สมการที่มีพารามิเตอร์ ตัวอย่างที่มีพารามิเตอร์และวิธีการแก้ปัญหา สมการกำลังสองที่มีพารามิเตอร์

ที่ ปีที่แล้วในการสอบเข้าในการทดสอบขั้นสุดท้ายในรูปแบบของ USE มีการเสนองานพร้อมพารามิเตอร์ งานเหล่านี้ช่วยในการวินิจฉัยระดับของคณิตศาสตร์และที่สำคัญที่สุด การคิดอย่างมีตรรกะผู้สมัครความสามารถในการทำกิจกรรมวิจัยตลอดจนความรู้เกี่ยวกับหัวข้อหลักของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

มุมมองของพารามิเตอร์เป็นตัวแปรที่เท่ากันนั้นสะท้อนให้เห็นในวิธีการแบบกราฟิก อันที่จริง เนื่องจากพารามิเตอร์นั้น "มีสิทธิเท่าเทียมกัน" กับตัวแปร ดังนั้น จึงสามารถ "จัดสรร" แกนพิกัดของมันเองได้ ดังนั้นจึงมีระนาบพิกัด การปฏิเสธการเลือกตัวอักษรแบบดั้งเดิมและการกำหนดแกนกำหนดหนึ่งในวิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์ - "วิธีโดเมน". ร่วมกับวิธีอื่นๆ ที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์ ฉันแนะนำให้นักเรียนรู้จักเทคนิคกราฟิก โดยให้ความสนใจกับวิธีรับรู้ปัญหา "ดังกล่าว" และขั้นตอนในการแก้ปัญหาที่ดูเหมือน

สัญญาณที่พบบ่อยที่สุดที่จะช่วยให้คุณจดจำงานที่เหมาะสมกับวิธีการที่เป็นปัญหาคือ:

ภารกิจที่ 1 “ สำหรับค่าของพารามิเตอร์ใดที่ความไม่เท่าเทียมกันสำหรับทุกคน ”

การตัดสินใจ. 1). มาขยายโมดูลโดยคำนึงถึงเครื่องหมายของนิพจน์โมดูลย่อย:

2). เราจดระบบทั้งหมดของความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์:

ก)

ข) ใน)

ช)

3). ให้เราแสดงเซตของจุดที่ตอบสนองแต่ละระบบของความไม่เท่าเทียมกัน (รูปที่ 1a).

4). เมื่อรวมพื้นที่ทั้งหมดที่แสดงในรูปโดยการฟักไข่ คุณจะเห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันไม่เป็นไปตามจุดที่อยู่ภายในพาราโบลา

จากรูปแสดงให้เห็นว่าสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ คุณสามารถหาพื้นที่ที่มีจุดอยู่ พิกัดที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม ความไม่เท่าเทียมกันจะคงอยู่ทั้งหมดถ้า คำตอบ: ที่ .

ตัวอย่างที่พิจารณาคือ "ปัญหาเปิด" - คุณสามารถพิจารณาวิธีแก้ปัญหาทั้งชั้นโดยไม่ต้องเปลี่ยนนิพจน์ที่พิจารณาในตัวอย่าง , ซึ่งปัญหาทางเทคนิคของการวางแผนได้ผ่านพ้นไปแล้ว

งาน. สมการไม่มีคำตอบสำหรับค่าพารามิเตอร์ใด คำตอบ: ที่ .

งาน. สมการมีสองคำตอบสำหรับค่าพารามิเตอร์ใด เขียนคำตอบทั้งสองที่คุณพบ

คำตอบ: แล้ว , ;

แล้ว ; , แล้ว , .

งาน. สมการมีหนึ่งรูทที่ค่าพารามิเตอร์ใด หารากนี้ คำตอบ: ที่ .

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน

(“จุดทำงาน” อยู่ในพาราโบลา)

, ; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ภารกิจที่ 2 ค้นหาค่าพารามิเตอร์ทั้งหมด เอซึ่งแต่ละระบบของความไม่เท่าเทียมกัน สร้างส่วนของความยาว 1 บนเส้นจำนวน

การตัดสินใจ. เราเขียนระบบเดิมในรูปแบบนี้

คำตอบทั้งหมดของระบบนี้ (รูปแบบคู่ ) ก่อให้เกิดพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา และ (รูปที่ 1).

เห็นได้ชัดว่าการแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นส่วนหนึ่งของความยาว 1 สำหรับ และ สำหรับ ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 3 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ที่ชุดของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน มีตัวเลข และยังมีส่วนที่มีความยาวสองส่วน ซึ่งไม่มีจุดร่วม

การตัดสินใจ. ตามความหมายของความไม่เท่าเทียมกัน ; เขียนความไม่เท่าเทียมกันใหม่คูณทั้งสองส่วนด้วย () เราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน:

, ,

(1)

ความไม่เท่าเทียมกัน (1) เทียบเท่ากับการรวมกันของสองระบบ:

(รูปที่ 2).

เห็นได้ชัดว่าช่วงเวลาไม่สามารถมีส่วนของความยาวได้ ซึ่งหมายความว่ามีช่วงความยาวที่ไม่ตัดกันสองส่วน ซึ่งเป็นไปได้สำหรับ นั่นคือ ที่ . ตอบ: .

ภารกิจที่ 4 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ สำหรับแต่ละชุดของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน มีส่วนของความยาว 4 และยังมีในส่วนของความยาว 7 อีกด้วย

การตัดสินใจ. ให้เราทำการเปลี่ยนแปลงที่เทียบเท่ากัน โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น และ .

, ,

; ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายเทียบเท่ากับการรวมกันของสองระบบ:

มาแสดงพื้นที่ที่สอดคล้องกับระบบเหล่านี้กันเถอะ (รูปที่ 3).

1) สำหรับชุดของการแก้ปัญหาคือช่วงความยาวน้อยกว่า 4 สำหรับชุดของการแก้ปัญหาคือการรวมกันของสองช่วง . เฉพาะช่วงเวลาเท่านั้นที่สามารถมีส่วนของความยาว 4 . แต่แล้ว และสหภาพก็ไม่อยู่ในส่วนที่มีความยาว 7 อีกต่อไป ดังนั้น สหภาพดังกล่าวจึงไม่เป็นไปตามเงื่อนไข

2) ชุดของการแก้ปัญหาคือช่วง ประกอบด้วยส่วนที่มีความยาว 4 ต่อเมื่อความยาวมากกว่า 4 นั่นคือ ที่ . มีอยู่ในส่วนที่มีความยาว 7 ต่อเมื่อความยาวไม่เกิน 7 นั่นคือ ที่ จากนั้น ตอบ: .

ภารกิจที่ 5 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ที่ชุดของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน มีหมายเลข 4 และยังมีส่วนที่ไม่ตัดกันสองส่วนที่มีความยาว 4 ส่วนแต่ละส่วน

การตัดสินใจ. โดยเงื่อนไข เราคูณอสมการทั้งสองส่วนด้วย () เราได้รับอสมการที่เท่ากัน โดยเราจัดกลุ่มเทอมทั้งหมดทางด้านซ้ายและแปลงเป็นผลคูณ:

, ,

, .

จากความไม่เท่าเทียมกันล่าสุดดังนี้:

1) 2)

มาแสดงพื้นที่ที่สอดคล้องกับระบบเหล่านี้กันเถอะ (รูปที่ 4).

ก) สำหรับ เราได้รับช่วงเวลาที่ไม่มีตัวเลข 4 สำหรับ เราได้รับช่วงเวลาที่ยังไม่มีตัวเลข 4

b) สำหรับ เราได้รับการรวมกันของสองช่วงเวลา ส่วนที่ไม่ตัดกันของความยาว 4 สามารถอยู่ในช่วงเวลาเท่านั้น สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อความยาวของช่วงเวลามากกว่า 8 นั่นคือ ถ้า . เป็นไปตามเงื่อนไขอื่น: . ตอบ: .

ปัญหา 6. ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ที่ชุดของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน มีบางส่วนที่มีความยาว 2 แต่ ไม่มี ไม่มีส่วนของความยาว 3

การตัดสินใจ. ตามความหมายของงาน เราคูณอสมการทั้งสองส่วนด้วย โดย จัดกลุ่มพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้ายของอสมการแล้วแปลงเป็นผลคูณ:

, . จากความไม่เท่าเทียมกันล่าสุดดังนี้:

1) 2)

มาแสดงพื้นที่ที่ตรงกับระบบแรกกัน (รูปที่ 5).

เห็นได้ชัดว่าเงื่อนไขของปัญหาเป็นที่พอใจถ้า . ตอบ: .

ปัญหาที่ 7 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ที่ชุดของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 1+ มีอยู่ในบางส่วนของความยาว 1 และในขณะเดียวกันก็มีบางส่วนที่มีความยาว 0.5

การตัดสินใจ. หนึ่ง). ระบุ ODZ ของตัวแปรและพารามิเตอร์:

2). ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ

, ,

(หนึ่ง). ความไม่เท่าเทียมกัน (1) เทียบเท่ากับการรวมกันของสองระบบ:

1)

2)

เมื่อพิจารณาถึง ODZ แล้ว โซลูชันของระบบจะมีลักษณะดังนี้:

ก) ข)

(รูปที่ 6)

ก) ข)

ให้เราแสดงพื้นที่ที่สอดคล้องกับระบบ a) (รูปที่ 7)ตอบ: .

ปัญหาที่ 8 ตัวเลขหกตัวก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น เทอมที่หนึ่ง สอง และสี่ของความก้าวหน้านี้เป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน , และที่เหลือ

ไม่ใช่ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันนี้ ค้นหาชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเทอมแรกของความก้าวหน้าดังกล่าว

การตัดสินใจ. I. ค้นหาคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด

ก) อ็อดซ์:
, เช่น.

(เราคำนึงถึงโซลูชันที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นด้วย )

ข) เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันของ ODZ เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน , เช่น. , สิ่งที่ช่วยให้:

1).

2).

เห็นได้ชัดว่าการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ทำหน้าที่เป็นชุดของค่า .

ครั้งที่สอง ให้เราอธิบายส่วนที่สองของปัญหาเกี่ยวกับเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้นด้วยตัวเลข ( ข้าว. แปด , เทอมแรกอยู่ที่ไหน, เทอมที่สอง, ฯลฯ) สังเกตว่า:

หรือเรามีระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น:

ลองแก้มันแบบกราฟิก เราสร้างเส้น และ เช่นเดียวกับเส้น

แล้ว .. เทอมที่หนึ่ง สอง และหกของความก้าวหน้านี้เป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน และที่เหลือไม่ใช่คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันนี้ ค้นหาชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของความแตกต่างของความก้าวหน้านี้

1. งาน.
ที่ค่าของพารามิเตอร์ เอสมการ ( เอ - 1)x 2 + 2x + เอ- 1 = 0 มีรูทเพียงอันเดียวใช่หรือไม่

1. การตัดสินใจ
ที่ เอ= 1 สมการมีรูปแบบ 2 x= 0 และเห็นได้ชัดว่ามีรูทเดียว x= 0. ถ้า เอลำดับที่ 1 สมการนี้เป็นสมการกำลังสองและมีรากเดียวสำหรับค่าของพารามิเตอร์ที่ discriminant ของ trinomial สแควร์มีค่าเท่ากับศูนย์ การหาค่า discriminant เป็นศูนย์ เราจะได้สมการของค่าพารามิเตอร์ เอ 4เอ 2 - 8เอ= 0 เพราะเหตุใด เอ= 0 หรือ เอ = 2.

1. คำตอบ:สมการมีรากเดียวที่ เอโอ(0; 1; 2).

2. งาน
ค้นหาค่าพารามิเตอร์ทั้งหมด เอซึ่งสมการมีรากต่างกันสองราก x 2 +4ขวาน+8เอ+3 = 0.
2. การตัดสินใจ
สมการ x 2 +4ขวาน+8เอ+3 = 0 มีสองรากที่แตกต่างกัน if และ only if ดี = 16เอ 2 -4(8เอ+3) > 0 เราได้รับ (หลังจากลดลงโดย ปัจจัยร่วม 4) 4เอ 2 -8เอ-3 > 0 เพราะเหตุใด

2. คำตอบ:

เอ O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) และ (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. งาน
เป็นที่ทราบกันดีว่า
ฉ 2 (x) = 6x-x 2 -6.
ก) กราฟฟังก์ชัน ฉ 1 (x) ที่ เอ = 1.
ข) มูลค่าเท่าไร เอกราฟฟังก์ชัน ฉ 1 (x) และ ฉ 2 (x) มีจุดร่วมเพียงจุดเดียว?

3. วิธีแก้ปัญหา
3.ก.มาแปลงร่างกันเถอะ ฉ 1 (x) ด้วยวิธีต่อไปนี้
กราฟของฟังก์ชันนี้ เอ= 1 แสดงในรูปด้านขวา
3.ข.เราทราบทันทีว่ากราฟฟังก์ชัน y = kx+ขและ y = ขวาน 2 +bx+ค (เอลำดับที่ 0) ตัดกันที่จุดเดียวก็ต่อเมื่อสมการกำลังสอง kx+ข = ขวาน 2 +bx+คมีรากเดียว การใช้มุมมอง ฉ 1 จาก 3.a, เราถือเอาการเลือกปฏิบัติของสมการ เอ = 6x-x 2 -6 ถึงศูนย์ จากสมการ 36-24-4 เอ= 0 เราได้รับ เอ= 3. ทำเช่นเดียวกันกับสมการ 2 x-เอ = 6x-x 2 -6 หา เอ= 2 เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าค่าพารามิเตอร์เหล่านี้ตรงตามเงื่อนไขของปัญหาหรือไม่ ตอบ: เอ= 2 หรือ เอ = 3.

4. งาน
ค้นหาค่าทั้งหมด เอซึ่งชุดของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน x 2 -2ขวาน-3เอ i 0 มีเซ็กเมนต์

4. วิธีแก้ปัญหา
พิกัดแรกของจุดยอดของพาราโบลา ฉ(x) = x 2 -2ขวาน-3เอเท่ากับ x 0 = เอ. จากคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสอง เงื่อนไข ฉ(x) i 0 ในช่วงเวลาเท่ากับผลรวมของสามระบบ
มีสองวิธีแก้ปัญหา?

5. การตัดสินใจ
ลองเขียนสมการนี้ใหม่ในรูปแบบ x 2 + (2เอ-2)x - 3เอ+7 = 0. นี่คือสมการกำลังสอง มันมีคำตอบอยู่สองคำตอบถ้าการจำแนกแยกกันมีค่ามากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด เมื่อคำนวณการแยกแยะ เราได้เงื่อนไขของการมีสองรากเท่านั้นคือการเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกัน เอ 2 +เอ-6 > 0. การแก้ความไม่เท่าเทียมกัน, เราพบว่า เอ < -3 или เอ> 2. ความไม่เท่าเทียมกันอย่างแรกคือการแก้ปัญหาใน ตัวเลขธรรมชาติไม่มีและคำตอบธรรมชาติที่เล็กที่สุดของที่สองคือหมายเลข 3

5. คำตอบ: 3.

6. งาน (10 เซลล์)
ค้นหาค่าทั้งหมด เอซึ่งกราฟของฟังก์ชันหรือหลังจากการแปลงที่เห็นได้ชัด เอ-2 = | 2-เอ| . สมการสุดท้ายเทียบเท่ากับอสมการ เอฉัน 2.

6. คำตอบ: เอО โดยที่ \ - ตัวแปร \ - พารามิเตอร์;

\[y = kx + b,\] โดยที่ \ - ตัวแปร, \ - พารามิเตอร์;

\[ax^2 + bx + c = 0,\] โดยที่ \ เป็นตัวแปร \[a, b, c\] เป็นพารามิเตอร์

การแก้สมการด้วยพารามิเตอร์หมายถึงการแก้สมการชุดอนันต์ตามกฎ

อย่างไรก็ตาม เมื่อปฏิบัติตามอัลกอริธึมบางอย่าง เราสามารถแก้สมการต่อไปนี้ได้อย่างง่ายดาย:

1. กำหนดค่า "การควบคุม" ของพารามิเตอร์

2. แก้สมการดั้งเดิมสำหรับ [\x\] ด้วยค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดไว้ในย่อหน้าแรก

3. แก้สมการเดิมเทียบกับ [\x\] ด้วยค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างจากที่เลือกไว้ในย่อหน้าแรก

สมมติให้สมการต่อไปนี้:

\[\กลาง 6 - x \กลาง = ก.\]

หลังจากวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นแล้ว พบว่า a \[\ge 0.\]

โดยกฎโมดูลัส \ เราแสดง \

คำตอบ: \ ที่ไหน \

ฉันจะแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ออนไลน์ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้ปัญหาออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณแก้สมการออนไลน์ของความซับซ้อนใด ๆ ได้ในเวลาไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงแค่ป้อนข้อมูลของคุณลงในโปรแกรมแก้ไข คุณสามารถชมวิดีโอการสอนและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณมีคำถามใดๆ คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม Vkontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีที่จะช่วยเหลือคุณเสมอ

ถึง งานที่มีพารามิเตอร์รวมถึงการค้นหาคำตอบของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองใน ปริทัศน์, การศึกษาสมการจำนวนรากที่มีอยู่ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์

โดยไม่ให้คำจำกัดความโดยละเอียด ให้พิจารณาสมการต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง:

y = kx โดยที่ x, y เป็นตัวแปร k คือพารามิเตอร์

y = kx + b โดยที่ x, y คือตัวแปร k และ b คือพารามิเตอร์

ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ x คือตัวแปร a, b และ c คือพารามิเตอร์

ในการแก้สมการ (อสมการ, ระบบ) ด้วยพารามิเตอร์หมายถึงตามกฎแล้ว ให้แก้สมการอนันต์ (อสมการ, ระบบ)

งานที่มีพารามิเตอร์สามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทตามเงื่อนไข:

ก)เงื่อนไขบอกว่า: แก้สมการ (อสมการ, ระบบ) - ซึ่งหมายความว่าสำหรับค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ ค้นหาคำตอบทั้งหมด หากยังไม่ได้สำรวจอย่างน้อยหนึ่งกรณี วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวก็ไม่สามารถพิจารณาเป็นที่น่าพอใจได้

ข)จำเป็นต้องระบุค่าที่เป็นไปได้ของพารามิเตอร์ที่สมการ (อสมการ, ระบบ) มีคุณสมบัติบางอย่าง ตัวอย่างเช่น มีวิธีแก้ปัญหาเดียว ไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นของช่วงเวลา ฯลฯ ในงานดังกล่าว จำเป็นต้องระบุอย่างชัดเจนว่าค่าพารามิเตอร์ใดที่เงื่อนไขที่ต้องการได้รับความพึงพอใจ

พารามิเตอร์ซึ่งเป็นจำนวนคงที่ที่ไม่รู้จักมีความเป็นคู่พิเศษ ก่อนอื่นต้องคำนึงว่าชื่อเสียงที่ถูกกล่าวหาแนะนำว่าพารามิเตอร์ต้องถูกมองว่าเป็นตัวเลข ประการที่สอง อิสระในการจัดการพารามิเตอร์นั้นถูกจำกัดโดยไม่ทราบสาเหตุ ตัวอย่างเช่น การดำเนินการหารด้วยนิพจน์ที่มีพารามิเตอร์หรือการแยกรากของระดับคู่จากนิพจน์ที่คล้ายกันจำเป็นต้องมีการวิจัยเบื้องต้น ดังนั้นต้องใช้ความระมัดระวังในการจัดการพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่น หากต้องการเปรียบเทียบตัวเลขสองตัว -6a และ 3a จะต้องพิจารณาสามกรณี:

1) -6a จะมากกว่า 3a ถ้า a เป็นจำนวนลบ

2) -6a = 3a ในกรณีที่ a = 0;

3) -6a จะน้อยกว่า 3a ถ้า a เป็นจำนวนบวก 0

การตัดสินใจจะเป็นคำตอบ

ให้สมการ kx = b ถูกกำหนด สมการนี้เป็นชวเลขสำหรับชุดสมการอนันต์ในตัวแปรเดียว

เมื่อแก้สมการดังกล่าวอาจมีบางกรณี:

1. ให้ k เป็นอะไรก็ได้ เบอร์จริงไม่ใช่ศูนย์และ b เป็นตัวเลขใดๆ จาก R แล้ว x = b/k

2. ให้ k = 0 และ b ≠ 0 สมการเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 0 · x = b เห็นได้ชัดว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ

3. ให้ k กับ b เป็นตัวเลขเท่ากับศูนย์ แล้วเราจะมีความเท่าเทียมกัน 0 · x = 0 คำตอบของมันคือจำนวนจริงใดๆ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการประเภทนี้:

1. กำหนดค่า "การควบคุม" ของพารามิเตอร์

2. แก้สมการเดิมของ x ด้วยค่าของพารามิเตอร์ที่กำหนดไว้ในย่อหน้าแรก

3. แก้สมการเดิมของ x ด้วยค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างจากที่เลือกไว้ในย่อหน้าแรก

4. คุณสามารถเขียนคำตอบในรูปแบบต่อไปนี้:

1) เมื่อ ... (ค่าพารามิเตอร์) สมการมีราก ...;

2) เมื่อ ... (ค่าพารามิเตอร์) ไม่มีรากในสมการ

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการด้วยพารามิเตอร์ |6 – x| = ก.

การตัดสินใจ.

มันง่ายที่จะเห็นว่าที่นี่ ≥ 0

ตามกฎของโมดูโล 6 – x = ±a เราแสดง x:

คำตอบ: x = 6 ± a โดยที่ a ≥ 0

ตัวอย่าง 2

แก้สมการ a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 เทียบกับตัวแปร x

การตัดสินใจ.

มาเปิดวงเล็บกันเถอะ: axe - a + 2x - 2 \u003d 0

ลองเขียนสมการใน แบบฟอร์มมาตรฐาน: x(a + 2) = a + 2

ถ้านิพจน์ a + 2 ไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ ถ้า ≠ -2 เรามีคำตอบ x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), i.e. x = 1

หาก a + 2 เท่ากับศูนย์ นั่นคือ a \u003d -2 แล้วเรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง 0 x \u003d 0 ดังนั้น x เป็นจำนวนจริงใดๆ

คำตอบ: x \u003d 1 สำหรับ a ≠ -2 และ x € R สำหรับ a \u003d -2

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการ x/a + 1 = a + x เทียบกับตัวแปร x

การตัดสินใจ.

ถ้า a \u003d 0 เราจะแปลงสมการเป็นรูปแบบ a + x \u003d a 2 + ax หรือ (a - 1) x \u003d -a (a - 1) สมการสุดท้ายของ a = 1 มีรูปแบบ 0 · x = 0 ดังนั้น x จึงเป็นตัวเลขใดๆ

ถ้า ≠ 1 สมการสุดท้ายจะอยู่ในรูปแบบ x = -a

วิธีแก้ปัญหานี้สามารถแสดงได้บนเส้นพิกัด (รูปที่ 1)

คำตอบ: ไม่มีคำตอบสำหรับ a = 0; x - ตัวเลขใดๆ ที่ a = 1; x \u003d -a ที่มี ≠ 0 และ 1

วิธีกราฟิก

พิจารณาอีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ - แบบกราฟิก วิธีนี้ใช้ค่อนข้างบ่อย

ตัวอย่างที่ 4

สมการ ||x| . มีกี่ราก ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a – 2| = เอ?

การตัดสินใจ.

ในการแก้ปัญหาด้วยวิธีกราฟิก เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = ||x| – 2| และ y = a (รูปที่ 2).

ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน กรณีที่เป็นไปได้ตำแหน่งของเส้น y = a และจำนวนรูตในแต่ละเส้น

คำตอบ: สมการจะไม่มีรากถ้า a< 0; два корня будет в случае, если a >2 และ a = 0; สมการจะมีสามรากในกรณี a = 2; สี่ราก - ที่ 0< a < 2.

ตัวอย่างที่ 5

ซึ่งสมการ 2|x| + |x – 1| = a มีรูทเดียว?

การตัดสินใจ.

มาวาดกราฟของฟังก์ชัน y = 2|x| . กัน + |x – 1| และ y = ก สำหรับ y = 2|x| + |x - 1| การขยายโมดูลด้วยวิธี gap เราได้รับ:

(-3x + 1, ที่ x< 0,

y = (x + 1 สำหรับ 0 ≤ x ≤ 1

(3x – 1 สำหรับ x > 1

บน รูปที่ 3จะเห็นได้ชัดเจนว่าสมการจะมีรูทเฉพาะเมื่อ a = 1

คำตอบ: ก = 1

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดจำนวนคำตอบของสมการ |x + 1| + |x + 2| = a ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a?

การตัดสินใจ.

กราฟของฟังก์ชัน y = |x + 1| + |x + 2| จะเป็นเส้นขาด จุดยอดจะอยู่ที่จุด (-2; 1) และ (-1; 1) (ภาพที่ 4).

คำตอบ: ถ้าพารามิเตอร์ a น้อยกว่าหนึ่ง สมการจะไม่มีราก ถ้า a = 1 คำตอบของสมการจะเป็นชุดของตัวเลขจากเซกเมนต์ [-2; -หนึ่ง]; หากค่าของพารามิเตอร์ a มากกว่า 1 สมการจะมีรากที่สอง

คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่? ไม่ทราบวิธีแก้สมการด้วยพารามิเตอร์?
เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรก ฟรี!

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา