สิ่งที่เรียกว่าสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด สมการลอการิทึม! หมายเหตุเกี่ยวกับขอบเขต

คณิตศาสตร์เป็นมากกว่าวิทยาศาสตร์เป็นภาษาของวิทยาศาสตร์

นักฟิสิกส์ชาวเดนมาร์กและบุคคลสาธารณะ Niels Bohr

สมการลอการิทึม

ท่ามกลางงานทั่วไป, นำเสนอที่การสอบเข้า (การแข่งขัน), เป็นงาน, เกี่ยวข้องกับการแก้สมการลอการิทึม เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าวได้สำเร็จ จำเป็นต้องมีความรู้ที่ดีเกี่ยวกับคุณสมบัติของลอการิทึมและมีทักษะในการใช้งาน

ในบทความนี้ เราขอนำเสนอแนวคิดพื้นฐานและคุณสมบัติของลอการิทึม, แล้วพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึม

แนวคิดและคุณสมบัติพื้นฐาน

เริ่มแรก เรานำเสนอคุณสมบัติหลักของลอการิทึม, การใช้ซึ่งช่วยให้สามารถแก้สมการลอการิทึมที่ค่อนข้างซับซ้อนได้สำเร็จ

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานเขียนเป็น

, (1)

คุณสมบัติที่มีชื่อเสียงที่สุดของลอการิทึม ได้แก่ ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

1. ถ้า , , และ แล้ว , ,

2. ถ้า , , , และ แล้ว

3. ถ้า , , และ แล้ว .

4. ถ้า , , และ ตัวเลขธรรมชาติ, แล้ว

5. ถ้า , , และ ตัวเลขธรรมชาติ, แล้ว

6. ถ้า , , และ แล้ว .

7. ถ้า , , และ แล้ว .

มากกว่า คุณสมบัติที่ซับซ้อนลอการิทึมถูกกำหนดโดยคำสั่งต่อไปนี้:

8. ถ้า , , , และ แล้ว

9. ถ้า , , และ แล้ว

10. ถ้า , , , และ แล้ว

การพิสูจน์คุณสมบัติสองประการสุดท้ายของลอการิทึมมีอยู่ในหนังสือเรียนของผู้เขียน "คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยม: ส่วนเพิ่มเติมของคณิตศาสตร์ในโรงเรียน" (มอสโก: เลนันด์ / URSS, 2014).

ควรสังเกตด้วยฟังก์ชั่นนั้น กำลังเพิ่มขึ้น, ถ้า , และ ลดลงถ้า .

พิจารณาตัวอย่างปัญหาในการแก้สมการลอการิทึม, เรียงตามลำดับความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1. แก้สมการ

. (2)

วิธีการแก้.จากสมการ (2) เราได้ ให้แปลงสมการดังนี้ , หรือ .

เพราะ , แล้วรากของสมการ (2) คือ.

ตอบ: .

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ

วิธีการแก้. สมการ (3) เทียบเท่ากับสมการ

หรือ .

จากนี้ไปเราจะได้

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 3. แก้สมการ

วิธีการแก้. สมการ (4) หมายถึง, อะไร . การใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน (1), เขียนได้

หรือ .

ถ้าเราใส่ จากนี้ไปเราจะได้ สมการกำลังสอง , ซึ่งมีสองรากและ . อย่างไรก็ตาม ดังนั้น และรากของสมการที่เหมาะสมเท่านั้น ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 4. แก้สมการ

วิธีการแก้.ช่วงที่ถูกต้องของตัวแปรในสมการ (5) คือ.

ให้และ . ตั้งแต่หน้าที่ในขอบเขตของคำจำกัดความกำลังลดลงและฟังก์ชัน เพิ่มขึ้นตลอด แกนตัวเลข แล้วสมการ ไม่สามารถมีได้มากกว่าหนึ่งรูท

โดยการเลือกเราจะพบรูทเท่านั้น.

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 5. แก้สมการ.

วิธีการแก้.ถ้าทั้งสองข้างของสมการเป็นลอการิทึมถึงฐาน 10 แล้ว

หรือ .

การแก้สมการกำลังสองสำหรับ , เราได้รับ และ . ดังนั้นที่นี่เรามี และ .

ตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 6. แก้สมการ

. (6)

วิธีการแก้.เราใช้เอกลักษณ์ (1) และแปลงสมการ (6) ดังนี้:

หรือ .

ตอบ: , .

ตัวอย่าง 7. แก้สมการ

. (7)

วิธีการแก้.โดยคำนึงถึงทรัพย์สิน 9 เรามี . ในเรื่องนี้สมการ (7) ใช้รูปแบบ

จากนี้ไปเราจะได้ หรือ .

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 8. แก้สมการ

. (8)

วิธีการแก้.ให้เราใช้คุณสมบัติ 9 และเขียนสมการ (8) ใหม่ในรูปแบบเทียบเท่า.

หากเรากำหนด, แล้วเราจะได้สมการกำลังสอง, ที่ไหน . เนื่องจากสมการมีรากที่เป็นบวกเพียงตัวเดียวแล้ว หรือ . นี่หมายความว่า

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 9. แก้สมการ

. (9)

วิธีการแก้. เนื่องจากเป็นไปตามสมการ (9)แล้วนี่. ตามทรัพย์สิน 10,เขียนได้.

ในการนี้ สมการ (9) จะเท่ากับสมการ

หรือ .

จากที่นี่เราจะได้รากของสมการ (9)

ตัวอย่าง 10. แก้สมการ

. (10)

วิธีการแก้.ช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับตัวแปรในสมการ (10) คือ . ตามคุณสมบัติ 4 ที่นี่เรามี

. (11)

เนื่องจาก จากนั้น สมการ (11) จะอยู่ในรูปของสมการกำลังสอง โดยที่ รากของสมการกำลังสองคือ และ

ตั้งแต่นั้นมา และ . จากที่นี่เราได้รับและ .

ตอบ: , .

ตัวอย่าง 11. แก้สมการ

. (12)

วิธีการแก้.แสดงว่าแล้ว และสมการ (12) อยู่ในรูป

หรือ

. (13)

ง่ายที่จะเห็นว่ารากของสมการ (13) คือ . ให้เราแสดงว่าสมการนี้ไม่มีรากอื่น การทำเช่นนี้เราแบ่งทั้งสองส่วนด้วยและรับ สมการเทียบเท่า

. (14)

เนื่องจากฟังก์ชันกำลังลดลง และฟังก์ชันเพิ่มขึ้นบนแกนจริงทั้งหมด สมการ (14) จึงไม่สามารถมีรากได้มากกว่าหนึ่งรูท เนื่องจากสมการ (13) และ (14) เท่ากัน สมการ (13) จึงมีรากเดียว

ตั้งแต่นั้นมา และ .

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 12. แก้สมการ

. (15)

วิธีการแก้.มาแทนกันและ . เนื่องจากฟังก์ชันกำลังลดลงในโดเมนของคำจำกัดความ และฟังก์ชันเพิ่มขึ้นสำหรับค่าใดๆ ของ ดังนั้นสมการจึงไม่มีรูตเดียวที่เป็นลางบอกเหตุ โดยการเลือกโดยตรง แสดงว่ารากของสมการ (15) ที่ต้องการคือ .

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 13. แก้สมการ

. (16)

วิธีการแก้.โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม เราจะได้

ตั้งแต่นั้นมา และเรามีความไม่เท่าเทียมกัน

ความไม่เท่าเทียมกันที่ได้เกิดขึ้นพร้อมกับสมการ (16) ก็ต่อเมื่อ หรือ .

การทดแทนค่าเป็นสมการ (16) เรามั่นใจว่า, อะไร เป็นรากของมัน

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 14. แก้สมการ

. (17)

วิธีการแก้.ตั้งแต่ที่นี่ สมการ (17) จะอยู่ในรูปแบบ

ถ้าเราใส่ จากนั้นเราจะได้สมการ

, (18)

ที่ไหน . สมการ (18) หมายถึง: หรือ เนื่องจาก สมการจึงมีหนึ่งรูตที่เหมาะสม อย่างไรก็ตาม ดังนั้น .

ตัวอย่าง 15. แก้สมการ

. (19)

วิธีการแก้.แสดงว่า จากนั้นสมการ (19) จะใช้รูปแบบ ถ้าเราหาลอการิทึมของสมการนี้ในฐาน 3 เราจะได้

หรือ

จากนี้จะเป็นไปตามนั้นและ . ตั้งแต่นั้นมา และ . ในเรื่องนี้และ

ตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 16. แก้สมการ

. (20)

วิธีการแก้. มาแนะนำพารามิเตอร์และเขียนสมการ (20) ใหม่เป็นสมการกำลังสองเทียบกับพารามิเตอร์, เช่น.

. (21)

รากของสมการ (21) คือ

หรือ , . เนื่องจาก เรามีสมการ และ . จากที่นี่เราได้รับและ .

ตอบ: , .

ตัวอย่าง 17. แก้สมการ

. (22)

วิธีการแก้.ในการสร้างโดเมนของคำจำกัดความของตัวแปรในสมการ (22) จำเป็นต้องพิจารณาชุดของอสมการสามอย่าง: , และ .

กำลังใช้ทรัพย์สิน2, จากสมการ (22) เราจะได้

หรือ

. (23)

ถ้าในสมการ (23) เราใส่, เราก็จะได้สมการ

. (24)

สมการ (24) จะแก้ได้ดังนี้

หรือ

มันตามมาจากที่นี่ว่า และ นั่นคือ สมการ (24) มีสองราก: และ .

ตั้งแต่นั้นมา หรือ , .

ตอบ: , .

ตัวอย่าง 18. แก้สมการ

. (25)

วิธีการแก้.โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม เราแปลงสมการ (25) ดังนี้

, , .

จากนี้ไปเราจะได้

ตัวอย่าง 19. แก้สมการ

. (26)

วิธีการแก้.ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ต่อไปเรามี เพราะเหตุนี้ , ความเท่าเทียมกัน (26) เป็นที่พอใจก็ต่อเมื่อ, เมื่อสมการทั้งสองข้างมีค่าเท่ากับ 2 พร้อมกัน

ทางนี้ , สมการ (26) เทียบเท่ากับระบบสมการ

จากสมการที่สองของระบบที่เราได้รับ

หรือ .

ดูง่ายความหมายคืออะไร ยังเป็นไปตามสมการแรกของระบบอีกด้วย

ตอบ: .

สำหรับการศึกษาวิธีการแก้สมการลอการิทึมเชิงลึก โปรดดูที่ สื่อการสอนจากรายชื่อวรรณกรรมที่แนะนำ

1. Kushnir A.I. ผลงานชิ้นเอกของคณิตศาสตร์โรงเรียน (ปัญหาและแนวทางแก้ไขในหนังสือสองเล่ม) – เคียฟ: Astarte, เล่ม 1, 2538. - 576 น.

2. รวบรวมโจทย์คณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครเข้ามหาวิทยาลัยเทคนิค / อ.อ. เอ็มไอ สกานาวี. - ม.: โลกและการศึกษา, 2556. - 608 น.

3. สุพรรณ ว. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: ส่วนเพิ่มเติม หลักสูตรโรงเรียน. – ม.: เลนันด์ / URSS, 2557. - 216 น.

4. สุพรรณ ว. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: งานที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้น - ม.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 น.

5. สุพรรณ ว. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: วิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน - ม.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 น.

คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่?

เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ด้วยวิดีโอนี้ ฉันเริ่มบทเรียนยาวๆ เกี่ยวกับสมการลอการิทึม ตอนนี้คุณมีสามตัวอย่างพร้อม ๆ กัน บนพื้นฐานของซึ่งเราจะเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหามากที่สุด งานง่ายๆที่เรียกว่า โปรโตซัว.

บันทึก 0.5 (3x - 1) = -3

แอลจี (x + 3) = 3 + 2 แอลจี 5

ผมขอเตือนคุณว่าสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้:

บันทึก a f(x) = b

สิ่งสำคัญคือตัวแปร x จะแสดงอยู่ภายในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น นั่นคือ เฉพาะในฟังก์ชัน f(x) และตัวเลข a และ b เป็นเพียงตัวเลขเท่านั้น และไม่ว่ากรณีใดๆ จะเป็นฟังก์ชันที่มีตัวแปร x

วิธีการแก้ปัญหาพื้นฐาน

มีหลายวิธีในการแก้ปัญหาโครงสร้างดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ครูส่วนใหญ่ที่โรงเรียนแนะนำวิธีนี้: แสดงฟังก์ชัน f ( x ) ทันทีโดยใช้สูตร ฉ( x ) = ข. นั่นคือเมื่อคุณพบกับโครงสร้างที่ง่ายที่สุด คุณสามารถดำเนินการแก้ไขได้ทันทีโดยไม่ต้องดำเนินการและก่อสร้างเพิ่มเติม

ใช่แน่นอนการตัดสินใจจะกลายเป็นถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ปัญหาของสูตรนี้คือนักเรียนส่วนใหญ่ ไม่เข้าใจมันมาจากไหนและทำไมเราถึงยกตัวอักษร a เป็นตัวอักษร b

ด้วยเหตุนี้ ฉันมักจะสังเกตเห็นข้อผิดพลาดที่น่ารังเกียจ เช่น เมื่อมีการแลกเปลี่ยนตัวอักษรเหล่านี้ สูตรนี้ต้องเข้าใจหรือจดจำ และวิธีที่สองนำไปสู่ข้อผิดพลาดในช่วงเวลาที่ไม่เหมาะสมและสำคัญที่สุด: ในการสอบ การทดสอบ ฯลฯ

นั่นคือเหตุผลที่ฉันแนะนำให้นักเรียนของฉันทุกคนละทิ้งสูตรมาตรฐานของโรงเรียน และใช้แนวทางที่สองในการแก้สมการลอการิทึม ซึ่งเรียกว่า คุณอาจเดาได้จากชื่อ รูปแบบบัญญัติ.

แนวคิดของรูปแบบบัญญัตินั้นเรียบง่าย ลองดูงานของเราอีกครั้ง: ทางซ้ายเรามี log a ในขณะที่ตัวอักษร a หมายถึงตัวเลขพอดี และไม่ว่าในกรณีใดฟังก์ชันจะมีตัวแปร x ดังนั้น จดหมายฉบับนี้จึงอยู่ภายใต้ข้อจำกัดทั้งหมดที่กำหนดไว้บนฐานของลอการิทึม กล่าวคือ:

1 ≠ ≠ > 0

ในทางกลับกัน จากสมการเดียวกัน เราจะเห็นว่าลอการิทึมต้องเป็น เท่ากับจำนวนข และไม่มีข้อ จำกัด ในจดหมายฉบับนี้เพราะสามารถรับค่าใดก็ได้ - ทั้งค่าบวกและค่าลบ ทุกอย่างขึ้นอยู่กับค่าที่ฟังก์ชัน f(x) ใช้

และที่นี่เราจำกฎที่ยอดเยี่ยมของเราที่ว่าตัวเลข b ใดๆ สามารถแสดงเป็นลอการิทึมในฐาน a จาก a ยกกำลัง b:

b = บันทึก a b

จะจำสูตรนี้ได้อย่างไร? ใช่ง่ายมาก มาเขียนสิ่งก่อสร้างต่อไปนี้:

b = b 1 = b บันทึก a a

แน่นอน ในกรณีนี้ ข้อจำกัดทั้งหมดที่เราจดไว้ตั้งแต่แรกเกิดขึ้น ตอนนี้ ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม แล้วป้อนตัวประกอบ b เป็นกำลังของ a เราได้รับ:

b = b 1 = b บันทึก a = บันทึก a b

เป็นผลให้สมการเดิมจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b → f (x) = a b

นั่นคือทั้งหมดที่ ฟังก์ชันใหม่นี้ไม่มีลอการิทึมอีกต่อไปและแก้ได้ด้วยเทคนิคพีชคณิตมาตรฐาน

แน่นอนว่าตอนนี้ใครบางคนจะคัดค้าน: เหตุใดจึงจำเป็นต้องสร้างสูตรบัญญัติบางอย่างขึ้นมาทำไมต้องทำตามขั้นตอนที่ไม่จำเป็นอีกสองขั้นตอนหากเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนจากโครงสร้างดั้งเดิมไปเป็นสูตรสุดท้ายทันที ใช่ ถ้าเพียงเพราะนักเรียนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าสูตรนี้มาจากไหน และทำให้ผิดพลาดเป็นประจำเมื่อใช้สูตร

แต่ลำดับของการกระทำดังกล่าว ซึ่งประกอบด้วยสามขั้นตอน ช่วยให้คุณแก้สมการลอการิทึมเดิมได้ แม้ว่าคุณจะไม่เข้าใจว่าสูตรสุดท้ายนั้นมาจากไหน อย่างไรก็ตาม รายการนี้เรียกว่าสูตรบัญญัติ:

บันทึก a f(x) = บันทึก a b

ความสะดวกของรูปแบบบัญญัติยังอยู่ในความจริงที่ว่ามันสามารถใช้แก้สมการลอการิทึมในระดับกว้างๆ ได้ และไม่ใช่แค่สมการที่ง่ายที่สุดที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในปัจจุบัน

ตัวอย่างโซลูชัน

ทีนี้มาดูตัวอย่างจริงกัน มาตัดสินใจกัน:

บันทึก 0.5 (3x - 1) = -3

ลองเขียนใหม่ดังนี้:

บันทึก 0.5 (3x − 1) = บันทึก 0.5 0.5 −3

นักเรียนหลายคนรีบเร่งและพยายามยกเลข 0.5 ขึ้นมาเป็นพลังที่มาหาเราจากปัญหาเดิมทันที และแน่นอน เมื่อคุณได้รับการฝึกฝนมาเป็นอย่างดีในการแก้ปัญหาดังกล่าวแล้ว คุณสามารถทำตามขั้นตอนนี้ได้ทันที

อย่างไรก็ตาม หากตอนนี้คุณเพิ่งเริ่มศึกษาหัวข้อนี้ เป็นการดีกว่าที่จะไม่เร่งรีบเพื่อไม่ทำผิดพลาดที่ไม่เหมาะสม ดังนั้นเราจึงมีรูปแบบบัญญัติ เรามี:

3x - 1 = 0.5 -3

นี่ไม่ใช่สมการลอการิทึมอีกต่อไป แต่เป็นสมการเชิงเส้นเทียบกับตัวแปร x วิธีแก้ปัญหา อันดับแรก ให้จัดการกับตัวเลข 0.5 ยกกำลัง −3 โปรดทราบว่า 0.5 คือ 1/2

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

แปลงทศนิยมทั้งหมดเป็นเศษส่วนเมื่อคุณแก้สมการลอการิทึม

เราเขียนใหม่และรับ:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

ทั้งหมดที่เราได้รับคำตอบ งานแรกได้รับการแก้ไข

งานที่สอง

มาต่อกันที่งานที่สอง:

อย่างที่คุณเห็น สมการนี้ไม่ใช่สมการที่ง่ายที่สุดอีกต่อไป ถ้าเพียงเพราะผลต่างอยู่ทางซ้าย และไม่ใช่ลอการิทึมเดียวในฐานเดียว

ดังนั้นคุณต้องกำจัดความแตกต่างนี้ออกไป ในกรณีนี้ ทุกอย่างง่ายมาก มาดูฐานกันดีกว่า: ด้านซ้ายคือตัวเลขใต้รูท:

คำแนะนำทั่วไป: ในสมการลอการิทึมทั้งหมด ให้พยายามกำจัดรากศัพท์ กล่าวคือ จากรายการที่มีรากและไปยังฟังก์ชันกำลัง เพียงเพราะเลขชี้กำลังเหล่านี้ถูกนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมอย่างง่ายดาย สัญกรณ์ช่วยลดความยุ่งยากและเพิ่มความเร็วในการคำนวณ ลองเขียนแบบนี้:

ตอนนี้เราจำคุณสมบัติอันน่าทึ่งของลอการิทึมได้แล้ว: จากอาร์กิวเมนต์ เช่นเดียวกับจากฐาน คุณสามารถใช้องศาได้ ในกรณีของเบส สิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น:

บันทึก a k b = 1/k loga b

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขที่อยู่ในระดับของฐานจะถูกยกไปข้างหน้าและในขณะเดียวกันก็พลิกกลับ นั่นคือ มันกลายเป็นส่วนกลับของจำนวนนั้น ในกรณีของเรา มีดีกรีฐานที่มีตัวบ่งชี้ 1/2 ดังนั้นเราจึงเอาออกมาเป็น 2/1 เราได้รับ:

5 2 บันทึก 5 x - บันทึก 5 x = 18
10 บันทึก 5 x - บันทึก 5 x = 18

โปรดทราบ: ไม่ว่าในกรณีใด คุณควรกำจัดลอการิทึมในขั้นตอนนี้ คิดย้อนกลับไปในเกรด 4-5 คณิตศาสตร์และลำดับของการดำเนินการ: การคูณจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงทำการบวกและลบ ในกรณีนี้ เราลบหนึ่งในองค์ประกอบเดียวกันออกจาก 10 องค์ประกอบ:

9 บันทึก 5 x = 18
บันทึก 5 x = 2

ตอนนี้สมการของเราดูเหมือนว่ามันควรจะเป็น นี่คือโครงสร้างที่ง่ายที่สุด และเราแก้ไขโดยใช้รูปแบบบัญญัติ:

บันทึก 5 x = บันทึก 5 5 2
x = 5 2
x=25

นั่นคือทั้งหมดที่ ปัญหาที่สองได้รับการแก้ไข

ตัวอย่างที่สาม

มาต่อกันที่งานที่สาม:

แอลจี (x + 3) = 3 + 2 แอลจี 5

จำสูตรต่อไปนี้:

log b = บันทึก 10 b

หากด้วยเหตุผลบางอย่างที่คุณสับสนในการเขียน lg b เมื่อทำการคำนวณทั้งหมด คุณสามารถเขียน log 10 b ได้ คุณสามารถทำงานกับลอการิทึมทศนิยมได้ในลักษณะเดียวกับลอการิทึมทศนิยมอื่นๆ: ยกกำลัง บวก และแทนตัวเลขใดๆ เป็น lg 10

เป็นคุณสมบัติเหล่านี้อย่างแม่นยำที่เราจะใช้ในการแก้ปัญหาในขณะนี้ เนื่องจากไม่ใช่คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดที่เราจดไว้ตอนต้นของบทเรียน

ในการเริ่มต้น โปรดทราบว่าสามารถแทรกตัวประกอบ 2 ก่อน lg 5 และกลายเป็นกำลังของฐาน 5 นอกจากนี้ ระยะฟรี 3 ยังสามารถแสดงเป็นลอการิทึมได้ ซึ่งสังเกตได้ง่ายมากจากสัญกรณ์ของเรา

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ตัวเลขใด ๆ สามารถแสดงเป็นบันทึกไปยังฐาน 10:

3 = บันทึก 10 10 3 = บันทึก 10 3

มาเขียนปัญหาเดิมใหม่โดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงที่ได้รับ:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1,000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบบัญญัติอีกครั้ง และเราได้มันมาโดยข้ามขั้นตอนของการแปลง นั่นคือ สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดไม่ได้เกิดขึ้นกับเรา

นั่นคือสิ่งที่ฉันกำลังพูดถึงในตอนต้นของบทเรียน รูปแบบบัญญัติช่วยให้แก้ปัญหาในชั้นเรียนได้กว้างกว่าสูตรมาตรฐานของโรงเรียน ซึ่งครูในโรงเรียนส่วนใหญ่กำหนด

นั่นคือทั้งหมด เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมทศนิยม และเราได้โครงสร้างเชิงเส้นอย่างง่าย:

x + 3 = 25,000
x = 24997

ทั้งหมด! แก้ไขปัญหา.

หมายเหตุเกี่ยวกับขอบเขต

ในที่นี้ ข้าพเจ้าขอกล่าวคำสำคัญเกี่ยวกับขอบเขตของคำจำกัดความ แน่นอนว่าตอนนี้มีนักเรียนและครูที่จะพูดว่า: “เมื่อเราแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึม จำเป็นที่ต้องจำไว้ว่าอาร์กิวเมนต์ f (x) ต้องมากกว่าศูนย์!” ในเรื่องนี้ มีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: เหตุใดในปัญหาที่พิจารณาแล้ว เราจึงต้องการให้ความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้รับการสนองตอบ

ไม่ต้องกังวล ในกรณีนี้จะไม่มีรากพิเศษปรากฏขึ้น และนี่เป็นเคล็ดลับที่ยอดเยี่ยมอีกประการหนึ่งที่ช่วยให้คุณเร่งการแก้ปัญหาได้ เพิ่งรู้ว่าถ้าในปัญหาตัวแปร x เกิดขึ้นที่เดียว (หรือมากกว่าในอาร์กิวเมนต์หนึ่งเดียวเท่านั้นของลอการิทึมเดียวเท่านั้น) และไม่มีที่ไหนในกรณีของเราที่ตัวแปร x แล้วเขียนโดเมน ไม่จำเป็นเพราะมันจะทำงานโดยอัตโนมัติ

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในสมการแรก เราได้ 3x - 1 นั่นคือ อาร์กิวเมนต์ควรเท่ากับ 8 ซึ่งหมายความโดยอัตโนมัติว่า 3x - 1 จะมากกว่าศูนย์

ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราสามารถเขียนว่าในกรณีที่สอง x ต้องเท่ากับ 5 2 นั่นคือ มากกว่าศูนย์อย่างแน่นอน และในกรณีที่สาม โดยที่ x + 3 = 25,000 นั่นคือ มากกว่าศูนย์อย่างเห็นได้ชัด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ขอบเขตเป็นแบบอัตโนมัติ แต่ถ้า x เกิดขึ้นในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเดียวเท่านั้น

นั่นคือทั้งหมดที่คุณต้องรู้เพื่อแก้ปัญหาง่ายๆ กฎข้อนี้เพียงอย่างเดียว ร่วมกับกฎการแปลงสภาพ จะช่วยให้คุณสามารถแก้ปัญหาในระดับกว้างๆ ได้

แต่เอาจริงเอาจัง เพื่อที่จะเข้าใจเทคนิคนี้ในที่สุด เพื่อเรียนรู้วิธีใช้รูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึม การดูวิดีโอบทเรียนเดียวไม่เพียงพอ ดังนั้น ในตอนนี้ ให้ดาวน์โหลดตัวเลือกสำหรับโซลูชันอิสระที่แนบมากับวิดีโอสอนนี้ และเริ่มแก้ไขงานอิสระอย่างน้อยหนึ่งงานจากสองงานนี้

จะใช้เวลาเพียงไม่กี่นาที แต่ผลของการฝึกดังกล่าวจะสูงกว่ามากเมื่อเทียบกับการดูบทแนะนำวิดีโอนี้

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจสมการลอการิทึม ใช้รูปแบบบัญญัติ ลดความซับซ้อนของนิพจน์โดยใช้กฎสำหรับการทำงานกับลอการิทึม - และคุณจะไม่ต้องกลัวงานใดๆ และนั่นคือทั้งหมดที่ฉันมีสำหรับวันนี้

การพิจารณาขอบเขต

ทีนี้มาพูดถึงโดเมนของฟังก์ชันลอการิทึมกัน ว่าสิ่งนี้ส่งผลต่อการแก้สมการลอการิทึมอย่างไร พิจารณาการสร้างแบบฟอร์ม

บันทึก a f(x) = b

นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่าง่ายที่สุด - มีฟังก์ชันเดียวเท่านั้น และตัวเลข a และ b เป็นเพียงตัวเลข และไม่ว่ากรณีใดจะเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x มันแก้ไขได้ง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องใช้สูตร:

b = บันทึก a b

สูตรนี้เป็นหนึ่งในคุณสมบัติหลักของลอการิทึม และเมื่อแทนค่านิพจน์เดิม เราจะได้ดังนี้:

บันทึก a f(x) = บันทึก a b

f(x) = ข

นี่เป็นสูตรที่คุ้นเคยจากตำราเรียนอยู่แล้ว นักเรียนหลายคนอาจมีคำถาม: เนื่องจากฟังก์ชัน f ( x ) ในนิพจน์ดั้งเดิมอยู่ภายใต้เครื่องหมายล็อก จึงมีการกำหนดข้อจำกัดต่อไปนี้:

f(x) > 0

ข้อจำกัดนี้ใช้ได้เนื่องจากไม่มีลอการิทึมของจำนวนลบ ดังนั้น อาจเป็นเพราะข้อจำกัดนี้ คุณควรตรวจสอบคำตอบหรือไม่ บางทีพวกเขาจำเป็นต้องถูกแทนที่ในแหล่งที่มา?

ไม่ ในสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด การตรวจสอบเพิ่มเติมไม่จำเป็น และนั่นเป็นเหตุผล ดูสูตรสุดท้ายของเรา:

f(x) = ข

ความจริงก็คือจำนวน a ในทุกกรณีมากกว่า 0 - ข้อกำหนดนี้ถูกกำหนดโดยลอการิทึม ตัวเลข a เป็นฐาน ในกรณีนี้ไม่มีการกำหนดข้อ จำกัด สำหรับหมายเลข b แต่สิ่งนี้ไม่สำคัญ เพราะไม่ว่าเราจะเพิ่มจำนวนบวกในระดับใด เราก็จะยังคงได้จำนวนบวกที่ผลลัพธ์ ดังนั้น ข้อกำหนด f (x) > 0 จะถูกเติมเต็มโดยอัตโนมัติ

สิ่งที่ควรค่าแก่การตรวจสอบคือขอบเขตของฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายบันทึก อาจมีการออกแบบที่ค่อนข้างซับซ้อน และในกระบวนการแก้ไข คุณต้องปฏิบัติตามอย่างแน่นอน มาดูกัน.

งานแรก:

ขั้นตอนแรก: แปลงเศษส่วนทางด้านขวา เราได้รับ:

เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมและรับสมการอตรรกยะปกติ:

จากรากที่ได้รับมีเพียงอันแรกเท่านั้นที่เหมาะกับเราเนื่องจากรูทที่สองมีค่าน้อยกว่าศูนย์ คำตอบเดียวจะเป็นเลข 9 เท่านั้น ปัญหาก็คลี่คลาย ไม่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบเพิ่มเติมว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมมีค่ามากกว่า 0 เนื่องจากไม่ได้มากกว่า 0 เท่านั้น แต่โดยเงื่อนไขของสมการจะเท่ากับ 2 ดังนั้นข้อกำหนด "มากกว่าศูนย์" จึงเป็นไปโดยอัตโนมัติ พอใจ.

มาต่อกันที่งานที่สอง:

ทุกอย่างเหมือนกันที่นี่ เราเขียนโครงสร้างใหม่ แทนที่สาม:

เรากำจัดสัญญาณของลอการิทึมและรับสมการอตรรกยะ:

เรายกกำลังสองส่วนโดยคำนึงถึงข้อ จำกัด และเราได้รับ:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

เราแก้สมการผลลัพธ์ผ่านการเลือกปฏิบัติ:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

แต่ x = −6 ไม่เหมาะกับเรา เพราะถ้าเราแทนจำนวนนี้เป็นอสมการ เราจะได้:

−6 + 4 = −2 < 0

ในกรณีของเรา จำเป็นต้องมากกว่า 0 หรือในกรณีที่รุนแรง ให้เท่ากัน แต่ x = −1 เหมาะกับเรา:

−1 + 4 = 3 > 0

คำตอบเดียวในกรณีของเราคือ x = −1 นั่นคือทางออกทั้งหมด กลับไปที่จุดเริ่มต้นของการคำนวณของเรา

ข้อสรุปหลักจากบทเรียนนี้คือ ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบขีดจำกัดของฟังก์ชันในสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด เพราะในกระบวนการแก้ไขข้อจำกัดทั้งหมดจะถูกดำเนินการโดยอัตโนมัติ

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าคุณจะลืมเรื่องการยืนยันไปเลยก็ได้ ในกระบวนการทำงานเกี่ยวกับสมการลอการิทึม มันอาจจะกลายเป็นสมการที่ไม่ลงตัว ซึ่งจะมีข้อ จำกัด และข้อกำหนดสำหรับด้านขวา ซึ่งเราได้เห็นในวันนี้ในสองตัวอย่างที่แตกต่างกัน

อย่าลังเลที่จะแก้ปัญหาดังกล่าวและควรระมัดระวังเป็นพิเศษหากมีต้นตอในการโต้แย้ง

สมการลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน

เรายังคงศึกษาสมการลอการิทึมต่อไปและวิเคราะห์กลอุบายที่น่าสนใจอีกสองอย่างซึ่งเป็นที่นิยมในการแก้ปัญหามากขึ้น โครงสร้างที่ซับซ้อน. แต่ก่อนอื่น ให้จำไว้ว่าวิธีแก้ไขงานที่ง่ายที่สุด:

บันทึก a f(x) = b

ในสัญกรณ์นี้ a และ b เป็นเพียงตัวเลข และในฟังก์ชัน f (x) ตัวแปร x จะต้องมีอยู่ และเฉพาะที่นั่นเท่านั้น นั่นคือ x ต้องอยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น เราจะแปลงสมการลอการิทึมดังกล่าวโดยใช้รูปแบบบัญญัติ สำหรับสิ่งนี้เราทราบว่า

b = บันทึก a b

และ a b เป็นเพียงอาร์กิวเมนต์ ลองเขียนนิพจน์นี้ใหม่ดังนี้:

บันทึก a f(x) = บันทึก a b

นี่คือสิ่งที่เรากำลังพยายามทำให้สำเร็จ เพื่อให้ทั้งทางซ้ายและทางขวามีลอการิทึมของฐาน a ในกรณีนี้ เราสามารถพูดเปรียบเปรย ตัดเครื่องหมายของบันทึก และจากมุมมองของคณิตศาสตร์ เราสามารถพูดได้ว่าเราเพียงถือเอาอาร์กิวเมนต์:

f(x) = ข

เป็นผลให้เราได้รับนิพจน์ใหม่ที่จะแก้ไขได้ง่ายขึ้นมาก ลองใช้กฎนี้กับงานของเราวันนี้

ดังนั้นการออกแบบครั้งแรก:

ก่อนอื่น ฉันสังเกตว่ามีเศษส่วนอยู่ทางขวา ตัวส่วนคือล็อก เมื่อคุณเห็นนิพจน์เช่นนี้ คุณควรจดจำคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมของลอการิทึม:

เมื่อแปลเป็นภาษารัสเซีย นี่หมายความว่าลอการิทึมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลหารของลอการิทึมสองตัวที่มีฐาน c ใดๆ ก็ได้ แน่นอน 0< с ≠ 1.

ดังนั้น: สูตรนี้มีกรณีพิเศษที่ยอดเยี่ยมกรณีหนึ่งเมื่อตัวแปร c เท่ากับตัวแปร ข. ในกรณีนี้ เราได้รับการสร้างแบบฟอร์ม:

นี่คือโครงสร้างที่เราสังเกตจากเครื่องหมายทางด้านขวาในสมการของเรา มาแทนที่โครงสร้างนี้ด้วย log a b เราได้รับ:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อเปรียบเทียบกับงานดั้งเดิม เราได้สลับอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม แต่เราต้องพลิกเศษส่วน

เราจำได้ว่าระดับใดก็ได้ที่สามารถนำออกจากฐานได้ตามกฎต่อไปนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สัมประสิทธิ์ k ซึ่งเป็นระดับของฐาน ถูกนำออกมาเป็นเศษส่วนกลับหัว ลองเอามันเป็นเศษส่วนกลับกัน:

ปัจจัยเศษส่วนไม่สามารถทิ้งไว้ข้างหน้าได้ เพราะในกรณีนี้ เราไม่สามารถแสดงรายการนี้เป็นรูปแบบบัญญัติได้ (หลังจากทั้งหมด ในรูปแบบบัญญัติ ไม่มีปัจจัยเพิ่มเติมที่ด้านหน้าของลอการิทึมที่สอง) ดังนั้น ลองใส่เศษส่วน 1/4 ในอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลัง:

ตอนนี้เราจัดอาร์กิวเมนต์ที่มีฐานเหมือนกัน (และเรามีฐานเดียวกันจริงๆ) แล้วเขียน:

x + 5 = 1

x = −4

นั่นคือทั้งหมดที่ เราได้คำตอบของสมการลอการิทึมแรก ให้ความสนใจ: ในปัญหาเดิม ตัวแปร x เกิดขึ้นในบันทึกเดียวเท่านั้น และอยู่ในอาร์กิวเมนต์ของมัน ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องตรวจสอบโดเมน และหมายเลข x = −4 ของเราคือคำตอบ

ทีนี้มาดูนิพจน์ที่สองกัน:

บันทึก 56 = บันทึก 2 บันทึก 2 7 − 3 บันทึก (x + 4)

ที่นี่ นอกจากลอการิทึมปกติแล้ว เรายังต้องทำงานกับ lg f (x) จะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? สำหรับนักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้อาจดูเหมือนกระป๋องบางชนิด แต่อันที่จริงทุกอย่างได้รับการแก้ไขในขั้นต้น

ดูคำว่า lg 2 log 2 อย่างใกล้ชิด 7. เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้บ้าง ฐานและข้อโต้แย้งของ log และ lg เหมือนกัน และสิ่งนี้ควรให้เบาะแสบางอย่าง จำอีกครั้งว่าองศาถูกดึงออกมาจากใต้เครื่องหมายของลอการิทึมได้อย่างไร:

บันทึก a b n = n บันทึก a b

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งที่เป็นกำลังของจำนวน b ในอาร์กิวเมนต์กลายเป็นปัจจัยที่นำหน้าบันทึกเอง ลองใช้สูตรนี้กับนิพจน์ lg 2 log 2 7. อย่ากลัว lg 2 - นี่คือนิพจน์ทั่วไป คุณสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

สำหรับเขา กฎทั้งหมดที่ใช้กับลอการิทึมอื่น ๆ นั้นถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปัจจัยที่อยู่ข้างหน้าสามารถนำไปใช้กับพลังของการโต้แย้งได้ มาเขียนกัน:

บ่อยครั้งที่นักเรียนชี้ว่างไม่เห็นการกระทำนี้ เพราะเป็นการไม่ดีที่จะป้อนบันทึกหนึ่งรายการภายใต้สัญลักษณ์ของอีกบันทึกหนึ่ง อันที่จริงไม่มีความผิดทางอาญาในเรื่องนี้ นอกจากนี้ เรายังได้สูตรที่คำนวณได้ง่ายหากคุณจำกฎสำคัญได้:

สูตรนี้ถือได้ว่าเป็นทั้งคำจำกัดความและเป็นหนึ่งในคุณสมบัติ ไม่ว่าในกรณีใด หากคุณแปลงสมการลอการิทึม คุณควรทราบสูตรนี้ในลักษณะเดียวกับการแสดงตัวเลขใดๆ ในรูปของบันทึก

เรากลับไปที่งานของเรา เราเขียนใหม่โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าเทอมแรกทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับจะเท่ากับ lg 7 เรามี:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

ย้าย lg 7 ไปทางซ้ายเราจะได้:

แอลจี 56 - แอลจี 7 = -3lg (x + 4)

เราลบนิพจน์ทางด้านซ้ายเนื่องจากมีฐานเหมือนกัน:

แอลจี (56/7) = -3lg (x + 4)

ทีนี้ มาดูสมการที่เรามีกันดีกว่า ในทางปฏิบัติแล้วเป็นรูปแบบบัญญัติ แต่มีแฟคเตอร์ -3 อยู่ทางด้านขวา ลองใส่ไว้ในอาร์กิวเมนต์ lg ที่ถูกต้อง:

แอลจี 8 = แอลจี (x + 4) −3

ก่อนเราคือรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึม ดังนั้นเราจึงตัดเครื่องหมายของ lg และใส่อาร์กิวเมนต์ให้เท่ากัน:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

นั่นคือทั้งหมด! เราได้แก้สมการลอการิทึมที่สองแล้ว ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบเพิ่มเติม เนื่องจากในปัญหาเดิม x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้น

ผมขอสรุปประเด็นสำคัญของบทเรียนนี้

สูตรหลักที่ศึกษาในบทเรียนทั้งหมดในหน้านี้ซึ่งเกี่ยวกับการแก้สมการลอการิทึมคือรูปแบบบัญญัติ และอย่าท้อแท้กับความจริงที่ว่าหนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่สอนวิธีแก้ปัญหาประเภทนี้ให้แตกต่างออกไป เครื่องมือนี้ทำงานอย่างมีประสิทธิภาพมากและช่วยให้คุณแก้ปัญหาในชั้นเรียนได้กว้างกว่าปัญหาที่ง่ายที่สุดที่เราศึกษาตอนเริ่มต้นบทเรียน

นอกจากนี้ ในการแก้สมการลอการิทึม การรู้คุณสมบัติพื้นฐานก็จะเป็นประโยชน์ กล่าวคือ:

1. สูตรการย้ายฐานหนึ่งและกรณีพิเศษเมื่อเราพลิกล็อก (สิ่งนี้มีประโยชน์มากสำหรับเราในงานแรก);
2. สูตรนำกำลังเข้าออกภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม ที่นี่ นักเรียนหลายคนติดอยู่และไม่เห็นจุดที่พลังงานที่นำออกมาและนำเข้ามานั้นสามารถบรรจุ log f (x) ได้ ไม่มีอะไรผิดปกติกับที่ เราสามารถแนะนำบันทึกหนึ่งรายการตามสัญลักษณ์ของอีกบันทึกหนึ่ง และในขณะเดียวกันก็ช่วยลดความซับซ้อนในการแก้ปัญหาอย่างมาก ซึ่งเป็นสิ่งที่เราสังเกตในกรณีที่สอง

โดยสรุป ฉันต้องการเสริมว่าไม่จำเป็นต้องตรวจสอบขอบเขตในแต่ละกรณี เพราะทุกที่ที่ตัวแปร x มีอยู่ในเครื่องหมายของบันทึกเพียงอันเดียว และในขณะเดียวกันก็อยู่ในข้อโต้แย้ง ด้วยเหตุนี้ ข้อกำหนดของโดเมนทั้งหมดจึงเป็นไปตามโดยอัตโนมัติ

ปัญหาเกี่ยวกับฐานตัวแปร

วันนี้เราจะมาพิจารณาสมการลอการิทึม ซึ่งสำหรับนักเรียนหลายๆ คนดูเหมือนจะไม่เป็นมาตรฐาน หากไม่แก้ไม่ได้ทั้งหมด เรากำลังพูดถึงนิพจน์ที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลข แต่ขึ้นอยู่กับตัวแปรและแม้แต่ฟังก์ชัน เราจะแก้ไขโครงสร้างดังกล่าวโดยใช้เทคนิคมาตรฐานของเรา กล่าวคือ ผ่านรูปแบบบัญญัติ

เรามาเริ่มกันที่วิธีการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งอิงจากตัวเลขธรรมดา ดังนั้นการก่อสร้างที่ง่ายที่สุดเรียกว่า

บันทึก a f(x) = b

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

b = บันทึก a b

เราเขียนนิพจน์เดิมของเราใหม่และรับ:

บันทึก a f(x) = บันทึก a b

จากนั้นเราจัดอาร์กิวเมนต์ให้เท่ากัน นั่นคือ เราเขียน:

f(x) = ข

ดังนั้นเราจึงกำจัดเครื่องหมายบันทึกและแก้ไขปัญหาตามปกติ ในกรณีนี้ รากที่ได้จากการแก้ปัญหาจะเป็นรากของสมการลอการิทึมดั้งเดิม นอกจากนี้ เร็กคอร์ดเมื่อทั้งด้านซ้ายและด้านขวาอยู่บนลอการิทึมเดียวกันกับฐานเดียวกันจะเรียกว่ารูปแบบบัญญัติ จากบันทึกนี้เราจะพยายามลดการก่อสร้างในวันนี้ งั้นไปกัน.

งานแรก:

บันทึก x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

แทนที่ 1 ด้วย log x − 2 (x − 2) 1 . ระดับที่เราสังเกตในการโต้แย้งคือ อันที่จริง ตัวเลข b ซึ่งอยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ ลองเขียนพจน์ของเราใหม่ เราได้รับ:

บันทึก x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = บันทึก x - 2 (x - 2)

เราเห็นอะไร? ก่อนเราคือรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึม ดังนั้นเราสามารถเทียบอาร์กิวเมนต์ได้อย่างปลอดภัย เราได้รับ:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

แต่คำตอบไม่ได้จบเพียงแค่นั้น เพราะสมการนี้ไม่เท่ากับสมการเดิม ท้ายที่สุด การสร้างผลลัพธ์ประกอบด้วยฟังก์ชันที่กำหนดบนเส้นจำนวนทั้งหมด และลอการิทึมดั้งเดิมของเราไม่ได้ถูกกำหนดทุกที่และไม่เสมอไป

ดังนั้น เราต้องจดโดเมนของคำจำกัดความแยกกัน อย่าฉลาดกว่านี้และเขียนข้อกำหนดทั้งหมดก่อน:

อย่างแรก อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแต่ละตัวต้องมากกว่า 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

ประการที่สอง ฐานต้องไม่เพียงแค่มากกว่า 0 เท่านั้น แต่ยังต้องแตกต่างจาก 1:

x − 2 ≠ 1

เป็นผลให้เราได้รับระบบ:

แต่อย่าตื่นตระหนก: เมื่อประมวลผลสมการลอการิทึม ระบบดังกล่าวสามารถลดความซับซ้อนได้อย่างมาก

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในอีกด้านหนึ่ง เราต้องให้ฟังก์ชันกำลังสองมากกว่าศูนย์ และในทางกลับกัน ฟังก์ชันกำลังสองนี้จะเท่ากับนิพจน์เชิงเส้นบางค่า ซึ่งจำเป็นต้องมากกว่าศูนย์ด้วย

ในกรณีนี้ หากเราต้องการให้ x − 2 > 0 เป็นไปตามข้อกำหนด 2x 2 − 13x + 18 > 0 โดยอัตโนมัติ ดังนั้น เราสามารถตัดความไม่เท่าเทียมกันที่มีฟังก์ชันกำลังสองออกได้อย่างปลอดภัย ดังนั้นจำนวนนิพจน์ที่มีอยู่ในระบบของเราจะลดลงเหลือสาม

แน่นอน เราอาจจะขีดฆ่าได้เช่นกัน ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นเช่น ขีดฆ่า x − 2 > 0 และกำหนดให้ 2x 2 − 13x + 18 > 0 แต่คุณต้องยอมรับว่าการแก้อสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดทำได้เร็วและง่ายกว่าระบบนี้ที่เราจะได้รากเดียวกัน

โดยทั่วไป ให้พยายามปรับการคำนวณให้เหมาะสมทุกครั้งที่ทำได้ และในกรณีของสมการลอการิทึม ให้ขีดฆ่าอสมการที่ยากที่สุดออก

มาเขียนระบบของเราใหม่:

นี่คือระบบของสามนิพจน์ซึ่งอันที่จริงแล้วเราคิดออกแล้วสองอย่าง แยกเขียนสมการกำลังสองแล้วแก้มัน:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

ก่อนที่เราจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสลดขนาดลงดังนั้นเราจึงสามารถใช้สูตร Vieta ได้ เราได้รับ:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

กลับไปที่ระบบของเรา เราพบว่า x = 2 ไม่เหมาะกับเรา เพราะเราต้องมี x มากกว่า 2 อย่างเคร่งครัด

แต่ x \u003d 5 เหมาะกับเราค่อนข้างดี: หมายเลข 5 มากกว่า 2 และในเวลาเดียวกัน 5 ไม่เท่ากับ 3 ดังนั้นทางออกเดียวของระบบนี้คือ x \u003d 5

ทุกอย่างได้รับการแก้ไขแล้ว ซึ่งรวมถึง ODZ ด้วย มาต่อกันที่สมการที่สองกัน ที่นี่เรากำลังรอการคำนวณที่น่าสนใจและมีความหมายมากขึ้น:

ขั้นตอนแรก: เช่นเดียวกับครั้งที่แล้ว เรานำธุรกิจทั้งหมดนี้มาสู่รูปแบบบัญญัติ ในการทำเช่นนี้ เราสามารถเขียนเลข 9 ได้ดังนี้:

ไม่สามารถสัมผัสฐานที่มีรูทได้ แต่ควรเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์จะดีกว่า ลองย้ายจากรากเป็นกำลังด้วยเลขยกกำลังที่เป็นตรรกยะ มาเขียนกัน:

ขอผมอย่าเขียนสมการลอการิทึมขนาดใหญ่ทั้งหมดของเราใหม่ แต่ให้เทียบอาร์กิวเมนต์ในทันที:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

ต่อหน้าเราคือทริโนเมียลกำลังสองลดค่าอีกครั้ง เราจะใช้สูตรเวียตาและเขียนว่า:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

เราก็ได้รากมา แต่ไม่มีใครรับรองได้ว่ามันจะเข้ากับสมการลอการิทึมเดิม ท้ายที่สุด ป้ายบันทึกกำหนดข้อจำกัดเพิ่มเติม (ที่นี่เราจะต้องจดระบบ แต่เนื่องจากความยุ่งยากของการก่อสร้างทั้งหมด ฉันจึงตัดสินใจคำนวณโดเมนของคำจำกัดความแยกกัน)

ก่อนอื่น จำไว้ว่าอาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่า 0 กล่าวคือ:

เหล่านี้เป็นข้อกำหนดที่กำหนดโดยโดเมนของคำจำกัดความ

เราทราบทันทีว่าเนื่องจากเราจัดนิพจน์สองนิพจน์แรกของระบบให้เท่ากัน เราจึงสามารถขีดฆ่านิพจน์ใดก็ได้ ข้ามอันแรกออกไปเพราะดูน่ากลัวกว่าอันที่สอง

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าคำตอบของอสมการที่สองและสามจะเป็นเซตเดียวกัน (ลูกบาศก์ของตัวเลขบางตัวมากกว่าศูนย์ หากจำนวนนี้เองมากกว่าศูนย์ ในทำนองเดียวกันกับรูทของดีกรีที่สาม - ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้คือ คล้ายคลึงกันอย่างสิ้นเชิง ดังนั้นหนึ่งในนั้นเราสามารถขีดฆ่าได้)

แต่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันที่สาม สิ่งนี้ใช้ไม่ได้ผล กำจัดเครื่องหมายกรณฑ์ทางซ้าย ซึ่งเรายกทั้งสองส่วนให้เป็นลูกบาศก์ เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงได้รับข้อกำหนดดังต่อไปนี้:

−2 ≠ x > −3

รากใดของเรา: x 1 = -3 หรือ x 2 = -1 ตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่ามีเพียง x = −1 เพราะ x = −3 ไม่เป็นไปตามอสมการแรก (เพราะความไม่เท่าเทียมกันของเราเข้มงวด) โดยรวมแล้ว กลับไปที่ปัญหาของเรา เราได้รับหนึ่งรูท: x = -1 นั่นแหละ หมดปัญหา

ประเด็นสำคัญของงานนี้อีกครั้ง:

1. อย่าลังเลที่จะใช้และแก้สมการลอการิทึมโดยใช้รูปแบบบัญญัติ นักเรียนที่ทำบันทึกดังกล่าวและไม่ไปตรงจากปัญหาเดิมไปสู่การสร้างเช่น log a f ( x ) = b ทำข้อผิดพลาดน้อยกว่าผู้ที่รีบร้อนที่ไหนสักแห่งโดยข้ามขั้นตอนกลางของการคำนวณ
2. ทันทีที่ลอการิทึมปรากฏขึ้น ฐานตัวแปร, งานเลิกง่าย. ดังนั้นเมื่อแก้สมการจึงจำเป็นต้องคำนึงถึงโดเมนของคำจำกัดความด้วย: อาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่าศูนย์และฐานต้องไม่เพียงแค่มากกว่า 0 แต่ยังต้องไม่เท่ากับ 1

คุณสามารถกำหนดข้อกำหนดสุดท้ายสำหรับคำตอบสุดท้ายได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาทั้งระบบที่มีข้อกำหนดของโดเมนทั้งหมด ในทางกลับกัน คุณสามารถแก้ปัญหาได้ด้วยตัวเองก่อน แล้วจึงจำเกี่ยวกับโดเมนของคำจำกัดความ แยกออกมาในรูปแบบของระบบ และนำไปใช้กับรากที่ได้รับ

วิธีที่จะเลือกเมื่อแก้สมการลอการิทึมนั้นขึ้นอยู่กับคุณ ไม่ว่าในกรณีใดคำตอบจะเหมือนกัน

สมการลอการิทึม เรายังคงพิจารณางานจากส่วน B ของ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์ต่อไป เราได้พิจารณาคำตอบของสมการบางข้อในบทความ "", "" แล้ว ในบทความนี้ เราจะพิจารณาสมการลอการิทึม ฉันต้องบอกทันทีว่าจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงที่ซับซ้อนเมื่อแก้สมการดังกล่าวที่ USE พวกมันเรียบง่าย

เพียงพอที่จะรู้และเข้าใจเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน เพื่อทราบคุณสมบัติของลอการิทึม ให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงที่ว่าหลังจากการตัดสินใจ เป็นข้อบังคับที่ต้องทำการตรวจสอบ - แทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมแล้วคำนวณ ผลลัพธ์ที่ได้คือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

คำนิยาม:

ลอการิทึมของจำนวน a ยกกำลังฐาน b คือเลขชี้กำลังซึ่งต้องยก b เพื่อให้ได้ a

ตัวอย่างเช่น:

บันทึก 3 9 = 2 เนื่องจาก 3 2 = 9

คุณสมบัติของลอการิทึม:

กรณีพิเศษของลอการิทึม:

เราแก้ปัญหา ในตัวอย่างแรก เราจะทำการตรวจสอบ ตรวจสอบตัวเองดังต่อไปนี้

หารากของสมการ: log 3 (4–x) = 4

เนื่องจาก log b a = x b x = a แล้ว

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

การตรวจสอบ:

บันทึก 3 (4–(–77)) = 4

บันทึก 3 81 = 4

3 4 = 81 ถูกต้อง

คำตอบ: - 77

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ: log 2 (4 - x) = 7

หารากของสมการล็อก 5(4 + x) = 2

เราใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

เนื่องจากบันทึก a b = x b x = a แล้ว

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

การตรวจสอบ:

บันทึก 5 (4 + 21) = 2

บันทึก 5 25 = 2

5 2 = 25 ถูกต้อง

คำตอบ: 21

หารากของสมการ log 3 (14 - x) = log 3 5

สมบัติต่อไปนี้เกิดขึ้นความหมายมีดังนี้: ถ้าด้านซ้ายและด้านขวาของสมการเรามีลอการิทึมด้วย ฐานเดียวกันจากนั้นเราสามารถเทียบนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมได้

14 - x = 5

x=9

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 9

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ log 5 (5 - x) = log 5 3

หารากของสมการ: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15)

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 6

หารากของสมการ log 1/8 (13 - x) = - 2

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

ทำการตรวจสอบ

การเพิ่มเล็กน้อย - ที่นี่ใช้คุณสมบัติ

ระดับ().

คำตอบ: - 51

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ: log 1/7 (7 - x) = - 2

หารากของสมการ log 2 (4 - x) = 2 log 2 5

ลองแปลงด้านขวา ใช้คุณสมบัติ:

บันทึก a b m = m∙ บันทึก a b

บันทึก 2 (4 - x) = บันทึก 2 5 2

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: - 21

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

แก้สมการ log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2.75

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 2.75

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

หารากของสมการ log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10)

แก้สมการ log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1

ทางด้านขวาของสมการ คุณต้องได้รับนิพจน์ของแบบฟอร์ม:

บันทึก 2 (......)

แสดง 1 เป็นลอการิทึมฐาน 2:

1 = บันทึก 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

บันทึก 2 (2 - x) = บันทึก 2 (2 - 3x) + บันทึก 2 2

เราได้รับ:

บันทึก 2 (2 - x) = บันทึก 2 2 (2 - 3x)

ถ้า log c a = log c b แล้ว a = b แล้ว

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0.4

ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 0.4

ตัดสินใจด้วยตัวเอง: ต่อไป คุณต้องแก้สมการกำลังสอง อนึ่ง,

รากคือ 6 และ -4

ราก "-4" ไม่ใช่คำตอบ เนื่องจากฐานของลอการิทึมต้องมากกว่าศูนย์ และด้วย "– 4" เท่ากับ " – 5". วิธีแก้ปัญหาคือรูท 6ทำการตรวจสอบ

คำตอบ: 6.

R กินเอง:

แก้สมการ log x –5 49 = 2 ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูท ให้ตอบอันที่น้อยกว่า

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีการแปลงที่ซับซ้อนด้วยสมการลอการิทึมไม่. ก็เพียงพอที่จะรู้คุณสมบัติของลอการิทึมและสามารถนำไปใช้ได้ ในงาน USE ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงนิพจน์ลอการิทึม การแปลงที่จริงจังยิ่งขึ้นจะดำเนินการและต้องใช้ทักษะที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในการแก้ปัญหา เราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว อย่าพลาด!ขอให้ประสบความสำเร็จ!!!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

PS: ฉันจะขอบคุณมากถ้าคุณบอกเกี่ยวกับไซต์ในเครือข่ายสังคมออนไลน์

บน บทเรียนนี้เราจะทำซ้ำข้อเท็จจริงทางทฤษฎีพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึมและพิจารณาคำตอบของสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

จำคำจำกัดความกลาง - คำจำกัดความของลอการิทึม มันเชื่อมต่อกับคำตอบของสมการเลขชี้กำลัง สมการนี้มีรากเดียว เรียกว่า ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a:

คำนิยาม:

ลอการิทึมของตัวเลข b ยกกำลังฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้ตัวเลข b

จำ เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน.

นิพจน์ (นิพจน์ 1) เป็นรากของสมการ (นิพจน์ 2) เราแทนที่ค่าของ x จากนิพจน์ 1 แทน x ในนิพจน์ 2 และเราได้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน:

ดังนั้นเราจึงเห็นว่าแต่ละค่าถูกกำหนดเป็นค่า เราแสดงว่า b สำหรับ x (), c สำหรับ y และดังนั้นเราจึงได้ฟังก์ชันลอการิทึม:

ตัวอย่างเช่น:

เรียกคืนคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันลอการิทึม

ให้เราให้ความสนใจอีกครั้ง เพราะภายใต้ลอการิทึม นิพจน์ที่เป็นบวกสามารถมีได้เป็นฐานของลอการิทึม

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมของฐานต่างๆ

กราฟของฟังก์ชันที่ แสดงเป็นสีดำ ข้าว. 1. ถ้าอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากศูนย์เป็นอนันต์ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้

กราฟของฟังก์ชันที่ แสดงเป็นสีแดง ข้าว. หนึ่ง.

คุณสมบัติของฟังก์ชันนี้:

โดเมน: ;

ช่วงของค่า: ;

ฟังก์ชันนี้เป็นแบบโมโนโทนิกเหนือขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด เมื่อเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ (อย่างเคร่งครัด) ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน เมื่อลดลงแบบโมโนโทนิค (อย่างเคร่งครัด) ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นกุญแจสำคัญในการแก้สมการลอการิทึมต่างๆ

พิจารณาสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ตามปกติแล้ว สมการลอการิทึมอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดรูปลงในรูปแบบนี้

เนื่องจากฐานของลอการิทึมและลอการิทึมเท่ากัน ฟังก์ชันภายใต้ลอการิทึมจึงเท่ากัน แต่เราต้องไม่สูญเสียขอบเขต เฉพาะจำนวนบวกเท่านั้นที่สามารถยืนใต้ลอการิทึมได้ เรามี:

เราพบว่าฟังก์ชัน f และ g เท่ากัน ดังนั้นจึงเพียงพอแล้วที่จะเลือกอสมการใดๆ เพื่อให้สอดคล้องกับ ODZ

ดังนั้นเราจึงได้ระบบผสมซึ่งมีสมการและความไม่เท่าเทียมกัน:

ตามกฎแล้วไม่จำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกัน แต่ก็เพียงพอที่จะแก้สมการและแทนที่รากที่พบลงในความไม่เท่าเทียมกันจึงทำการตรวจสอบ

ให้เรากำหนดวิธีการแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด:

ปรับฐานของลอการิทึมให้เท่ากัน

เทียบฟังก์ชันลอการิทึมย่อย

เรียกใช้การตรวจสอบ

ลองพิจารณาตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1 - แก้สมการ:

ฐานของลอการิทึมมีค่าเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2 - แก้สมการ:

สมการนี้แตกต่างจากสมการก่อนหน้านี้ตรงที่ฐานของลอการิทึมมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง แต่สิ่งนี้ไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาแต่อย่างใด:

ลองหารากและแทนที่เป็นอสมการ:

เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่ารูทที่พบไม่เป็นไปตาม ODZ

ตัวอย่างที่ 3 - แก้สมการ:

ฐานของลอการิทึมมีค่าเท่ากัน

ลองหารากและแทนที่เป็นอสมการ:

เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรูทแรกเท่านั้นที่ตอบสนอง ODZ

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• ในกรณีที่มีความจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด