด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการเลขคณิต - นี่คือสัญญาณของการบวก การลบ การคูณ และการหาร ตามลำดับ โดยมีรูปแบบ "+", "−", "·" และ ":" ในนิพจน์ตัวเลข อาจมีอักขระตัวใดตัวหนึ่งเหล่านี้ บางตัวหรือทั้งหมดพร้อมกันและมากกว่าหนึ่งครั้ง นี่คือตัวอย่างของนิพจน์ตัวเลขที่มี: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12-1/12.
สำหรับวงเล็บ มีทั้งนิพจน์ตัวเลขที่มีวงเล็บและนิพจน์ที่ไม่มี หากมีวงเล็บในนิพจน์ตัวเลข โดยทั่วไปแล้วจะเป็น
และบางครั้งวงเล็บในนิพจน์ตัวเลขก็มีวัตถุประสงค์พิเศษเฉพาะเจาะจงซึ่งระบุแยกไว้ต่างหาก ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหาวงเล็บเหลี่ยมที่แสดงส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขได้ ดังนั้น นิพจน์ตัวเลข+2 หมายความว่าเลข 2 ถูกบวกเข้ากับส่วนจำนวนเต็มของ 1.75
จากคำจำกัดความของนิพจน์ตัวเลข เป็นที่ชัดเจนว่านิพจน์สามารถประกอบด้วย , , log , ln , lg , การกำหนดหรือ ฯลฯ ต่อไปนี้คือตัวอย่างนิพจน์ตัวเลขที่มี: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 และ 
.
การหารในนิพจน์ตัวเลขสามารถแสดงด้วย . ในกรณีนี้ มีนิพจน์ตัวเลขที่มีเศษส่วน นี่คือตัวอย่างของนิพจน์ดังกล่าว: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 และ 
.
ในฐานะที่เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษและสัญกรณ์ที่สามารถพบได้ในนิพจน์ตัวเลข เราให้ ตัวอย่างเช่น ให้แสดงนิพจน์ตัวเลขด้วยโมดูลัส 
.
นิพจน์ตามตัวอักษรคืออะไร?
แนวคิดของนิพจน์ตามตัวอักษรจะได้รับเกือบจะในทันทีหลังจากทำความคุ้นเคยกับนิพจน์ตัวเลข เข้าแบบนี้. ในนิพจน์ตัวเลขบางตัวเลข ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งไม่ได้ถูกจดไว้ แต่มีวงกลม (หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือสิ่งที่คล้ายกัน) มาแทนที่ และว่ากันว่าตัวเลขบางตัวสามารถใช้แทนวงกลมได้ ลองมาดูรายการเป็นตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น หากคุณใส่ตัวเลข 2 แทนที่จะเป็นสี่เหลี่ยม คุณจะได้นิพจน์ตัวเลข 3 + 2 ดังนั้นแทนที่จะเป็นวงกลม สี่เหลี่ยม ฯลฯ ตกลงที่จะเขียนจดหมายและนิพจน์ดังกล่าวด้วยตัวอักษรเรียกว่า นิพจน์ตามตัวอักษร. กลับไปที่ตัวอย่างของเรา ถ้าในรายการนี้แทนที่จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราใส่ตัวอักษร a แล้วเราจะได้นิพจน์ตามตัวอักษรของรูปแบบ 3+a
ดังนั้น หากเราอนุญาตให้นิพจน์ตัวเลขมีตัวอักษรที่แสดงถึงตัวเลขบางตัวในนิพจน์ตัวเลข เราก็จะได้นิพจน์ตามตัวอักษรที่เรียกว่า ให้เราให้คำจำกัดความที่เหมาะสม
คำนิยาม.
นิพจน์ที่มีตัวอักษรที่แสดงตัวเลขบางตัวเรียกว่า การแสดงออกตามตัวอักษร.
จาก นิยามนี้เป็นที่ชัดเจนว่าโดยพื้นฐานแล้ว นิพจน์ตามตัวอักษรแตกต่างจากนิพจน์ตัวเลขตรงที่สามารถมีตัวอักษรได้ โดยปกติในนิพจน์ตามตัวอักษรจะใช้อักษรตัวเล็กของอักษรละติน (a, b, c, ...) และเมื่อแสดงมุม อักษรตัวเล็กของอักษรกรีก (α, β, γ, ...)
ดังนั้น นิพจน์ตามตัวอักษรจึงประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร และมีสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่สามารถพบได้ในนิพจน์ตัวเลข เช่น วงเล็บ เครื่องหมายราก ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และฟังก์ชันอื่นๆ เป็นต้น แยกจากกัน เราเน้นว่านิพจน์ตามตัวอักษรประกอบด้วยตัวอักษรอย่างน้อยหนึ่งตัว แต่สามารถมีตัวอักษรที่เหมือนกันหรือต่างกันได้หลายตัว
ตอนนี้เรายกตัวอย่างของนิพจน์ตามตัวอักษร ตัวอย่างเช่น a+b คือนิพจน์ตามตัวอักษรที่มีตัวอักษร a และ b นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของนิพจน์ตามตัวอักษร 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5 และเราให้ตัวอย่างของนิพจน์ตามตัวอักษร ประเภทที่ซับซ้อน: 
.
นิพจน์ที่มีตัวแปร
หากในนิพจน์ตามตัวอักษร จดหมายแสดงถึงค่าที่ไม่ใช้กับค่าใดค่าหนึ่ง แต่สามารถรับค่าที่ต่างกันได้ จดหมายนี้จะเรียกว่า ตัวแปรและนิพจน์นี้เรียกว่า นิพจน์ตัวแปร.
คำนิยาม.
นิพจน์ด้วยตัวแปรเป็นนิพจน์ตามตัวอักษรซึ่งตัวอักษร (ทั้งหมดหรือบางส่วน) หมายถึงปริมาณที่ใช้ค่าต่างๆ
ตัวอย่างเช่น ให้ในนิพจน์ x 2 -1 ตัวอักษร x สามารถใช้ค่าธรรมชาติใดๆ จากช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 10 จากนั้น x จะเป็นตัวแปร และนิพจน์ x 2 -1 คือนิพจน์ที่มีตัวแปร x
เป็นที่น่าสังเกตว่าในนิพจน์สามารถมีตัวแปรได้หลายตัว ตัวอย่างเช่น หากเราถือว่า x และ y เป็นตัวแปร ดังนั้นนิพจน์ 
เป็นนิพจน์ที่มีสองตัวแปร x และ y
โดยทั่วไป การเปลี่ยนจากแนวคิดของนิพจน์ตามตัวอักษรไปเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรเกิดขึ้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อพวกเขาเริ่มเรียนพีชคณิต ถึงจุดนี้ นิพจน์ตามตัวอักษรได้จำลองงานเฉพาะบางอย่าง ในพีชคณิต พวกเขาเริ่มมองนิพจน์ทั่วไปมากขึ้น โดยไม่ต้องเชื่อมโยงกับงานใดงานหนึ่ง โดยเข้าใจว่านิพจน์นี้เหมาะกับงานจำนวนมาก
โดยสรุปของย่อหน้านี้ ให้เราใส่ใจกับอีกประเด็นหนึ่ง: โดยลักษณะของนิพจน์ตามตัวอักษร มันเป็นไปไม่ได้ที่จะรู้ว่าตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้นเป็นตัวแปรหรือไม่ ดังนั้นจึงไม่มีสิ่งใดขัดขวางไม่ให้เราพิจารณาตัวอักษรเหล่านี้เป็นตัวแปร ในกรณีนี้ ความแตกต่างระหว่างคำว่า "นิพจน์ตามตัวอักษร" และ "นิพจน์ที่มีตัวแปร" จะหายไป
บรรณานุกรม.
- คณิตศาสตร์. 2 เซลล์ Proc. เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบันที่มี adj. ไปเป็นอิเล็กตรอน ผู้ให้บริการ. เวลา 2 นาฬิกา ตอนที่ 1 / [ม. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova และคนอื่นๆ] - ฉบับที่ 3 - อ.: กศน. 2555 - 96 น. ป่วย - (โรงเรียนรัสเซีย). - ไอ 978-5-09-028297-0.
- คณิตศาสตร์: การศึกษา สำหรับ 5 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ไอเอสบีเอ็น 5-346-00699-0
- พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 7 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 17 - ม. : การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3
- พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุผลนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุตัวบุคคลหรือติดต่อเขาได้
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา
ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:
- เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความที่สำคัญถึงคุณ
- เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- ในกรณีที่มีความจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมหรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง
การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร เทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
หัวข้อวิชาเลือก
การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร
ปริมาณ 34 ชั่วโมง
ครูคณิตศาสตร์ชั้นสูง
บันทึกความเข้าใจ "มัธยมศึกษาปีที่ 51"
Saratov, 2008
โปรแกรมวิชาเลือก
"การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร"
หมายเหตุอธิบาย
ที่ ปีที่แล้วการสอบปลายภาคในโรงเรียนเช่นเดียวกับการสอบเข้าในมหาวิทยาลัยจะดำเนินการโดยใช้การทดสอบ แบบทดสอบนี้แตกต่างจากแบบทดสอบทั่วไปและต้องมีการเตรียมการเฉพาะ ลักษณะของการทดสอบในรูปแบบที่พัฒนาจนถึงปัจจุบันคือความต้องการที่จะตอบสนองต่อ จำนวนมากของคำถามในระยะเวลาที่จำกัด กล่าวคือ ไม่เพียงต้องตอบคำถามที่โพสต์เท่านั้น แต่ยังต้องดำเนินการอย่างรวดเร็วด้วย ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะเชี่ยวชาญ ทริคต่างๆ, วิธีการที่ช่วยให้คุณบรรลุผลตามที่ต้องการ
ในการแก้ปัญหาในโรงเรียนเกือบทุกอย่าง คุณต้องทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง บ่อยครั้ง ความซับซ้อนถูกกำหนดโดยระดับของความซับซ้อนและจำนวนการแปลงที่ต้องทำ ไม่ใช่เรื่องแปลกที่นักเรียนจะไม่สามารถแก้ปัญหาได้ ไม่ใช่เพราะเขาไม่รู้ว่าจะแก้ปัญหาอย่างไร แต่เพราะเขาไม่สามารถแปลงและคำนวณที่จำเป็นทั้งหมดได้ในเวลาที่เหมาะสมโดยไม่มีข้อผิดพลาด
วิชาเลือก "การแปลงตัวเลขและนิพจน์ตัวอักษร" ขยายและขยายโปรแกรมพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายและได้รับการออกแบบมาเพื่อการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 หลักสูตรที่นำเสนอนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อพัฒนาทักษะการคำนวณและความเฉียบแหลมในการคิด หลักสูตรนี้ออกแบบมาสำหรับนักเรียนที่มีการฝึกอบรมคณิตศาสตร์ระดับสูงหรือปานกลาง และได้รับการออกแบบมาเพื่อช่วยให้พวกเขาเตรียมความพร้อมสำหรับการเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัย เพื่อสนับสนุนการศึกษาทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจังต่อไป
เป้าหมายและวัตถุประสงค์:
การจัดระบบ ลักษณะทั่วไป และการขยายความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับตัวเลขและการกระทำกับพวกเขา
การพัฒนาความเป็นอิสระ ความคิดสร้างสรรค์ และ ความสนใจทางปัญญานักเรียน;
การก่อตัวของความสนใจในกระบวนการคำนวณ
การปรับตัวของนักศึกษาให้เข้ากับกฎเกณฑ์ใหม่ในการเข้ามหาวิทยาลัย
ผลลัพธ์ที่คาดหวัง:
ความรู้เกี่ยวกับการจำแนกตัวเลข
พัฒนาทักษะและความสามารถในการนับอย่างรวดเร็ว
ความสามารถในการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาต่างๆ
แผนการศึกษาและเฉพาะเรื่อง
แผนคือ 34 ชั่วโมง มันถูกรวบรวมโดยคำนึงถึงหัวข้อของประกาศนียบัตรดังนั้นจึงพิจารณาสองส่วนที่แยกจากกัน: นิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครู การแสดงออกทางตัวอักษรสามารถพิจารณาร่วมกับตัวเลขในหัวข้อที่เกี่ยวข้องได้
จำนวนชั่วโมง |
||
นิพจน์ตัวเลข จำนวนทั้งหมด วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ สรุปตัวเลข เศษส่วนทศนิยม จำนวนอตรรกยะ รากและองศา ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ย้อนกลับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวเลขที่ซับซ้อน ทดสอบในหัวข้อ "นิพจน์ตัวเลข" การเปรียบเทียบนิพจน์ตัวเลข การแปลงนิพจน์ด้วยเครื่องหมายกรณฑ์ การแปลงการแสดงออกของพลังงาน การแปลงนิพจน์ลอการิทึม การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ สอบปลายภาค |
ตัวเลขทั้งหมด (4h)
แถวหมายเลข. ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต NOD และ NOC สัญญาณแบ่ง วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์
จำนวนตรรกยะ (2h)
นิยามของจำนวนตรรกยะ คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน สูตรคูณแบบย่อ. คำจำกัดความของเศษส่วนเป็นระยะ กฎการแปลงจากเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดา
จำนวนอตรรกยะ อนุมูล องศา ลอการิทึม (6h)
นิยามของจำนวนอตรรกยะ การพิสูจน์ความไร้เหตุผลของตัวเลข การกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน ตัวเลขจริง คุณสมบัติองศา คุณสมบัติ รากเลขคณิต องศาที่ n. นิยามของลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (4h)
วงกลมตัวเลข. ค่าตัวเลขของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพื้นฐาน การแปลงมุมจากองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน สูตรหล่อ. ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน การดำเนินการตรีโกณมิติในฟังก์ชันอาร์ค ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างฟังก์ชันส่วนโค้ง
ตัวเลขที่ซับซ้อน (2h)
แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินการกับ ตัวเลขเชิงซ้อน. รูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน
การทดสอบระดับกลาง (2 ชม.)
เปรียบเทียบนิพจน์ตัวเลข (4h)
ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขในชุด ตัวเลขจริง. คุณสมบัติ ความไม่เท่าเทียมกันทางตัวเลข. สนับสนุนความไม่เท่าเทียมกัน วิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลข
การแสดงออกของตัวอักษร (8h)
กฎสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยตัวแปร: พหุนาม; เศษส่วนพีชคณิต การแสดงออกที่ไม่ลงตัว ตรีโกณมิติและนิพจน์อื่น ๆ การพิสูจน์ตัวตนและความไม่เท่าเทียมกัน ลดความซับซ้อนของนิพจน์
1 ส่วนของวิชาเลือก: "นิพจน์ตัวเลข"
กิจกรรม 1(2 ชั่วโมง)
หัวข้อบทเรียน: จำนวนทั้งหมด
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:สรุปและจัดระบบความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับตัวเลข ระลึกถึงแนวคิดของ GCD และ NOC เพิ่มพูนความรู้เกี่ยวกับเครื่องหมายแบ่งแยก พิจารณาปัญหาที่แก้ไขเป็นจำนวนเต็ม
ระหว่างเรียน
ฉัน. บรรยายเบื้องต้น.
การจำแนกหมายเลข:
จำนวนเต็ม;
จำนวนทั้งหมด;
สรุปตัวเลข;
จำนวนจริง;
ตัวเลขที่ซับซ้อน
ความคุ้นเคยกับชุดตัวเลขที่โรงเรียนเริ่มต้นด้วยแนวคิดเรื่องจำนวนธรรมชาติ ตัวเลขที่ใช้ในการนับวัตถุเรียกว่า เป็นธรรมชาติ.เซตของจำนวนธรรมชาติเขียนแทนด้วย N ตัวเลขธรรมชาติแบ่งออกเป็นจำนวนเฉพาะและแบบประกอบ จำนวนเฉพาะมีตัวหารสองตัวเพียงตัวเดียวและตัวหารในขณะที่ตัวเลขประกอบมีตัวหารมากกว่าสองตัว ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตระบุ: "จำนวนธรรมชาติใดๆ ที่มากกว่า 1 สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ (ไม่จำเป็นต้องต่างกัน) และยิ่งไปกว่านั้น ในวิธีที่ไม่ซ้ำกัน (ขึ้นอยู่กับลำดับของปัจจัย)"
แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญอีกสองข้อเกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติ ได้แก่ ตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCM) แต่ละแนวคิดเหล่านี้กำหนดตัวเองจริงๆ การแก้ปัญหาต่าง ๆ อำนวยความสะดวกโดยสัญญาณของการแบ่งแยกซึ่งต้องจำไว้
เครื่องหมายของการหารด้วย2 . ตัวเลขหารด้วย 2 ลงตัวถ้าหลักสุดท้ายเป็นเลขคู่หรือ o
หารด้วย 4 เครื่องหมาย . ตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวถ้าสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัว
เครื่องหมายหารด้วย 8 ตัวเลขหารด้วย 8 ลงตัวถ้าสามหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 8 ลงตัว
เกณฑ์การหาร 3 และ 9 เฉพาะตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้นที่หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งผลรวมของตัวเลขนั้นหารด้วย 3 ลงตัว คูณ 9 - เฉพาะที่ผลรวมของหลักหารด้วย 9 ลงตัว
เครื่องหมายหารด้วย 6 ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัวถ้าหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว
เครื่องหมายหารด้วย 5 . หารด้วย 5 คือตัวเลขที่มีหลักสุดท้ายคือ 0 หรือ 5
เครื่องหมายหารด้วย 25 หารด้วย 25 ลงตัวคือตัวเลขที่มีสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 25 ลงตัว
เครื่องหมายหารด้วย 10,100,1000. เฉพาะตัวเลขที่มีหลักสุดท้ายเป็น 0 เท่านั้นที่จะหารด้วย 10 ลงตัว เฉพาะตัวเลขที่มีสองหลักสุดท้ายเป็น 0 เท่านั้นที่จะหารด้วย 100 ลงตัว เฉพาะตัวเลขที่มีสามหลักสุดท้ายเป็น 0 เท่านั้นที่จะหารด้วย 1000 ลงตัว
เครื่องหมายหารด้วย 11 . เฉพาะตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้นที่หารด้วย 11 ลงตัว ซึ่งผลรวมของหลักที่มีตำแหน่งคี่จะเท่ากับผลรวมของหลักที่มีตำแหน่งคู่ หรือแตกต่างด้วยตัวเลขที่หารด้วย 11 ลงตัว
ในบทเรียนแรก เราจะดูตัวเลขธรรมชาติและจำนวนเต็ม ทั้งหมดตัวเลขเป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวเลขตรงข้ามและศูนย์ เซตของจำนวนเต็มแสดงโดย Z
II. การแก้ปัญหา.
ตัวอย่าง 1. แยกตัวประกอบ: ก) 899; ข) 1000027
วิธีแก้ปัญหา: ก) ;
b) ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา GCD ของตัวเลข 2585 และ 7975
วิธีแก้ปัญหา: ลองใช้อัลกอริทึม Euclid:
หาก https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;
https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">
220 |165 -
165|55 -
คำตอบ: gcd(2585,7975) = 55.
ตัวอย่างที่ 3 คำนวณ:
วิธีแก้ไข: = 1987100011989 ผลิตภัณฑ์ที่สองมีค่าเท่ากัน ดังนั้น ผลต่างคือ 0
ตัวอย่าง 4. ค้นหาหมายเลข GCD และ LCM ก) 5544 และ 1404; ข) 198, 504 และ 780
คำตอบ: ก) 36; 49896; ข) 6; 360360.
ตัวอย่าง 5. จงหาผลหารและเศษเหลือเมื่อหาร
ก) 5 ถึง 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;
c) -529 ถึง (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;
จ) 256 ถึง (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">
วิธีแก้ปัญหา: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">
ข) 
วิธีแก้ปัญหา: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">
ตัวอย่าง 7..gif" width="67" height="27 src="> by 17.
วิธีแก้ปัญหา: มาป้อนเรคคอร์ดกันเถอะ 
ซึ่งหมายความว่าเมื่อหารด้วย m ตัวเลข a, b, c, ... d จะให้เศษที่เหลือเท่ากัน
ดังนั้นสำหรับ k ตามธรรมชาติใดๆ จะมี
แต่ 1989=16124+5 วิธี,
คำตอบ: ส่วนที่เหลือคือ 12
ตัวอย่างที่ 8 หาจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 10 ซึ่งเมื่อหารด้วย 24, 45 และ 56 จะได้เศษเหลือ 1
คำตอบ: LCM(24;45;56)+1=2521.
ตัวอย่าง 9. จงหาจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 7 ลงตัว และเมื่อหารด้วย 3 แล้ว 4 และ 5 จะได้เศษเหลือ 1
คำตอบ: 301. คำแนะนำ ในบรรดาตัวเลขของรูปแบบ 60k + 1 คุณต้องหาจำนวนที่น้อยที่สุดหารด้วย 7; เค = 5.
ตัวอย่าง 10. กำหนดให้ 23 หลักหนึ่งหลักทางขวาและทางซ้ายเพื่อให้ตัวเลขสี่หลักที่ได้นั้นหารด้วย 9 และ 11 ลงตัว
คำตอบ: 6237
ตัวอย่างที่ 11. กำหนดตัวเลขสามหลักที่ด้านหลังของตัวเลขเพื่อให้จำนวนผลลัพธ์หารด้วย 7, 8 และ 9 ลงตัว
คำตอบ: 304 หรือ 808. ข้อบ่งชี้ จำนวนที่หารด้วย = 789) ให้เหลือ 200 ดังนั้น หากคุณบวก 304 หรือ 808 เข้าไป จะถูกหารด้วย 504
ตัวอย่าง 12. เป็นไปได้ไหมที่จะจัดเรียงตัวเลขใหม่เป็นตัวเลขสามหลักหารด้วย 37 เพื่อให้จำนวนผลลัพธ์หารด้วย 37 ลงตัว?
คำตอบ: คุณสามารถ หมายเหตุ..gif" width="61" height="24"> หารด้วย 37 ลงตัวเช่นกัน เรามี A = 100a + 10b + c = 37k ดังนั้น c = 37k -100a - 10b จากนั้น B = 100b + 10c + a = 100b + k - 100a - 10b) + a \u003d 370k - 999a นั่นคือ B หารด้วย 37 ลงตัว
ตัวอย่างที่ 13 จงหาจำนวนนั้น เมื่อหารด้วยจำนวนที่ 1108, 1453, 1844 และ 2281 ให้เศษที่เหลือเท่ากัน
คำตอบ: 23. ข้อบ่งชี้ ผลต่างของตัวเลขสองตัวใด ๆ ที่กำหนดจะหารด้วยจำนวนที่ต้องการ ซึ่งหมายความว่าตัวหารร่วมใดๆ ของความแตกต่างของข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่ไม่ใช่ 1 เหมาะสำหรับเรา
ตัวอย่าง 14. แทน 19 เป็นผลต่างของลูกบาศก์ของจำนวนธรรมชาติ
ตัวอย่าง 15. ค่ากำลังสองของจำนวนธรรมชาติเท่ากับผลคูณของเลขคี่สี่ตัวติดกัน หาเลขนี้.
ตอบ: 
.
ตัวอย่าง 16..gif" width="115" height="27"> หารด้วย 10 ไม่ลงตัว
คำตอบ: ก) ทิศทาง เมื่อจัดกลุ่มคำแรกและคำสุดท้าย คำที่สองและสุดท้าย ฯลฯ ให้ใช้สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์
ข) สิ่งบ่งชี้..gif" width="120" height="20">
4) ค้นหาคู่ของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่มี GCD เป็น 5 และ LCM คือ 105
คำตอบ: 5, 105 หรือ 15, 35
กิจกรรม 2(2 ชั่วโมง)
หัวข้อบทเรียน:วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:พิจารณาข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการการพิสูจน์ แนะนำนักเรียนให้รู้จักวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ พัฒนาความคิดเชิงตรรกะ
ระหว่างเรียน
ฉัน. ตรวจการบ้าน.
II. คำอธิบายของวัสดุใหม่
ที่ หลักสูตรโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์พร้อมกับงาน "ค้นหาคุณค่าของนิพจน์" มีงานในรูปแบบ: "พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน" วิธีการที่เป็นสากลที่สุดวิธีหนึ่งในการพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีคำว่า "สำหรับ n ตามธรรมชาติโดยพลการ" ปรากฏขึ้นคือวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์
หลักฐานที่ใช้วิธีนี้ประกอบด้วยสามขั้นตอนเสมอ:
1) พื้นฐานของการเหนี่ยวนำ ตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n = 1
ในบางกรณี ในการเริ่มการปฐมนิเทศ คุณต้องตรวจสอบหลายๆ อย่าง
ค่าเริ่มต้น
2) สมมติฐานของการเหนี่ยวนำ คำสั่งนี้ถือว่าเป็นจริงสำหรับ any
3) ขั้นตอนอุปนัย เราพิสูจน์ความถูกต้องของการยืนยันสำหรับ
ดังนั้น เริ่มต้นจาก n = 1 บนพื้นฐานของขั้นตอนอุปนัยที่พิสูจน์แล้ว เราได้รับความถูกต้องของการยืนยันที่พิสูจน์แล้วสำหรับ
n =2, 3,…t. e. สำหรับ n ใด ๆ
มาดูตัวอย่างกัน
ตัวอย่างที่ 1: พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ 
หารด้วย 7 ลงตัว
หลักฐาน: Denote 
.
ขั้นตอนที่ 1..gif" width="143" height="37 src="> หารด้วย 7 ลงตัว
ขั้นตอนที่ 3..gif" width="600" height="88">
เลขตัวสุดท้ายหารด้วย 7 ลงตัว เพราะมันคือผลต่างระหว่างจำนวนเต็มสองตัวหารด้วย 7 ลงตัว
ตัวอย่างที่ 2: พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">
https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> ได้รับจาก 
แทนที่ n ด้วย k = 1
สาม. การแก้ปัญหา
ในบทเรียนแรก จากงานด้านล่าง (ฉบับที่ 1-3) หลายรายการได้รับการคัดเลือกเพื่อแก้ปัญหาตามดุลยพินิจของครูเพื่อวิเคราะห์บนกระดาน บทเรียนที่สองเกี่ยวข้องกับ№ 4.5; จัดขึ้น งานอิสระจาก #1-3; ข้อเสนอหมายเลข 6 เป็นข้อเสนอเพิ่มเติมโดยมีการตัดสินใจที่บังคับบนกระดาน
1) พิสูจน์ว่า a) หารด้วย 83 ลงตัว;
b) หารด้วย 13 ลงตัว;
c) หารด้วย 20801 ลงตัว
2) พิสูจน์ว่าสำหรับ n ตามธรรมชาติใด ๆ :
ก) 
หารด้วย 120 ลงตัว;
ข) 
หารด้วย 27 ลงตัว;
ใน) 
หารด้วย 84;
ช) 
หารด้วย 169 ลงตัว;
จ) 
หารด้วย 8 ลงตัว;
f) หารด้วย 8 ลงตัว;
g) หารด้วย 16 ลงตัว;
ชม) 
หารด้วย 49;
และ) 
หารด้วย 41 ลงตัว;
ถึง) 
หารด้วย 23 ลงตัว;
ล) 
หารด้วย 13 ลงตัว;
ม.) 
แบ่งโดย .
3) พิสูจน์ว่า:
ช) 
;
4) ส่งออกสูตรผลรวม https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">
6) พิสูจน์ว่าผลรวมของสมาชิกในแต่ละแถวของตาราง
…………….
เท่ากับกำลังสองของเลขคี่ที่มีตัวเลขในแถวเท่ากับเลขแถวตั้งแต่ต้นตาราง
คำตอบและคำแนะนำ
1) ลองใช้รายการที่แนะนำในตัวอย่างที่ 4 ของบทเรียนก่อนหน้านี้
ก) . จึงหารด้วย 83 . ลงตัว 
.
ข) เพราะ 
, แล้ว ;
. เพราะฉะนั้น, 
.
c) เนื่องจาก จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าจำนวนที่กำหนดนั้นหารด้วย 11, 31 และ 61..gif" width="120" height="32 src="> ลงตัว การหารด้วย 11 และ 31 ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน
2) ก) ให้เราพิสูจน์ว่าพจน์นี้หารด้วย 3, 8, 5. การหารด้วย 3 ลงตัวตามความจริงที่ว่า 
และจากตัวเลขธรรมชาติสามตัวที่เรียงกัน หนึ่งตัวหารด้วย 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src="> ลงตัว ในการตรวจสอบการหารด้วย 5 ก็เพียงพอที่จะพิจารณาค่า n=0,1,2,3,4
นิพจน์ตามตัวอักษร (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร และเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น นิพจน์ต่อไปนี้เป็นตัวอักษร:
a+b+4
คุณสามารถเขียนกฎ สูตร สมการ และฟังก์ชันโดยใช้นิพจน์ตามตัวอักษรได้ ความสามารถในการจัดการนิพจน์ตามตัวอักษรคือกุญแจสู่ความรู้ที่ดีเกี่ยวกับพีชคณิตและคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้น
ปัญหาร้ายแรงในวิชาคณิตศาสตร์เกิดจากการแก้สมการ และเพื่อให้สามารถแก้สมการได้ คุณต้องสามารถทำงานกับนิพจน์ตามตัวอักษรได้
ในการทำงานกับนิพจน์ตามตัวอักษร คุณต้องศึกษาเลขคณิตพื้นฐานให้ดี: การบวก การลบ การคูณ การหาร กฎพื้นฐานของคณิตศาสตร์ เศษส่วน การดำเนินการกับเศษส่วน สัดส่วน และไม่ใช่แค่เพื่อศึกษา แต่ต้องเข้าใจอย่างถ่องแท้
เนื้อหาบทเรียนตัวแปร
ตัวอักษรที่มีอยู่ในนิพจน์ที่เรียกว่า ตัวแปร. ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ a+b+ 4 ตัวแปรคือตัวอักษร เอและ ข. หากแทนตัวแปรเหล่านี้ เราแทนตัวเลขใดๆ แล้วนิพจน์ตามตัวอักษร a+b+ 4 จะกลายเป็นนิพจน์ตัวเลข ซึ่งสามารถหาค่าได้
ตัวเลขที่ใช้แทนตัวแปรเรียกว่า ค่าตัวแปร. ตัวอย่างเช่น ลองเปลี่ยนค่าของตัวแปร เอและ ข. ใช้เครื่องหมายเท่ากับเพื่อเปลี่ยนค่า
ก = 2, ข = 3
เราได้เปลี่ยนค่าของตัวแปร เอและ ข. ตัวแปร เอมีค่า 2 , ตัวแปร ขมีค่า 3 . เป็นผลให้นิพจน์ตามตัวอักษร a+b+4แปลงเป็นนิพจน์ตัวเลขปกติ 2+3+4 ซึ่งสามารถหาค่าได้:
เมื่อคูณตัวแปร จะถูกเขียนรวมกัน ตัวอย่างเช่น รายการ อะบีมีความหมายเดียวกับรายการ ก x ข. ถ้าเราแทนค่าตัวแปร เอและ ขตัวเลข 2 และ 3 จากนั้นเราจะได้ 6
คุณยังสามารถเขียนการคูณตัวเลขด้วยนิพจน์ในวงเล็บร่วมกันได้ ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็น a×(b + c)เขียนได้ ก (b + ค). ใช้กฎการกระจายของการคูณ เราได้รับ a(b + c)=ab+ac.
อัตราต่อรอง
ในนิพจน์ตามตัวอักษร คุณมักจะพบสัญกรณ์ที่มีการเขียนตัวเลขและตัวแปรร่วมกัน ตัวอย่างเช่น 3a. อันที่จริง นี่เป็นชวเลขสำหรับการคูณตัวเลข 3 ด้วยตัวแปร เอและรายการนี้ดูเหมือน 3×a .
กล่าวอีกนัยหนึ่งนิพจน์ 3aเป็นผลคูณของจำนวน 3 และตัวแปร เอ. ตัวเลข 3 ในงานนี้เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์. สัมประสิทธิ์นี้แสดงว่าตัวแปรจะเพิ่มขึ้นกี่ครั้ง เอ. นิพจน์นี้สามารถอ่านได้ว่า " เอสามครั้งหรือสามครั้ง เอ" หรือ "เพิ่มค่าของตัวแปร เอสามครั้ง" แต่ส่วนใหญ่มักอ่านว่า "สาม เอ«
ตัวอย่างเช่น ถ้าตัวแปร เอเท่ากับ 5 แล้วค่าของนิพจน์ 3aจะเท่ากับ 15
3 x 5 = 15
การพูด ภาษาธรรมดาสัมประสิทธิ์คือตัวเลขที่อยู่หน้าตัวอักษร (ก่อนตัวแปร)
สามารถมีตัวอักษรได้หลายตัว ตัวอย่างเช่น 5abc. สัมประสิทธิ์คือจำนวน 5 . สัมประสิทธิ์นี้แสดงว่าผลคูณของตัวแปร abcเพิ่มขึ้นห้าเท่า นิพจน์นี้สามารถอ่านได้ว่า " abcห้าครั้ง" หรือ "เพิ่มมูลค่าของนิพจน์ abcห้าครั้ง" หรือ "ห้า abc «.
ถ้าแทนตัวแปร abcแทนที่ตัวเลข 2, 3 และ 4 ตามด้วยค่าของนิพจน์ 5abcจะเท่ากับ 120
5 x 2 x 3 x 4 = 120
คุณสามารถจินตนาการได้ว่าตัวเลข 2, 3 และ 4 คูณกันอย่างไรในตอนแรก และค่าผลลัพธ์เพิ่มขึ้นห้าเท่า:
เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์หมายถึงสัมประสิทธิ์เท่านั้น ไม่สามารถใช้กับตัวแปรได้
พิจารณานิพจน์ −6b. ลบหน้าสัมประสิทธิ์ 6 , ใช้เฉพาะกับสัมประสิทธิ์ 6 และไม่ใช้กับตัวแปร ข. การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้คุณไม่ทำผิดพลาดในอนาคตด้วยสัญญาณ
ค้นหาค่าของนิพจน์ −6bที่ ข = 3.
−6b −6×ข. เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ −6bในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร ข
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
ตัวอย่าง 2ค้นหาค่าของนิพจน์ −6bที่ ข = −5
มาเขียนนิพจน์กันเถอะ −6bในรูปแบบขยาย
−6b = −6 × b = −6 × (-5) = 30
ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์ −5a+ขที่ a = 3และ ข = 2
−5a+ขเป็นตัวย่อสำหรับ −5 × a + bดังนั้น เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ −5×a+ขในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร เอและ ข
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
บางครั้งตัวอักษรก็เขียนโดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ เช่น เอหรือ อะบี. ในกรณีนี้สัมประสิทธิ์คือหนึ่ง:
แต่หน่วยตามธรรมเนียมจะไม่เขียนลง ดังนั้นพวกเขาก็แค่เขียน เอหรือ อะบี
หากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าตัวอักษร สัมประสิทธิ์จะเป็นตัวเลข −1 . ตัวอย่างเช่น นิพจน์ -aจริงๆดูเหมือน -1a. นี่คือผลคูณของลบหนึ่งและตัวแปร ก.มันออกมาแบบนี้:
-1 × a = -1a
นี่เป็นเคล็ดลับเล็ก ๆ ในนิพจน์ -aลบก่อนตัวแปร เออันที่จริงหมายถึง "หน่วยที่มองไม่เห็น" ไม่ใช่ตัวแปร เอ. ดังนั้นในการแก้ปัญหาจึงควรระมัดระวัง
ตัวอย่างเช่น รับนิพจน์ -aและขอให้เราหาค่าของมันที่ a = 2ที่โรงเรียนเราแทนที่ deuce แทนตัวแปร เอแล้วได้คำตอบ −2 ไม่ได้เน้นว่ามันจะออกมาเป็นอย่างไร อันที่จริง มีการคูณลบหนึ่งด้วยจำนวนบวก 2
-a = -1 × a
-1 × a = -1 × 2 = −2
หากมีการแสดงนิพจน์ -aและจำเป็นต้องหาค่าที่ ก = −2, จากนั้นเราแทนที่ −2 แทนที่จะเป็นตัวแปร เอ
-a = -1 × a
-1 × a = -1 × (−2) = 2
เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด ในตอนแรกหน่วยที่มองไม่เห็นสามารถเขียนได้อย่างชัดเจน
ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์ abcที่ a=2 , b=3และ ค=4
การแสดงออก abc 1×a×b×c.เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ abc ก , ขและ ค
1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
ตัวอย่างที่ 5ค้นหาค่าของนิพจน์ abcที่ ก=−2 , ข=−3และ ค=−4
มาเขียนนิพจน์กันเถอะ abcในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร ก , ขและ ค
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
ตัวอย่างที่ 6ค้นหาค่าของนิพจน์ − abcที่ a=3 , b=5 และ c=7
การแสดงออก − abcเป็นตัวย่อสำหรับ -1×ก×ข×ค.เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ − abcในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร ก , ขและ ค
−abc = -1 × a × b × c = -1 × 3 × 5 × 7 = −105
ตัวอย่าง 7ค้นหาค่าของนิพจน์ − abcที่ a=−2 , b=−4 และ c=−3
มาเขียนนิพจน์กันเถอะ − abcขยาย:
−abc = -1 × a × b × c
แทนค่าของตัวแปร เอ , ขและ ค
−abc = -1 × a × b × c = -1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
วิธีการกำหนดสัมประสิทธิ์
บางครั้งจำเป็นต้องแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นต้องกำหนดสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ โดยหลักการแล้ว งานนี้ง่ายมาก ก็เพียงพอที่จะสามารถคูณตัวเลขได้อย่างถูกต้อง
ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์ คุณต้องแยกตัวเลขที่รวมอยู่ในนิพจน์นี้และคูณตัวอักษรแยกกัน ปัจจัยเชิงตัวเลขที่ได้จะเป็นสัมประสิทธิ์
ตัวอย่างที่ 1 7m×5a×(−3)×n
นิพจน์ประกอบด้วยปัจจัยหลายประการ สิ่งนี้สามารถเห็นได้อย่างชัดเจนหากนิพจน์ถูกเขียนในรูปแบบขยาย นั่นคือทำงาน 7mและ 5aเขียนในแบบฟอร์ม 7×mและ 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
เราใช้กฎการเชื่อมโยงของการคูณ ซึ่งช่วยให้เราสามารถคูณตัวประกอบในลำดับใดก็ได้ กล่าวคือคูณตัวเลขและคูณตัวอักษร (ตัวแปร) แยกกัน
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man
ค่าสัมประสิทธิ์คือ −105 . หลังจากเสร็จสิ้น ส่วนของตัวอักษรควรเรียงตามลำดับตัวอักษร:
−105 น.
ตัวอย่าง 2กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
ค่าสัมประสิทธิ์คือ 6
ตัวอย่างที่ 3กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์: 
มาคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:
สัมประสิทธิ์คือ -1 โปรดทราบว่าหน่วยจะไม่ถูกบันทึก เนื่องจากปกติแล้วค่าสัมประสิทธิ์ 1 จะไม่ถูกบันทึก
งานที่ดูเหมือนง่าย ๆ เหล่านี้สามารถเล่นเรื่องตลกที่โหดร้ายกับเราได้ บ่อยครั้งที่ปรากฎว่ามีการตั้งค่าเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ไม่ถูกต้อง: เครื่องหมายลบถูกละเว้นหรือในทางตรงกันข้ามมันถูกตั้งค่าอย่างไร้ประโยชน์ เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญเหล่านี้ จะต้องศึกษาในระดับดี
เงื่อนไขในนิพจน์ตามตัวอักษร
เมื่อคุณบวกตัวเลขหลายตัว คุณจะได้ผลรวมของตัวเลขเหล่านั้น ตัวเลขที่รวมกันเรียกว่าเงื่อนไข สามารถมีได้หลายคำ เช่น
1 + 2 + 3 + 4 + 5
เมื่อนิพจน์ประกอบด้วยพจน์ จะคำนวณได้ง่ายกว่ามาก เนื่องจากจะเพิ่มง่ายกว่าการลบ แต่นิพจน์สามารถประกอบด้วยการบวกไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการลบด้วยเช่น:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
ในนิพจน์นี้ ตัวเลข 3 และ 5 จะถูกลบออก ไม่มีการบวกเพิ่ม แต่ไม่มีอะไรป้องกันเราจากการแทนที่การลบด้วยการบวก จากนั้นเราจะได้นิพจน์ที่ประกอบด้วยเทอมอีกครั้ง:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
ไม่สำคัญว่าตอนนี้ตัวเลข -3 และ -5 จะเป็นเครื่องหมายลบ สิ่งสำคัญคือตัวเลขทั้งหมดในนิพจน์นี้เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายบวก กล่าวคือ นิพจน์เป็นผลรวม
ทั้งสองสำนวน 1 + 2 − 3 + 4 − 5 และ 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) มีค่าเท่ากัน - ลบหนึ่ง
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
ดังนั้นค่าของนิพจน์จะไม่ได้รับผลกระทบจากความจริงที่ว่าเราแทนที่การลบด้วยการบวกที่ไหนสักแห่ง
คุณยังสามารถแทนที่การลบด้วยการบวกในนิพจน์ตามตัวอักษร ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้:
7a + 6b - 3c + 2d - 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
สำหรับค่าตัวแปรใด ๆ เอบีซีดีและ สสำนวน 7a + 6b - 3c + 2d - 4s และ 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) จะมีค่าเท่ากัน
คุณต้องเตรียมพร้อมสำหรับความจริงที่ว่าครูที่โรงเรียนหรือครูในสถาบันสามารถเรียกคำศัพท์ได้แม้กระทั่งตัวเลข (หรือตัวแปร) ที่ไม่ใช่ตัวเลขเหล่านั้น
ตัวอย่างเช่น หากเขียนความแตกต่างไว้บนกระดาน a-b,แล้วอาจารย์จะไม่พูดอย่างนั้น เอเป็น minuend และ ข- หักได้ เขาจะเรียกตัวแปรทั้งสองว่าหนึ่ง คำทั่วไป — เงื่อนไข. และทั้งหมดเป็นเพราะการแสดงออกของรูปแบบ a-bนักคณิตศาสตร์เห็นว่าผลรวมเป็นอย่างไร a + (−b). ในกรณีนี้ นิพจน์จะกลายเป็นผลรวม และตัวแปร เอและ (−b)กลายเป็นส่วนประกอบ
คำที่คล้ายกัน
คำที่คล้ายกันเป็นคำที่มีส่วนของตัวอักษรเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ 7a + 6b + 2a. เงื่อนไข 7aและ 2aมีส่วนตัวอักษรเดียวกัน - ตัวแปร เอ. ดังนั้นเงื่อนไข 7aและ 2aมีความคล้ายคลึงกัน
โดยปกติ จะมีการเติมคำศัพท์เพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นหรือแก้สมการ การดำเนินการนี้เรียกว่า การลดเงื่อนไขการชอบ.
ในการนำพจน์ที่เหมือนกันมา คุณต้องบวกสัมประสิทธิ์ของเทอมเหล่านี้ แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนของตัวอักษรทั่วไป
ตัวอย่างเช่น เราให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 3a + 4a + 5a. ในกรณีนี้ ข้อกำหนดทั้งหมดจะคล้ายกัน เราเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป - โดยตัวแปร เอ
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5) ×a = 12a
เงื่อนไขดังกล่าวมักจะให้ไว้ในใจและผลลัพธ์จะถูกบันทึกไว้ทันที:
3a + 4a + 5a = 12a
นอกจากนี้ คุณสามารถโต้แย้งได้ดังนี้:
มี 3 ตัวแปร a อีก 4 ตัวแปร a และอีก 5 ตัวแปร a ถูกเพิ่มเข้าไป เป็นผลให้เราได้รับ 12 ตัวแปร a
มาลองพิจารณาตัวอย่างหลายๆ ตัวของการลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน เมื่อพิจารณาว่าหัวข้อนี้มีความสำคัญมาก ในตอนแรกเราจะจดรายละเอียดทั้งหมดอย่างละเอียด แม้ว่าทุกอย่างจะง่ายมากที่นี่ แต่คนส่วนใหญ่ทำผิดพลาดมากมาย ส่วนใหญ่เกิดจากการไม่ตั้งใจ ไม่ใช่ความไม่รู้
ตัวอย่างที่ 1 3เป็น + 2เป็น + 6เป็น + 8เอ
เราเพิ่มสัมประสิทธิ์ในนิพจน์นี้และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนของตัวอักษรทั่วไป:
3เป็น + 2เป็น + 6เป็น + 8ก=(3 + 2 + 6 + 8)× เป็ = 19เอ
การก่อสร้าง (3 + 2 + 6 + 8) × อาคุณไม่สามารถเขียนได้ดังนั้นเราจะเขียนคำตอบทันที
3 เป็น + 2 เป็น + 6 เป็น + 8 ก = 19 เอ
ตัวอย่าง 2นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 2a+a
เทอมที่สอง เอเขียนโดยไม่มีสัมประสิทธิ์ แต่จริงๆ แล้วมีสัมประสิทธิ์นำหน้าด้วย 1 ซึ่งเราไม่เห็นเพราะว่าไม่ได้บันทึก ดังนั้นนิพจน์จึงมีลักษณะดังนี้:
2a + 1a
ตอนนี้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน นั่นคือเราเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :
2a + a = 3a
2a+aคุณสามารถโต้แย้งได้อีกทางหนึ่ง:
ตัวอย่างที่ 3นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 2a - อะ
มาแทนที่การลบด้วยการบวก:
2a + (−a)
เทอมที่สอง (−ก)เขียนไม่มีสัมประสิทธิ์ แต่จริงๆ แล้วดูเหมือน (-1ก).ค่าสัมประสิทธิ์ −1 มองไม่เห็นอีกครั้งเนื่องจากไม่ได้บันทึก ดังนั้นนิพจน์จึงมีลักษณะดังนี้:
2a + (-1a)
ตอนนี้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราบวกสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:
2a + (-1a) = (2 + (-1)) × a = 1a = a
มักจะเขียนให้สั้นกว่า:
2a − a = a
นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 2a−aคุณสามารถโต้แย้งด้วยวิธีอื่น:
มี 2 ตัวแปร a ลบหนึ่งตัวแปร a ส่งผลให้มีตัวแปร a . เพียงตัวเดียว
ตัวอย่างที่ 4นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 6a - 3a + 4a - 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
ตอนนี้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราบวกค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = -1a = −a
ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :
6a - 3a + 4a - 8a = -a
มีนิพจน์ที่มีกลุ่มคำที่คล้ายคลึงกันหลายกลุ่ม ตัวอย่างเช่น, 3a + 3b + 7a + 2b. สำหรับนิพจน์ดังกล่าว จะใช้กฎเดียวกันกับส่วนที่เหลือ กล่าวคือ การเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนของตัวอักษรทั่วไป แต่เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด จะสะดวกที่จะขีดเส้นใต้กลุ่มคำต่างๆ ด้วยบรรทัดที่ต่างกัน
ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 3a + 3b + 7a + 2bคำเหล่านั้นที่มีตัวแปร เอสามารถขีดเส้นใต้ด้วยหนึ่งบรรทัด และคำเหล่านั้นที่มีตัวแปร ขสามารถขีดเส้นใต้ด้วยสองบรรทัด:
ตอนนี้เราสามารถนำเงื่อนไขที่เหมือนกันมา นั่นคือ บวกสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป สิ่งนี้จะต้องทำสำหรับคำศัพท์ทั้งสองกลุ่ม: สำหรับเงื่อนไขที่มีตัวแปร เอและสำหรับเงื่อนไขที่มีตัวแปร ข.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
เราขอย้ำอีกครั้งว่า นิพจน์นั้นเรียบง่าย และสามารถให้คำที่คล้ายกันในใจได้:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
ตัวอย่างที่ 5นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 5a - 6a - 7b + b
เราแทนที่การลบด้วยการบวกถ้าเป็นไปได้:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
ขีดเส้นใต้คำเหมือนที่มีบรรทัดต่างกัน ศัพท์ที่มีตัวแปร เอขีดเส้นใต้หนึ่งบรรทัดและคำที่มีตัวแปร ขขีดเส้นใต้ด้วยสองบรรทัด:
ตอนนี้เราสามารถนำเงื่อนไขที่เหมือนกันมา นั่นคือ บวกสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
หากนิพจน์มีตัวเลขธรรมดาที่ไม่มีตัวประกอบตามตัวอักษร จะถูกเพิ่มแยกกัน
ตัวอย่างที่ 6นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 4a + 3a − 5 + 2b + 7
มาแทนที่การลบด้วยการบวกถ้าเป็นไปได้:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
ให้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน ตัวเลข −5 และ 7 ไม่มีตัวประกอบตามตัวอักษร แต่เป็นคำที่คล้ายกัน คุณแค่ต้องบวกมันเข้าไป และคำว่า 2bจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากเป็นเพียงตัวเดียวในนิพจน์นี้ที่มีตัวประกอบตัวอักษร ขและไม่มีอะไรจะเพิ่มด้วย:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
สามารถสั่งซื้อข้อกำหนดเพื่อให้คำที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกันอยู่ในส่วนเดียวกันของนิพจน์
ตัวอย่าง 7นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 5t+2x+3x+5t+x
เนื่องจากนิพจน์เป็นผลรวมของคำศัพท์หลายคำ จึงช่วยให้เราประเมินค่าในลำดับใดก็ได้ ดังนั้นเงื่อนไขที่มีตัวแปร tสามารถเขียนขึ้นต้นนิพจน์ได้ และพจน์ที่มีตัวแปร xที่ส่วนท้ายของนิพจน์:
5t+5t+2x+3x+x
ตอนนี้เราสามารถเพิ่มคำที่ชอบได้:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
ผลรวมของจำนวนตรงข้ามเป็นศูนย์ กฎนี้ยังใช้ได้กับนิพจน์ตามตัวอักษรอีกด้วย หากนิพจน์มีคำศัพท์เหมือนกัน แต่มีเครื่องหมายตรงข้าม คุณสามารถกำจัดพวกมันได้ในขั้นตอนการลดคำศัพท์ที่คล้ายกัน พูดอีกอย่างก็คือ ปล่อยพวกมันออกจากนิพจน์เพราะผลรวมของพวกมันเป็นศูนย์
ตัวอย่างที่ 8นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 3t − 4t − 3t + 2t
มาแทนที่การลบด้วยการบวกถ้าเป็นไปได้:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
เงื่อนไข 3tและ (-3t)อยู่ตรงข้าม ผลรวมของพจน์ตรงข้ามเท่ากับศูนย์ ถ้าเราลบศูนย์นี้ออกจากนิพจน์ ค่าของนิพจน์จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นเราจะลบมันออก และเราจะลบออกโดยการลบเงื่อนไขตามปกติ 3tและ (-3t)
เป็นผลให้เราจะได้นิพจน์ (−4t) + 2t. ในนิพจน์นี้ คุณสามารถเพิ่มคำที่ชอบและรับคำตอบสุดท้ายได้:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :
การลดความซับซ้อนของนิพจน์
"ลดความซับซ้อนของนิพจน์" และต่อไปนี้คือนิพจน์ที่จะทำให้ง่ายขึ้น ลดความซับซ้อนของนิพจน์หมายถึงทำให้ง่ายขึ้นและสั้นลง
อันที่จริง เราได้จัดการกับการลดความซับซ้อนของนิพจน์เมื่อลดเศษส่วนแล้ว หลังจากการลดลง เศษส่วนจะสั้นลงและอ่านง่ายขึ้น
ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ลดความซับซ้อนของนิพจน์
งานนี้สามารถเข้าใจได้อย่างแท้จริงดังนี้: "ทำทุกอย่างที่ทำได้ด้วยสำนวนนี้ แต่ทำให้ง่ายขึ้น" .
ในกรณีนี้ คุณสามารถลดเศษส่วน กล่าวคือ หารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย 2:
ทำอะไรได้อีกบ้าง? คุณสามารถคำนวณเศษส่วนผลลัพธ์ จากนั้นเราจะได้ทศนิยม 0.5
เป็นผลให้เศษส่วนถูกลดรูปเป็น 0.5
คำถามแรกที่ถามตัวเองในการแก้ปัญหาดังกล่าวควรเป็น “จะทำอะไรได้” . เพราะมีบางสิ่งที่คุณสามารถทำได้และมีบางสิ่งที่คุณไม่สามารถทำได้
จุดสำคัญอีกประการหนึ่งที่ต้องจำไว้คือ ค่าของนิพจน์จะต้องไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากที่นิพจน์ถูกทำให้ง่ายขึ้น กลับไปที่นิพจน์ นิพจน์นี้เป็นส่วนที่สามารถทำได้ เมื่อทำการหารนี้ เราจะได้ค่าของนิพจน์นี้ ซึ่งเท่ากับ 0.5
แต่เราทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและได้รับนิพจน์ที่ลดความซับซ้อนใหม่ ค่าของนิพจน์แบบง่ายใหม่ยังคงเป็น 0.5
แต่เรายังพยายามทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นด้วยการคำนวณ ผลที่ได้คือคำตอบสุดท้ายคือ 0.5
ดังนั้น ไม่ว่าเราจะลดความซับซ้อนของนิพจน์อย่างไร ค่าของนิพจน์ที่ได้ก็จะยังคงเป็น 0.5 ซึ่งหมายความว่าการทำให้เข้าใจง่ายถูกดำเนินการอย่างถูกต้องในแต่ละขั้นตอน นี่คือสิ่งที่เราต้องพยายามเมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ - ความหมายของนิพจน์ไม่ควรได้รับผลกระทบจากการกระทำของเรา
บ่อยครั้งจำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์ตามตัวอักษร สำหรับพวกเขา กฎการทำให้เข้าใจง่ายแบบเดียวกับที่ใช้กับนิพจน์ตัวเลข คุณสามารถดำเนินการใดๆ ที่ถูกต้องได้ ตราบใดที่ค่าของนิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง
มาดูตัวอย่างกัน
ตัวอย่างที่ 1ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 5.21s × t × 2.5
ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน งานนี้คล้ายกับงานที่เราพิจารณาเมื่อเราเรียนรู้การกำหนดค่าสัมประสิทธิ์:
5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st
ดังนั้นการแสดงออก 5.21s × t × 2.5ง่ายไป 13.025st.
ตัวอย่าง 2ลดความซับซ้อนของนิพจน์ −0.4×(−6.3b)×2
งานที่สอง (−6.3b)สามารถแปลเป็นแบบฟอร์มที่เราเข้าใจได้ กล่าวคือ เขียนในรูปแบบ ( −6.3)×ข ,จากนั้นคูณตัวเลขและคูณตัวอักษรแยกกัน:
− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b
ดังนั้นการแสดงออก −0.4×(−6.3b)×2 ง่ายไป 5.04b
ตัวอย่างที่ 3ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 
มาเขียนนิพจน์นี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้นเพื่อให้เห็นได้ชัดเจนว่าตัวเลขอยู่ที่ไหนและตัวอักษรอยู่ที่ไหน:
ตอนนี้เราคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน:
ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป −abc.วิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนให้สั้นลงได้:
เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ เศษส่วนสามารถลดลงได้ในกระบวนการแก้ ไม่ใช่ในตอนท้าย เหมือนที่เราทำกับเศษส่วนธรรมดา ตัวอย่างเช่น หากในระหว่างการแก้ปัญหาเราพบนิพจน์ของแบบฟอร์ม ก็ไม่มีความจำเป็นเลยที่จะต้องคำนวณตัวเศษและตัวส่วน และทำสิ่งนี้:
เศษส่วนสามารถลดลงได้โดยเลือกทั้งตัวประกอบในตัวเศษและตัวส่วน และลดตัวประกอบเหล่านี้ด้วยตัวหารร่วมมากของพวกมัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ใช้ ซึ่งเราไม่ได้อธิบายรายละเอียดว่าตัวเศษและตัวส่วนถูกแบ่งออกเป็นอะไร
ตัวอย่างเช่น ในตัวเศษ ตัวประกอบ 12 และตัวส่วน ตัวประกอบ 4 สามารถลดลง 4 ได้ เราเก็บสี่ไว้ในใจ และหาร 12 และ 4 ด้วยสี่นี่ เราเขียนคำตอบถัดจากตัวเลขเหล่านี้ ก่อนหน้านี้ได้ขีดฆ่าพวกเขาออก
ตอนนี้คุณสามารถคูณปัจจัยเล็ก ๆ ที่เป็นผลลัพธ์ได้ ในกรณีนี้ มีไม่มาก และคุณสามารถคูณมันได้ในใจ:
เมื่อเวลาผ่านไป คุณอาจพบว่าเมื่อแก้ปัญหาบางอย่าง สำนวนจะเริ่ม "อ้วนขึ้น" ดังนั้นจึงแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับการคำนวณอย่างรวดเร็ว สิ่งที่คำนวณในใจได้ต้องคำนวณในใจ สิ่งที่ตัดได้เร็วก็ควรตัดให้เร็ว
ตัวอย่างที่ 4ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 
ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป
ตัวอย่างที่ 5ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 
เราคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:
ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป นาที.
ตัวอย่างที่ 6ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 
มาเขียนนิพจน์นี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้นเพื่อให้เห็นได้ชัดเจนว่าตัวเลขอยู่ที่ไหนและตัวอักษรอยู่ที่ไหน:
ตอนนี้เราคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เศษทศนิยม −6.4 และ คละจำนวนสามารถแปลงเป็นเศษส่วนสามัญได้:
ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป
วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนได้สั้นกว่ามาก มันจะมีลักษณะดังนี้:
ตัวอย่าง 7ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 
เราคูณตัวเลขแยกกันและแยกตัวอักษร เพื่อความสะดวกในการคำนวณ สามารถแปลงจำนวนคละและเศษส่วนทศนิยม 0.1 และ 0.6 เป็นเศษส่วนสามัญได้:
ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป เอบีซีดี. หากคุณข้ามรายละเอียด วิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนให้สั้นลงได้มาก:
สังเกตว่าเศษส่วนลดลงอย่างไร ตัวคูณใหม่ซึ่งได้มาจากการลดตัวคูณก่อนหน้านั้นก็สามารถลดลงได้เช่นกัน
ทีนี้มาพูดถึงสิ่งที่ไม่ควรทำกัน เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ ห้ามมิให้คูณตัวเลขและตัวอักษรหากนิพจน์เป็นผลรวมและไม่ใช่ผลคูณ
ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการลดความซับซ้อนของนิพจน์ 5a + 4bจึงไม่สามารถเขียนได้ดังนี้
นี่เทียบเท่ากับข้อเท็จจริงที่ว่าหากเราถูกขอให้บวกตัวเลขสองตัว และเราจะคูณพวกมันแทนที่จะบวกกัน
เมื่อแทนค่าของตัวแปรใดๆ เอและ ขการแสดงออก 5a+4bเปลี่ยนเป็นนิพจน์ตัวเลขอย่างง่าย สมมติตัวแปร เอและ ขมีความหมายดังต่อไปนี้:
a = 2 , b = 3
จากนั้นค่าของนิพจน์จะเป็น22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
ขั้นแรกให้ทำการคูณแล้วเพิ่มผลลัพธ์ และถ้าเราพยายามทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นด้วยการคูณตัวเลขและตัวอักษร เราจะได้ค่าต่อไปนี้:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 x 2 x 3 = 120
มันกลับกลายเป็นความหมายที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงของนิพจน์ ในกรณีแรกปรากฎ 22 , ในกรณีที่สอง 120 . ซึ่งหมายความว่าการลดความซับซ้อนของนิพจน์ 5a + 4bถูกดำเนินการอย่างไม่ถูกต้อง
หลังจากลดความซับซ้อนของนิพจน์แล้ว ค่าของนิพจน์ไม่ควรเปลี่ยนด้วยค่าตัวแปรเดียวกัน หากเมื่อแทนที่ค่าตัวแปรใด ๆ ลงในนิพจน์ดั้งเดิม จะได้รับหนึ่งค่า จากนั้นหลังจากลดความซับซ้อนของนิพจน์แล้ว ควรได้รับค่าเดียวกันก่อนที่จะทำให้เข้าใจง่าย
ด้วยการแสดงออก 5a + 4bอันที่จริงไม่มีอะไรสามารถทำได้ มันไม่ได้ง่ายขึ้น
หากนิพจน์มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน ก็สามารถเพิ่มได้หากเป้าหมายของเราคือทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น
ตัวอย่างที่ 8ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 0.3a−0.4a+a
0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a
หรือสั้นกว่า: 0.3a - 0.4a + = 0.9a
ดังนั้นการแสดงออก 0.3a−0.4a+aง่ายไป 0.9a
ตัวอย่างที่ 9ลดความซับซ้อนของนิพจน์ −7.5a − 2.5b + 4a
ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:
−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)
หรือสั้นกว่า −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)
ภาคเรียน (−2.5b)ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีอะไรให้พับ
ตัวอย่าง 10ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 
ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:
ค่าสัมประสิทธิ์เพื่อความสะดวกในการคำนวณ
ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป
ตัวอย่างที่ 11ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 
ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:
ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป
ในตัวอย่างนี้ ควรบวกสัมประสิทธิ์ตัวแรกและตัวสุดท้ายก่อน ในกรณีนี้ เราจะได้คำตอบสั้นๆ มันจะมีลักษณะเช่นนี้:
ตัวอย่างที่ 12ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 
ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:
ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป 
.
คำนี้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีอะไรให้เพิ่มเข้าไป
วิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนให้สั้นลงได้มาก มันจะมีลักษณะดังนี้:
วิธีแก้ปัญหาสั้นๆ ข้ามขั้นตอนของการแทนที่การลบด้วยการบวก และบันทึกโดยละเอียดว่าเศษส่วนถูกลดทอนเป็นตัวส่วนร่วมอย่างไร
ความแตกต่างอีกประการหนึ่งคือในการแก้ปัญหาโดยละเอียด คำตอบดูเหมือน แต่โดยย่อว่า . อันที่จริงมันเป็นนิพจน์เดียวกัน ความแตกต่างคือในกรณีแรก การลบจะถูกแทนที่ด้วยการบวก เพราะในตอนแรก เมื่อเราจดวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียด เราจะแทนที่การลบด้วยการบวกในทุกที่ที่ทำได้ และการแทนที่นี้ได้รับการเก็บรักษาไว้สำหรับคำตอบ
ข้อมูลประจำตัว นิพจน์เท่ากัน
หลังจากที่เราทำให้นิพจน์ต่างๆ ง่ายขึ้นแล้ว นิพจน์นั้นจะง่ายและสั้นลง ในการตรวจสอบว่านิพจน์ถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้องหรือไม่ ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่ค่าใดๆ ของตัวแปรก่อนลงในนิพจน์ก่อนหน้า ซึ่งจะต้องทำให้ง่ายขึ้น แล้วจึงเปลี่ยนเป็นค่าใหม่ซึ่งลดความซับซ้อนลง หากค่าในนิพจน์ทั้งสองเหมือนกัน นิพจน์จะถูกลดความซับซ้อนอย่างถูกต้อง
พิจารณา ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด. ให้จำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์ 2a × 7b. ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
ลองดูว่าเราลดรูปนิพจน์ให้ถูกต้องหรือไม่ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้แทนที่ค่าใดๆ ของตัวแปร เอและ ขก่อนถึงนิพจน์แรกซึ่งจำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้น และจากนั้นไปยังนิพจน์ที่สองซึ่งถูกทำให้ง่ายขึ้น
ให้ค่าของตัวแปร เอ , ขจะเป็นดังนี้:
a = 4 , b = 5
แทนที่พวกเขาในนิพจน์แรก 2a × 7b
ทีนี้มาแทนที่ค่าตัวแปรเดียวกันลงในนิพจน์ที่เกิดจากการลดความซับซ้อน 2a×7bกล่าวคือในนิพจน์ 14ab
14ab = 14 x 4 x 5 = 280
เราเห็นว่าที่ a=4และ b=5ค่าของนิพจน์แรก 2a×7bและค่าของนิพจน์ที่สอง 14abเท่ากับ
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 x 4 x 5 = 280
สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นกับค่าอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ให้ a=1และ b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28
14ab = 14 x 1 x 2 = 28
ดังนั้นสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรนิพจน์ 2a×7bและ 14abมีค่าเท่ากัน สำนวนดังกล่าวเรียกว่า เท่ากัน.
เราสรุปได้ว่าระหว่างนิพจน์ 2a×7bและ 14abคุณสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับ เพราะมันเท่ากับค่าเดียวกัน
2a × 7b = 14ab
ความเท่าเทียมกันคือนิพจน์ใดๆ ที่เชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (=)
และความเท่าเทียมกันของรูปแบบ 2a×7b = 14abเรียกว่า ตัวตน.
เอกลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร
ตัวอย่างอื่น ๆ ของข้อมูลประจำตัว:
a + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
ใช่ กฎของคณิตศาสตร์ที่เราศึกษาคืออัตลักษณ์
ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่แท้จริงยังเป็นตัวตนอีกด้วย ตัวอย่างเช่น:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
กำลังตัดสินใจ งานยากเพื่อความสะดวกในการคำนวณ นิพจน์ที่ซับซ้อนจะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่ง่ายกว่าซึ่งเท่ากับนิพจน์ก่อนหน้า การทดแทนดังกล่าวเรียกว่า การแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันหรือง่ายๆ การแปลงนิพจน์.
ตัวอย่างเช่น เราลดความซับซ้อนของนิพจน์ 2a × 7bและรับนิพจน์ที่ง่ายกว่า 14ab. การทำให้เข้าใจง่ายนี้เรียกว่าการแปลงเอกลักษณ์
คุณมักจะพบงานที่บอกว่า "พิสูจน์ความเท่าเทียมคือตัวตน" แล้วให้ความเท่าเทียมกันที่จะพิสูจน์ได้ โดยปกติความเท่าเทียมกันนี้ประกอบด้วยสองส่วน: ส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกัน หน้าที่ของเราคือทำการแปลงที่เหมือนกันกับส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันและรับส่วนอื่น หรือทำการแปลงที่เหมือนกันกับทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน และตรวจสอบให้แน่ใจว่าทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันมีนิพจน์เหมือนกัน
ตัวอย่างเช่น ให้เราพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกัน 0.5a × 5b = 2.5abเป็นอัตลักษณ์
ลดความซับซ้อนทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:
0.5 × 5 × a × b = 2.5ab
2.5ab = 2.5ab
จากการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์เล็กๆ น้อยๆ ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันจึงเท่ากับด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าความเท่าเทียมกัน 0.5a × 5b = 2.5abเป็นอัตลักษณ์
จากการแปลงที่เหมือนกัน เราเรียนรู้ที่จะบวก ลบ คูณและหารตัวเลข ลดเศษส่วน นำพจน์ที่เหมือนกันมา และทำให้นิพจน์บางนิพจน์ง่ายขึ้นด้วย
แต่สิ่งเหล่านี้อยู่ไกลจากการแปลงที่เหมือนกันทั้งหมดที่มีอยู่ในคณิตศาสตร์ การแปลงเอกลักษณ์มากขึ้น เราจะเห็นสิ่งนี้ครั้งแล้วครั้งเล่าในอนาคต
งานสำหรับโซลูชันอิสระ:
คุณชอบบทเรียนไหม
เข้าร่วมกลุ่ม Vkontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนบทเรียนใหม่