›

การแสดงออกทางอำนาจ (นิพจน์ที่มีอำนาจ) และการเปลี่ยนแปลง การแสดงออกของตัวอักษร 10 การแสดงออกของตัวอักษร

โปรแกรมวิชาเลือก "การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร"

หมายเหตุอธิบาย

ที่ ปีที่แล้วคุณภาพของการศึกษาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนได้รับการตรวจสอบด้วยความช่วยเหลือของ KIM ซึ่งเป็นส่วนหลักของงานที่นำเสนอในรูปแบบการทดสอบ แบบทดสอบนี้แตกต่างจากข้อสอบทั่วไปและต้องมีการเตรียมการเฉพาะ คุณลักษณะของการทดสอบในรูปแบบที่พัฒนาขึ้นจนถึงปัจจุบันคือความต้องการที่จะตอบสนองต่อ จำนวนมากของคำถามในช่วงเวลาจำกัด เช่น ไม่เพียง แต่ต้องตอบคำถามให้ถูกต้องเท่านั้น แต่ยังต้องตอบคำถามให้เร็วอีกด้วย ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญที่นักเรียนต้องเรียนรู้ ทริคต่างๆ, วิธีการที่จะช่วยให้บรรลุผลตามที่ต้องการ

ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ของโรงเรียนเกือบทุกอย่าง คุณต้องทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง บ่อยครั้ง ความซับซ้อนถูกกำหนดโดยระดับของความซับซ้อนและจำนวนการแปลงที่ต้องทำ ไม่ใช่เรื่องแปลกที่นักเรียนจะไม่สามารถแก้ปัญหาได้ ไม่ใช่เพราะเขาไม่รู้ว่าจะแก้ปัญหาอย่างไร แต่เพราะเขาไม่สามารถทำการเปลี่ยนแปลงและการคำนวณที่จำเป็นทั้งหมดในเวลาที่กำหนดได้โดยไม่มีข้อผิดพลาด

ตัวอย่างสำหรับการแปลงนิพจน์ตัวเลขไม่สำคัญในตัวเอง แต่เป็นวิธีการพัฒนาเทคนิคการแปลง จากปีต่อปี การเรียนแนวคิดเรื่องจำนวนขยายจากธรรมชาติไปสู่ความเป็นจริง และในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย การแปลงกำลัง ลอการิทึม และ นิพจน์ตรีโกณมิติ. เนื้อหานี้ค่อนข้างยากที่จะศึกษา เนื่องจากมีสูตรและกฎการแปลงมากมาย

ในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ดำเนินการตามที่ต้องการ หรือคำนวณมูลค่าของนิพจน์ คุณจำเป็นต้องรู้ว่าคุณควร "ย้าย" ไปในทิศทางใดตามเส้นทางของการแปลงซึ่งนำไปสู่ ​​"เส้นทาง" ที่สั้นที่สุดไปยังคำตอบที่ถูกต้อง การเลือกเส้นทางที่มีเหตุผลส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับการครอบครองข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับวิธีการแปลงนิพจน์

ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย มีความจำเป็นต้องจัดระบบและเพิ่มพูนความรู้และทักษะเชิงปฏิบัติในการทำงานกับนิพจน์เชิงตัวเลข จากสถิติแสดงให้เห็นว่า ข้อผิดพลาดประมาณ 30% ที่เกิดขึ้นเมื่อเข้ามหาวิทยาลัยนั้นมีลักษณะเป็นการคำนวณ ดังนั้นเมื่อพิจารณาหัวข้อที่เกี่ยวข้องในระดับกลางและเมื่อพูดซ้ำในระดับอาวุโส จึงจำเป็นต้องให้ความสำคัญกับการพัฒนาทักษะการคำนวณในเด็กนักเรียนมากขึ้น

ดังนั้นเพื่อช่วยครูสอนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 โรงเรียนเฉพาะทางสามารถแนะนำได้ วิชาเลือก"การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษรเป็น หลักสูตรโรงเรียนคณิตศาสตร์."

ชั้นเรียน:== 11

ประเภทของวิชาเลือก:

การจัดระบบ, การวางนัยทั่วไปและหลักสูตรที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

จำนวนชั่วโมง:

34 (ต่อสัปดาห์ - 1 ชั่วโมง)

พื้นที่การศึกษา:

คณิตศาสตร์

เป้าหมายและวัตถุประสงค์ของหลักสูตร:

การจัดระบบ ลักษณะทั่วไป และการขยายความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับตัวเลขและการกระทำกับพวกเขา - การสร้างความสนใจในกระบวนการคำนวณ - การพัฒนาความเป็นอิสระ ความคิดสร้างสรรค์ และ ความสนใจทางปัญญานักเรียน; - การปรับตัวของนักศึกษาให้เข้ากับกฎเกณฑ์ใหม่ในการเข้ามหาวิทยาลัย

การจัดหลักสูตร

วิชาเลือก "การแปลงตัวเลขและนิพจน์ตัวอักษร" ขยายและทำให้โปรแกรมพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ลึกซึ้งยิ่งขึ้นใน มัธยมและถูกออกแบบมาสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 หลักสูตรที่นำเสนอนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อพัฒนาทักษะการคำนวณและความเฉียบแหลมในการคิด หลักสูตรนี้สร้างขึ้นตามรูปแบบบทเรียนคลาสสิก โดยเน้นที่ เวิร์คช็อป. มันถูกออกแบบมาสำหรับนักเรียนที่มีระดับสูงหรือระดับเฉลี่ยของการฝึกอบรมคณิตศาสตร์และได้รับการออกแบบมาเพื่อช่วยให้พวกเขาเตรียมความพร้อมสำหรับการเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยเพื่อนำไปสู่ความต่อเนื่องของการศึกษาคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง

ผลลัพธ์ตามแผน:

ความรู้เกี่ยวกับการจำแนกตัวเลข

พัฒนาทักษะและความสามารถในการนับอย่างรวดเร็ว

ความสามารถในการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาต่างๆ

การพัฒนา การคิดอย่างมีตรรกะมีส่วนทำให้เกิดความต่อเนื่องของการศึกษาคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง

เนื้อหาของวิชาเลือก "การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร"

ตัวเลขทั้งหมด (4h):แถวหมายเลข. ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต NOD และ NOC สัญญาณแบ่ง วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

จำนวนตรรกยะ (2ชม):นิยามของจำนวนตรรกยะ คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน สูตรคูณแบบย่อ. คำจำกัดความของเศษส่วนเป็นระยะ กฎการเปลี่ยนจากเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดา

จำนวนอตรรกยะ อนุมูล องศา ลอการิทึม (6h):นิยามของจำนวนอตรรกยะ การพิสูจน์ความไร้เหตุผลของตัวเลข การกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน ตัวเลขจริง คุณสมบัติองศา คุณสมบัติของเลขคณิต ราก nthระดับ. นิยามของลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (4h):วงกลมตัวเลข. ค่าตัวเลขของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพื้นฐาน การแปลงมุมจากองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน สูตรหล่อ. ย้อนกลับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ. การดำเนินการตรีโกณมิติในฟังก์ชันอาร์ค ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างฟังก์ชันส่วนโค้ง

จำนวนเชิงซ้อน (2h):แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินการกับ ตัวเลขเชิงซ้อน. รูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

การทดสอบระดับกลาง (2 ชม.)

การเปรียบเทียบนิพจน์ตัวเลข (4h):ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขในชุด ตัวเลขจริง. คุณสมบัติ ความไม่เท่าเทียมกันทางตัวเลข. สนับสนุนความไม่เท่าเทียมกัน วิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลข

การแสดงออกของตัวอักษร (8h):กฎสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยตัวแปร: พหุนาม; เศษส่วนพีชคณิต การแสดงออกที่ไม่ลงตัว ตรีโกณมิติและนิพจน์อื่น ๆ การพิสูจน์ตัวตนและความไม่เท่าเทียมกัน ลดความซับซ้อนของนิพจน์

แผนการศึกษาและเฉพาะเรื่อง

แผนคือ 34 ชั่วโมง มันถูกรวบรวมโดยคำนึงถึงหัวข้อของประกาศนียบัตรดังนั้นจึงพิจารณาสองส่วนแยกกัน: ตัวเลขและ นิพจน์ตามตัวอักษร. ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครู การแสดงออกทางตัวอักษรสามารถพิจารณาร่วมกับตัวเลขในหัวข้อที่เกี่ยวข้องได้

№ หัวข้อบทเรียน จำนวนชั่วโมง
1.1 จำนวนทั้งหมด 2
1.2 วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ 2
2.1 สรุปตัวเลข 1
2.2 เศษส่วนทศนิยม 1
3.1 จำนวนอตรรกยะ 2
3.2 รากและองศา 2
3.3 ลอการิทึม 2
4.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
4.2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน 2
5 ตัวเลขที่ซับซ้อน 2
ทดสอบในหัวข้อ "นิพจน์ตัวเลข" 2
6 การเปรียบเทียบนิพจน์ตัวเลข 4
7.1 การแปลงนิพจน์ด้วยเครื่องหมายกรณฑ์ 2
7.2 การแปลงกำลังและนิพจน์ลอการิทึม 2
7.3 การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ 2
สอบปลายภาค 2
ทั้งหมด 34

นิพจน์การแปลงนิพจน์

การแสดงออกทางอำนาจ (นิพจน์ที่มีอำนาจ) และการเปลี่ยนแปลง

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงการเปลี่ยนการแสดงออกด้วยพลัง อันดับแรก เราจะเน้นที่การแปลงที่ดำเนินการกับนิพจน์ใดๆ รวมถึงการแสดงออกของอำนาจ เช่น วงเล็บเปิด การลดคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน จากนั้นเราจะวิเคราะห์การแปลงที่มีอยู่ในนิพจน์ที่มีองศาโดยเฉพาะ: การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลังโดยใช้คุณสมบัติขององศา ฯลฯ

การนำทางหน้า

Power Expression คืออะไร?

คำว่า "การแสดงออกทางอำนาจ" แทบไม่มีอยู่ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่มักปรากฏในปัญหาต่างๆ ที่ออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการสอบ Unified State และ OGE เป็นต้น หลังจากวิเคราะห์งานซึ่งจำเป็นต้องดำเนินการใดๆ กับการแสดงออกของกำลัง เป็นที่ชัดเจนว่าการแสดงออกของพลังนั้นเข้าใจว่าเป็นนิพจน์ที่มีองศาในรายการ ดังนั้น สำหรับตัวคุณเอง คุณสามารถใช้คำจำกัดความต่อไปนี้:

คำนิยาม.

การแสดงออกของพลังเป็นนิพจน์ที่มีอำนาจ

มาเอากัน ตัวอย่างของการแสดงออกของอำนาจ. นอกจากนี้เราจะนำเสนอตามวิธีการพัฒนาความคิดเห็นเกี่ยวกับระดับของ ตัวบ่งชี้ธรรมชาติจนถึงเลขชี้กำลังที่แท้จริง

อย่างที่คุณทราบ ขั้นแรก มีความคุ้นเคยกับระดับของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ในขั้นนี้ การแสดงออกทางกำลังที่ง่ายที่สุดครั้งแรกของประเภท 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3-1 , (a 2) 3 เป็นต้น

ต่อมาไม่นาน ได้มีการศึกษากำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ซึ่งนำไปสู่การปรากฏตัวของการแสดงออกของกำลังที่ยกกำลังจำนวนเต็มลบ ดังต่อไปนี้: 3 −2, , ก −2 +2 ข −3 + ค 2 .

