สมการเทียบเท่า ผลของสมการ

สถาบันการศึกษาเทศบาล

"โรงเรียนมัธยมโนโวโคลอฟสค์"

เขต Krasnensky ของภูมิภาค Belgorod

บทเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11

"การประยุกต์ใช้การแปลงหลาย ๆ อันที่นำไปสู่สมการที่สืบเนื่อง"

จัดทำและดำเนินการ

ครูคณิตศาสตร์

Kharkovskaya Valentina Grigorievna

พีชคณิตเกรด 11

เรื่อง: การประยุกต์ใช้การแปลงหลายแบบที่นำไปสู่สมการ - ผลที่ตามมา

เป้า: สร้างเงื่อนไขสำหรับการแก้ไขเนื้อหาในหัวข้อ: "การประยุกต์ใช้การแปลงหลายแบบที่นำไปสู่สมการ - ผลที่ตามมา"; Rเพื่อพัฒนาความเป็นอิสระเพื่อปลูกฝังการรู้พูด; เพื่อสร้างทักษะการคำนวณของนักเรียน งานที่สมบูรณ์ที่สอดคล้องกับระดับของการสอบ

อุปกรณ์: หนังสือเรียน คอมพิวเตอร์ การ์ด

ประเภทบทเรียน: บทเรียนเกี่ยวกับการใช้งานที่ซับซ้อนของ ZUN

ระหว่างเรียน

ช่วงเวลาขององค์กร (สไลด์ 1)

สวัสดีตอนบ่ายพวก! ดูภาพเหล่านี้และเลือกภาพที่คุณชอบมากที่สุด ฉันเห็นว่าคุณมาที่บทเรียนด้วยอารมณ์ดีเหมือนกับฉัน และฉันคิดว่ามันจะยังคงเหมือนเดิมจนกว่าจะจบบทเรียน ฉันขอให้คุณทำงานให้สำเร็จ

พวกคุณแต่ละคนมีใบประเมินผลบนโต๊ะที่คุณจะประเมินตัวเองในแต่ละขั้นตอนของบทเรียน

ตรวจการบ้าน (สไลด์ 2)

เน้นการแก้ปัญหาบนสไลด์และเด็กๆ ให้คะแนนตัวเองใน

แผ่นตรวจสอบตัวเอง ไม่มีข้อผิดพลาด - "5" ถ้า 1 ข้อผิดพลาด - "4", 2

ข้อผิดพลาด - "3" หากคุณมีลูกจำนวนมากที่มี2

ผิดพลาดแล้วแก้ปัญหานี้ที่กระดานดำ

ประกาศหัวข้อบทเรียน (สไลด์ 3) การกำหนดเป้าหมายบทเรียน

คุณสามารถดูหัวข้อบทเรียนของเราได้ในสไลด์ คุณคิดอย่างไร

วันนี้เราจะไปเรียนกันไหม

เอาล่ะพวกเรามาจำเนื้อหาที่กล่าวถึงกันเถอะ .

มาเริ่มกันที่ :

งานช่องปาก (สไลด์ 4)

สมการใดที่เรียกว่าสมการผลพวง (ถ้ารากของสมการแรกเป็นรากของสมการที่สอง สมการที่สองจะเรียกว่าผลที่ตามมาของสมการแรก)

อะไรเรียกว่าการเปลี่ยนไปสู่สมการผลที่ตามมา? (แทนที่สมการด้วยสมการอื่นซึ่งเป็นผลที่ตามมา);

การเปลี่ยนแปลงใดนำไปสู่สมการผลพวง? ยกตัวอย่าง. (การเพิ่มสมการเป็นยกกำลังคู่ การเพิ่มกำลังของสมการลอการิทึม การปลดปล่อยสมการออกจากตัวส่วน การนำพจน์ของสมการที่เหมือนกันมาใช้ การใช้สูตร)

แก้สมการ (สไลด์ 5)

(สมการจะแสดงบนหน้าจอ):

1) = 6; (คำตอบ: 36)

2) = 3; (คำตอบ: 11)

3) = 4; (คำตอบ: 6)

4) = - 2; (คำตอบ: ไม่มีคำตอบ เนื่องจากด้านซ้ายของสมการใช้เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบ)

5) = 9; (คำตอบ: -9 และ 9)

6) = -2; (คำตอบ: ไม่มีคำตอบ เนื่องจากผลรวมของสอง

ตัวเลขที่ไม่เป็นลบไม่สามารถเป็นค่าลบได้)

ฉันคิดว่าคุณสังเกตเห็นว่าเมื่อทำการบ้านและงานปากเปล่า เราได้พบกับงานที่สอดคล้องกับรุ่นสาธิต ข้อมูลจำเพาะ และตัวเข้ารหัส USE

4. เสร็จสิ้นภารกิจ

พวกเรามาทำงานในสมุดบันทึกกันเถอะ:

№8.26 (ก) - ที่กระดานดำ

№8.14 (c) - ที่กระดานดำ

Fizminutka สำหรับดวงตา (ดนตรี)

№8.8 (c) - ที่กระดาน

№8.9-(จ)-ที่กระดาน

5. งานอิสระ (สไลด์ 6)

โซลูชันการทำงานอิสระ (สไลด์ 7)

6. การบ้าน: สมบูรณ์หมายเลข 8.14 (g) งาน USE B5 ในตัวเลือก 21,23,25 (สไลด์ 8)

7. ผลการเรียน (สไลด์ 9)

8. การสะท้อนกลับ (สไลด์ 10)

แบบสอบถาม.

1. ฉันทำงานที่บทเรียน

2. ด้วยงานของฉันในบทเรียน ฉัน

3. บทเรียนดูเหมือนกับฉัน

4. สำหรับบทเรียน I

5. อารมณ์ของฉัน

6. เนื้อหาของบทเรียนคือ

7. คุณคิดว่าจะรับมือกับงานดังกล่าวในการสอบหรือไม่?

8. การบ้านดูเหมือนกับฉัน

แอคทีฟ / พาสซีฟ

มีความสุข/ไม่มีความสุข

สั้นยาว

ไม่เหนื่อย/เหนื่อย

ดีขึ้น/แย่ลง

ชัดเจน/ไม่ชัดเจน

มีประโยชน์ / ไร้ประโยชน์

น่าสนใจ/น่าเบื่อ

ใช่/ไม่ใช่/ไม่รู้

ง่าย/ยาก

น่าสนใจ/ไม่น่าสนใจ

ทรัพยากรที่ใช้:

Nikolsky S.M. , Potapov K.M. , . พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ป. 11 ม.: การศึกษา, 2010

รวมงานเตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์

การพัฒนาบทเรียนพีชคณิตในคลาสโปรไฟล์ที่ 11

บทเรียนนี้จัดทำโดยครูคณิตศาสตร์ ม.บูรพา ม.6 ตูปิตสินา โอ.วี.

หัวข้อและหมายเลขบทเรียนในหัวข้อ:“การประยุกต์ใช้การแปลงหลาย ๆ แบบที่นำไปสู่สมการ-ผล” บทเรียนที่ 7, 8 ในหัวข้อ: “สมการ-ผล”

สาขาวิชา:พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - เกรด 11 ( อบรมเฉพาะทางตามตำราของ S.M. Nikolsky)

ประเภทของบทเรียน: "การจัดระบบและภาพรวมของความรู้และทักษะ"

ประเภทบทเรียน: เวิร์คช็อป

บทบาทของครู: โดยตรง กิจกรรมทางปัญญาให้นักเรียนพัฒนาทักษะในการนำความรู้ไปใช้อย่างอิสระในคอมเพล็กซ์เพื่อเลือกวิธีการที่ต้องการหรือวิธีการแปลงซึ่งนำไปสู่สมการ - ผลที่ตามมาและการประยุกต์ใช้วิธีการในการแก้สมการในเงื่อนไขใหม่

อุปกรณ์ทางเทคนิคที่จำเป็น:อุปกรณ์มัลติมีเดีย, เว็บแคม

บทเรียนที่ใช้:

รูปแบบการเรียนรู้การสอน- การสร้างสถานการณ์ที่เป็นปัญหา
สื่อการสอน- แผ่นแสดงโมดูลการฝึกอบรม การเลือกงานสำหรับการแก้สมการ
ประเภทของกิจกรรมนักศึกษา- กลุ่ม (กลุ่มถูกสร้างขึ้นในบทเรียน - "การค้นพบ" ความรู้ใหม่บทเรียนที่ 1 และ 2 จากนักเรียนที่มีระดับการเรียนรู้และการเรียนรู้ต่างกัน) การแก้ปัญหาร่วมกันหรือรายบุคคล
เน้นบุคลิกภาพ เทคโนโลยีการศึกษา : การฝึกอบรมแบบแยกส่วน, การเรียนรู้โดยใช้ปัญหา, วิธีค้นหาและวิจัย, การสนทนาแบบกลุ่ม, วิธีกิจกรรม, การทำงานกับตำราเรียนและแหล่งข้อมูลต่างๆ,
เทคโนโลยีที่ช่วยดูแลสุขภาพ- เพื่อบรรเทาความเครียดดำเนินการพลศึกษา
ความสามารถ:

- การศึกษาและความรู้ความเข้าใจ ระดับพื้นฐาน - นักเรียนรู้แนวคิดของสมการ - ผลที่ตามมา รากของสมการ และวิธีการแปลงที่นำไปสู่สมการ - ผลที่ตามมา พวกเขาสามารถหารากของสมการและตรวจสอบหาได้ ระดับผลผลิต;

- ในระดับสูง- นักเรียนสามารถแก้สมการโดยใช้วิธีการแปลงที่มีชื่อเสียง ตรวจสอบรากของสมการโดยใช้พื้นที่ของค่าสมการที่ยอมรับไม่ได้ คำนวณลอการิทึมโดยใช้คุณสมบัติตามการสำรวจข้อมูล - นักเรียนค้นหา ดึงข้อมูล และเลือกข้อมูลที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาทางการศึกษาในแหล่งต่างๆ อย่างอิสระ

เป้าหมายการสอน:

สร้างเงื่อนไขให้:

การก่อตัวของความคิดเกี่ยวกับสมการ - ผลที่ตามมา รากและวิธีการแปลง

การก่อตัวของประสบการณ์ของการสร้างความหมายตามผลเชิงตรรกะของวิธีการแปลงสมการที่ศึกษาก่อนหน้านี้: การเพิ่มสมการให้เป็นระดับคู่, ศักยภาพ สมการลอการิทึม, การปล่อยสมการจากตัวส่วน, การลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน;

การรวมทักษะในการกำหนดทางเลือกของวิธีการแปลง แก้สมการ และเลือกรากของสมการ

การเรียนรู้ทักษะในการกำหนดปัญหาโดยอาศัยข้อมูลที่รู้และเรียนรู้ สร้างคำขอเพื่อค้นหาสิ่งที่ยังไม่ทราบ

รูปแบบ ความสนใจทางปัญญาความสามารถทางปัญญาและความคิดสร้างสรรค์ของนักเรียน

การพัฒนา การคิดอย่างมีตรรกะ, กิจกรรมสร้างสรรค์ของนักเรียน, ทักษะโครงงาน, ความสามารถในการแสดงความคิดเห็น

การก่อตัวของความอดทนการช่วยเหลือซึ่งกันและกันเมื่อทำงานเป็นกลุ่ม

กระตุ้นความสนใจในการแก้สมการอิสระ

งาน:

จัดระเบียบการทำซ้ำและการจัดระบบความรู้เกี่ยวกับวิธีการแปลงสมการ

- เพื่อให้แน่ใจว่าเชี่ยวชาญของวิธีการแก้สมการและตรวจสอบรากของพวกเขา

- มีส่วนช่วยในการพัฒนาการวิเคราะห์และ การคิดอย่างมีวิจารณญาณนักเรียน; เปรียบเทียบและเลือกวิธีการแก้สมการที่เหมาะสมที่สุด

- สร้างเงื่อนไขในการพัฒนาทักษะการวิจัย ทักษะการทำงานเป็นกลุ่ม

กระตุ้นให้นักเรียนใช้สื่อการเรียนเพื่อเตรียมสอบ

วิเคราะห์และประเมินผลงานและผลงานของสหายในการปฏิบัติงานนี้

ผลลัพธ์ตามแผน:

*ส่วนตัว:

ทักษะในการกำหนดงานตามข้อมูลที่ทราบและเรียนรู้ การสร้างคำขอเพื่อค้นหาสิ่งที่ยังไม่ทราบ

ความสามารถในการเลือกแหล่งข้อมูลที่จำเป็นในการแก้ปัญหา การพัฒนาความสนใจทางปัญญาความสามารถทางปัญญาและความคิดสร้างสรรค์ของนักเรียน

การพัฒนาความคิดเชิงตรรกะ กิจกรรมสร้างสรรค์ ความสามารถในการแสดงความคิดเห็น ความสามารถในการสร้างข้อโต้แย้ง

การประเมินตนเองของผลการปฏิบัติงาน

ทักษะการทำงานเป็นทีม

*เรื่องเมตา:

ความสามารถในการเน้นสิ่งสำคัญ, เปรียบเทียบ, วางนัย, วาดภาพเปรียบเทียบ, ใช้วิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัย, หยิบยกสมมติฐานเมื่อแก้สมการ,

ความสามารถในการตีความและใช้ความรู้ที่ได้รับในการเตรียมตัวสอบ

*เรื่อง:

ความรู้เกี่ยวกับการแปลงสมการ

ความสามารถในการสร้างรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับสมการประเภทต่างๆ และใช้ในการแก้และคัดเลือกราก

การบูรณาการวัตถุประสงค์ของบทเรียน:

(สำหรับครู) การก่อตัวของนักเรียนในมุมมองแบบองค์รวมเกี่ยวกับวิธีการเปลี่ยนสมการและวิธีการแก้สมการ
(สำหรับนักเรียน) การพัฒนาความสามารถในการสังเกต เปรียบเทียบ สรุป วิเคราะห์สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับประเภทของสมการที่มีฟังก์ชันต่างๆ การเตรียมตัวสอบ.

ขั้นตอนที่ 1 ของบทเรียน:

อัพเดทความรู้เพิ่มแรงจูงใจในด้านการประยุกต์ใช้วิธีการแปลงสมการแบบต่างๆ (input diagnostics)

ขั้นตอนการอัพเดทความรู้ดำเนินการในรูปแบบ งานตรวจสอบด้วยการตรวจสอบตนเอง มีการเสนองานพัฒนาตามความรู้ที่ได้รับในบทเรียนก่อนหน้า ซึ่งต้องใช้กิจกรรมทางจิตจากนักเรียนและจำเป็นเพื่อทำงานให้เสร็จที่ บทเรียนนี้.

งานตรวจสอบ

เลือกสมการที่ต้องการการจำกัดค่าที่ไม่รู้จักในชุดของจำนวนจริงทั้งหมด:

ก) = X-2; b) 3 \u003d X-2; ค) =1;

ง) ( = (; จ) = ; จ) +6 =5;

ช) = ; ช) = .

(2) ระบุช่วงค่าที่ถูกต้องของแต่ละสมการที่มีข้อจำกัด

(3) เลือกตัวอย่างของสมการดังกล่าว ซึ่งการเปลี่ยนแปลงอาจทำให้สูญเสียการรูท (ใช้เนื้อหาของบทเรียนก่อนหน้าในหัวข้อนี้)

ทุกคนตรวจสอบคำตอบอย่างอิสระตามคำตอบที่ไฮไลต์บนหน้าจอ งานที่ซับซ้อนที่สุดจะได้รับการวิเคราะห์และแก้ไข ความสนใจเป็นพิเศษนักเรียนเกี่ยวกับตัวอย่าง a, c, g, h ซึ่งมีข้อจำกัดอยู่

สรุปได้ว่าเมื่อแก้สมการจำเป็นต้องกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตโดยสมการหรือตรวจสอบรากเพื่อหลีกเลี่ยงค่าที่ไม่เกี่ยวข้อง วิธีการแปลงสมการที่ศึกษาก่อนหน้านี้นำไปสู่สมการ - ผลที่ตามมาจะถูกทำซ้ำ กล่าวคือนักเรียนมีแรงจูงใจที่จะหาวิธีที่ถูกต้องในการแก้สมการที่เสนอโดยพวกเขาในการทำงานต่อไป

ขั้นตอนที่ II ของบทเรียน:

การประยุกต์ใช้ความรู้ ทักษะ และความสามารถในการแก้สมการเชิงปฏิบัติ

กลุ่มจะได้รับแผ่นงานพร้อมโมดูลที่รวบรวมในประเด็นของหัวข้อนี้ โมดูลประกอบด้วยองค์ประกอบการเรียนรู้ห้าองค์ประกอบ ซึ่งแต่ละองค์ประกอบมีจุดมุ่งหมายเพื่อการทำงานบางอย่าง นักเรียนที่มีระดับการเรียนรู้และการเรียนรู้ต่างกันจะกำหนดขอบเขตของกิจกรรมในบทเรียนอย่างอิสระ แต่เนื่องจากทุกคนทำงานเป็นกลุ่ม จึงมีกระบวนการอย่างต่อเนื่องในการปรับความรู้และทักษะ ระดับความคิดสร้างสรรค์

ในช่วงกลางของบทเรียน จะมีการจัดนาทีทางกายภาพที่จำเป็น

จำนวนองค์ประกอบทางการศึกษา	องค์ประกอบการศึกษาที่มีการมอบหมาย	คู่มือการพัฒนาสื่อการเรียนรู้
UE-1	วัตถุประสงค์: เพื่อกำหนดและพิสูจน์วิธีการหลักในการแก้สมการตามคุณสมบัติของฟังก์ชัน ออกกำลังกาย: ระบุวิธีการแปลงสำหรับการแก้สมการต่อไปนี้: ก) )= -8); ข) = ค) (=( ง) ctg + x 2 -2x = ctg +24; จ) = ; f) = บาป 2) งาน: แก้สมการที่เสนออย่างน้อยสองสมการ อธิบายว่าวิธีการใดที่ใช้ในสมการที่แก้ได้	ข้อ 7.3 น.212 ข้อ 7.4 น.214 ข้อ 7.5 น.217 ข้อ 7.2 น. 210
UE-2	วัตถุประสงค์: เพื่อฝึกฝนเทคนิคและวิธีแก้ปัญหาอย่างมีเหตุมีผล ออกกำลังกาย: ยกตัวอย่างจากสมการข้างต้นหรือแบบเลือกเอง (ใช้สื่อการสอนจากบทเรียนที่แล้ว) ที่แก้ได้โดยใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบมีเหตุมีผล มันคืออะไร? (เน้นวิธีการตรวจสอบรากของสมการ)
UE-3	วัตถุประสงค์: การใช้ความรู้ที่ได้รับในการแก้สมการ ระดับสูงความยากลำบาก ออกกำลังกาย: = (หรือ ( = (	ข้อ 7.5
UE-4	กำหนดระดับความเชี่ยวชาญของหัวข้อ: ต่ำ - คำตอบไม่เกิน 2 สมการ ปานกลาง - คำตอบไม่เกิน 4 สมการ สูง - คำตอบไม่เกิน 5 สมการ
UE-5	การควบคุมเอาต์พุต: ทำตารางเพื่อนำเสนอวิธีการแปลงสมการทั้งหมดที่คุณใช้ และสำหรับแต่ละวิธีให้จดตัวอย่างสมการที่คุณแก้ได้ โดยเริ่มจากบทที่ 1 ของหัวข้อ: “สมการ - ผลที่ตามมา”	บทคัดย่อในสมุดบันทึก

ขั้นตอนที่ III ของบทเรียน:

วันหยุด งานวินิจฉัยเป็นตัวแทนของการสะท้อนของนักเรียนซึ่งจะแสดงความพร้อมไม่เพียงแต่สำหรับการเขียน ควบคุมงานแต่ยังรวมถึงความพร้อมในการสอบในส่วนนี้ด้วย

ในตอนท้ายของบทเรียน นักเรียนทุกคนโดยไม่มีข้อยกเว้น ประเมินตัวเอง จากนั้นการประเมินของครูจะมาถึง หากเกิดความไม่ลงรอยกันระหว่างครูกับนักเรียน ครูสามารถเสนองานเพิ่มเติมให้นักเรียนเพื่อประเมินผลอย่างเป็นกลาง การบ้านมุ่งตรวจสอบวัสดุก่อนงานควบคุม

ในการนำเสนอ เราจะพิจารณาสมการ ทฤษฎีบทที่เทียบเท่ากันต่อไป และศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมในขั้นตอนของการแก้สมการดังกล่าว

อันดับแรก ให้นึกถึงเงื่อนไขที่สมการใดสมการหนึ่งเป็นผลมาจากอีกสมการหนึ่ง (สไลด์ 1) ผู้เขียนได้อ้างอิงถึงทฤษฎีบทบางข้อเกี่ยวกับสมการที่เทียบเท่ากันซึ่งได้รับการพิจารณาก่อนหน้านี้อีกครั้ง: ในการคูณส่วนของสมการโดย ค่าเท่ากันชั่วโมง(x); การเพิ่มส่วนของสมการให้มีกำลังเท่ากัน ได้สมการเทียบเท่าจากสมการ log a f (x) = log a g (x)

ในสไลด์ที่ 5 ของการนำเสนอ ขั้นตอนหลักจะถูกเน้นด้วยความช่วยเหลือซึ่งสะดวกในการแก้สมการที่เทียบเท่ากัน:

หาคำตอบของสมการที่เทียบเท่ากัน

วิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา

ตรวจสอบ.

ลองพิจารณาตัวอย่างที่ 1 จำเป็นต้องค้นหาผลของสมการ x - 3 = 2 หารากของสมการ x = 5. เขียนสมการเทียบเท่า (x - 3)(x - 6) = 2(x - 6) ) โดยใช้วิธีคูณส่วนของสมการด้วย (x - 6) ลดความซับซ้อนของนิพจน์ให้อยู่ในรูปแบบ x 2 - 11x +30 = 0 เราพบราก x 1 = 5, x 2 = 6 แต่ละรากของสมการ x - 3 \u003d 2 ยังเป็นคำตอบของสมการ x 2 - 11x +30 \u003d 0 จากนั้น x 2 - 11x +30 \u003d 0 เป็นสมการผลที่ตามมา

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาผลลัพธ์อื่นของสมการ x - 3 = 2 เพื่อให้ได้สมการที่เทียบเท่ากัน เราใช้วิธีการเพิ่มเป็นกำลังคู่ เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์ เราเขียน x 2 - 6x +5 = 0 ค้นหารากของสมการ x 1 = 5, x 2 = 1 x \u003d 5 (รากของสมการ x - 3 \u003d 2) ยังเป็นคำตอบของสมการ x 2 - 6x +5 \u003d 0 จากนั้นสมการ x 2 - 6x +5 \u003d 0 ก็เป็นผลที่ตามมาเช่นกัน สมการ

ตัวอย่างที่ 3 จำเป็นต้องค้นหาผลของสมการ log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1

ให้เราแทนที่ 1 = log 3 3 ในสมการ จากนั้นใช้คำสั่งจากทฤษฎีบท 6 เราเขียนสมการเทียบเท่า (x + 1)(x +3) = 3 ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเราจะได้ x 2 + 4x = 0 โดยที่รากคือ x 1 = 0, x 2 = - 4 ดังนั้นสมการ x 2 + 4x = 0 เป็นผลที่ตามมาสำหรับล็อกสมการที่กำหนด 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .

ดังนั้น เราสามารถสรุปได้: ถ้าโดเมนของคำจำกัดความของสมการถูกขยายออกไป ก็จะได้ผลลัพธ์ของสมการ เราแยกแยะการกระทำมาตรฐานในการหาสมการ-ผลที่ตามมา:

การกำจัดตัวส่วนที่มีตัวแปร

การเพิ่มส่วนของสมการให้มีกำลังเท่ากัน

การยกเว้นจากเครื่องหมายลอการิทึม

แต่สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือ เมื่อขยายขอบเขตคำจำกัดความของสมการระหว่างการแก้ปัญหา จำเป็นต้องตรวจสอบรากทั้งหมดที่พบ - ไม่ว่ารากนั้นจะอยู่ใน ODZ หรือไม่

ตัวอย่างที่ 4 แก้สมการที่แสดงในสไลด์ 12 ก่อนอื่น ให้หารากของสมการเทียบเท่า x 1 \u003d 5, x 2 \u003d - 2 (ระยะแรก) จำเป็นต้องตรวจสอบราก (ขั้นตอนที่สอง) ตรวจสอบราก (ระยะที่สาม): x 1 \u003d 5 ไม่อยู่ในช่วงของค่าที่อนุญาตของสมการที่กำหนดดังนั้นสมการจึงมีคำตอบเดียวเท่านั้น x \u003d - 2

ในตัวอย่างที่ 5 รากที่พบของสมการที่เท่ากันจะไม่รวมอยู่ใน ODZ ของสมการที่กำหนด ในตัวอย่างที่ 6 ค่าของหนึ่งในสองรูตที่พบไม่ได้ถูกกำหนด ดังนั้นรูทนี้จึงไม่ใช่คำตอบของสมการดั้งเดิม

บรรยายในโรงเรียน

“สมการเทียบเท่า สมการเชิงพิสูจน์»

ความคิดเห็นเกี่ยวกับระเบียบวิธี แนวคิดของสมการเทียบเท่า สมการผลัดกัน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสมมูลของสมการ เป็นปัญหาสำคัญที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีการแก้สมการ

เมื่อถึงชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 นักเรียนจะได้รับประสบการณ์ในการแก้สมการ ในเกรด 7-8 เชิงเส้นและ สมการกำลังสอง, ไม่มีการแปลงที่ไม่เท่ากันที่นี่ นอกจากนี้ในเกรด 8 และ 9 สมการตรรกยะและธรรมดาที่สุดจะได้รับการแก้ไข ปรากฎว่าเนื่องจากการปลดปล่อยจากตัวส่วนและการยกกำลังสองของสมการทั้งสองส่วน รากภายนอกอาจปรากฏขึ้น ดังนั้นจึงมีความจำเป็นที่จะต้องแนะนำแนวคิดใหม่: ความสมมูลของสมการ การแปลงสมการที่เท่ากันและไม่สมมูล รากภายนอก และการตรวจสอบราก จากประสบการณ์ที่สะสมโดยนักเรียนในการแก้สมการในชั้นเรียนข้างต้น เป็นไปได้ที่จะกำหนดความสัมพันธ์ใหม่ของการสมมูลของสมการและ "ค้นพบ" ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสมมูลของสมการร่วมกับนักเรียน

บทเรียนซึ่งเป็นบทสรุปที่นำเสนอด้านล่าง ก่อนการพิจารณาหัวข้อที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาของสมการอตรรกยะ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม และตรีโกณมิติ เนื้อหาเชิงทฤษฎีของบทเรียนนี้ช่วยสนับสนุนการแก้สมการทุกคลาส ในบทนี้ จำเป็นต้องกำหนดแนวคิดของสมการเทียบเท่า สมการผลัดกัน เพื่อพิจารณาทฤษฎีบทการแปลงที่นำไปสู่สมการประเภทดังกล่าว เนื้อหาที่พิจารณาดังที่กล่าวไว้ข้างต้นเป็นการจัดระบบความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับการแปลงสมการ มีลักษณะเฉพาะด้วยความซับซ้อนบางประการ ดังนั้นประเภทบทเรียนที่ยอมรับได้มากที่สุดคือการบรรยายในโรงเรียน ลักษณะเฉพาะของบทเรียนนี้คืองานการศึกษา (เป้าหมาย) ที่ตั้งไว้ได้รับการแก้ไขในบทเรียนที่ตามมาหลายบทเรียน (การระบุการเปลี่ยนแปลงของสมการที่นำไปสู่การได้มาซึ่งรากภายนอกและการสูญเสียราก)

แต่ละขั้นตอนของบทเรียนมีส่วนสำคัญในโครงสร้าง

บน อัพเดทเวทีนักเรียนจำบทบัญญัติทางทฤษฎีหลักที่เกี่ยวข้องกับสมการ: สมการคืออะไร, รูทของสมการ, การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร, ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ (ODV) ของสมการ พวกเขาพบ ODZ ของสมการเฉพาะที่จะทำหน้าที่เป็นตัวสนับสนุนสำหรับ "การค้นพบ" ของทฤษฎีบทในบทเรียน

เป้า ขั้นตอนของแรงจูงใจ- เพื่อสร้างสถานการณ์ปัญหาซึ่งประกอบด้วยการหาคำตอบที่ถูกต้องของสมการที่เสนอ

การตัดสินใจ งานการเรียนรู้ (ขั้นตอนการดำเนินงานความรู้ความเข้าใจ)ในบทเรียนที่นำเสนออยู่ใน "การค้นพบ" ของทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของสมการและการพิสูจน์ ความสนใจหลักในการนำเสนอเนื้อหาคือนิยามของสมการที่เท่ากัน สมการ-ผลที่ตามมา "การค้นหา" ของทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสมมูลของสมการ

บันทึกย่อที่ครูทำระหว่างบทเรียนจะถูกนำเสนอโดยตรงในบทคัดย่อ การลงทะเบียนบันทึกโดยนักเรียนในสมุดบันทึกจะมีให้ที่ส่วนท้ายของบทสรุปบทเรียน

สรุปบทเรียน

เรื่อง.สมการเทียบเท่า สมการ-ผลที่ตามมา

(พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 สถาบันการศึกษา/ช.เอ. อาลีมอฟ, ยูเอ็ม Kolyagin, Yu.V. Sidorov และคนอื่น ๆ - M.: Education, 2003)

เป้าหมายของบทเรียนที่ กิจกรรมร่วมกันกับนักเรียนเพื่อระบุความสัมพันธ์สมมูลในชุดของสมการ "ค้นพบ" ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสมมูลของสมการ

ส่งผลให้นักศึกษา

รู้

นิยามของสมการเทียบเท่า

คำจำกัดความของสมการผลสืบเนื่อง

คำชี้แจงของทฤษฎีบทหลัก

สามารถ

จากสมการที่เสนอ ให้เลือกสมการและผลสมมูลที่เท่ากัน

ใช้คำจำกัดความของสมการที่เท่ากันและสมการที่สืบเนื่องในสถานการณ์มาตรฐาน

เข้าใจ

การแปลงใดนำไปสู่สมการที่เท่ากันหรือสมการ-ผลที่ตามมา

ว่ามีการเปลี่ยนแปลงซึ่งเป็นผลมาจากการที่สมการสามารถรับรากภายนอกได้

อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงบางอย่างอาจทำให้สูญเสียรากได้

ประเภทบทเรียนการบรรยายของโรงเรียน (2 ชั่วโมง).

โครงสร้างบทเรียน

I. ส่วนสร้างแรงบันดาลใจและทิศทาง:

อัพเดทความรู้

แรงจูงใจการตั้งค่างานการเรียนรู้

ครั้งที่สอง ส่วนปฏิบัติการความรู้ความเข้าใจ:

การแก้ปัญหาการศึกษาและการวิจัย (วัตถุประสงค์ของบทเรียน)

สาม. ส่วนสะท้อนแสง-ประเมิน:

สรุปบทเรียน

การออกการบ้าน.

ระหว่างเรียน

ฉัน. ส่วนสร้างแรงบันดาลใจและทิศทาง

วันนี้ในบทเรียนเราจะพูดถึงสมการ แต่เราจะไม่เขียนหัวข้อนี้ ระลึกถึงแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับสมการ ก่อนอื่น สมการคืออะไร?

(สมการคือบันทึกการวิเคราะห์ปัญหาในการค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ซึ่งค่าของฟังก์ชันหนึ่งมีค่าเท่ากับค่าของฟังก์ชันอื่น)

แนวคิดอื่นใดที่เกี่ยวข้องกับสมการ?

(รากของสมการและความหมายของการแก้สมการคืออะไร รากของสมการเป็นตัวเลข เมื่อแทนค่าลงในสมการจะได้ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง แก้สมการ - หารากของสมการทั้งหมดหรือหาว่าสมการนั้นทำได้อย่างไร ไม่มีอยู่จริง)

สมการ ODZ คืออะไร?

(ชุดของตัวเลขทั้งหมดที่ฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการมีความหมายพร้อมกัน)

หา ODZ ของสมการต่อไปนี้

6)
.

คำตอบของสมการเขียนไว้บนกระดานดำ

กระบวนการแก้สมการเป็นอย่างไร?

(ทำการแปลงที่นำสมการนี้ไปเป็นสมการที่มีรูปแบบที่เรียบง่ายกว่า นั่นคือ สมการดังกล่าว การหารากของสมการนั้นไม่ยาก)

จริง กล่าวคือ มีลำดับของการทำให้เข้าใจง่ายจากสมการสู่สมการ
ฯลฯ ถึง
. มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นกับรากของสมการในแต่ละขั้นของการแปลง ในการแก้ปัญหาที่นำเสนอ จะได้รากที่สองของสมการ
. ตรวจสอบว่าเป็นตัวเลขและตัวเลข
และ
รากของสมการเดิม

(ตัวเลข และเป็นรากของสมการเดิมและ
- ไม่).

ดังนั้นในกระบวนการแก้ไขรากเหล่านี้จึงสูญหายไป โดยทั่วไป การแปลงที่ดำเนินการทำให้สูญเสียสองราก
และการได้มาซึ่งรากภายนอก

คุณจะกำจัดรากภายนอกได้อย่างไร?

(ทำการตรวจสอบ).

เป็นไปได้ไหมที่จะสูญเสียราก? ทำไม

(ไม่ เพราะการแก้สมการหมายถึงการค้นหารากทั้งหมด)

จะหลีกเลี่ยงการสูญเสียรากได้อย่างไร?

(อาจเป็นไปได้ว่าเมื่อแก้สมการอย่าทำการแปลงที่นำไปสู่การสูญเสียราก)

ดังนั้น เพื่อให้กระบวนการแก้สมการนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง สิ่งสำคัญที่ต้องรู้เมื่อทำการแปลงสมการคืออะไร

(อาจเป็นไปได้ว่าจะรู้ว่าการเปลี่ยนแปลงใดในสมการที่รักษารากไว้ ซึ่งนำไปสู่การสูญเสียรากหรือการได้มาซึ่งรากภายนอก รู้ว่าการเปลี่ยนแปลงใดบ้างที่สามารถแทนที่ได้เพื่อไม่ให้มีการสูญเสียหรือการได้มาซึ่งราก)

นั่นคือสิ่งที่เราจะทำในบทเรียนนี้ คุณจะกำหนดเป้าหมายของกิจกรรมที่จะเกิดขึ้นในบทเรียนของวันนี้อย่างไร

(เพื่อระบุการเปลี่ยนแปลงเหนือสมการที่คงรากไว้ นำไปสู่การสูญเสียรากหรือการได้มาซึ่งรากภายนอก รู้ว่าการเปลี่ยนแปลงใดบ้างที่สามารถแทนที่ได้เพื่อไม่ให้สูญเสียหรือได้มาซึ่งราก)

II . ส่วนปฏิบัติการความรู้ความเข้าใจ

กลับไปที่สมการที่เขียนบนกระดานดำกัน มาดูกันว่าขั้นตอนไหนและผลของการเปลี่ยนแปลงใดทำให้สองรากหายไปและมีคนนอกปรากฏขึ้น (ครูทางขวาของแต่ละสมการจะใส่ตัวเลขลงไป)

ตั้งชื่อสมการที่มีชุด (ชุด) ของรากเหมือนกัน

(สมการ , , ,
และ ,).

สมการดังกล่าวเรียกว่า เทียบเท่า.พยายามกำหนดนิยามของสมการที่เทียบเท่ากัน

(สมการที่มีรากชุดเดียวกันเรียกว่าเทียบเท่า)

มาเขียนคำจำกัดความกัน

คำจำกัดความ 1. สมการ
และ
กล่าวกันว่ามีค่าเท่ากันถ้าชุดของรากของพวกมันเหมือนกัน

ควรสังเกตว่าสมการที่ไม่มีม้าก็เท่ากัน

เพื่อแสดงสมการเทียบเท่า คุณสามารถใช้สัญลักษณ์ "
». กระบวนการแก้สมการโดยใช้แนวคิดใหม่สามารถสะท้อนได้ดังนี้

ดังนั้น การเปลี่ยนจากสมการที่กำหนดไปเป็นสมการที่เท่ากันจึงไม่ส่งผลต่อชุดของรากของสมการที่ได้

และการแปลงหลักที่เกิดขึ้นเมื่อแก้สมการเชิงเส้นคืออะไร?

(วงเล็บเปิด, การโอนพจน์จากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่ง, การเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นด้านตรงข้าม, การเพิ่มนิพจน์ที่ประกอบด้วยค่าที่ไม่รู้จักให้กับทั้งสองส่วนของสมการ)

รากของพวกเขาเปลี่ยนไปหรือไม่?

บนพื้นฐานของการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ กล่าวคือ: การถ่ายโอนเทอมจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่ง ในขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 พวกเขาได้กำหนดคุณสมบัติของสมการ กำหนดรูปแบบโดยใช้แนวคิดใหม่

(หากพจน์ของสมการใดถูกย้ายจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ก็จะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา)

คุณรู้คุณสมบัติอื่นของสมการอะไรอีกบ้าง?

(สมการทั้งสองข้างสามารถคูณด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ได้)

การใช้คุณสมบัตินี้จะแทนที่สมการเดิมด้วยสมการที่เท่ากัน กลับไปที่สมการที่เขียนบนกระดานดำกัน เปรียบเทียบเซตของรากของสมการ และ ?

(รากของสมการคือรากของสมการ)

นั่นคือเมื่อส่งผ่านจากสมการหนึ่งไปยังอีกสมการหนึ่ง เซตของรูตแม้จะขยายออกก็ไม่สูญเสียรูต ในกรณีนี้ สมการจะเรียกว่า ผลของสมการ. พยายามกำหนดนิยามของสมการที่เป็นผลมาจากสมการนี้

(หากไม่มีการสูญเสียรากระหว่างการเปลี่ยนจากสมการหนึ่งไปอีกสมการหนึ่ง สมการที่สองจะเรียกว่าผลที่ตามมาของสมการแรก)

คำจำกัดความ 2. สมการเรียกว่าผลที่ตามมาของสมการ ถ้ารากของสมการแต่ละรากเป็นรากของสมการ

- คุณได้สมการจากสมการการแปลงแบบใด

(กำลังสองข้างของสมการ).

ซึ่งหมายความว่าการเปลี่ยนแปลงนี้สามารถนำไปสู่การปรากฏตัวของรากภายนอกเช่น สมการเดิมจะกลายเป็นสมการผลที่ตามมา มีสมการที่สืบเนื่องอื่น ๆ ในห่วงโซ่ของการแปลงสมการที่นำเสนอหรือไม่?

(เช่น ใช่ สมการเป็นผลมาจากสมการ และสมการคือผลของสมการ)

สมการเหล่านี้คืออะไร?

(เทียบเท่า).

ลองใช้แนวคิดของสมการผลลัพธ์เพื่อกำหนดนิยามที่เทียบเท่าของสมการที่เทียบเท่ากัน

(สมการเรียกว่าเท่ากันถ้าแต่ละอันเป็นผลมาจากอีกอันหนึ่ง)

มีสมการผลลัพท์อื่น ๆ ในคำตอบของสมการที่เสนอหรือไม่?

(ใช่ สมการเป็นผลมาจากสมการ)

จะเกิดอะไรขึ้นกับ root เมื่อไปจาก ถึง ?

(สองรากหายไป).

การเปลี่ยนแปลงใดส่งผลให้เกิดสิ่งนี้

(เกิดข้อผิดพลาดในการใช้ข้อมูลประจำตัว
).

การนำแนวคิดใหม่ของสมการผลพวงมาประยุกต์ใช้สัญลักษณ์ "
” กระบวนการแก้สมการจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้น ผลลัพธ์ที่ได้แสดงให้เราเห็นว่าหากมีการเปลี่ยนภาพที่เท่ากัน ชุดของรากของสมการที่ได้จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ไม่สามารถใช้เฉพาะการแปลงที่เทียบเท่าได้เสมอไป หากการเปลี่ยนไม่เท่ากัน เป็นไปได้สองกรณี: และ ในกรณีแรก สมการเป็นผลมาจากสมการ เซตของรูทของสมการที่ได้นั้นรวมถึงเซตของรูทของสมการที่ให้มา รากภายนอกจะถูกได้มา พวกเขาสามารถตัดออกได้โดยทำการตรวจสอบ ในกรณีที่สอง ได้รับสมการซึ่งสมการนี้เป็นผลที่ตามมา ซึ่งหมายความว่าจะมีการสูญเสียราก ไม่ควรทำการเปลี่ยนภาพดังกล่าว ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องแน่ใจว่าเมื่อเปลี่ยนสมการ สมการที่ตามมาแต่ละสมการเป็นผลมาจากสมการก่อนหน้า คุณจำเป็นต้องรู้อะไรเพื่อให้การแปลงเป็นแบบนั้นเท่านั้น? มาลองติดตั้งกันเลย มาเขียนภารกิจที่ 1 กันเถอะ (มันเสนอสมการ; ODZ ของพวกมันที่พบในขั้นตอนการอัพเดต; ชุดของรูทของสมการแต่ละอันจะถูกบันทึก)

ภารกิจที่ 1 สมการของแต่ละกลุ่ม (a, b) เท่ากันหรือไม่? ตั้งชื่อการเปลี่ยนแปลงซึ่งเป็นผลมาจากการที่สมการแรกของกลุ่มถูกแทนที่ด้วยสมการที่สอง

ก)
ข)

เรามาดูสมการกลุ่ม a กัน) สมการเหล่านี้เท่ากันหรือไม่?

(ใช่และเทียบเท่า)

(เราใช้ตัวตน).

นั่นคือนิพจน์ในส่วนหนึ่งของสมการถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน สมการ ODZ เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงนี้หรือไม่

พิจารณากลุ่มของสมการ b) สมการเหล่านี้เทียบเท่าหรือไม่?

(ไม่ สมการเป็นผลมาจากสมการ)

ได้ผลลัพธ์จากการเปลียนแปลงอะไร ?

(เราแทนที่ด้านซ้ายของสมการด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน)

เกิดอะไรขึ้นกับสมการ odz?

(ขยาย ODZ)

จากการขยายตัวของ ODZ เราได้รับสมการผลลัพธ์และรากภายนอก
สำหรับสมการ ซึ่งหมายความว่าการขยายตัวของสมการ ODZ สามารถนำไปสู่การปรากฏตัวของรากภายนอก สำหรับทั้งสองกรณี a) และ b) ระบุข้อความใน ปริทัศน์. (นักเรียนกำหนด ครูแก้ไข)

(ให้ในสมการบางอย่าง
, การแสดงออก
แทนที่ด้วยนิพจน์ที่เหมือนกัน
. หากการแปลงดังกล่าวไม่เปลี่ยนสมการ ODZ เราก็ส่งผ่านไปยังสมการที่เท่ากัน
. หาก ODZ ขยายตัว สมการก็เป็นผลมาจากสมการ )

ข้อความนี้เป็นทฤษฎีบทการแปลงที่นำไปสู่สมการที่เทียบเท่าหรือสมการที่สืบเนื่อง

ทฤษฎีบทที่ 1,
ก) ODZไม่เปลี่ยนแปลง	b) ODZ กำลังขยายตัว

เรายอมรับทฤษฎีบทนี้โดยไม่มีข้อพิสูจน์ งานต่อไป. สมการสามสมการและรากของพวกมันถูกนำเสนอ

ภารกิจที่ 2 สมการต่อไปนี้เทียบเท่ากันหรือไม่? ตั้งชื่อการแปลงซึ่งเป็นผลมาจากการที่สมการแรกถูกแทนที่ด้วยสมการที่สอง สมการที่สาม

สมการใดต่อไปนี้เท่ากัน

(เฉพาะสมการ และ )

การแปลงแบบใดที่ดำเนินการเพื่อส่งผ่านจากสมการไปสู่สมการ ?

(สำหรับทั้งสองข้างของสมการในกรณีแรกเราเพิ่ม
, ในกรณีที่สองที่เราเพิ่ม
).

นั่นคือในแต่ละกรณีมีการเพิ่มฟังก์ชันบางอย่าง
. เปรียบเทียบโดเมนของฟังก์ชันในสมการกับสมการ ODZ

(การทำงาน
กำหนดไว้ในสมการ ODZ )

สมการใดได้จากการบวกฟังก์ชันทั้งสองข้างของสมการ

(เราได้สมการเทียบเท่า)

เกิดอะไรขึ้นกับสมการ ODZ เมื่อเทียบกับสมการ ODZ

(มันแคบลงเนื่องจากฟังก์ชั่น
).

คุณได้อะไรในกรณีนี้ สมการจะเทียบเท่ากับสมการหรือ - สมการ-ผลสืบเนื่องของสมการ?

(ไม่ ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง)

เมื่อพิจารณาถึงสองกรณีของการแปลงสมการซึ่งนำเสนอในงานที่ 2 แล้ว ให้พยายามสรุปผล

(หากเราบวกฟังก์ชันที่กำหนดไว้ใน ODZ ของสมการนี้เข้ากับทั้งสองส่วนของสมการ เราจะได้สมการที่เทียบเท่ากับฟังก์ชันที่ให้มา)

อันที่จริงข้อความนี้เป็นทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท2. , - กำหนดไว้	บนสมการออดซ์

แต่เราใช้ข้อความที่คล้ายกับทฤษฎีบทที่กำหนดขึ้นเมื่อแก้สมการ มันฟังดูเป็นยังไง?

(สามารถบวกเลขเดียวกันทั้งสองข้างของสมการได้)

คุณสมบัตินี้เป็นกรณีเฉพาะของทฤษฎีบท 2 เมื่อ
.

ภารกิจที่ 3 สมการต่อไปนี้เทียบเท่ากันหรือไม่? ตั้งชื่อการแปลงซึ่งเป็นผลมาจากการที่สมการแรกถูกแทนที่ด้วยสมการที่สอง สมการที่สาม

สมการใดในงานที่ 3 เทียบเท่ากัน

(สมการ และ ).

ผลของการแปลงจากสมการคือสมการใด , ?

(สมการทั้งสองข้างคูณด้วย
และรับสมการ เพื่อให้ได้สมการนั้น ให้นำสมการทั้งสองข้างมาคูณด้วย
).

ฟังก์ชันต้องเป็นไปตามเงื่อนไขใดจึงจะคูณสมการทั้งสองข้างด้วย สมการที่เทียบเท่ากับจะได้มา

(ต้องกำหนดฟังก์ชันใน ODZ ทั้งหมดของสมการ)

คุณเคยทำการแปลงสมการมาก่อนหรือไม่?

(ดำเนินการแล้ว ทั้งสองส่วนของสมการคูณด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์)

ซึ่งหมายความว่าต้องเสริมเงื่อนไขที่กำหนดไว้ในฟังก์ชัน

(ฟังก์ชันจะต้องไม่เป็นศูนย์สำหรับใดๆ จากสมการ ODZ)

ดังนั้นเราจึงเขียนข้อความในรูปแบบสัญลักษณ์ที่ช่วยให้เราสามารถส่งผ่านจากสมการที่กำหนดไปยังสมการที่เทียบเท่าได้ (ครูภายใต้คำสั่งของนักเรียนเขียนทฤษฎีบท 3)

ทฤษฎีบทที่ 3

- กำหนดไว้ตลอด ODZ

สำหรับ ODZ . ใดๆ

มาพิสูจน์ทฤษฎีบทกัน สมการสองสมการเท่ากันหมายความว่าอย่างไร

(ต้องแสดงว่ารากทั้งหมดของสมการแรกเป็นรากของสมการที่สองและในทางกลับกัน นั่นคือ สมการที่สองเป็นผลมาจากสมการแรก และสมการแรกเป็นผลมาจากสมการที่สอง)

ให้เราพิสูจน์ว่าเป็นผลมาจากสมการ ปล่อยให้เป็น - รากของสมการหมายความว่าอย่างไร?

(เมื่อแทนที่เราจะได้ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง
).

เมื่อถึงจุดหนึ่ง ฟังก์ชันจะถูกกำหนดและไม่หายไป สิ่งนี้หมายความว่า?

(ตัวเลข
. ดังนั้นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขสามารถคูณด้วย
. เราจะได้ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง )

ความเท่าเทียมกันนี้หมายความว่าอย่างไร

( - รากของสมการ แสดงว่าสมการนี้เป็นสมการ-ผลที่ตามมาของสมการ)

ให้เราพิสูจน์ว่าเป็นผลมาจากสมการ (นักเรียนทำงานอย่างอิสระ จากนั้นหลังจากการสนทนา ครูจะเขียนหลักฐานส่วนที่สองไว้บนกระดาน)

ภารกิจที่ 4 สมการของแต่ละกลุ่ม (a, b) เท่ากันหรือไม่? ตั้งชื่อการเปลี่ยนแปลงซึ่งเป็นผลมาจากการที่สมการแรกของกลุ่มถูกแทนที่ด้วยสมการที่สอง

ก)
ข)

เป็นสมการ และ ?

(เทียบเท่า).

จากผลของการเปลี่ยนแปลงใดที่สามารถรับได้?

(เรายกทั้งสองข้างของสมการเป็นลูกบาศก์)

จากด้านขวาและด้านซ้ายของสมการ คุณสามารถใช้ฟังก์ชัน
. ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ในชุดใด?
?

(ในส่วนร่วมของชุดค่าฟังก์ชัน
และ
).

อธิบายกลุ่มสมการใต้ตัวอักษร b)?

(ไม่เท่ากันคือผลที่ตามมาคือใช้ฟังก์ชันกับสมการ
และส่งผ่านไปยังสมการ ฟังก์ชันถูกกำหนดในส่วนร่วมของชุดของค่าฟังก์ชัน
และ
).

อะไรคือความแตกต่างระหว่างคุณสมบัติของฟังก์ชันในกลุ่ม a) และ b)?

(ในกรณีแรก ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก แต่ไม่ใช่ในวินาที)

ให้เรากำหนดคำยืนยันต่อไปนี้ (ครูเขียนทฤษฎีบทภายใต้คำสั่งของนักเรียน)

ทฤษฎีบทที่ 4

- ถูกกำหนดไว้ในส่วนทั่วไปของชุดของค่าฟังก์ชันและ

ก) - น่าเบื่อ

ข) -ไม่จำเจ

มาคุยกันว่าทฤษฎีบทนี้จะ "ทำงาน" อย่างไรเมื่อแก้สมการต่อไปนี้

ตัวอย่าง. แก้สมการ

1)
; 2)
.

ฟังก์ชันใดใช้ได้กับสมการ 1) ทั้งสองข้าง

(ลองยกทั้งสองข้างของสมการเป็นลูกบาศก์ นั่นคือ ใช้ฟังก์ชัน)

(ฟังก์ชันนี้กำหนดไว้ในส่วนทั่วไปของชุดค่าของฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ เป็นฟังก์ชันโมโนโทนิก)

โดยการยกสมการเดิมทั้งสองข้างให้เป็นลูกบาศก์ เราจะได้สมการอะไร?

(เทียบเท่ากับสิ่งนี้)

ฟังก์ชันใดใช้ได้กับทั้งสองข้างของสมการ 2)

(ลองยกทั้งสองข้างของสมการยกกำลังสี่กัน นั่นคือ ใช้ฟังก์ชัน
).

ระบุคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้ที่จำเป็นต่อการใช้ทฤษฎีบท 4

(ฟังก์ชันนี้กำหนดไว้ในส่วนร่วมของชุดค่าของฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ ไม่ใช่ฟังก์ชันโมโนโทนิก)

สมการใด เทียบกับสมการเดิม เราจะได้สมการนี้ยกกำลังสี่หรือไม่

(สมการผลลัพท์).

เซตของรูทของสมการดั้งเดิมและเซตของรูทของสมการผลลัพธ์จะต่างกันหรือไม่?

(รากภายนอกอาจปรากฏขึ้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบ)

แก้สมการเหล่านี้ที่บ้าน

สาม . ส่วนสะท้อนแสง-ประเมิน.

วันนี้เรา “ค้นพบ” สี่ทฤษฎีบทด้วยกัน ดูพวกเขาอีกครั้งและพูดว่าสมการที่พวกเขาพูดคืออะไร

(ในสมการเทียบเท่าและสมการผลสืบเนื่อง).

มาเขียนหัวข้อของบทเรียนกัน กลับไปที่สมการที่พิจารณาในตอนต้นของการสนทนาของวันนี้ ทฤษฎีบท 1-4 ข้อใดถูกนำมาใช้เมื่อส่งผ่านจากสมการหนึ่งไปอีกสมการหนึ่ง (นักเรียนร่วมกับครูค้นหาว่าทฤษฎีบทใดทำงานในแต่ละขั้นตอน ครูจะทำเครื่องหมายหมายเลขของทฤษฎีบทบนแผนภาพ)

T.2 T.2 T.1 T.4 T.2 T.4

วันนี้คุณเรียนรู้อะไรใหม่ในบทเรียนนี้

(แนวคิดของสมการสมมูล สมการผลัดกัน ทฤษฎีบทความสมมูลของสมการ)

เราตั้งภารกิจอะไรไว้ตอนต้นบทเรียน

(เลือกการแปลงที่ไม่เปลี่ยนชุดของรากของสมการ, การแปลงที่นำไปสู่การได้มาและการสูญเสียราก)

เราได้แก้ไขมันอย่างสมบูรณ์หรือไม่?

เราแก้ปัญหาบางส่วนแล้วเราจะศึกษาต่อในบทเรียนต่อไปเมื่อแก้สมการรูปแบบใหม่

ใช้แนวคิดของสมการที่เทียบเท่ากัน ซึ่งเป็นรูปแบบใหม่สำหรับเรา ปรับส่วนแรกของงานใหม่ "เพื่อเลือกการแปลงที่ไม่เปลี่ยนชุดรากของสมการ"

(จะรู้ได้อย่างไรว่าการเปลี่ยนจากสมการหนึ่งไปอีกสมการหนึ่งคือการแปลงที่เท่ากัน)

อะไรจะช่วยตอบคำถามนี้

(ทฤษฎีบทความสมมูล).

และมีการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ที่นำไปสู่การได้มาซึ่งรากภายนอกหรือไม่?

(เมื่อนำไปใช้ นี่คือการยกกำลังสองของสมการทั้งสองส่วน การใช้สูตร ส่วนด้านซ้ายและด้านขวาที่เหมาะสมกับค่าต่างๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในค่าเหล่านี้)

มีเหตุผล "เฉพาะ" อื่น ๆ ที่นำไปสู่ทั้งลักษณะที่ปรากฏและการสูญเสียรากของสมการที่เราพูดถึงบางส่วน แต่ก็มีบางประเภทที่เกี่ยวข้องกับสมการบางคลาสตามกฎและเราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

มาเขียนการบ้านกันเถอะ:

รู้นิยามของสมการเทียบเท่า สมการผลสืบเนื่อง

รู้สูตรของทฤษฎีบท 1-4;

ดำเนินการโดยเปรียบเทียบกับการพิสูจน์ทฤษฎีบท 3 การพิสูจน์ทฤษฎีบท 1 และ 2;

4) Nos. 139(4,6), 141(2) - ค้นหาว่าสมการนั้นเท่ากันหรือไม่ แก้สมการ .

รายการโน๊ตบุ๊ค

สมการเทียบเท่า สมการ-ผลที่ตามมา

คำจำกัดความ 1สมการและมีการกล่าวกันว่าเท่ากันถ้าเซตของรากของพวกมันตรงกัน

คำจำกัดความ 2สมการเรียกว่าผลที่ตามมาของสมการ ถ้ารากของสมการแต่ละรากเป็นรากของสมการ แทนที่ด้วยนิพจน์ที่เหมือนกัน

ตัวอย่าง.แก้สมการ

ระดับ: 11

ระยะเวลา: 2 บทเรียน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

(สำหรับอาจารย์)การก่อตัวของมุมมองแบบองค์รวมของวิธีการแก้สมการไม่ลงตัวในหมู่นักเรียน
(สำหรับนักเรียน)การพัฒนาความสามารถในการสังเกต เปรียบเทียบ สรุป วิเคราะห์สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ (สไลด์ 2) การเตรียมตัวสอบ.

แผนการสอนครั้งแรก(สไลด์ 3)

อัพเดทความรู้
วิเคราะห์ทฤษฎี: การเพิ่มสมการให้เป็นกำลังคู่
เวิร์คช็อปแก้สมการ

แผนของบทเรียนที่สอง

แตกต่าง งานอิสระโดยกลุ่ม "สมการอตรรกยะในข้อสอบ"
สรุปบทเรียน
การบ้าน

คอร์สเรียน

I. การปรับปรุงความรู้

เป้า:ทำซ้ำแนวคิดที่จำเป็นสำหรับการพัฒนาหัวข้อของบทเรียนที่ประสบความสำเร็จ

แบบสำรวจความคิดเห็นด้านหน้า

สมการสองข้อใดที่กล่าวว่าเท่ากัน

การแปลงสมการใดที่เรียกว่าเทียบเท่า

- แทนที่สมการนี้ด้วยสมการที่เทียบเท่ากับคำอธิบายของการแปลงที่นำไปใช้: (สไลด์ 4)

ก) x + 2x +1; ข) 5 = 5; ค) 12x = -3; ง) x = 32; จ) = -4

สมการใดเรียกว่าสมการ-ผลของสมการเดิม

– สมการผลมีรากที่ไม่ใช่รากของสมการเดิมได้หรือไม่ รากเหล่านี้เรียกว่าอะไร?

– การแปลงสมการใดนำไปสู่ผลลัพธ์ของสมการ

รากที่สองเลขคณิตคืออะไร?

วันนี้มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแปลง "การเพิ่มสมการเป็นกำลังคู่" กัน

ครั้งที่สอง วิเคราะห์ทฤษฎี: การเพิ่มสมการให้เป็นกำลังคู่

คำอธิบายของครูที่มีส่วนร่วมอย่างแข็งขันของนักเรียน:

ให้2ม.(มN) – คงที่แม้ ตัวเลขธรรมชาติ. แล้วผลของสมการฉ(x) =กรัม(x) คือสมการ (ฉ(x)) = (กรัม(x))

บ่อยครั้งที่คำสั่งนี้ใช้ในการแก้สมการอตรรกยะ

คำนิยาม. สมการที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักภายใต้เครื่องหมายของรูตเรียกว่าอตรรกยะ

เมื่อแก้สมการไม่ลงตัวจะใช้วิธีการต่อไปนี้: (สไลด์ 5)

ความสนใจ! วิธีที่ 2 และ 3 ต้องการ บังคับตรวจสอบ

ODZ ไม่ได้ช่วยกำจัดรากภายนอกเสมอไป

บทสรุป:เมื่อแก้สมการอตรรกยะ สิ่งสำคัญคือต้องผ่านสามขั้นตอน: เทคนิค การวิเคราะห์โซลูชัน การตรวจสอบ (สไลด์ 6)

สาม. เวิร์คช็อปแก้สมการ

แก้สมการ:

หลังจากอภิปรายวิธีการแก้สมการด้วยการยกกำลังสองแล้ว ให้แก้โดยส่งผ่านไปยังระบบที่เทียบเท่ากัน

บทสรุป: การแก้สมการที่ง่ายที่สุดที่มีรากจำนวนเต็มสามารถทำได้โดยวิธีการที่คุ้นเคย

b) \u003d x - 2

การแก้โจทย์โดยยกสมการทั้งสองส่วนให้มีกำลังเท่ากัน นักเรียนจะได้ราก x = 0, x = 3 -, x = 3 + ซึ่งยากและใช้เวลานานในการตรวจสอบโดยการแทนค่า (สไลด์ 7) การเปลี่ยนผ่านไปสู่ระบบที่เทียบเท่า

ช่วยให้คุณกำจัดรากภายนอกได้อย่างรวดเร็ว เงื่อนไข x ≥ 2 เป็นไปตามเงื่อนไข x เท่านั้น

คำตอบ: 3+

บทสรุป: เป็นการดีกว่าที่จะตรวจสอบรากที่ไม่ลงตัวโดยส่งผ่านไปยังระบบที่เทียบเท่ากัน

c) \u003d x - 3

ในกระบวนการแก้สมการนี้ เราได้รากที่สอง: 1 และ 4 รากทั้งสองตรงกับด้านซ้ายของสมการ แต่สำหรับ x \u003d 1 คำจำกัดความของเลขคณิตถูกละเมิด รากที่สอง. สมการ ODZ ไม่ได้ช่วยขจัดรากภายนอก การเปลี่ยนไปใช้ระบบที่เทียบเท่าให้คำตอบที่ถูกต้อง

บทสรุป:ความรู้ความเข้าใจที่ดีในเงื่อนไขทั้งหมดในการหารากที่สองของเลขคณิตจะช่วยให้ดำเนินการต่อไปได้ดำเนินการแปลงที่เทียบเท่า

โดยการยกกำลังสองข้างของสมการ เราจะได้สมการ

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x แยกเครื่องหมายกรณฑ์ไปทางขวา เราจะได้

26 - x + x \u003d 8 การใช้ขั้นตอนเพิ่มเติมเพื่อยกกำลังทั้งสองส่วนของสมการจะทำให้เกิดสมการดีกรีที่ 4 การเปลี่ยนไปใช้สมการ ODZ ให้ผลลัพธ์ที่ดี:

หาสมการ ODZ:

x = 3

ตรวจสอบ: - 4 = , 0 = 0 ถูกต้อง

บทสรุป:บางครั้งก็เป็นไปได้ที่จะดำเนินการแก้ปัญหาโดยใช้คำจำกัดความของสมการ ODZ, แต่ให้แน่ใจว่าได้ตรวจสอบ

วิธีแก้ไข: สมการ ODZ: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2

สำหรับ x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

ดังนั้น ด้านซ้ายของสมการจึงเป็นค่าลบ และด้านขวาไม่เป็นค่าลบ ดังนั้นสมการเดิมจึงไม่มีราก

คำตอบ: ไม่มีราก

บทสรุป:เมื่อให้เหตุผลที่ถูกต้องเกี่ยวกับข้อจำกัดในเงื่อนไขของสมการแล้ว คุณสามารถค้นหารากของสมการได้อย่างง่ายดาย หรือพิสูจน์ว่าไม่มีรากนั้น

ใช้ตัวอย่างการแก้สมการนี้ แสดงการยกกำลังสองของสมการ อธิบายความหมายของวลี "ความสันโดษของราก" และความจำเป็นในการตรวจสอบรากที่พบ

ชม) + = 1.

การแก้ปัญหาของสมการเหล่านี้ดำเนินการโดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปรจนกระทั่งกลับสู่ตัวแปรเดิม เสร็จสิ้นการตัดสินใจที่จะเสนอผู้ที่จะรับมือกับงานในขั้นต่อไปก่อนหน้านี้

คำถามทดสอบ

วิธีแก้สมการอตรรกยะที่ง่ายที่สุด?
สิ่งที่ควรจำเมื่อเพิ่มสมการเป็นกำลังคู่ ( รากภายนอกอาจปรากฏขึ้น)
วิธีที่ดีที่สุดในการตรวจสอบรากที่ไม่ลงตัวคืออะไร? ( โดยใช้ ODZ และเงื่อนไขความบังเอิญของเครื่องหมายทั้งสองส่วนของสมการ)
เหตุใดจึงต้องสามารถวิเคราะห์สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์เมื่อแก้สมการไม่ลงตัว ( สำหรับการเลือกวิธีการแก้สมการที่ถูกต้องและรวดเร็ว)

IV. แยกงานอิสระในกลุ่ม "สมการอตรรกยะในการสอบ"

ชั้นเรียนแบ่งออกเป็นกลุ่ม (คนละ 2-3 คน) ตามระดับของการฝึกอบรม แต่ละกลุ่มจะเลือกตัวเลือกพร้อมงาน อภิปราย และแก้ไขงานที่เลือก เมื่อจำเป็น ให้ติดต่ออาจารย์เพื่อขอคำแนะนำ หลังจากทำงานทั้งหมดในเวอร์ชันของตนและตรวจสอบคำตอบโดยครูแล้ว สมาชิกในกลุ่มจะตอบคำตอบของสมการ g) และ h) ของขั้นตอนก่อนหน้าของบทเรียนเป็นรายบุคคล สำหรับตัวเลือกที่ 4 และ 5 (หลังจากตรวจสอบคำตอบและการตัดสินใจของครูแล้ว) งานเพิ่มเติมจะเขียนไว้บนกระดานซึ่งดำเนินการเป็นรายบุคคล

การแก้ปัญหาส่วนบุคคลทั้งหมดในตอนท้ายของบทเรียนจะถูกส่งไปยังครูเพื่อตรวจสอบ

ตัวเลือกที่ 1