ในชั้นเรียนระดับสูง พวกเขากลับไปเรียนดีกรีอีกครั้ง มีการแนะนำระดับที่มีเลขชี้กำลังที่มีเหตุผลซึ่งนำไปสู่การปรากฏตัวของการแสดงออกของพลังงานที่เกี่ยวข้อง: , , ฯลฯ ในที่สุด องศาที่มีเลขชี้กำลังและนิพจน์ที่ไม่ลงตัวจะถูกพิจารณา: , .

เรื่องนี้ไม่ได้จำกัดอยู่แค่การแสดงออกของกำลังที่แสดงไว้: ยิ่งไปกว่านั้น ตัวแปรแทรกซึมเข้าไปในเลขชี้กำลัง และมี ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 2 x 2 +1 หรือ . และหลังจากทำความคุ้นเคยแล้ว นิพจน์ที่ยกกำลังและลอการิทึมก็เริ่มปรากฏขึ้น เช่น x 2 lgx −5 x lgx

ดังนั้นเราจึงหาคำถามว่าการแสดงออกของพลังคืออะไร ต่อไป เราจะเรียนรู้วิธีแปลงพวกมัน

ประเภทหลักของการแปลงการแสดงออกของอำนาจ

ด้วยการแสดงอารมณ์แบบพาวเวอร์ คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์พื้นฐานของนิพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถขยายวงเล็บเหลี่ยม แทนที่นิพจน์ตัวเลขด้วยค่าของนิพจน์ เพิ่มคำที่คล้ายกัน และอื่นๆ โดยปกติในกรณีนี้จำเป็นต้องปฏิบัติตามขั้นตอนที่ยอมรับสำหรับการดำเนินการ ให้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของนิพจน์กำลัง 2 3 ·(4 2 -12)

การตัดสินใจ.

ตามลำดับของการกระทำ ขั้นแรกเราจะดำเนินการกระทำในวงเล็บ ประการแรก เราแทนที่กำลังของ 4 2 ด้วยค่า 16 (ดูว่าจำเป็นหรือไม่) และประการที่สอง เราคำนวณความแตกต่าง 16−12=4 . เรามี 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16-12)=2 3 4.

ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะแทนที่กำลังของ 2 3 ด้วยค่าของมัน 8 หลังจากนั้นเราจะคำนวณผลคูณ 8·4=32 . นี่คือค่าที่ต้องการ

ดังนั้น, 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16-12)=2 3 4=8 4=32.

ตอบ:

2 3 (4 2 -12)=32 .

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกของพลังงาน 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

การตัดสินใจ.

เห็นได้ชัดว่านิพจน์นี้มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน 3 · a 4 · b − 7 และ 2 · a 4 · b − 7 และเราสามารถลดมันได้:

ตอบ:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

ตัวอย่าง.

แสดงนิพจน์ที่มีพลังเป็นผลิตภัณฑ์

การตัดสินใจ.

ในการรับมือกับงานทำให้สามารถแทนค่าของเลข 9 เป็นกำลัง 3 2 และต่อมาใช้สูตรคูณแบบย่อ ความแตกต่างของกำลังสอง:

ตอบ:

นอกจากนี้ยังมีการแปลงที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งซึ่งมีอยู่ในการแสดงออกของพลัง ต่อไปเราจะวิเคราะห์พวกเขา

การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง

มีองศาในฐานและ / หรือตัวบ่งชี้ที่ไม่ใช่แค่ตัวเลขหรือตัวแปร แต่เป็นนิพจน์บางอย่าง ตัวอย่างเช่น ลองเขียน (2+0.3 7) 5−3.7 และ (a (a+1)−a 2) 2 (x+1)

เมื่อทำงานกับนิพจน์ดังกล่าว เป็นไปได้ที่จะแทนที่ทั้งนิพจน์ในฐานของดีกรีและนิพจน์ในตัวบ่งชี้ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันใน DPV ของตัวแปร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตามกฎที่เรารู้จัก เราสามารถแปลงฐานของดีกรีแยกกัน และแยกกัน - ตัวบ่งชี้ เป็นที่ชัดเจนว่าผลของการเปลี่ยนแปลงนี้ ได้รับนิพจน์ที่เท่ากันกับนิพจน์เดิม

การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวทำให้เราลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลังหรือบรรลุเป้าหมายอื่น ๆ ที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์กำลัง (2+0.3 7) 5−3.7 ที่กล่าวถึงข้างต้น คุณสามารถดำเนินการกับตัวเลขในฐานและเลขชี้กำลัง ซึ่งจะทำให้คุณสามารถไปที่ยกกำลัง 4.1 1.3 และหลังจากเปิดวงเล็บและนำพจน์ที่เหมือนกันมาไว้ในฐานของดีกรี (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) เราจะได้นิพจน์กำลังของรูปแบบที่ง่ายกว่า a 2·(x+1 ) .

การใช้คุณสมบัติพลังงาน

เครื่องมือหลักอย่างหนึ่งในการเปลี่ยนการแสดงออกด้วยพลังคือความเท่าเทียมกันที่สะท้อนถึง ให้เราจำสิ่งหลัก สำหรับจำนวนบวก a และ b และจำนวนจริงตามอำเภอใจ r และ s คุณสมบัติทางกำลังต่อไปนี้ถือเป็น:

  • a r a s =a r+s ;
  • r:a s =a r−s ;
  • (a b) r = a r b r ;
  • (a:b) r =a r:b r ;
  • (a r) s =a r s .

โปรดทราบว่าสำหรับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และเลขชี้กำลังบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจไม่เข้มงวดนัก ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริง ไม่เพียงแต่สำหรับค่าบวก a แต่สำหรับค่าลบด้วย และสำหรับ a=0

ที่โรงเรียน ความสนใจหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกของพลังนั้นเน้นที่ความสามารถในการเลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้อย่างถูกต้องอย่างแม่นยำ ในกรณีนี้ ฐานขององศามักจะเป็นค่าบวก ซึ่งช่วยให้คุณใช้คุณสมบัติขององศาได้โดยไม่มีข้อจำกัด เช่นเดียวกับการแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรในฐานขององศา - ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปรมักจะทำให้ฐานใช้ค่าบวกเท่านั้นซึ่งช่วยให้คุณใช้คุณสมบัติได้อย่างอิสระ องศา โดยทั่วไป คุณต้องถามตัวเองอยู่เสมอว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้คุณสมบัติขององศาในกรณีนี้ เพราะการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องอาจทำให้ ODZ และปัญหาอื่นๆ แคบลงได้ ประเด็นเหล่านี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดและพร้อมตัวอย่างในการแปลงนิพจน์ในบทความโดยใช้คุณสมบัติขององศา ที่นี่เราจำกัดตัวเองให้เป็นตัวอย่างง่ายๆ

ตัวอย่าง.

แสดงนิพจน์ a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 เป็นกำลังที่มีฐาน a

การตัดสินใจ.

อันดับแรก เราแปลงปัจจัยที่สอง (a 2) −3 โดยคุณสมบัติของการเพิ่มกำลังเป็นกำลัง: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. ในกรณีนี้ นิพจน์กำลังเริ่มต้นจะอยู่ในรูปแบบ 2.5 ·a −6:a −5.5 เห็นได้ชัดว่ายังคงใช้คุณสมบัติของการคูณหารด้วยฐานเดียวกันเรามี
2.5 เป็ -6:a -5.5 =
ก 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
−3.5−(−5.5) =a 2 .

ตอบ:

2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

คุณสมบัติกำลังใช้เมื่อเปลี่ยนการแสดงออกของพลังงานทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย

ตัวอย่าง.

หาค่าของการแสดงออกของกำลัง

การตัดสินใจ.

ความเท่าเทียมกัน (a·b) r =a r ·b r ใช้จากขวาไปซ้าย ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากนิพจน์ดั้งเดิมไปยังผลคูณของแบบฟอร์มและอื่นๆ และเมื่อคูณกำลังด้วย เหตุผลเดียวกันตัวชี้วัดเพิ่มขึ้น: .

การแปลงนิพจน์ดั้งเดิมสามารถทำได้ด้วยวิธีอื่น:

ตอบ:

.

ตัวอย่าง.

รับการแสดงออกของกำลัง 1.5 −a 0.5 −6 ให้ป้อนตัวแปรใหม่ t=a 0.5

การตัดสินใจ.

องศา a 1.5 สามารถแสดงเป็น 0.5 3 และเพิ่มเติมตามคุณสมบัติของดีกรีในระดับ (a r) s =a r s ใช้จากขวาไปซ้าย แปลงเป็นรูปแบบ (a 0.5) 3 . ดังนั้น, 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. ตอนนี้เป็นเรื่องง่ายที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5 เราได้ t 3 −t−6

ตอบ:

เสื้อ 3 −t−6 .

การแปลงเศษส่วนที่มีกำลัง

นิพจน์กำลังสามารถประกอบด้วยเศษส่วนที่มีกำลังหรือแทนเศษส่วนดังกล่าว การแปลงเศษส่วนพื้นฐานใดๆ ที่มีอยู่ในเศษส่วนของชนิดใดๆ สามารถนำมาใช้ได้อย่างเต็มที่กับเศษส่วนดังกล่าว นั่นคือ เศษส่วนที่มีองศาสามารถลดลงได้ ลดลงเป็นตัวส่วนใหม่ ทำงานแยกจากกันกับตัวเศษและแยกจากกันกับตัวส่วน ฯลฯ เพื่อแสดงตัวอย่างคำข้างต้น ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกของพลังงาน .

การตัดสินใจ.

พจน์ยกกำลังนี้เป็นเศษส่วน ลองใช้ตัวเศษและตัวส่วนกัน ในตัวเศษ เราเปิดวงเล็บและทำให้นิพจน์ที่ได้รับหลังจากนั้นง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของกำลัง และในตัวส่วนเรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

และเรายังเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวส่วนด้วยการวางเครื่องหมายลบหน้าเศษส่วน: .

ตอบ:

.

การลดเศษส่วนที่ยกกำลังให้กับตัวส่วนใหม่นั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกันกับการลดเศษส่วนตรรกยะให้เป็นตัวส่วนใหม่ ในเวลาเดียวกัน ยังพบตัวประกอบเพิ่มเติมและตัวเศษและตัวส่วนของเศษจะถูกคูณด้วย เมื่อดำเนินการนี้ ควรจำไว้ว่าการลดไปยังตัวส่วนใหม่อาจทำให้ DPV แคบลงได้ เพื่อป้องกันไม่ให้สิ่งนี้เกิดขึ้น จำเป็นที่ปัจจัยเพิ่มเติมจะไม่หายไปสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

ตัวอย่าง.

นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนใหม่: a) ตัวส่วน a, b) ถึงตัวส่วน

การตัดสินใจ.

ก) ในกรณีนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะรู้ว่าปัจจัยเพิ่มเติมใดที่ช่วยให้ได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ นี่คือตัวประกอบ a 0.3 เนื่องจาก 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a โปรดทราบว่าในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร a (นี่คือชุดของจำนวนจริงบวกทั้งหมด) ระดับ a 0.3 จะไม่หายไป ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด โดยปัจจัยเพิ่มเติมนี้:

ข) พิจารณาตัวส่วนอย่างใกล้ชิดมากขึ้น เราพบว่า

และการคูณนิพจน์นี้ด้วย will ให้ผลรวมของลูกบาศก์ และ นั่นคือ . และนี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราต้องหาเศษส่วนเดิม

ดังนั้นเราจึงพบปัจจัยเพิ่มเติม นิพจน์ไม่หายไปในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร x และ y ดังนั้นเราสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนได้ด้วย:

ตอบ:

ก) , ข) .

นอกจากนี้ยังไม่มีอะไรใหม่ในการลดเศษส่วนที่มีองศา: ตัวเศษและตัวส่วนจะแสดงเป็นปัจจัยจำนวนหนึ่ง และตัวประกอบเดียวกันของตัวเศษและตัวส่วนจะลดลง

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วน: ก) , ข).

การตัดสินใจ.

ก) ขั้นแรก ตัวเศษและส่วนสามารถลดลงได้ด้วยตัวเลข 30 และ 45 ซึ่งเท่ากับ 15 แน่นอน คุณสามารถลดได้ x 0.5 +1 และโดย . นี่คือสิ่งที่เรามี:

b) ในกรณีนี้ ปัจจัยเดียวกันในตัวเศษและตัวส่วนจะไม่ปรากฏให้เห็นในทันที เพื่อให้ได้มา คุณต้องทำการแปลงเบื้องต้น ในกรณีนี้ประกอบด้วยการย่อยสลายตัวส่วนเป็นตัวประกอบตามผลต่างของสูตรกำลังสอง:

ตอบ:

ก)

ข) .

การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่และการลดเศษส่วนส่วนใหญ่จะใช้เพื่อดำเนินการกับเศษส่วน การดำเนินการจะดำเนินการตามกฎที่ทราบ เมื่อบวก (ลบ) เศษส่วน เศษส่วนจะถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วม หลังจากนั้นจะมีการบวกตัวเศษ (ลบ) และตัวส่วนจะเหมือนเดิม ผลลัพธ์คือเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน การหารด้วยเศษส่วนเป็นการคูณด้วยส่วนกลับ

ตัวอย่าง.

ทำตามขั้นตอน .

การตัดสินใจ.

ขั้นแรก เราลบเศษส่วนในวงเล็บ ในการทำเช่นนี้ เรานำพวกเขามาสู่ตัวส่วนร่วม ซึ่งก็คือ แล้วลบตัวเศษ:

ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:

เห็นได้ชัดว่าการลดกำลัง x 1/2 นั้นเป็นไปได้ หลังจากนั้นเราก็มี .

คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของการแสดงออกของกำลังในตัวส่วนโดยใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง: .

ตอบ:

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกของพลังงาน .

การตัดสินใจ.

แน่นอน เศษส่วนนี้ลดได้ (x 2.7 +1) 2 จะได้เศษ . เห็นได้ชัดว่าต้องทำอย่างอื่นด้วยกำลังของ x เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแปลงเศษส่วนผลลัพธ์เป็นผลิตภัณฑ์ สิ่งนี้ทำให้เรามีโอกาสใช้คุณสมบัติของการแบ่งอำนาจด้วยฐานเดียวกัน: . และเมื่อสิ้นสุดกระบวนการ เราก็ส่งต่อจากผลคูณสุดท้ายไปยังเศษส่วน

ตอบ:

.

และเราเสริมว่า เป็นไปได้และในหลายกรณี การถ่ายโอนปัจจัยที่มีเลขชี้กำลังลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วนหรือจากตัวส่วนเป็นตัวเศษโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลังนั้นเป็นไปได้และในหลายกรณี การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมักจะทำให้การดำเนินการเพิ่มเติมง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์กำลังสามารถแทนที่ด้วย .

การแปลงนิพจน์ด้วยรากและพลัง

บ่อยครั้งในนิพจน์ที่จำเป็นต้องมีการแปลงบางส่วน พร้อมด้วยองศาที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วน ก็ยังมีรากอีกด้วย ในการแปลงนิพจน์ดังกล่าวให้อยู่ในรูปแบบที่ต้องการ ในกรณีส่วนใหญ่ ให้ไปที่รากหรือยกกำลังเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว แต่เนื่องจากสะดวกกว่าในการทำงานกับองศา พวกเขามักจะย้ายจากรากเป็นองศา อย่างไรก็ตาม ขอแนะนำให้ดำเนินการเปลี่ยนเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมอนุญาตให้คุณแทนที่รากด้วยองศาโดยไม่จำเป็นต้องเข้าถึงโมดูลหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายช่วง (เราพูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียดใน บทความ การเปลี่ยนผ่านจากรากสู่อำนาจและในทางกลับกัน หลังจากทำความคุ้นเคยกับระดับกับเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ระดับที่มีตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัวถูกนำมาใช้ ซึ่งทำให้สามารถพูดถึงระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่แท้จริงตามอำเภอใจได้ในขั้นตอนนี้ โรงเรียนเริ่มเรียน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งได้รับการวิเคราะห์โดยระดับในฐานที่มีตัวเลขและในตัวบ่งชี้ - ตัวแปร ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับนิพจน์กำลังที่มีตัวเลขในฐานของดีกรีและในเลขชี้กำลัง - นิพจน์ที่มีตัวแปรและโดยธรรมชาติแล้วความจำเป็นในการแปลงนิพจน์ดังกล่าว

ควรจะกล่าวว่ามักจะต้องทำการแปลงนิพจน์ประเภทที่ระบุเมื่อแก้ สมการเลขชี้กำลังและ อสมการเลขชี้กำลัง และการแปลงเหล่านี้ค่อนข้างง่าย ในกรณีส่วนใหญ่ จะอิงตามคุณสมบัติของปริญญาและมุ่งเป้าไปที่การแนะนำตัวแปรใหม่ในอนาคตเป็นส่วนใหญ่ สมการจะช่วยให้เราแสดงให้เห็นได้ 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x-1 =0.

ประการแรก เลขชี้กำลังซึ่งพบเลขชี้กำลังซึ่งมีผลรวมของตัวแปรบางตัว (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) และตัวเลข จะถูกแทนที่ด้วยผลคูณ สิ่งนี้ใช้กับเงื่อนไขแรกและสุดท้ายของนิพจน์ทางด้านซ้าย:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

ถัดไป ความเท่าเทียมกันทั้งสองส่วนจะถูกหารด้วยนิพจน์ 7 2 x ซึ่งใช้เฉพาะค่าบวกบน ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิม (นี่เป็นเทคนิคมาตรฐานสำหรับการแก้สมการประเภทนี้ เราไม่ใช่ พูดถึงมันตอนนี้ ดังนั้นให้เน้นที่การแปลงนิพจน์ที่มีพลังในภายหลัง ):

ตอนนี้เศษส่วนที่ยกกำลังถูกยกเลิก ซึ่งให้ .

สุดท้ายอัตราส่วนของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยอัตราส่วนกำลังซึ่งนำไปสู่สมการ ซึ่งเทียบเท่ากับ . การแปลงทำให้เราสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งจะช่วยลดการแก้สมการเลขชี้กำลังดั้งเดิมลงเป็นคำตอบของสมการกำลังสอง

  • I.V. Boikov, L.D. Romanovaรวบรวมงานเตรียมสอบ ตอนที่ 1. เพนซ่า 2003.

    • หัวข้อวิชาเลือก

    การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร

    ปริมาณ 34 ชั่วโมง

    ครูคณิตศาสตร์ชั้นสูง

    บันทึกความเข้าใจ "มัธยมศึกษาปีที่ 51"

    Saratov, 2008

    โปรแกรมวิชาเลือก

    "การแปลงนิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร"

    หมายเหตุอธิบาย

    ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา การสอบปลายภาคในโรงเรียน เช่นเดียวกับการสอบเข้าในมหาวิทยาลัย ดำเนินการโดยใช้การทดสอบ แบบทดสอบนี้แตกต่างจากแบบทดสอบทั่วไปและต้องมีการเตรียมตัวเฉพาะ คุณลักษณะของการทดสอบในรูปแบบที่พัฒนาขึ้นจนถึงปัจจุบันคือความจำเป็นในการตอบคำถามจำนวนมากในระยะเวลาที่ จำกัด นั่นคือไม่เพียง แต่ต้องตอบคำถามที่โพสต์เท่านั้น แต่ยังต้องดำเนินการอย่างรวดเร็ว ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะเชี่ยวชาญเทคนิคต่าง ๆ วิธีการที่ช่วยให้คุณบรรลุผลลัพธ์ที่ต้องการ

    ในการแก้ปัญหาของโรงเรียนเกือบทุกอย่าง คุณต้องทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง บ่อยครั้ง ความซับซ้อนถูกกำหนดโดยระดับของความซับซ้อนและจำนวนการแปลงที่ต้องทำ ไม่ใช่เรื่องแปลกที่นักเรียนจะไม่สามารถแก้ปัญหาได้ ไม่ใช่เพราะเขาไม่รู้ว่าจะแก้ปัญหาอย่างไร แต่เพราะเขาไม่สามารถแปลงและคำนวณที่จำเป็นทั้งหมดได้ในเวลาที่เหมาะสมโดยไม่มีข้อผิดพลาด


    วิชาเลือก "การแปลงนิพจน์เชิงตัวเลขและตัวอักษร" ขยายและทำให้โปรแกรมพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมัธยมศึกษาเพิ่มขึ้นและลึกซึ้งยิ่งขึ้น และได้รับการออกแบบสำหรับการเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 หลักสูตรที่นำเสนอนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อพัฒนาทักษะการคำนวณและความเฉียบแหลมในการคิด หลักสูตรนี้ออกแบบมาสำหรับนักเรียนที่มีการฝึกอบรมคณิตศาสตร์ระดับสูงหรือปานกลาง และได้รับการออกแบบมาเพื่อช่วยให้พวกเขาเตรียมความพร้อมสำหรับการเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัย เพื่อสนับสนุนการศึกษาทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจังต่อไป

    เป้าหมายและวัตถุประสงค์:

    การจัดระบบ ลักษณะทั่วไป และการขยายความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับตัวเลขและการกระทำกับพวกเขา

    การพัฒนาความเป็นอิสระ ความคิดสร้างสรรค์ และความสนใจทางปัญญาของนักเรียน

    การก่อตัวของความสนใจในกระบวนการคำนวณ

    การปรับตัวของนักศึกษาให้เข้ากับกฎเกณฑ์ใหม่ในการเข้ามหาวิทยาลัย

    ผลลัพธ์ที่คาดหวัง:

    ความรู้เกี่ยวกับการจำแนกตัวเลข

    พัฒนาทักษะและความสามารถในการนับอย่างรวดเร็ว

    ความสามารถในการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาต่างๆ

    แผนการศึกษาและเฉพาะเรื่อง

    แผนคือ 34 ชั่วโมง มันถูกรวบรวมโดยคำนึงถึงหัวข้อของประกาศนียบัตรดังนั้นจึงพิจารณาสองส่วนแยกกัน: นิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครู การแสดงออกทางตัวอักษรสามารถพิจารณาร่วมกับตัวเลขในหัวข้อที่เกี่ยวข้องได้

    จำนวนชั่วโมง

    นิพจน์ตัวเลข

    จำนวนทั้งหมด

    วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

    สรุปตัวเลข

    เศษส่วนทศนิยม

    จำนวนอตรรกยะ

    รากและองศา

    ลอการิทึม

    ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

    ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

    ตัวเลขที่ซับซ้อน

    ทดสอบในหัวข้อ "นิพจน์ตัวเลข"

    การเปรียบเทียบนิพจน์ตัวเลข

    นิพจน์ตามตัวอักษร

    การแปลงนิพจน์ด้วยเครื่องหมายกรณฑ์

    การแปลงการแสดงออกของพลังงาน

    การแปลงนิพจน์ลอการิทึม

    การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ

    สอบปลายภาค

    ตัวเลขทั้งหมด (4h)

    แถวหมายเลข. ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต NOD และ NOC สัญญาณแบ่ง วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

    จำนวนตรรกยะ (2h)

    นิยามของจำนวนตรรกยะ คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน สูตรคูณแบบย่อ. คำจำกัดความของเศษส่วนเป็นระยะ กฎการเปลี่ยนจากเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดา

    จำนวนอตรรกยะ อนุมูล องศา ลอการิทึม (6h)

    นิยามของจำนวนอตรรกยะ การพิสูจน์ความไร้เหตุผลของตัวเลข การกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน ตัวเลขจริง คุณสมบัติองศา คุณสมบัติ รากเลขคณิต องศาที่ n. นิยามของลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึม

    ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (4h)

    วงกลมตัวเลข. ค่าตัวเลขของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพื้นฐาน การแปลงมุมจากองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน สูตรหล่อ. ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน การดำเนินการตรีโกณมิติในฟังก์ชันอาร์ค ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างฟังก์ชันส่วนโค้ง

    ตัวเลขที่ซับซ้อน (2h)

    แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

    การทดสอบระดับกลาง (2 ชม.)

    เปรียบเทียบนิพจน์ตัวเลข (4 ชั่วโมง)

    ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขในชุดของจำนวนจริง คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข สนับสนุนความไม่เท่าเทียมกัน วิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลข

    การแสดงออกของตัวอักษร (8h)

    กฎสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยตัวแปร: พหุนาม; เศษส่วนพีชคณิต การแสดงออกที่ไม่ลงตัว ตรีโกณมิติและนิพจน์อื่น ๆ การพิสูจน์ตัวตนและความไม่เท่าเทียมกัน ลดความซับซ้อนของนิพจน์


    1 ส่วนของวิชาเลือก: "นิพจน์ตัวเลข"

    กิจกรรม 1(2 ชั่วโมง)

    หัวข้อบทเรียน: จำนวนทั้งหมด

    วัตถุประสงค์ของบทเรียน:สรุปและจัดระบบความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับตัวเลข ระลึกถึงแนวคิดของ GCD และ NOC เพิ่มพูนความรู้เกี่ยวกับเครื่องหมายแบ่งแยก พิจารณาปัญหาที่แก้ไขเป็นจำนวนเต็ม

    ระหว่างเรียน

    ฉัน. บรรยายเบื้องต้น.

    การจำแนกหมายเลข:

    จำนวนเต็ม;

    จำนวนทั้งหมด;

    สรุปตัวเลข;

    จำนวนจริง;

    ตัวเลขที่ซับซ้อน

    ความคุ้นเคยกับชุดตัวเลขที่โรงเรียนเริ่มต้นด้วยแนวคิดเรื่องจำนวนธรรมชาติ ตัวเลขที่ใช้ในการนับวัตถุเรียกว่า เป็นธรรมชาติ.เซตของจำนวนธรรมชาติเขียนแทนด้วย N ตัวเลขธรรมชาติแบ่งออกเป็นจำนวนเฉพาะและแบบประกอบ จำนวนเฉพาะมีตัวหารสองตัวเพียงตัวเดียวและตัวหารในขณะที่ตัวเลขประกอบมีตัวหารมากกว่าสองตัว ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตระบุ: "จำนวนธรรมชาติใดๆ ที่มากกว่า 1 สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ (ไม่จำเป็นต้องต่างกัน) และยิ่งไปกว่านั้น ในวิธีที่ไม่ซ้ำกัน (ขึ้นอยู่กับลำดับของปัจจัย)"

    แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญอีกสองข้อเกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติ ได้แก่ ตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCM) แต่ละแนวคิดเหล่านี้กำหนดตัวเองจริงๆ การแก้ปัญหาต่าง ๆ อำนวยความสะดวกโดยสัญญาณของการแบ่งแยกซึ่งต้องจำไว้

    เครื่องหมายของการหารด้วย2 . ตัวเลขหารด้วย 2 ลงตัวถ้าหลักสุดท้ายเป็นเลขคู่หรือ o

    หารด้วย 4 เครื่องหมาย . ตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวถ้าสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัว

    เครื่องหมายหารด้วย 8 ตัวเลขหารด้วย 8 ลงตัวถ้าสามหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 8 ลงตัว

    เกณฑ์การหาร 3 และ 9 เฉพาะตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้นที่หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งผลรวมของตัวเลขนั้นหารด้วย 3 ลงตัว คูณ 9 - เฉพาะที่ผลรวมของหลักหารด้วย 9 ลงตัว

    เครื่องหมายหารด้วย 6 ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัวถ้าหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว

    เครื่องหมายหารด้วย 5 . หารด้วย 5 คือตัวเลขที่มีหลักสุดท้ายคือ 0 หรือ 5

    เครื่องหมายหารด้วย 25 หารด้วย 25 ลงตัวคือตัวเลขที่มีสองหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือเป็นตัวเลขที่หารด้วย 25 ลงตัว

    เครื่องหมายหารด้วย 10,100,1000. เฉพาะตัวเลขที่มีหลักสุดท้ายเป็น 0 เท่านั้นที่จะหารด้วย 10 ลงตัว เฉพาะตัวเลขที่มีสองหลักสุดท้ายเป็น 0 เท่านั้นที่จะหารด้วย 100 ลงตัว เฉพาะตัวเลขที่มีสามหลักสุดท้ายเป็น 0 เท่านั้นที่จะหารด้วย 1000 ลงตัว

    เครื่องหมายหารด้วย 11 . เฉพาะตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้นที่หารด้วย 11 ลงตัว ซึ่งผลรวมของหลักที่มีตำแหน่งคี่จะเท่ากับผลรวมของหลักที่มีตำแหน่งคู่ หรือแตกต่างด้วยตัวเลขที่หารด้วย 11 ลงตัว

    ในบทเรียนแรก เราจะดูตัวเลขธรรมชาติและจำนวนเต็ม ทั้งหมดตัวเลขเป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวเลขตรงข้ามและศูนย์ เซตของจำนวนเต็มแสดงโดย Z

    II. การแก้ปัญหา.

    ตัวอย่าง 1. แยกตัวประกอบ: ก) 899; ข) 1000027

    วิธีแก้ปัญหา: ก) ;

    b) ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา GCD ของตัวเลข 2585 และ 7975

    วิธีแก้ปัญหา: ลองใช้อัลกอริทึม Euclid:

    หาก https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

    https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

    220 |165 -

    165|55 -

    คำตอบ: gcd(2585,7975) = 55.

    ตัวอย่างที่ 3 คำนวณ:

    วิธีแก้ไข: = 1987100011989 ผลิตภัณฑ์ที่สองมีค่าเท่ากัน ดังนั้น ผลต่างคือ 0

    ตัวอย่าง 4. ค้นหาหมายเลข GCD และ LCM ก) 5544 และ 1404; ข) 198, 504 และ 780

    คำตอบ: ก) 36; 49896; ข) 6; 360360.

    ตัวอย่าง 5. จงหาผลหารและเศษเหลือเมื่อหาร

    ก) 5 ถึง 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

    c) -529 ถึง (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

    จ) 256 ถึง (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

    วิธีแก้ปัญหา: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">

    ข)

    วิธีแก้ปัญหา: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">

    ตัวอย่าง 7..gif" width="67" height="27 src="> by 17.

    วิธีแก้ปัญหา: มาป้อนเรคคอร์ดกันเถอะ ซึ่งหมายความว่าเมื่อหารด้วย m ตัวเลข a, b, c, ... d จะให้เศษที่เหลือเท่ากัน

    ดังนั้นสำหรับ k ตามธรรมชาติใดๆ จะมี

    แต่ 1989=16124+5 วิธี,

    คำตอบ: ส่วนที่เหลือคือ 12

    ตัวอย่างที่ 8 หาจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 10 ซึ่งเมื่อหารด้วย 24, 45 และ 56 จะได้เศษเหลือ 1

    คำตอบ: LCM(24;45;56)+1=2521.

    ตัวอย่าง 9. จงหาจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 7 ลงตัว และเมื่อหารด้วย 3 แล้ว 4 และ 5 จะได้เศษเหลือ 1

    คำตอบ: 301. คำแนะนำ ในบรรดาตัวเลขของรูปแบบ 60k + 1 คุณต้องหาจำนวนที่น้อยที่สุดหารด้วย 7; เค = 5.

    ตัวอย่าง 10. กำหนดให้ 23 หลักหนึ่งหลักทางขวาและทางซ้ายเพื่อให้ตัวเลขสี่หลักที่ได้นั้นหารด้วย 9 และ 11 ลงตัว

    คำตอบ: 6237

    ตัวอย่างที่ 11. กำหนดตัวเลขสามหลักที่ด้านหลังของตัวเลขเพื่อให้จำนวนผลลัพธ์หารด้วย 7, 8 และ 9 ลงตัว

    คำตอบ: 304 หรือ 808. ข้อบ่งชี้ จำนวนที่หารด้วย = 789) ให้เหลือ 200 ดังนั้น หากคุณบวก 304 หรือ 808 เข้าไป จะถูกหารด้วย 504

    ตัวอย่าง 12. เป็นไปได้ไหมที่จะจัดเรียงตัวเลขใหม่เป็นตัวเลขสามหลักหารด้วย 37 เพื่อให้จำนวนผลลัพธ์หารด้วย 37 ลงตัว?

    คำตอบ: คุณสามารถ หมายเหตุ..gif" width="61" height="24"> หารด้วย 37 ลงตัวเช่นกัน เรามี A = 100a + 10b + c = 37k ดังนั้น c = 37k -100a - 10b จากนั้น B = 100b + 10c + a = 100b + k - 100a - 10b) + a \u003d 370k - 999a นั่นคือ B หารด้วย 37 ลงตัว

    ตัวอย่างที่ 13 จงหาจำนวนนั้น เมื่อหารด้วยจำนวนที่ 1108, 1453, 1844 และ 2281 ให้เศษที่เหลือเท่ากัน

    คำตอบ: 23. ข้อบ่งชี้ ผลต่างของตัวเลขสองตัวใด ๆ ที่กำหนดจะหารด้วยจำนวนที่ต้องการ ซึ่งหมายความว่าตัวหารร่วมใดๆ ของความแตกต่างของข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่ไม่ใช่ 1 เหมาะสำหรับเรา

    ตัวอย่าง 14. แทน 19 เป็นผลต่างของลูกบาศก์ของจำนวนธรรมชาติ

    ตัวอย่าง 15. ค่ากำลังสองของจำนวนธรรมชาติเท่ากับผลคูณของเลขคี่สี่ตัวติดกัน หาเลขนี้.

    ตอบ: .

    ตัวอย่าง 16..gif" width="115" height="27"> หารด้วย 10 ไม่ลงตัว

    คำตอบ: ก) ทิศทาง เมื่อจัดกลุ่มคำแรกและคำสุดท้าย คำที่สองและสุดท้าย ฯลฯ ให้ใช้สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์

    ข) สิ่งบ่งชี้..gif" width="120" height="20">

    4) ค้นหาคู่ของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่มี GCD เป็น 5 และ LCM คือ 105

    คำตอบ: 5, 105 หรือ 15, 35

    กิจกรรม 2(2 ชั่วโมง)

    หัวข้อบทเรียน:วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

    วัตถุประสงค์ของบทเรียน:พิจารณาข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการการพิสูจน์ แนะนำนักเรียนให้รู้จักวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ พัฒนาความคิดเชิงตรรกะ

    ระหว่างเรียน

    ฉัน. ตรวจการบ้าน.

    II. คำอธิบายของวัสดุใหม่

    ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนพร้อมกับงาน "ค้นหาคุณค่าของนิพจน์" มีงานในรูปแบบ: "พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน" วิธีการที่เป็นสากลที่สุดวิธีหนึ่งในการพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีคำว่า "สำหรับ n ตามธรรมชาติโดยพลการ" ปรากฏขึ้นคือวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์

    หลักฐานที่ใช้วิธีนี้ประกอบด้วยสามขั้นตอนเสมอ:

    1) พื้นฐานของการเหนี่ยวนำ ตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่งสำหรับ n = 1

    ในบางกรณี ในการเริ่มการปฐมนิเทศ คุณต้องตรวจสอบหลายๆ อย่าง

    ค่าเริ่มต้น

    2) สมมติฐานของการเหนี่ยวนำ คำสั่งนี้ถือว่าเป็นจริงสำหรับ any

    3) ขั้นตอนอุปนัย เราพิสูจน์ความถูกต้องของการยืนยันสำหรับ

    ดังนั้น เริ่มต้นจาก n = 1 บนพื้นฐานของขั้นตอนอุปนัยที่พิสูจน์แล้ว เราได้รับความถูกต้องของการยืนยันที่พิสูจน์แล้วสำหรับ

    n =2, 3,…t. e. สำหรับ n ใด ๆ

    มาดูตัวอย่างกัน

    ตัวอย่างที่ 1: พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ หารด้วย 7 ลงตัว

    หลักฐาน: Denote .

    ขั้นตอนที่ 1..gif" width="143" height="37 src="> หารด้วย 7 ลงตัว

    ขั้นตอนที่ 3..gif" width="600" height="88">

    เลขตัวสุดท้ายหารด้วย 7 ลงตัว เพราะมันคือผลต่างระหว่างจำนวนเต็มสองตัวหารด้วย 7 ลงตัว

    ตัวอย่างที่ 2: พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

    https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> ได้รับจาก แทนที่ n ด้วย k = 1

    สาม. การแก้ปัญหา

    ในบทเรียนแรก จากงานด้านล่าง (ฉบับที่ 1-3) หลายรายการได้รับการคัดเลือกเพื่อแก้ปัญหาตามดุลยพินิจของครูเพื่อวิเคราะห์บนกระดาน บทเรียนที่สองเกี่ยวข้องกับ№ 4.5; จัดขึ้น งานอิสระจาก #1-3; ข้อเสนอหมายเลข 6 เป็นข้อเสนอเพิ่มเติมโดยมีการตัดสินใจที่บังคับบนกระดาน

    1) พิสูจน์ว่า a) หารด้วย 83 ลงตัว;

    b) หารด้วย 13 ลงตัว;

    c) หารด้วย 20801 ลงตัว

    2) พิสูจน์ว่าสำหรับ n ตามธรรมชาติใด ๆ :

    ก) หารด้วย 120 ลงตัว;

    ข) หารด้วย 27 ลงตัว;

    ใน) หารด้วย 84;

    ช) หารด้วย 169 ลงตัว;

    จ) หารด้วย 8 ลงตัว;

    f) หารด้วย 8 ลงตัว;

    g) หารด้วย 16 ลงตัว;

    ชม) หารด้วย 49;

    และ) หารด้วย 41 ลงตัว;

    ถึง) หารด้วย 23 ลงตัว;

    ล) หารด้วย 13 ลงตัว;

    ม.) แบ่งโดย .

    3) พิสูจน์ว่า:

    ช) ;

    4) ส่งออกสูตรผลรวม https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">

    6) พิสูจน์ว่าผลรวมของสมาชิกในแต่ละแถวของตาราง

    …………….

    เท่ากับกำลังสองของเลขคี่ที่มีตัวเลขในแถวเท่ากับเลขแถวตั้งแต่ต้นตาราง

    คำตอบและคำแนะนำ

    1) ลองใช้รายการที่แนะนำในตัวอย่างที่ 4 ของบทเรียนก่อนหน้านี้

    ก) . จึงหารด้วย 83 . ลงตัว .

    ข) เพราะ , แล้ว ;

    . เพราะฉะนั้น, .

    c) เนื่องจาก จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าจำนวนที่กำหนดนั้นหารด้วย 11, 31 และ 61..gif" width="120" height="32 src="> ลงตัว การหารด้วย 11 และ 31 ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน

    2) ก) ให้เราพิสูจน์ว่าพจน์นี้หารด้วย 3, 8, 5. การหารด้วย 3 ลงตัวตามความจริงที่ว่า และจากจำนวนธรรมชาติสามจำนวนที่เรียงกัน หนึ่งตัวหารด้วย 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src="> ลงตัว ในการตรวจสอบการหารด้วย 5 ก็เพียงพอที่จะพิจารณาค่า n=0,1,2,3,4

    นิพจน์ตามตัวอักษร (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร และเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น นิพจน์ต่อไปนี้เป็นตัวอักษร:

    a+b+4

    คุณสามารถเขียนกฎ สูตร สมการ และฟังก์ชันโดยใช้นิพจน์ตามตัวอักษรได้ ความสามารถในการจัดการนิพจน์ตามตัวอักษรคือกุญแจสู่ความรู้ที่ดีเกี่ยวกับพีชคณิตและคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้น

    ปัญหาร้ายแรงในวิชาคณิตศาสตร์เกิดจากการแก้สมการ และเพื่อให้สามารถแก้สมการได้ คุณต้องสามารถทำงานกับนิพจน์ตามตัวอักษรได้

    ในการทำงานกับนิพจน์ตามตัวอักษร คุณต้องศึกษาเลขคณิตพื้นฐานให้ดี: การบวก การลบ การคูณ การหาร กฎพื้นฐานของคณิตศาสตร์ เศษส่วน การกระทำที่มีเศษส่วน สัดส่วน และไม่ใช่แค่เพื่อศึกษา แต่ต้องเข้าใจอย่างถ่องแท้

    เนื้อหาบทเรียน

    ตัวแปร

    ตัวอักษรที่มีอยู่ในนิพจน์ที่เรียกว่า ตัวแปร. ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ a+b+ 4 ตัวแปรคือตัวอักษร เอและ ข. หากแทนตัวแปรเหล่านี้ เราแทนตัวเลขใดๆ ดังนั้นนิพจน์ตามตัวอักษร a+b+ 4 จะหันไป นิพจน์ตัวเลขซึ่งสามารถหาค่าได้

    ตัวเลขที่ใช้แทนตัวแปรเรียกว่า ค่าตัวแปร. ตัวอย่างเช่น ลองเปลี่ยนค่าของตัวแปร เอและ ข. ใช้เครื่องหมายเท่ากับเพื่อเปลี่ยนค่า

    ก = 2, ข = 3

    เราได้เปลี่ยนค่าของตัวแปร เอและ ข. ตัวแปร เอมีค่า 2 , ตัวแปร ขมีค่า 3 . เป็นผลให้นิพจน์ตามตัวอักษร a+b+4แปลงเป็นนิพจน์ตัวเลขปกติ 2+3+4 ซึ่งสามารถหาค่าได้:

    เมื่อคูณตัวแปร จะถูกเขียนรวมกัน ตัวอย่างเช่น รายการ อะบีมีความหมายเดียวกับรายการ ก x ข. ถ้าเราแทนค่าตัวแปร เอและ ขตัวเลข 2 และ 3 จากนั้นเราจะได้ 6

    คุณยังสามารถเขียนการคูณตัวเลขด้วยนิพจน์ในวงเล็บร่วมกันได้ ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็น a×(b + c)เขียนได้ ก (b + ค). ใช้กฎการกระจายของการคูณ เราได้รับ a(b + c)=ab+ac.

    อัตราต่อรอง

    ในนิพจน์ตามตัวอักษร คุณมักจะพบสัญกรณ์ที่มีการเขียนตัวเลขและตัวแปรร่วมกัน ตัวอย่างเช่น 3a. อันที่จริง นี่เป็นชวเลขสำหรับการคูณตัวเลข 3 ด้วยตัวแปร เอและรายการนี้ดูเหมือน 3×a .

    กล่าวอีกนัยหนึ่งนิพจน์ 3aเป็นผลคูณของจำนวน 3 และตัวแปร เอ. ตัวเลข 3 ในงานนี้เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์. สัมประสิทธิ์นี้แสดงว่าตัวแปรจะเพิ่มขึ้นกี่ครั้ง เอ. นิพจน์นี้สามารถอ่านได้ว่า " เอสามครั้งหรือสามครั้ง เอ" หรือ "เพิ่มค่าของตัวแปร เอสามครั้ง" แต่ส่วนใหญ่มักอ่านว่า "สาม เอ«

    ตัวอย่างเช่น ถ้าตัวแปร เอเท่ากับ 5 แล้วค่าของนิพจน์ 3aจะเท่ากับ 15

    3 x 5 = 15

    การพูด ภาษาธรรมดาสัมประสิทธิ์คือตัวเลขที่อยู่หน้าตัวอักษร (ก่อนตัวแปร)

    สามารถมีตัวอักษรได้หลายตัว ตัวอย่างเช่น 5abc. สัมประสิทธิ์คือจำนวน 5 . สัมประสิทธิ์นี้แสดงว่าผลคูณของตัวแปร abcเพิ่มขึ้นห้าเท่า นิพจน์นี้สามารถอ่านได้ว่า " abcห้าครั้ง" หรือ "เพิ่มมูลค่าของนิพจน์ abcห้าครั้ง" หรือ "ห้า abc «.

    ถ้าแทนตัวแปร abcแทนที่ตัวเลข 2, 3 และ 4 ตามด้วยค่าของนิพจน์ 5abcจะเท่ากับ 120

    5 x 2 x 3 x 4 = 120

    คุณสามารถจินตนาการได้ว่าตัวเลข 2, 3 และ 4 คูณกันอย่างไรในตอนแรก และค่าผลลัพธ์เพิ่มขึ้นห้าเท่า:

    เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์หมายถึงสัมประสิทธิ์เท่านั้น ไม่สามารถใช้กับตัวแปรได้

    พิจารณานิพจน์ −6b. ลบหน้าสัมประสิทธิ์ 6 , ใช้เฉพาะกับสัมประสิทธิ์ 6 และไม่ใช้กับตัวแปร ข. การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้คุณไม่ทำผิดพลาดในอนาคตด้วยสัญญาณ

    ค้นหาค่าของนิพจน์ −6bที่ ข = 3.

    −6b −6×ข. เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ −6bในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร ข

    −6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

    ตัวอย่าง 2ค้นหาค่าของนิพจน์ −6bที่ ข = −5

    มาเขียนนิพจน์กันเถอะ −6bในรูปแบบขยาย

    −6b = −6 × b = −6 × (-5) = 30

    ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์ −5a+ขที่ a = 3และ ข = 2

    −5a+ขเป็นตัวย่อสำหรับ −5 × a + bดังนั้น เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ −5×a+ขในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร เอและ ข

    −5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

    บางครั้งตัวอักษรก็เขียนโดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ เช่น เอหรือ อะบี. ในกรณีนี้สัมประสิทธิ์คือหนึ่ง:

    แต่หน่วยตามธรรมเนียมจะไม่เขียนลง ดังนั้นพวกเขาก็แค่เขียน เอหรือ อะบี

    หากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าตัวอักษร สัมประสิทธิ์จะเป็นตัวเลข −1 . ตัวอย่างเช่น นิพจน์ -aจริงๆดูเหมือน -1a. นี่คือผลคูณของลบหนึ่งและตัวแปร ก.มันออกมาเช่นนี้:

    -1 × a = -1a

    นี่เป็นเคล็ดลับเล็ก ๆ ในนิพจน์ -aลบก่อนตัวแปร เออันที่จริงหมายถึง "หน่วยที่มองไม่เห็น" ไม่ใช่ตัวแปร เอ. ดังนั้นในการแก้ปัญหาจึงควรระมัดระวัง

    ตัวอย่างเช่น รับนิพจน์ -aและขอให้เราหาค่าของมันที่ a = 2ที่โรงเรียนเราแทนที่ deuce แทนตัวแปร เอแล้วได้คำตอบ −2 ไม่ได้เน้นว่ามันจะออกมาเป็นอย่างไร อันที่จริง มีการคูณลบหนึ่งด้วยจำนวนบวก 2

    -a = -1 × a

    -1 × a = -1 × 2 = −2

    หากมีการแสดงนิพจน์ -aและจำเป็นต้องหาค่าที่ ก = −2, จากนั้นเราแทนที่ −2 แทนที่จะเป็นตัวแปร เอ

    -a = -1 × a

    -1 × a = -1 × (−2) = 2

    เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด ในตอนแรกหน่วยที่มองไม่เห็นสามารถเขียนได้อย่างชัดเจน

    ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์ abcที่ a=2 , b=3และ ค=4

    การแสดงออก abc 1×a×b×c.เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ abc ก , ขและ ค

    1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

    ตัวอย่างที่ 5ค้นหาค่าของนิพจน์ abcที่ ก=−2 , ข=−3และ ค=−4

    มาเขียนนิพจน์กันเถอะ abcในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร ก , ขและ ค

    1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

    ตัวอย่างที่ 6ค้นหาค่าของนิพจน์ − abcที่ a=3 , b=5 และ c=7

    การแสดงออก − abcเป็นตัวย่อสำหรับ -1×ก×ข×ค.เพื่อความชัดเจน เราเขียนนิพจน์ − abcในรูปแบบขยายและแทนที่ค่าของตัวแปร ก , ขและ ค

    −abc = -1 × a × b × c = -1 × 3 × 5 × 7 = −105

    ตัวอย่าง 7ค้นหาค่าของนิพจน์ − abcที่ a=−2 , b=−4 และ c=−3

    มาเขียนนิพจน์กันเถอะ − abcขยาย:

    −abc = -1 × a × b × c

    แทนค่าของตัวแปร เอ , ขและ ค

    −abc = -1 × a × b × c = -1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

    วิธีการกำหนดสัมประสิทธิ์

    บางครั้งจำเป็นต้องแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นต้องกำหนดสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ โดยหลักการแล้ว งานนี้ง่ายมาก ก็เพียงพอที่จะสามารถคูณตัวเลขได้อย่างถูกต้อง

    ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์ คุณจะต้องคูณตัวเลขที่รวมอยู่ในนิพจน์นี้แยกกัน และคูณตัวอักษรแยกกัน ปัจจัยเชิงตัวเลขที่ได้จะเป็นสัมประสิทธิ์

    ตัวอย่างที่ 1 7m×5a×(−3)×n

    นิพจน์ประกอบด้วยปัจจัยหลายประการ สิ่งนี้สามารถเห็นได้อย่างชัดเจนหากนิพจน์ถูกเขียนในรูปแบบขยาย นั่นคือทำงาน 7mและ 5aเขียนในแบบฟอร์ม 7×mและ 5×a

    7 × m × 5 × a × (−3) × n

    เราใช้กฎการเชื่อมโยงของการคูณ ซึ่งช่วยให้เราสามารถคูณตัวประกอบในลำดับใดก็ได้ กล่าวคือคูณตัวเลขและคูณตัวอักษร (ตัวแปร) แยกกัน

    −3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

    ค่าสัมประสิทธิ์คือ −105 . หลังจากเสร็จสิ้น ส่วนของตัวอักษรควรเรียงตามลำดับตัวอักษร:

    −105 น.

    ตัวอย่าง 2กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์: −a×(−3)×2

    −a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

    ค่าสัมประสิทธิ์คือ 6

    ตัวอย่างที่ 3กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์:

    มาคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

    สัมประสิทธิ์คือ -1 โปรดทราบว่าหน่วยจะไม่ถูกบันทึก เนื่องจากปกติแล้วค่าสัมประสิทธิ์ 1 จะไม่ถูกบันทึก

    งานที่ดูเหมือนง่าย ๆ เหล่านี้สามารถเล่นเรื่องตลกที่โหดร้ายกับเราได้ บ่อยครั้งที่ปรากฎว่ามีการตั้งค่าเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ไม่ถูกต้อง: เครื่องหมายลบถูกละเว้นหรือในทางตรงกันข้ามมันถูกตั้งค่าอย่างไร้ประโยชน์ เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญเหล่านี้ จะต้องศึกษาในระดับดี

    เงื่อนไขในนิพจน์ตามตัวอักษร

    เมื่อคุณบวกตัวเลขหลายตัว คุณจะได้ผลรวมของตัวเลขเหล่านั้น ตัวเลขที่รวมกันเรียกว่าเงื่อนไข สามารถมีได้หลายคำ เช่น

    1 + 2 + 3 + 4 + 5

    เมื่อนิพจน์ประกอบด้วยพจน์ จะคำนวณได้ง่ายกว่ามาก เนื่องจากจะเพิ่มง่ายกว่าการลบ แต่นิพจน์สามารถประกอบด้วยการบวกไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการลบด้วยเช่น:

    1 + 2 − 3 + 4 − 5

    ในนิพจน์นี้ ตัวเลข 3 และ 5 จะถูกลบออก ไม่มีการบวกเพิ่ม แต่ไม่มีอะไรป้องกันเราจากการแทนที่การลบด้วยการบวก จากนั้นเราจะได้นิพจน์ที่ประกอบด้วยเทอมอีกครั้ง:

    1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

    ไม่สำคัญว่าตอนนี้ตัวเลข -3 และ -5 จะเป็นเครื่องหมายลบ สิ่งสำคัญคือตัวเลขทั้งหมดในนิพจน์นี้เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายบวก กล่าวคือ นิพจน์เป็นผลรวม

    ทั้งสองสำนวน 1 + 2 − 3 + 4 − 5 และ 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) มีค่าเท่ากัน - ลบหนึ่ง

    1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

    1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

    ดังนั้นค่าของนิพจน์จะไม่ได้รับผลกระทบจากความจริงที่ว่าเราแทนที่การลบด้วยการบวกที่ไหนสักแห่ง

    คุณยังสามารถแทนที่การลบด้วยการบวกในนิพจน์ตามตัวอักษร ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้:

    7a + 6b - 3c + 2d - 4s

    7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

    สำหรับค่าตัวแปรใด ๆ เอบีซีดีและ สสำนวน 7a + 6b - 3c + 2d - 4s และ 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) จะมีค่าเท่ากัน

    คุณต้องเตรียมพร้อมสำหรับข้อเท็จจริงที่ว่าครูที่โรงเรียนหรือครูในสถาบันสามารถเรียกคำศัพท์ได้แม้กระทั่งตัวเลข (หรือตัวแปร) ที่ไม่ใช่ตัวเลขเหล่านั้น

    ตัวอย่างเช่น หากเขียนความแตกต่างไว้บนกระดาน a-b,แล้วอาจารย์จะไม่พูดอย่างนั้น เอเป็น minuend และ ข- หักได้ เขาจะเรียกตัวแปรทั้งสองว่าหนึ่ง คำทั่วไป — เงื่อนไข. และทั้งหมดเป็นเพราะการแสดงออกของรูปแบบ a-bนักคณิตศาสตร์เห็นว่าผลรวมเป็นอย่างไร a + (−b). ในกรณีนี้ นิพจน์จะกลายเป็นผลรวม และตัวแปร เอและ (−b)กลายเป็นส่วนประกอบ

    คำที่คล้ายกัน

    คำที่คล้ายกันเป็นคำที่มีส่วนของตัวอักษรเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ 7a + 6b + 2a. เงื่อนไข 7aและ 2aมีส่วนตัวอักษรเดียวกัน - ตัวแปร เอ. ดังนั้นเงื่อนไข 7aและ 2aมีความคล้ายคลึงกัน

    โดยปกติ จะมีการเติมคำศัพท์เพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นหรือแก้สมการ การดำเนินการนี้เรียกว่า การลดเงื่อนไขการชอบ.

    ในการนำพจน์ที่เหมือนกันมา คุณต้องบวกสัมประสิทธิ์ของเทอมเหล่านี้ แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนของตัวอักษรทั่วไป

    ตัวอย่างเช่น เราให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 3a + 4a + 5a. ในกรณีนี้ ข้อกำหนดทั้งหมดจะคล้ายกัน เราเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป - โดยตัวแปร เอ

    3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5) ×a = 12a

    เงื่อนไขดังกล่าวมักจะให้ไว้ในใจและผลลัพธ์จะถูกบันทึกไว้ทันที:

    3a + 4a + 5a = 12a

    นอกจากนี้ คุณสามารถโต้แย้งได้ดังนี้:

    มี 3 ตัวแปร a อีก 4 ตัวแปร a และอีก 5 ตัวแปร a ถูกเพิ่มเข้าไป เป็นผลให้เราได้รับ 12 ตัวแปร a

    มาลองพิจารณาตัวอย่างหลายๆ ตัวของการลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน เมื่อพิจารณาว่าหัวข้อนี้มีความสำคัญมาก ในตอนแรกเราจะจดรายละเอียดทั้งหมดอย่างละเอียด แม้ว่าทุกอย่างจะง่ายมากที่นี่ แต่คนส่วนใหญ่ทำผิดพลาดมากมาย ส่วนใหญ่เกิดจากการไม่ตั้งใจ ไม่ใช่ความไม่รู้

    ตัวอย่างที่ 1 3เป็น + 2เป็น + 6เป็น + 8เอ

    เราเพิ่มสัมประสิทธิ์ในนิพจน์นี้และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนของตัวอักษรทั่วไป:

    3เป็น + 2เป็น + 6เป็น + 8ก=(3 + 2 + 6 + 8)× เป็ = 19เอ

    การก่อสร้าง (3 + 2 + 6 + 8) × อาคุณไม่สามารถเขียนได้ดังนั้นเราจะเขียนคำตอบทันที

    3 เป็น + 2 เป็น + 6 เป็น + 8 ก = 19 เอ

    ตัวอย่าง 2นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 2a+a

    เทอมที่สอง เอเขียนโดยไม่มีสัมประสิทธิ์ แต่จริงๆ แล้วมีสัมประสิทธิ์นำหน้าด้วย 1 ซึ่งเราไม่เห็นเพราะว่าไม่ได้บันทึก ดังนั้นนิพจน์จึงมีลักษณะดังนี้:

    2a + 1a

    ตอนนี้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน นั่นคือเราเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

    2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

    ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

    2a + a = 3a

    2a+aคุณสามารถโต้แย้งได้อีกทางหนึ่ง:

    ตัวอย่างที่ 3นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 2a - อะ

    มาแทนที่การลบด้วยการบวก:

    2a + (−a)

    เทอมที่สอง (−ก)เขียนไม่มีสัมประสิทธิ์ แต่จริงๆ แล้วดูเหมือน (-1ก).ค่าสัมประสิทธิ์ −1 มองไม่เห็นอีกครั้งเนื่องจากไม่ได้บันทึก ดังนั้นนิพจน์จึงมีลักษณะดังนี้:

    2a + (-1a)

    ตอนนี้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราบวกสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

    2a + (-1a) = (2 + (-1)) × a = 1a = a

    มักจะเขียนให้สั้นกว่า:

    2a − a = a

    นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 2a−aคุณสามารถโต้แย้งด้วยวิธีอื่น:

    มี 2 ​​ตัวแปร a ลบหนึ่งตัวแปร a ส่งผลให้มีตัวแปร a . เพียงตัวเดียว

    ตัวอย่างที่ 4นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 6a - 3a + 4a - 8a

    6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

    ตอนนี้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราบวกค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป

    (6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = -1a = −a

    ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

    6a - 3a + 4a - 8a = -a

    มีนิพจน์ที่มีกลุ่มคำที่คล้ายคลึงกันหลายกลุ่ม ตัวอย่างเช่น, 3a + 3b + 7a + 2b. สำหรับนิพจน์ดังกล่าว จะใช้กฎเดียวกันกับส่วนที่เหลือ กล่าวคือ การเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนของตัวอักษรทั่วไป แต่เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด จะสะดวกที่จะขีดเส้นใต้กลุ่มคำต่างๆ ด้วยบรรทัดที่ต่างกัน

    ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 3a + 3b + 7a + 2bคำเหล่านั้นที่มีตัวแปร เอสามารถขีดเส้นใต้ด้วยหนึ่งบรรทัด และคำเหล่านั้นที่มีตัวแปร ขสามารถขีดเส้นใต้ด้วยสองบรรทัด:

    ตอนนี้เราสามารถนำเงื่อนไขที่เหมือนกันมา นั่นคือ บวกสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป สิ่งนี้จะต้องทำสำหรับคำศัพท์ทั้งสองกลุ่ม: สำหรับเงื่อนไขที่มีตัวแปร เอและสำหรับเงื่อนไขที่มีตัวแปร ข.

    3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

    เราขอย้ำอีกครั้งว่า นิพจน์นั้นเรียบง่าย และสามารถให้คำที่คล้ายกันในใจได้:

    3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

    ตัวอย่างที่ 5นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 5a - 6a - 7b + b

    เราแทนที่การลบด้วยการบวกถ้าเป็นไปได้:

    5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

    ขีดเส้นใต้คำเหมือนที่มีบรรทัดต่างกัน ศัพท์ที่มีตัวแปร เอขีดเส้นใต้หนึ่งบรรทัดและคำที่มีตัวแปร ขขีดเส้นใต้ด้วยสองบรรทัด:

    ตอนนี้เราสามารถนำเงื่อนไขที่เหมือนกันมา นั่นคือ บวกสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

    5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

    หากนิพจน์มีตัวเลขธรรมดาที่ไม่มีตัวประกอบตามตัวอักษร จะถูกเพิ่มแยกกัน

    ตัวอย่างที่ 6นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 4a + 3a − 5 + 2b + 7

    มาแทนที่การลบด้วยการบวกถ้าเป็นไปได้:

    4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

    ให้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน ตัวเลข −5 และ 7 ไม่มีตัวประกอบตามตัวอักษร แต่เป็นคำที่คล้ายกัน คุณแค่ต้องบวกมันเข้าไป และคำว่า 2bจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากเป็นเพียงตัวเดียวในนิพจน์นี้ที่มีตัวประกอบตัวอักษร ขและไม่มีอะไรจะเพิ่มด้วย:

    4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

    ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

    4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

    สามารถสั่งซื้อข้อกำหนดเพื่อให้คำที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกันอยู่ในส่วนเดียวกันของนิพจน์

    ตัวอย่าง 7นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 5t+2x+3x+5t+x

    เนื่องจากนิพจน์เป็นผลรวมของคำศัพท์หลายคำ จึงช่วยให้เราประเมินค่าในลำดับใดก็ได้ ดังนั้นเงื่อนไขที่มีตัวแปร tสามารถเขียนขึ้นต้นนิพจน์ได้ และพจน์ที่มีตัวแปร xที่ส่วนท้ายของนิพจน์:

    5t+5t+2x+3x+x

    ตอนนี้เราสามารถเพิ่มคำที่ชอบได้:

    5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

    ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

    5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

    ผลรวมของจำนวนตรงข้ามเป็นศูนย์ กฎนี้ยังใช้ได้กับนิพจน์ตามตัวอักษรอีกด้วย หากนิพจน์มีคำศัพท์ที่เหมือนกัน แต่มีเครื่องหมายตรงข้าม คุณสามารถกำจัดพวกมันได้ในขั้นตอนการลดคำศัพท์ที่คล้ายกัน พูดอีกอย่างก็คือ ปล่อยพวกมันออกจากนิพจน์เพราะผลรวมของพวกมันเป็นศูนย์

    ตัวอย่างที่ 8นำพจน์ที่เหมือนกันมาในนิพจน์ 3t − 4t − 3t + 2t

    มาแทนที่การลบด้วยการบวกถ้าเป็นไปได้:

    3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

    เงื่อนไข 3tและ (-3t)อยู่ตรงข้าม ผลรวมของพจน์ตรงข้ามเท่ากับศูนย์ ถ้าเราลบศูนย์นี้ออกจากนิพจน์ ค่าของนิพจน์จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นเราจะลบมันออก และเราจะลบออกโดยการลบเงื่อนไขตามปกติ 3tและ (-3t)

    เป็นผลให้เราจะได้นิพจน์ (−4t) + 2t. ในนิพจน์นี้ คุณสามารถเพิ่มคำที่ชอบและรับคำตอบสุดท้ายได้:

    (−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

    ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :

    การลดความซับซ้อนของนิพจน์

    "ลดความซับซ้อนของการแสดงออก" และต่อไปนี้คือนิพจน์ที่จะทำให้ง่ายขึ้น ลดความซับซ้อนของนิพจน์หมายถึงทำให้ง่ายขึ้นและสั้นลง

    อันที่จริง เราได้จัดการกับการลดความซับซ้อนของนิพจน์เมื่อลดเศษส่วนแล้ว หลังจากการลดลง เศษส่วนจะสั้นลงและอ่านง่ายขึ้น

    ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ลดความซับซ้อนของนิพจน์

    งานนี้สามารถเข้าใจได้อย่างแท้จริงดังนี้: "ทำทุกอย่างที่ทำได้ด้วยสำนวนนี้ แต่ทำให้ง่ายขึ้น" .

    ในกรณีนี้ คุณสามารถลดเศษส่วน กล่าวคือ หารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย 2:

    ทำอะไรได้อีกบ้าง? คุณสามารถคำนวณเศษส่วนผลลัพธ์ จากนั้นเราจะได้ทศนิยม 0.5

    เป็นผลให้เศษส่วนถูกลดรูปเป็น 0.5

    คำถามแรกที่ถามตัวเองในการแก้ปัญหาดังกล่าวควรเป็น “จะทำอะไรได้” . เพราะมีบางสิ่งที่คุณสามารถทำได้และมีบางสิ่งที่คุณไม่สามารถทำได้

    จุดสำคัญอีกประการหนึ่งที่ต้องจำไว้คือ ค่าของนิพจน์จะต้องไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากที่นิพจน์ถูกทำให้ง่ายขึ้น กลับไปที่นิพจน์ นิพจน์นี้เป็นส่วนที่สามารถทำได้ เมื่อทำการหารนี้ เราจะได้ค่าของนิพจน์นี้ ซึ่งเท่ากับ 0.5

    แต่เราทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและได้รับนิพจน์ที่ลดความซับซ้อนใหม่ ค่าของนิพจน์แบบง่ายใหม่ยังคงเป็น 0.5

    แต่เรายังพยายามทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นด้วยการคำนวณ ผลที่ได้คือคำตอบสุดท้ายคือ 0.5

    ดังนั้น ไม่ว่าเราจะลดความซับซ้อนของนิพจน์อย่างไร ค่าของนิพจน์ที่ได้ก็จะยังคงเป็น 0.5 ซึ่งหมายความว่าการทำให้เข้าใจง่ายถูกดำเนินการอย่างถูกต้องในแต่ละขั้นตอน นี่คือสิ่งที่เราต้องพยายามเมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ - ความหมายของนิพจน์ไม่ควรได้รับผลกระทบจากการกระทำของเรา

    บ่อยครั้งจำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์ตามตัวอักษร สำหรับพวกเขา กฎการทำให้เข้าใจง่ายแบบเดียวกับที่ใช้กับนิพจน์ตัวเลข คุณสามารถดำเนินการใดๆ ที่ถูกต้องได้ ตราบใดที่ค่าของนิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง

    มาดูตัวอย่างกัน

    ตัวอย่างที่ 1ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 5.21s × t × 2.5

    ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน งานนี้คล้ายกับงานที่เราพิจารณาเมื่อเราเรียนรู้การกำหนดค่าสัมประสิทธิ์:

    5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

    ดังนั้นการแสดงออก 5.21s × t × 2.5ง่ายไป 13.025st.

    ตัวอย่าง 2ลดความซับซ้อนของนิพจน์ −0.4×(−6.3b)×2

    งานที่สอง (−6.3b)สามารถแปลเป็นแบบฟอร์มที่เราเข้าใจได้ กล่าวคือ เขียนในรูปแบบ ( −6.3)×ข ,จากนั้นคูณตัวเลขและคูณตัวอักษรแยกกัน:

    − 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

    ดังนั้นการแสดงออก −0.4×(−6.3b)×2 ง่ายไป 5.04b

    ตัวอย่างที่ 3ลดความซับซ้อนของนิพจน์

    มาเขียนนิพจน์นี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้นเพื่อให้เห็นได้ชัดเจนว่าตัวเลขอยู่ที่ไหนและตัวอักษรอยู่ที่ไหน:

    ตอนนี้เราคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน:

    ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป −abc.วิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนให้สั้นลงได้:

    เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ เศษส่วนสามารถลดลงได้ในกระบวนการแก้ ไม่ใช่ในตอนท้ายอย่างที่เราทำกับเศษส่วนธรรมดา ตัวอย่างเช่น หากในระหว่างการแก้เราเจอนิพจน์ของ form ก็ไม่จำเป็นที่จะต้องคำนวณตัวเศษและตัวส่วนและทำสิ่งนี้:

    เศษส่วนสามารถลดลงได้โดยการเลือกทั้งตัวประกอบในตัวเศษและตัวส่วน และลดตัวประกอบเหล่านี้ด้วยตัวหารร่วมมากของพวกมัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ใช้ ซึ่งเราไม่ได้อธิบายรายละเอียดว่าตัวเศษและตัวส่วนถูกแบ่งออกเป็นอะไร

    ตัวอย่างเช่น ในตัวเศษ ตัวประกอบ 12 และตัวส่วน ตัวประกอบ 4 สามารถลดลง 4 ได้ เราเก็บสี่ไว้ในใจ และหาร 12 และ 4 ด้วยสี่นี่ เราเขียนคำตอบถัดจากตัวเลขเหล่านี้ ก่อนหน้านี้ได้ขีดฆ่าพวกเขาออก

    ตอนนี้คุณสามารถคูณปัจจัยเล็ก ๆ ที่เป็นผลลัพธ์ได้ ในกรณีนี้ มีไม่มาก และคุณสามารถคูณมันได้ในใจ:

    เมื่อเวลาผ่านไป คุณอาจพบว่าเมื่อแก้ปัญหาบางอย่าง นิพจน์จะเริ่ม "อ้วนขึ้น" ดังนั้นจึงแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับการคำนวณอย่างรวดเร็ว สิ่งที่คำนวณในใจได้ต้องคำนวณในใจ สิ่งที่ตัดได้เร็วก็ควรตัดให้เร็ว

    ตัวอย่างที่ 4ลดความซับซ้อนของนิพจน์

    ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป

    ตัวอย่างที่ 5ลดความซับซ้อนของนิพจน์

    เราคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

    ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป นาที.

    ตัวอย่างที่ 6ลดความซับซ้อนของนิพจน์

    มาเขียนนิพจน์นี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้นเพื่อให้เห็นได้ชัดเจนว่าตัวเลขอยู่ที่ไหนและตัวอักษรอยู่ที่ไหน:

    ตอนนี้เราคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เศษทศนิยม −6.4 และ คละจำนวนสามารถแปลงเป็นเศษส่วนสามัญได้:

    ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป

    วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนได้สั้นกว่ามาก มันจะมีลักษณะดังนี้:

    ตัวอย่าง 7ลดความซับซ้อนของนิพจน์

    เราคูณตัวเลขแยกกันและแยกตัวอักษร เพื่อความสะดวกในการคำนวณ สามารถแปลงจำนวนคละและเศษส่วนทศนิยม 0.1 และ 0.6 เป็นเศษส่วนสามัญได้:

    ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป เอบีซีดี. หากคุณข้ามรายละเอียด วิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนให้สั้นลงได้มาก:

    สังเกตว่าเศษส่วนลดลงอย่างไร ตัวคูณใหม่ซึ่งได้มาจากการลดตัวคูณก่อนหน้านั้นก็สามารถลดลงได้เช่นกัน

    ทีนี้มาพูดถึงสิ่งที่ไม่ควรทำกัน เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ ห้ามมิให้คูณตัวเลขและตัวอักษรหากนิพจน์เป็นผลรวมและไม่ใช่ผลคูณ

    ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการลดความซับซ้อนของนิพจน์ 5a + 4bจึงไม่สามารถเขียนได้ดังนี้

    นี่เทียบเท่ากับข้อเท็จจริงที่ว่าหากเราถูกขอให้บวกตัวเลขสองตัว และเราจะคูณพวกมันแทนที่จะบวกกัน

    เมื่อแทนค่าของตัวแปรใดๆ เอและ ขการแสดงออก 5a+4bเปลี่ยนเป็นนิพจน์ตัวเลขอย่างง่าย สมมติว่าตัวแปร เอและ ขมีความหมายดังต่อไปนี้:

    a = 2 , b = 3

    จากนั้นค่าของนิพจน์จะเป็น22

    5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

    ขั้นแรกให้ทำการคูณแล้วเพิ่มผลลัพธ์ และถ้าเราพยายามทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นด้วยการคูณตัวเลขและตัวอักษร เราจะได้ค่าต่อไปนี้:

    5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

    20ab = 20 x 2 x 3 = 120

    มันกลับกลายเป็นความหมายที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงของนิพจน์ ในกรณีแรกปรากฎ 22 , ในกรณีที่สอง 120 . ซึ่งหมายความว่าการลดความซับซ้อนของนิพจน์ 5a + 4bถูกดำเนินการอย่างไม่ถูกต้อง

    หลังจากลดความซับซ้อนของนิพจน์แล้ว ค่าของนิพจน์ไม่ควรเปลี่ยนด้วยค่าตัวแปรเดียวกัน หากเมื่อแทนที่ค่าตัวแปรใด ๆ ลงในนิพจน์ดั้งเดิม จะได้รับหนึ่งค่า จากนั้นหลังจากลดความซับซ้อนของนิพจน์แล้ว ควรได้รับค่าเดียวกันก่อนที่จะทำให้เข้าใจง่าย

    ด้วยการแสดงออก 5a + 4bอันที่จริงไม่มีอะไรสามารถทำได้ มันไม่ได้ง่ายขึ้น

    หากนิพจน์มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน ก็สามารถเพิ่มได้หากเป้าหมายของเราคือทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

    ตัวอย่างที่ 8ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 0.3a−0.4a+a

    0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

    หรือสั้นกว่า: 0.3a - 0.4a + = 0.9a

    ดังนั้นการแสดงออก 0.3a−0.4a+aง่ายไป 0.9a

    ตัวอย่างที่ 9ลดความซับซ้อนของนิพจน์ −7.5a − 2.5b + 4a

    ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

    −7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

    หรือสั้นกว่า −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

    ภาคเรียน (−2.5b)ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีอะไรให้พับ

    ตัวอย่าง 10ลดความซับซ้อนของนิพจน์

    ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

    ค่าสัมประสิทธิ์เพื่อความสะดวกในการคำนวณ

    ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป

    ตัวอย่างที่ 11ลดความซับซ้อนของนิพจน์

    ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

    ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป

    ในตัวอย่างนี้ ควรบวกสัมประสิทธิ์ตัวแรกและตัวสุดท้ายก่อน ในกรณีนี้ เราจะได้คำตอบสั้นๆ มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

    ตัวอย่างที่ 12ลดความซับซ้อนของนิพจน์

    ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

    ดังนั้นการแสดงออก ง่ายไป .

    คำนี้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีอะไรให้เพิ่มเข้าไป

    วิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนให้สั้นลงได้มาก มันจะมีลักษณะดังนี้:

    วิธีแก้ปัญหาสั้นๆ ข้ามขั้นตอนของการแทนที่การลบด้วยการบวก และบันทึกโดยละเอียดว่าเศษส่วนถูกลดทอนเป็นตัวส่วนร่วมอย่างไร

    ความแตกต่างอีกประการหนึ่งคือในการแก้ปัญหาโดยละเอียด คำตอบดูเหมือน แต่โดยย่อว่า . อันที่จริงมันเป็นนิพจน์เดียวกัน ความแตกต่างคือในกรณีแรก การลบจะถูกแทนที่ด้วยการบวก เพราะในตอนแรก เมื่อเราจดวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียด เราจะแทนที่การลบด้วยการบวกในทุกที่ที่ทำได้ และการแทนที่นี้ได้รับการเก็บรักษาไว้สำหรับคำตอบ

    ข้อมูลประจำตัว นิพจน์เท่ากัน

    หลังจากที่เราทำให้นิพจน์ต่างๆ ง่ายขึ้นแล้ว นิพจน์นั้นจะง่ายและสั้นลง ในการตรวจสอบว่านิพจน์ถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้องหรือไม่ ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่ค่าใดๆ ของตัวแปรก่อนในนิพจน์ก่อนหน้า ซึ่งจำเป็นต้องทำให้เข้าใจง่าย แล้วจึงเปลี่ยนเป็นค่าใหม่ซึ่งลดความซับซ้อนลง หากค่าในนิพจน์ทั้งสองเหมือนกัน นิพจน์จะถูกลดความซับซ้อนอย่างถูกต้อง

    พิจารณา ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด. ให้จำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์ 2a × 7b. ในการทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

    2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

    ลองดูว่าเราลดรูปนิพจน์ให้ถูกต้องหรือไม่ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้แทนที่ค่าใดๆ ของตัวแปร เอและ ขก่อนถึงนิพจน์แรกซึ่งจำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้น และจากนั้นไปยังนิพจน์ที่สองซึ่งถูกทำให้ง่ายขึ้น

    ให้ค่าของตัวแปร เอ , ขจะเป็นดังนี้:

    a = 4 , b = 5

    แทนที่พวกเขาในนิพจน์แรก 2a × 7b

    ทีนี้มาแทนที่ค่าตัวแปรเดียวกันลงในนิพจน์ที่เกิดจากการลดความซับซ้อน 2a×7bกล่าวคือในนิพจน์ 14ab

    14ab = 14 x 4 x 5 = 280

    เราเห็นว่าที่ a=4และ b=5ค่าของนิพจน์แรก 2a×7bและค่าของนิพจน์ที่สอง 14abเท่ากับ

    2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

    14ab = 14 x 4 x 5 = 280

    สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นกับค่าอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ให้ a=1และ b=2

    2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

    14ab = 14 x 1 x 2 = 28

    ดังนั้นสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรนิพจน์ 2a×7bและ 14abมีค่าเท่ากัน สำนวนดังกล่าวเรียกว่า เท่ากัน.

    เราสรุปได้ว่าระหว่างนิพจน์ 2a×7bและ 14abคุณสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับ เพราะมันเท่ากับค่าเดียวกัน

    2a × 7b = 14ab

    ความเท่าเทียมกันคือนิพจน์ใดๆ ที่เชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (=)

    และความเท่าเทียมกันของรูปแบบ 2a×7b = 14abเรียกว่า ตัวตน.

    เอกลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร

    ตัวอย่างอื่น ๆ ของข้อมูลประจำตัว:

    a + b = b + a

    a(b+c) = ab + ac

    a(bc) = (ab)c

    ใช่ กฎของคณิตศาสตร์ที่เราศึกษาคืออัตลักษณ์

    ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่แท้จริงยังเป็นตัวตนอีกด้วย ตัวอย่างเช่น:

    2 + 2 = 4

    3 + 3 = 5 + 1

    10 = 7 + 2 + 1

    กำลังตัดสินใจ งานยากเพื่อความสะดวกในการคำนวณ นิพจน์ที่ซับซ้อนจะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่ง่ายกว่าซึ่งเท่ากับนิพจน์ก่อนหน้า การทดแทนดังกล่าวเรียกว่า การแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันหรือง่ายๆ การแปลงนิพจน์.

    ตัวอย่างเช่น เราลดความซับซ้อนของนิพจน์ 2a × 7bและรับนิพจน์ที่ง่ายกว่า 14ab. การทำให้เข้าใจง่ายนี้เรียกว่าการแปลงเอกลักษณ์

    คุณมักจะพบงานที่บอกว่า "พิสูจน์ความเท่าเทียมคือตัวตน" แล้วให้ความเท่าเทียมกันที่จะพิสูจน์ได้ โดยปกติความเท่าเทียมกันนี้ประกอบด้วยสองส่วน: ส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกัน หน้าที่ของเราคือทำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันกับส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันและรับส่วนอื่น ๆ หรือทำการแปลงที่เหมือนกันกับทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน และตรวจสอบให้แน่ใจว่าทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันมีนิพจน์เหมือนกัน

    ตัวอย่างเช่น ให้เราพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกัน 0.5a × 5b = 2.5abเป็นอัตลักษณ์

    ลดความซับซ้อนทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

    0.5 × 5 × a × b = 2.5ab

    2.5ab = 2.5ab

    จากการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์เล็กๆ น้อยๆ ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันจึงเท่ากับด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าความเท่าเทียมกัน 0.5a × 5b = 2.5abเป็นอัตลักษณ์

    จากการแปลงที่เหมือนกัน เราเรียนรู้ที่จะบวก ลบ คูณและหารตัวเลข ลดเศษส่วน นำพจน์ที่เหมือนกันมา และทำให้นิพจน์บางนิพจน์ง่ายขึ้นด้วย

    แต่สิ่งเหล่านี้อยู่ไกลจากการแปลงที่เหมือนกันทั้งหมดที่มีอยู่ในคณิตศาสตร์ มีการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันอีกมากมาย เราจะเห็นสิ่งนี้ครั้งแล้วครั้งเล่าในอนาคต

    งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

    คุณชอบบทเรียนไหม
    เข้าร่วมกลุ่ม Vkontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนบทเรียนใหม่