ทดสอบเรื่องสถิติทางคณิตศาสตร์ ทดสอบวิชาทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์

นำเสนอจนถึงปัจจุบันในธนาคารเปิดของปัญหา USE ในวิชาคณิตศาสตร์ (mathege.ru) ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นใช้สูตรเดียวเท่านั้นซึ่งเป็นคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำความเข้าใจสูตรคือมีตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1มีลูกบอลสีแดง 9 ลูก และลูกบอลสีน้ำเงิน 3 ลูกในตะกร้า ลูกบอลแตกต่างกันในสีเท่านั้น สุ่ม (โดยไม่ดู) เราได้รับหนึ่งในนั้น ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่เลือกในลักษณะนี้จะเป็นสีน้ำเงินเป็นเท่าใด

ความคิดเห็นในปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็น มีบางอย่างเกิดขึ้น (ในกรณีนี้คือการกระทำของเราในการดึงลูกบอล) ซึ่งอาจให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างออกไป - ผลลัพธ์ ควรสังเกตว่าสามารถดูผลลัพธ์ได้หลายวิธี “เราดึงบอลออกมา” ก็เป็นผล “เราดึงลูกบอลสีน้ำเงินออกมา” เป็นผล "เราดึงลูกบอลนี้ออกจากลูกบอลที่เป็นไปได้ทั้งหมด" - มุมมองทั่วไปที่น้อยที่สุดของผลลัพธ์นี้เรียกว่าผลลัพธ์เบื้องต้น เป็นผลลัพธ์เบื้องต้นที่มีความหมายในสูตรสำหรับคำนวณความน่าจะเป็น

วิธีการแก้.ตอนนี้เราคำนวณความน่าจะเป็นของการเลือกลูกบอลสีน้ำเงิน
เหตุการณ์ A: "ลูกบอลที่เลือกกลายเป็นสีน้ำเงิน"
จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: 9+3=12 (จำนวนลูกบอลทั้งหมดที่เราสามารถดึงออกมาได้)
จำนวนผลลัพธ์ที่ดีสำหรับเหตุการณ์ A: 3 (จำนวนของผลลัพธ์ดังกล่าวที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น - นั่นคือจำนวนลูกบอลสีน้ำเงิน)
P(A)=3/12=1/4=0.25
คำตอบ: 0.25

ให้เราคำนวณความน่าจะเป็นของการเลือกลูกบอลสีแดงสำหรับปัญหาเดียวกัน
จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะยังคงเท่าเดิม 12. จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ: 9. ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 9/12=3/4=0.75

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ มักจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1
บางครั้งในการพูดในชีวิตประจำวัน (แต่ไม่ใช่ในทฤษฎีความน่าจะเป็น!) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ประมาณเป็นเปอร์เซ็นต์ การเปลี่ยนแปลงระหว่างการประเมินทางคณิตศาสตร์และการสนทนาทำได้โดยการคูณ (หรือหาร) ด้วย 100%
ดังนั้น,
ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นเป็นศูนย์สำหรับเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ - ไม่น่าจะเป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของเรา นี่อาจเป็นความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีเขียวออกจากตะกร้า (จำนวนผลดีคือ 0, P(A)=0/12=0 ถ้านับตามสูตร)
ความน่าจะเป็น 1 มีเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน โดยไม่มีทางเลือก ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่ "ลูกบอลที่เลือกจะเป็นสีแดงหรือสีน้ำเงิน" นั้นเป็นปัญหาของเรา (จำนวนผลดี: 12, P(A)=12/12=1)

เราได้ดูตัวอย่างคลาสสิกที่แสดงคำจำกัดความของความน่าจะเป็น คล้ายกันทั้งหมด ใช้งานตามทฤษฎีความน่าจะเป็นจะแก้ได้โดยใช้สูตรนี้
แทนที่จะเป็นลูกบอลสีแดงและสีน้ำเงิน อาจมีแอปเปิ้ลและลูกแพร์ เด็กชายและเด็กหญิง ตั๋วที่เรียนรู้และไม่ได้เรียนรู้ ตั๋วที่มีและไม่มีคำถามในหัวข้อใดหัวข้อหนึ่ง (ต้นแบบ , ) กระเป๋าหรือปั๊มสวนที่มีข้อบกพร่องและมีคุณภาพสูง (ต้นแบบ) , ) - หลักการยังคงเหมือนเดิม

พวกเขาแตกต่างกันเล็กน้อยในการกำหนดปัญหาของทฤษฎีความน่าจะเป็น USE ซึ่งคุณต้องคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในวันใดวันหนึ่ง ( , ) เช่นเดียวกับงานก่อนหน้านี้ คุณต้องพิจารณาว่าผลลัพธ์เบื้องต้นคืออะไร แล้วจึงใช้สูตรเดียวกัน

ตัวอย่าง 2การประชุมกินเวลาสามวัน ในวันแรกและวันที่สองมีวิทยากร 15 คนในวันที่สาม - 20 ความน่าจะเป็นที่รายงานของศาสตราจารย์เอ็มจะตกในวันที่สามเป็นเท่าใดหากลำดับของรายงานกำหนดโดยลอตเตอรี?

อะไรคือผลลัพธ์เบื้องต้นที่นี่? - มอบหมายรายงานของศาสตราจารย์ให้กับหนึ่งในหมายเลขซีเรียลที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการกล่าวสุนทรพจน์ 15+15+20=50 คนเข้าร่วมในการออกรางวัล ดังนั้นรายงานของศาสตราจารย์เอ็มสามารถรับหนึ่งใน 50 หมายเลข ซึ่งหมายความว่ามีเพียง 50 ผลลัพธ์เบื้องต้น
ผลลัพธ์ที่ดีคืออะไร? - ซึ่งปรากฎว่าอาจารย์จะพูดในวันที่สาม นั่นคือ 20 ตัวเลขสุดท้าย
ตามสูตร ความน่าจะเป็น P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
คำตอบ: 0.4

การจับฉลากที่นี่คือการสร้างการติดต่อแบบสุ่มระหว่างผู้คนและสถานที่ที่มีระเบียบ ในตัวอย่างที่ 2 การจับคู่ได้รับการพิจารณาในแง่ของสถานที่ที่บุคคลใดบุคคลหนึ่งสามารถทำได้ คุณสามารถเข้าถึงสถานการณ์เดียวกันจากอีกด้านหนึ่งได้: คนใดบ้างที่มีความเป็นไปได้ที่จะไปถึงสถานที่ใดสถานที่หนึ่ง (ต้นแบบ , , , ):

ตัวอย่างที่ 3ชาวเยอรมัน 5 คน ชาวฝรั่งเศส 8 คน และชาวเอสโตเนีย 3 คนเข้าร่วมการจับฉลาก ความน่าจะเป็นที่คนแรก (/วินาที/เจ็ด/คนสุดท้าย - ไม่สำคัญ) จะเป็นชาวฝรั่งเศสเป็นเท่าใด

จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นคือจำนวนทั้งหมด คนที่เป็นไปได้ที่สามารถมาที่แห่งนี้ได้โดยสวัสดิภาพ 5+8+3=16 คน
ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - ฝรั่งเศส 8 คน.
ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 8/16=1/2=0.5
คำตอบ: 0.5

ต้นแบบแตกต่างกันเล็กน้อย มีงานเกี่ยวกับเหรียญ () และลูกเต๋า () ที่ค่อนข้างสร้างสรรค์กว่า วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้สามารถพบได้ในหน้าต้นแบบ

ต่อไปนี้คือตัวอย่างการโยนเหรียญหรือการทอยลูกเต๋า

ตัวอย่างที่ 4เมื่อเราโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อยเป็นเท่าไหร่?
ผลลัพธ์ 2 - หัวหรือก้อย (เชื่อกันว่าเหรียญไม่เคยตกขอบ) ผลดี - ก้อย 1.
ความน่าจะเป็น 1/2=0.5
คำตอบ: 0.5.

ตัวอย่างที่ 5ถ้าเราพลิกเหรียญสองครั้งล่ะ? ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวทั้งสองครั้งเป็นเท่าไหร่?
สิ่งสำคัญคือการพิจารณาผลลัพธ์เบื้องต้นที่เราจะพิจารณาเมื่อโยนเหรียญสองเหรียญ หลังจากโยนเหรียญสองเหรียญแล้ว อาจเกิดผลอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้:
1) PP - มันขึ้นทั้งสองครั้ง
2) PO - หางครั้งแรก หัวครั้งที่สอง
3) OP - ครั้งแรกที่หัว ครั้งที่สองก้อย
4) OO - ขึ้นทั้งสองครั้ง
ไม่มีตัวเลือกอื่น หมายความว่ามีผลลัพธ์เบื้องต้น 4 อย่าง อันแรกเท่านั้นที่เป็นมงคล 1.
ความน่าจะเป็น: 1/4=0.25
คำตอบ: 0.25

ความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญสองครั้งจะตกที่หางเป็นเท่าไหร่?
จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นเท่ากัน 4. ผลลัพธ์ที่น่าพอใจคืออันดับที่สองและสาม 2.
ความน่าจะเป็นที่จะได้รับหนึ่งหาง: 2/4=0.5

ในปัญหาดังกล่าว สูตรอื่นอาจมีประโยชน์
หากในการโยนเหรียญหนึ่งครั้ง เรามี 2 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ จากนั้นสำหรับการโยนผลลัพธ์สองครั้ง จะมี 2 2=2 2 =4 (ดังในตัวอย่างที่ 5) สำหรับการโยนสามครั้ง 2 2 2 = 2 3 = 8 สำหรับสี่ครั้ง : 2·2·2·2=2 4 =16, … สำหรับการโยน N ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ จะมี 2·2·...·2=2 N

ดังนั้น คุณสามารถหาความน่าจะเป็นที่จะได้ 5 หางจากการโยนเหรียญ 5 ครั้ง
จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด: 2 5 =32
ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ: 1. (RRRRRR - หางทั้งหมด 5 ครั้ง)
ความน่าจะเป็น: 1/32=0.03125

เช่นเดียวกับลูกเต๋า ในการโยนครั้งเดียว มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 รายการ ดังนั้น สำหรับการโยนสองครั้ง: 6 6=36 สำหรับสามครั้ง 6 6 6=216 เป็นต้น

ตัวอย่างที่ 6เราโยนลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคู่เป็นเท่าไหร่?

ผลลัพธ์ทั้งหมด: 6 ตามจำนวนใบหน้า
ข้อดี: 3 ผลลัพธ์ (2, 4, 6)
ความน่าจะเป็น: 3/6=0.5

ตัวอย่าง 7โยนลูกเต๋าสองลูก ความน่าจะเป็นที่จะม้วนทั้งหมด 10 เป็นเท่าไหร่? (ปัดเศษเป็นร้อย)

มี 6 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สำหรับการตายหนึ่งครั้ง ดังนั้น สำหรับสองคน ตามกฎข้างต้น 6·6=36
ผลลัพธ์ใดจะเป็นที่น่าพอใจสำหรับทั้งหมด 10 ที่จะหลุดออกมา?
10 ต้องถูกแบ่งออกเป็นผลรวมของตัวเลขสองตัวตั้งแต่ 1 ถึง 6 ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี: 10=6+4 และ 10=5+5 ดังนั้นสำหรับคิวบ์ ตัวเลือกต่างๆ เป็นไปได้:
(6 ตัวแรก และ 4 ตัวที่สอง)
(4 ตัวแรกและ 6 ตัวที่สอง)
(5 ตัวแรกและ 5 ตัวที่สอง)
ทั้งหมด 3 ตัวเลือก ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 3/36=1/12=0.08
คำตอบ: 0.08

ปัญหา B6 ประเภทอื่นๆ จะกล่าวถึงในบทความ "วิธีแก้ปัญหา" ต่อไปนี้

1. ระบุ ถูกต้องคำนิยาม ผลรวมของสองเหตุการณ์เรียกว่า:

ก) เหตุการณ์ใหม่ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งสองเหตุการณ์เกิดขึ้นพร้อมกัน

ข) เหตุการณ์ใหม่ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์แรกหรือเหตุการณ์ที่สองหรือทั้งสองเกิดขึ้น +

1. ระบุ ถูกต้องคำนิยาม ผลคูณของสองเหตุการณ์เรียกว่า:

ก) เหตุการณ์ใหม่ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ทั้งสองเกิดขึ้นพร้อมกัน+

ข) เหตุการณ์ใหม่ ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์แรกหรือเหตุการณ์ที่สองเกิดขึ้น หรือทั้งสองอย่างรวมกัน

ค) เหตุการณ์ใหม่ประกอบด้วยสิ่งหนึ่งเกิดขึ้นแต่อีกสิ่งหนึ่งไม่เกิดขึ้น

1. ระบุ ถูกต้องคำนิยาม ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ:

ก) ผลคูณของจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนการเกิดเหตุการณ์ด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

ข) ผลรวมของจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนการเกิดของเหตุการณ์และจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

c) อัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนการเกิดเหตุการณ์ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด +

1. ระบุ ถูกต้องคำแถลง. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้:

b) เท่ากับศูนย์;+

c) เท่ากับหนึ่ง;

1. ระบุ ถูกต้องคำแถลง. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่าง:

ก) มากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่ง;

b) เท่ากับศูนย์

c) เท่ากับหนึ่ง;+

1. ระบุ ถูกต้องคุณสมบัติ. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม:

ก) มากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่ง; +

b) เท่ากับศูนย์

c) เท่ากับหนึ่ง;

1. ระบุ ถูกต้องคำแถลง:

ก) ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

b) ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์อิสระเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

c) ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ +

1. ระบุ ถูกต้องคำแถลง:

ก) ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

b) ความน่าจะเป็นในการสร้างเหตุการณ์อิสระเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ +

c) ความน่าจะเป็นที่จะทำให้เกิดเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

1. ระบุ ถูกต้องคำนิยาม เหตุการณ์คือ:

ก) ผลเบื้องต้น;

b) พื้นที่ของผลลัพธ์เบื้องต้น

c) เซตย่อยของเซตของผลลัพธ์เบื้องต้น+

1. ระบุ ขวาคำตอบ. เหตุการณ์ใดที่เรียกว่าสมมติฐาน?

ก) เหตุการณ์ใด ๆ ที่เข้ากันไม่ได้;

b) เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ซึ่งรวมกันเป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ +

c) พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น

1. ระบุ ขวาคำตอบ สูตร Bayes กำหนด:

ก) ความน่าจะเป็นก่อนหน้าของสมมติฐาน

b) ความน่าจะเป็นหลังของสมมติฐาน

c) ความน่าจะเป็นของสมมติฐาน+

1. ระบุ ถูกต้องคุณสมบัติ. ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่ม X คือ:

ก) ไม่เพิ่มขึ้น; b) ไม่ลดลง; +c) แบบฟอร์มโดยพลการ

1. ระบุ ถูกต้อง

ก) อิสระ +; b) ขึ้นอยู่กับ; ค) ทุกคน

1. ระบุ ถูกต้องคุณสมบัติ. ความเท่าเทียมกันใช้ได้กับตัวแปรสุ่ม:

a) อิสระ + b) ขึ้นอยู่กับ; ค) ทุกคน

1. ระบุ ถูกต้องสรุป จากข้อเท็จจริงที่ว่าโมเมนต์สหสัมพันธ์สำหรับตัวแปรสุ่มสองตัว X และ Y เท่ากับศูนย์ จะได้ดังนี้

ก) ไม่มีความสัมพันธ์เชิงหน้าที่ระหว่าง X และ Y

b) X และ Y เป็นอิสระ;+

c) ไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงระหว่าง X และ Y

1. ระบุ ขวาคำตอบ. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องถูกกำหนดโดย:

ก) ระบุความน่าจะเป็น;

b) ระบุกฎหมายการจำหน่าย+

ค) ใส่ผลลัพธ์เบื้องต้นแต่ละรายการในจดหมาย

เบอร์จริง.

1. ระบุ ถูกต้องคำนิยาม. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือ:

ก) ช่วงเวลาเริ่มต้นของคำสั่งแรก+

b) ช่วงเวลาศูนย์กลางของคำสั่งแรก

c) ช่วงเวลาโดยพลการของคำสั่งแรก

1. ระบุ ถูกต้องคำนิยาม. ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มคือ:

ก) ช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับที่สอง

b) ช่วงเวลาศูนย์กลางอันดับสอง +

c) ช่วงเวลาโดยพลการของลำดับที่สอง

1. ระบุ ซื่อสัตย์สูตร. สูตรคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม:

ก) +; ข) ; ใน) .

1. ระบุ ถูกต้องคำนิยาม. โหมดการกระจายคือ:

ก) ค่าของตัวแปรสุ่มที่มีความน่าจะเป็น 0.5;

b) ค่าของตัวแปรสุ่มที่ความน่าจะเป็นหรือฟังก์ชันความหนาแน่นถึงค่าสูงสุด+

c) ค่าของตัวแปรสุ่มที่ความน่าจะเป็นเป็น 0

1. ระบุ ซื่อสัตย์สูตร. การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มคำนวณโดยสูตร:

1. ระบุ ซื่อสัตย์สูตร. ความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติของตัวแปรสุ่มถูกกำหนดโดยสูตร:

1. ระบุ ขวาคำตอบ ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎการแจกแจงแบบปกติเท่ากับ:

1. ระบุ ขวาคำตอบ. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ:

1. ระบุ ขวาคำตอบ ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเท่ากับ:

1. ระบุ ซื่อสัตย์สูตร. สำหรับการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยสูตร:

1. ระบุ ซื่อสัตย์สูตร. สำหรับการกระจายแบบสม่ำเสมอ การกระจายถูกกำหนดโดยสูตร:

1. ระบุ ไม่ถูกต้องคำแถลง. คุณสมบัติความแปรปรวนของตัวอย่าง:

ก) หากตัวเลือกทั้งหมดเพิ่มขึ้นตามจำนวนครั้งที่เท่ากัน ความแปรปรวนจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนครั้งเท่ากัน

b) ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์

c) ถ้าตัวเลือกทั้งหมดเพิ่มขึ้นด้วยตัวเลขเดียวกัน ความแปรปรวนตัวอย่างจะไม่เปลี่ยนแปลง+

1. ระบุ ถูกต้องคำแถลง. การประมาณค่าพารามิเตอร์เรียกว่า:

ก) การแสดงการสังเกตเป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีกฎการกระจายแบบเดียวกัน

b) ผลรวมของการสังเกต;

ค) ฟังก์ชันใด ๆ ของผลการสังเกต+

1. ระบุ ถูกต้องคำแถลง. การประมาณค่าพารามิเตอร์การกระจายมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ก) เป็นกลาง;+

ข) ความสำคัญ;

ค) ความสำคัญ

1. ระบุไม่ ถูกต้องคำแถลง.

ก) วิธีความน่าจะเป็นสูงสุดใช้เพื่อให้ได้ค่าประมาณ

b) ความแปรปรวนตัวอย่างเป็นการประมาณค่าแบบเอนเอียงสำหรับความแปรปรวน

ค) การประมาณการที่ไม่เอนเอียง ไม่สอดคล้องกัน มีผลใช้เป็นค่าประมาณทางสถิติของพารามิเตอร์+

1. ระบุ ไม่ถูกต้องคำแถลง. คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มสองมิติ:

ก) ; ข) ; ค) +.

1. ระบุ ไม่ถูกต้องคำแถลง:

ก) การแจกแจงแบบหนึ่งมิติ (ส่วนขอบ) ของส่วนประกอบแต่ละรายการสามารถหาได้จากฟังก์ชันการแจกแจงแบบหลายมิติเสมอ

b) การแจกแจงแบบหนึ่งมิติ (ส่วนขอบ) ของส่วนประกอบแต่ละรายการสามารถใช้เพื่อค้นหาฟังก์ชันการแจกแจงแบบหลายมิติได้เสมอ

c) ความหนาแน่นการกระจายแบบหนึ่งมิติ (ส่วนขอบ) ของส่วนประกอบแต่ละส่วนสามารถหาได้จากฟังก์ชันความหนาแน่นหลายมิติเสมอ

1. ระบุ ถูกต้องคำแถลง. ความแปรปรวนของผลต่างของตัวแปรสุ่มสองตัวถูกกำหนดโดยสูตร:

ก); ข)+; ใน) .

1. ระบุ ไม่ถูกต้องคำแถลง. สูตรความหนาแน่นร่วม:

1. ระบุ ไม่ถูกต้องคำแถลง. ตัวแปรสุ่ม X และ Y เรียกว่าอิสระหาก:

ก) กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรสุ่ม Y

c) สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่ม X และ Y เท่ากับศูนย์

1. ระบุ ขวาคำตอบ. สูตรคือ:

ก) อะนาล็อกของสูตรเบย์สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

b) แอนะล็อกของสูตรความน่าจะเป็นรวมสำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง+

c) อะนาล็อกของสูตรสำหรับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระสำหรับตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง

1. ระบุ ไม่ถูกต้องคำนิยาม:

ก) โมเมนต์เริ่มต้นของลำดับของตัวแปรสุ่มสองมิติ (X, Y) คือความคาดหวังของผลิตภัณฑ์โดย กล่าวคือ

b) โมเมนต์ศูนย์กลางของลำดับของตัวแปรสุ่มสองมิติ (X,Y) คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ กล่าวคือ)

c) โมเมนต์สหสัมพันธ์ของตัวแปรสุ่มสองมิติ (X, Y) คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์โดย กล่าวคือ +

1. ระบุ ขวาคำตอบ. การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎการแจกแจงแบบปกติเท่ากับ:

1. ระบุ ไม่ถูกต้องคำแถลง. งานที่ง่ายที่สุด สถิติทางคณิตศาสตร์เป็น:

ก) การสุ่มตัวอย่างและการจัดกลุ่มข้อมูลทางสถิติที่ได้รับจากการทดลอง

b) การกำหนดพารามิเตอร์การกระจายรูปแบบที่ทราบล่วงหน้า

c) รับค่าประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ภายใต้การศึกษา

แนวคิดพื้นฐานในหัวข้อ:

1. การทดลอง ผลเบื้องต้น ผลการทดลอง เหตุการณ์

2. เหตุการณ์บางอย่าง เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ เหตุการณ์สุ่ม

3. เหตุการณ์ร่วม เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ เหตุการณ์ที่เท่าเทียมกัน เหตุการณ์ที่เท่าเทียมกัน เหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่านั้น

๔. ครบหมู่เหตุการณ์ เหตุการณ์ตรงกันข้าม

5. เหตุการณ์เบื้องต้น เหตุการณ์ประกอบ

6. ผลรวมของหลายเหตุการณ์ ผลคูณของหลายเหตุการณ์ การตีความทางเรขาคณิตของพวกเขา

1. ในปัญหา “ยิงสองนัดไปที่เป้าหมาย หาความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะถูกโจมตีครั้งเดียว" โดยการทดสอบคือ:

1) * ยิงสองนัดที่เป้าหมาย;

2) เป้าหมายจะโดนครั้งเดียว;

3) เป้าหมายจะถูกโจมตีสองครั้ง

2. โยนเหรียญ เหตุการณ์: A -“ เสื้อคลุมแขนจะหลุดออกมา” เหตุการณ์ - “ตัวเลขจะปรากฏขึ้น” คือ:

1) สุ่ม;

2) เชื่อถือได้;

3) เป็นไปไม่ได้;

4) * ตรงกันข้าม

3. ลูกเต๋าถูกทอย สมมติว่าเหตุการณ์: A - "สูญเสีย 6 คะแนน", B - "สูญเสีย 4 คะแนน", D - "สูญเสีย 2 คะแนน", C - "สูญเสียคะแนนเท่ากัน" แล้วเหตุการณ์ C คือ

1)
;

2)
;

3)*
;

4)
.

4. นักเรียนต้องผ่านการสอบสองครั้ง กิจกรรม A - "นักเรียนสอบผ่านครั้งแรก", กิจกรรม B - "นักเรียนผ่านการสอบครั้งที่สอง", กิจกรรม C - "นักเรียนผ่านการสอบทั้งสองครั้ง" แล้วเหตุการณ์ C คือ

1)*
;

2)
;

3)
;

4)
.

5. จากตัวอักษรของคำว่า "TASK" จะมีการสุ่มเลือกตัวอักษรหนึ่งตัว เหตุการณ์ - "เลือกตัวอักษร K" คือ

1) สุ่ม;

2) เชื่อถือได้;

3)* เป็นไปไม่ได้;

4) ตรงกันข้าม

6. จากตัวอักษรของคำว่า "WORLD" สุ่มเลือกตัวอักษรหนึ่งตัว เหตุการณ์ - "เลือกตัวอักษร M" คือ

1)* สุ่ม;

2) เชื่อถือได้;

3) เป็นไปไม่ได้

7. เหตุการณ์ - "ดึงลูกบอลสีขาวจากโกศที่มีลูกบอลสีขาวเท่านั้น" คือ

1) สุ่ม;

2) * เชื่อถือได้;

3) เป็นไปไม่ได้

8. นักเรียนสองคนทำข้อสอบ เหตุการณ์: A - "นักเรียนคนแรกจะสอบผ่าน", B - "นักเรียนคนที่สองจะสอบผ่าน" คือ

1) เข้ากันไม่ได้;

2) เชื่อถือได้;

3) เป็นไปไม่ได้;

4)*ข้อต่อ.

9. เหตุการณ์เรียกว่าเข้ากันไม่ได้ if

4) * การเริ่มต้นของหนึ่งไม่รวมความเป็นไปได้ของการปรากฏตัวของอีกคนหนึ่ง

10. เหตุการณ์เรียกว่าเหตุการณ์เดียวที่เป็นไปได้ถ้า

1) การเกิดขึ้นของสิ่งหนึ่งไม่ได้ยกเว้นความเป็นไปได้ของการปรากฏตัวของอีกสิ่งหนึ่ง

2) ในการดำเนินการตามเงื่อนไขแต่ละเงื่อนไขมีโอกาสเท่าเทียมกันที่จะเกิดขึ้น

3) * ระหว่างการทดสอบอย่างน้อยหนึ่งรายการจะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน

หัวข้อที่ 2 คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

แนวคิดพื้นฐานในหัวข้อ:

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ นิยามคลาสสิกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม

2. ผลดีต่อเหตุการณ์

3. ความหมายทางเรขาคณิตของความน่าจะเป็น

4. ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์

5. คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็น

6. คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

7. วิธีการนับจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้น: พีชคณิต ชุดค่าผสม ตำแหน่ง

การนำแนวคิดเหล่านี้ไปประยุกต์ใช้กับตัวอย่างเชิงปฏิบัติ

ตัวอย่างงานทดสอบที่นำเสนอในหัวข้อนี้:

1. เหตุการณ์เรียกว่ามีโอกาสเท่ากันถ้า

1) พวกเขาเข้ากันไม่ได้

2) * ในการดำเนินการตามชุดเงื่อนไขแต่ละเงื่อนไขมีโอกาสเท่าเทียมกันที่จะเกิดขึ้น

3) ระหว่างการทดสอบอย่างน้อยหนึ่งรายการจะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน

4) การเกิดขึ้นของสิ่งหนึ่งไม่รวมถึงความเป็นไปได้ของการปรากฏตัวของอีกสิ่งหนึ่ง

2. ทดสอบ - "โยนสองเหรียญ" เหตุการณ์ - "เหรียญอย่างน้อยหนึ่งเหรียญจะมีเสื้อคลุมแขน" จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่สนับสนุนเหตุการณ์นี้เท่ากับ:

4) สี่

3. ทดสอบ - "โยนสองเหรียญ" เหตุการณ์ - "เสื้อคลุมแขนจะตกลงบนเหรียญหนึ่งเหรียญ" จำนวนผลลัพธ์ระดับประถมศึกษาทั้งหมดที่เป็นไปได้เท่า ๆ กัน ที่เป็นไปได้เท่านั้น ผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้เท่ากับ:

4) * สี่

4. ในโกศมี 12 ลูก ไม่มีความแตกต่างในสิ่งใดนอกจากสี ในบรรดาลูกบอลเหล่านี้ 5 ลูกเป็นสีดำและ 7 ลูกเป็นสีขาว เหตุการณ์คือ "สุ่มจับลูกบอลสีขาว" สำหรับเหตุการณ์นี้ จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจคือ:

5. ในโกศมี 12 ลูก ไม่มีความแตกต่างในสิ่งใดนอกจากสี ในบรรดาลูกบอลเหล่านี้ 5 ลูกเป็นสีดำและ 7 ลูกเป็นสีขาว เหตุการณ์คือ "สุ่มจับลูกบอลสีขาว" สำหรับเหตุการณ์นี้ จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ:

6. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใช้ค่าใดๆ จากช่วงเวลา:

3)
;

4)
;

5)*
.

7. สมาชิกลืมหมายเลขโทรศัพท์สองหลักสุดท้ายและเมื่อรู้ว่าต่างกันเท่านั้นจึงโทรออกแบบสุ่ม เขาสามารถทำได้กี่วิธี?

1);

2)*;

ออกกำลังกาย

ตัวเลือกการสาธิต

1. และเป็นกิจกรรมอิสระ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: ก) เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

ข)

ช)

จ)

2. , , - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ , , 0 " style="margin-left:55.05pt;border-collapse:collapse;border:none">

3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และ https://pandia.ru/text/78/195/images/image012_30.gif" width="105" height="28 src=">.gif" width="55" height="24" > มี:

ก) 1.25 ข) 0.3886 ค) 0.25 ง) 0.8614

ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

4. พิสูจน์ความเท่าเทียมกันโดยใช้ตารางความจริงหรือแสดงว่าเป็นเท็จ

ส่วนที่ 2 ความน่าจะเป็นของการรวมและการข้ามเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นทั้งหมด และสูตรเบย์เซียน

ออกกำลังกาย: เลือกคำตอบที่ถูกต้องและทำเครื่องหมายตัวอักษรที่เกี่ยวข้องในตาราง

ตัวเลือกการสาธิต

1. โยนลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของคะแนนสะสมไม่เกิน 6 เป็นเท่าไหร่?

ก) ; ข) ; ใน) ; ช) ;

ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

2. ตัวอักษรแต่ละตัวของคำว่า "CRAFT" นั้นเขียนบนการ์ดแยกกัน จากนั้นจึงนำไพ่มาผสมกัน เราสุ่มไพ่สามใบ ความน่าจะเป็นที่จะได้คำว่า "WOOD" เป็นเท่าไหร่?

ก) ; ข) ; ใน) ; ช) ;

ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

3. ในกลุ่มนักศึกษาชั้นปีที่ 2 50% ไม่เคยขาดเรียน 40% ขาดเรียนไม่เกิน 5 วันต่อภาคการศึกษา และ 10% ขาดเรียนเป็นเวลา 6 วันขึ้นไป ในบรรดานักเรียนที่ไม่ขาดเรียน 40% ได้รับคะแนนสูงสุดในหมู่นักเรียนที่ขาดเรียนไม่เกิน 5 วัน - 30% และส่วนที่เหลือ - 10% ได้รับคะแนนสูงสุด นักเรียนได้คะแนนสูงสุดในการสอบ หาความน่าจะเป็นที่ขาดเรียนเกิน 6 วัน

ก) https://pandia.ru/text/78/195/images/image024_14.gif" width="17 height=53" height="53">; c) ; d) ; e) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

ทดสอบหลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์

ส่วนที่ 3 ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและลักษณะเชิงตัวเลข

ออกกำลังกาย: เลือกคำตอบที่ถูกต้องและทำเครื่องหมายตัวอักษรที่เกี่ยวข้องในตาราง

ตัวเลือกการสาธิต

1 . ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X และ Y ถูกกำหนดโดยกฎของตัวเอง

การกระจาย

ตัวแปรสุ่ม Z = X+Y ค้นหาความน่าจะเป็น

ก) 0.7; ข) 0.84; ค) 0.65; ง) 0.78; ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

2. X, Y, Z เป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องกัน ค่า X ถูกแจกจ่ายตามกฎทวินามด้วยพารามิเตอร์ n=20 และ p=0.1 ค่า Y มีการกระจายมากกว่า กฎเรขาคณิตด้วยพารามิเตอร์ p=0.4 ค่าของ Z ถูกแจกจ่ายตามกฎหมายปัวซองด้วยพารามิเตอร์ =2 ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม U= 3X+4Y-2Z

ก) 16.4 ข) 68.2; ค) 97.3; ง) 84.2; ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

3. เวกเตอร์สุ่มสองมิติ (X, Y) ถูกกำหนดโดยกฎการกระจาย

เหตุการณ์ เหตุการณ์ . ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A+B คืออะไร?

ก) 0.62; ข) 0.44; ค) 0.72; ง) 0.58; ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

ทดสอบหลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์

ส่วนที่ 4 ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องและลักษณะเชิงตัวเลข

ออกกำลังกาย: เลือกคำตอบที่ถูกต้องและทำเครื่องหมายตัวอักษรที่เกี่ยวข้องในตาราง

ตัวเลือก การสาธิต

1. ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องอิสระ X และ Y มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนเซ็กเมนต์: X บน https://pandia.ru/text/78/195/images/image032_6.gif" width="32" height="23">

ตัวแปรสุ่ม Z = 3X +3Y +2 ค้นหา D(Z)

ก) 47.75; ข) 45.75; ค) 15.25; ง) 17.25; ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

2 ..gif" width="97" height="23">

ก) 0.5; ข) 1; ค) 0; ง) 0.75; ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

3. ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง X มาจากความหนาแน่นของความน่าจะเป็น https://pandia.ru/text/78/195/images/image036_7.gif" width="99" height="23 src=">

ก) 0.125; ข) 0.875; ค) 0.625; ง) 0.5; ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

4. โดยปกติตัวแปรสุ่ม X จะแจกแจงด้วยพารามิเตอร์ 8 และ 3 Find

ก) 0.212; ข) 0.1295; ค) 0.3413; ง) 0.625; ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

ทดสอบหลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์

หมวดที่ 5 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสถิติทางคณิตศาสตร์

ออกกำลังกาย: เลือกคำตอบที่ถูกต้องและทำเครื่องหมายตัวอักษรที่เกี่ยวข้องในตาราง

ตัวเลือกการสาธิต

1. มีการเสนอค่าประมาณการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ https://pandia.ru/text/78/195/images/image041_6.gif" width="98" height="22">:

ก) https://pandia.ru/text/78/195/images/image043_5.gif" width="205" height="40">

ค) https://pandia.ru/text/78/195/images/image045_4.gif" width="205" height="40">

E) 0 "style="margin-left:69.2pt;border-collapse:collapse;border:none">

2. ความแปรปรวนของการวัดแต่ละครั้งในปัญหาก่อนหน้านี้คือ ดังนั้น การประมาณการที่ไม่เอนเอียงที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดที่ได้รับในปัญหาแรกคือ การประมาณการ

3. จากผลการสังเกตอิสระของตัวแปรสุ่ม X ที่ปฏิบัติตามกฎปัวซอง ให้สร้างค่าประมาณของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักโดยวิธีช่วงเวลา 425 " style="width:318.65pt;margin-left:154.25pt;border-collapse: ทรุด; border:none">

ก) 2.77; ข) 2.90; ค) 0.34; ง) 0.682; ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

4. ครึ่งความกว้างของช่วงความเชื่อมั่น 90% สร้างขึ้นเพื่อประมาณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ไม่รู้จักของตัวแปรสุ่มแบบกระจายตามปกติ X สำหรับขนาดตัวอย่าง n=120 ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง https://pandia.ru/text/78/195/images/image052_3.gif " width="19 "height="16">=5 ใช่

ก) 0.89; ข) 0.49; ค) 0.75; ง) 0.98; ง) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

เมทริกซ์การตรวจสอบ - สาธิตการทดสอบ

ส่วนที่ 1
		แต่-	บี+	ที่-	จี-	ดี+
มาตรา 2
มาตรา 3
มาตรา 4
มาตรา 5

ตัวเลือกที่ 1

1. ในการทดลองสุ่ม โยนลูกเต๋าสองลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวมทั้งหมด 5 คะแนน ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

2. ในการทดลองแบบสุ่ม เหรียญสมมาตรจะถูกโยนสามครั้ง หาความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวสองครั้งพอดี

3. โดยเฉลี่ย ขายปั๊มสวน 1,400 ตัว รั่ว 7 ตัว ค้นหาความน่าจะเป็นที่ปั๊มที่สุ่มเลือกหนึ่งตัวจะไม่รั่วไหล

4. การแข่งขันของนักแสดงจะมีขึ้นใน 3 วัน มีทั้งหมด 50 รายการ หนึ่งรายการจากแต่ละประเทศ วันแรกมี 34 รอบ ที่เหลือแจกเท่าๆ กันในวันที่เหลือ ลำดับการแสดงจะถูกกำหนดโดยการเสมอกัน ความน่าจะเป็นที่การแสดงของตัวแทนของรัสเซียจะเกิดขึ้นในวันที่สามของการแข่งขันเป็นเท่าใด

5. บริษัทแท็กซี่มี 50 คัน; 27 ตัวเป็นสีดำจารึกสีเหลืองที่ด้านข้าง ส่วนที่เหลือเป็นสีเหลืองพร้อมจารึกสีดำ หาความน่าจะเป็นที่รถจะมาถึงโดยการสุ่มโทร สีเหลืองด้วยตัวอักษรสีดำ

6. กลุ่มแสดงในงานเทศกาลร็อค - หนึ่งกลุ่มจากแต่ละประเทศที่ประกาศ ลำดับการแสดงจะถูกกำหนดโดยล็อต ความน่าจะเป็นที่กลุ่มจากเยอรมนีจะแสดงต่อกลุ่มจากฝรั่งเศสและหลังกลุ่มจากรัสเซียเป็นเท่าใด ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

7. ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกเป็นเท่าใด ตัวเลขธรรมชาติ 41 ถึง 56 หารด้วย 2 ลงตัวหรือไม่?

8. ตั๋วสะสมทางคณิตศาสตร์มีเพียง 20 ใบเท่านั้น โดย 11 ใบมีคำถามเกี่ยวกับลอการิทึม ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะได้รับคำถามลอการิทึมในตั๋วที่สุ่มเลือกในการสอบ

9. รูปแสดงเขาวงกต แมงมุมคลานเข้าไปในเขาวงกตที่จุด "ทางเข้า" แมงมุมไม่สามารถหันหลังกลับและคลานกลับได้ ในแต่ละทางแยก แมงมุมจะเลือกเส้นทางที่ยังไม่คลาน พิจารณาการเลือกเส้นทางเพิ่มเติมแบบสุ่ม ให้พิจารณาว่าแมงมุมจะออกมามีความเป็นไปได้เท่าใด

10. ในการเข้าสู่สถาบันสำหรับ "นักแปล" แบบพิเศษ ผู้สมัครจะต้องได้คะแนนอย่างน้อย 79 คะแนนในการสอบแบบรวมศูนย์ในแต่ละวิชาทั้งสาม - คณิตศาสตร์ ภาษารัสเซีย และภาษาต่างประเทศ ในการเข้าสู่ "ศุลกากร" พิเศษ คุณต้องทำคะแนนอย่างน้อย 79 คะแนนในแต่ละวิชาจากสามวิชา - คณิตศาสตร์ ภาษารัสเซีย และสังคมศึกษา

ความน่าจะเป็นที่ผู้สมัคร B. จะได้รับอย่างน้อย 79 คะแนนในวิชาคณิตศาสตร์คือ 0.9 ในภาษารัสเซีย - 0.7 ใน ภาษาต่างประเทศ- 0.8 และในสังคมศึกษา - 0.9.

ตัวเลือก2

1. มีผู้ขายสามรายในร้าน แต่ละคนกำลังยุ่งอยู่กับลูกค้าที่มีความน่าจะเป็น 0.3 ค้นหาความน่าจะเป็นที่พนักงานขายทั้งสามคนกำลังยุ่งพร้อมกันในแต่ละครั้งแบบสุ่ม (สมมติว่าลูกค้าเข้ามาโดยอิสระจากกัน)

2. ในการทดลองแบบสุ่ม โยนเหรียญสมมาตรสามครั้ง หาความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของ RPP จะมาถึง (ทั้งสามครั้งขึ้นไป)

3.โรงงานผลิตกระเป๋า โดยเฉลี่ยแล้ว ทุกๆ 200 ถุงที่มีคุณภาพ จะมีสี่ใบที่มีข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่ ค้นหาความน่าจะเป็นที่กระเป๋าที่ซื้อจะมีคุณภาพสูง ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

4. การแข่งขันของนักแสดงจะมีขึ้นใน 3 วัน มีทั้งหมด 55 รายการ หนึ่งรายการจากแต่ละประเทศ วันแรกมี 33 รอบ ที่เหลือแจกเท่าๆ กันในวันที่เหลือ ลำดับการแสดงจะถูกกำหนดโดยการเสมอกัน ความน่าจะเป็นที่การแสดงของตัวแทนของรัสเซียจะเกิดขึ้นในวันที่สามของการแข่งขันเป็นเท่าใด

5. บนแป้นกดโทรศัพท์มีตัวเลข 10 หลัก ตั้งแต่ 0 ถึง 9 ความน่าจะเป็นที่หมายเลขสุ่มกดจะน้อยกว่า 4 คืออะไร?

6. Biathlete ยิงใส่เป้าหมาย 9 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ biathlete โจมตีเป้าหมาย 3 ครั้งแรกและพลาด 6 ครั้งล่าสุด ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

7. โรงงานสองแห่งผลิตกระจกชนิดเดียวกันสำหรับไฟหน้ารถยนต์ โรงงานแรกผลิตแว่นตาเหล่านี้ 30 ชิ้น ชิ้นที่สอง - 70 ชิ้น โรงงานแรกผลิตแว่นตาที่ชำรุด 4 ชิ้น และชิ้นที่สอง - 1 ค้นหาความน่าจะเป็นที่แก้วที่สุ่มซื้อมาในร้านจะมีข้อบกพร่อง

8. มีตั๋วเพียง 25 ใบในคอลเลกชันตั๋วเคมี โดย 6 ใบมีคำถามเกี่ยวกับไฮโดรคาร์บอน ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะได้รับคำถามเกี่ยวกับไฮโดรคาร์บอนในตั๋วที่สุ่มเลือกในการสอบ

9. ในการเข้าสู่สถาบันสำหรับ "นักแปล" พิเศษผู้สมัครจะต้องได้คะแนนอย่างน้อย 69 คะแนนในการสอบแบบรวมศูนย์ในแต่ละวิชาสามวิชา - คณิตศาสตร์ภาษารัสเซียและภาษาต่างประเทศ ในการเข้าสู่ "การจัดการ" เฉพาะทาง คุณต้องได้คะแนนอย่างน้อย 69 คะแนนในแต่ละวิชาจากสามวิชา ได้แก่ คณิตศาสตร์ ภาษารัสเซีย และสังคมศึกษา

ความน่าจะเป็นที่ผู้สมัคร ต. จะได้รับอย่างน้อย 69 คะแนนในวิชาคณิตศาสตร์คือ 0.6 ในภาษารัสเซีย - 0.6 ในภาษาต่างประเทศ - 0.5 และในสังคมศึกษา - 0.6

จงหาความน่าจะเป็นที่ ต. จะสามารถเข้าสู่หนึ่งในสองวิชาพิเศษที่กล่าวถึง

10. รูปแสดงเขาวงกต แมงมุมคลานเข้าไปในเขาวงกตที่จุด "ทางเข้า" แมงมุมไม่สามารถหันหลังกลับและคลานกลับได้ ในแต่ละทางแยก แมงมุมจะเลือกเส้นทางที่ยังไม่คลาน พิจารณาการเลือกเส้นทางเพิ่มเติมแบบสุ่ม ให้พิจารณาว่าแมงมุมจะออกมามีความเป็นไปได้เท่าใด

ตัวเลือก 3

1. นักกีฬา 60 คนเข้าร่วมการแข่งขันยิมนาสติก: 14 คนจากฮังการี 25 คนจากโรมาเนีย ที่เหลือจากบัลแกเรีย ลำดับการแสดงของนักยิมนาสติกจะถูกกำหนดโดยล็อต ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักกีฬาที่เข้าแข่งขันก่อนมาจากบัลแกเรีย

2. สายการผลิตอัตโนมัติสำหรับแบตเตอรี่ ความน่าจะเป็นที่แบตเตอรี่สำเร็จรูปเสียคือ 0.02 ก่อนบรรจุหีบห่อ แบตเตอรี่แต่ละก้อนต้องผ่านระบบควบคุม ความน่าจะเป็นที่ระบบจะปฏิเสธแบตเตอรี่ที่ไม่ดีคือ 0.97 ความน่าจะเป็นที่ระบบจะปฏิเสธแบตเตอรี่ที่ดีโดยไม่ได้ตั้งใจคือ 0.02 ค้นหาความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกแบตเตอรี่จะถูกปฏิเสธ

3. เข้าสถาบันเฉพาะทาง" ความสัมพันธ์ระหว่างประเทศ” ผู้สมัครจะต้องได้คะแนนอย่างน้อย 68 คะแนนในการสอบในแต่ละวิชาทั้งสาม - คณิตศาสตร์, รัสเซียและภาษาต่างประเทศ ในการลงทะเบียนในวิชาพิเศษ "สังคมวิทยา" คุณต้องได้คะแนนอย่างน้อย 68 คะแนนในแต่ละวิชาจากสามวิชา - คณิตศาสตร์ ภาษารัสเซีย และสังคมศึกษา

ความน่าจะเป็นที่ผู้สมัคร V. จะได้รับอย่างน้อย 68 คะแนนในวิชาคณิตศาสตร์คือ 0.7 ในภาษารัสเซีย - 0.6 ในภาษาต่างประเทศ - 0.6 และในสังคมศึกษา - 0.7

จงหาความน่าจะเป็นที่ B. จะสามารถเข้าสู่หนึ่งในสองความเชี่ยวชาญพิเศษที่กล่าวถึง

4. รูปแสดงเขาวงกต แมงมุมคลานเข้าไปในเขาวงกตที่จุด "ทางเข้า" แมงมุมไม่สามารถหันหลังกลับและคลานกลับได้ ในแต่ละทางแยก แมงมุมจะเลือกเส้นทางที่ยังไม่คลาน พิจารณาการเลือกเส้นทางเพิ่มเติมแบบสุ่ม ให้พิจารณาว่าแมงมุมจะออกมามีความเป็นไปได้เท่าใด

5. ความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกจำนวนธรรมชาติจาก 52 ถึง 67 หารด้วย 4 เป็นเท่าใด

6. ในการสอบเรขาคณิต นักเรียนจะได้รับหนึ่งคำถามจากรายการคำถามในการสอบ ความน่าจะเป็นที่จะเป็นคำถามวงกลมที่จารึกไว้คือ 0.1 ความน่าจะเป็นที่จะเป็นคำถามตรีโกณมิติคือ 0.35 ไม่มีคำถามที่เกี่ยวข้องกับสองหัวข้อนี้ในเวลาเดียวกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะได้รับคำถามจากหนึ่งในสองหัวข้อนี้ในการสอบ

7. Seva, Slava, Anya, Andrey, Misha, Igor, Nadya และ Karina จับสลากสำหรับผู้ที่จะเริ่มเกม ค้นหาความน่าจะเป็นที่เด็กผู้ชายจะเริ่มเกม

8. นักวิทยาศาสตร์จากสเปน 5 คน เดนมาร์ก 4 คน และฮอลแลนด์ 7 คน มาร่วมสัมมนา ลำดับของรายงานจะถูกกำหนดโดยการเสมอกัน หาความน่าจะเป็นที่รายงานของนักวิทยาศาสตร์จากเดนมาร์กจะเป็นครั้งที่สิบสอง

9. มีตั๋วเพียง 25 ใบในการสะสมตั๋วตามปรัชญา 8 ในนั้นมีคำถามเกี่ยวกับพีทาโกรัส ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะไม่ได้รับคำถามเกี่ยวกับพีทาโกรัสในตั๋วที่สุ่มเลือกในการสอบ

10. ในร้านมีเครื่องชำระเงินสองเครื่อง แต่ละอันสามารถผิดพลาดได้โดยมีความน่าจะเป็น 0.09 โดยไม่คำนึงถึงหุ่นยนต์ตัวอื่น ค้นหาความน่าจะเป็นที่หุ่นยนต์อย่างน้อยหนึ่งเครื่องสามารถใช้งานได้

ตัวเลือก 4

1. กลุ่มแสดงในเทศกาลร็อค - หนึ่งกลุ่มจากแต่ละประเทศที่ประกาศ ลำดับการแสดงจะถูกกำหนดโดยล็อต ความน่าจะเป็นที่วงดนตรีจากประเทศสหรัฐอเมริกาจะทำการแสดงหลังจากวงดนตรีจากเวียดนามและหลังวงดนตรีจากสวีเดนเป็นเท่าใด ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

2. ความน่าจะเป็นที่นักเรียน ต. แก้ปัญหาแบบทดสอบประวัติได้ถูกต้องมากกว่า 8 ข้อ คือ 0.58 ความน่าจะเป็นที่ ต. จะแก้ปัญหาได้ถูกต้องมากกว่า 7 ปัญหา คือ 0.64 หาความน่าจะเป็นที่ ต. แก้ปัญหา 8 ข้อได้ถูกต้อง

3.โรงงานผลิตกระเป๋า โดยเฉลี่ยแล้ว ทุกๆ 60 ถุงที่มีคุณภาพ จะมี 6 ถุงที่มีข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่ ค้นหาความน่าจะเป็นที่กระเป๋าที่ซื้อจะมีคุณภาพสูง ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

4. Sasha มีขนมสี่ชิ้นในกระเป๋าของเขา - "Mishka", "Vzlyotnaya", "Squirrel" และ "Roasting" รวมถึงกุญแจห้อง เมื่อหยิบกุญแจออกมา Sasha ก็ทำขนมหล่นจากกระเป๋าของเขาโดยไม่ได้ตั้งใจ หาความน่าจะเป็นที่ขนมที่บินขึ้นจะหายไป

5. รูปแสดงเขาวงกต แมงมุมคลานเข้าไปในเขาวงกตที่จุด "ทางเข้า" แมงมุมไม่สามารถหันหลังกลับและคลานกลับได้ ในแต่ละทางแยก แมงมุมจะเลือกเส้นทางที่ยังไม่คลาน พิจารณาการเลือกเส้นทางเพิ่มเติมแบบสุ่ม ให้พิจารณาว่าแมงมุมจะออกมามีความเป็นไปได้เท่าใด

6. ในการทดลองสุ่ม โยนลูกเต๋าสามลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวมทั้งหมด 15 คะแนน ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

7. Biathlete ยิงใส่เป้าหมาย 10 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.7 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ biathlete โจมตีเป้าหมาย 7 ครั้งแรกและพลาด 3 ครั้งสุดท้าย ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด

8. นักวิทยาศาสตร์ 5 คนจากสวิตเซอร์แลนด์ 7 คนจากโปแลนด์ และ 2 คนจากบริเตนใหญ่เข้าร่วมการสัมมนา ลำดับของรายงานจะถูกกำหนดโดยการเสมอกัน หาความน่าจะเป็นที่สิบสามเป็นรายงานของนักวิทยาศาสตร์จากโปแลนด์

9. ในการเข้าสู่สถาบัน "กฎหมายระหว่างประเทศ" พิเศษ ผู้สมัครจะต้องได้คะแนนอย่างน้อย 68 คะแนนในการสอบ Unified State ในแต่ละวิชาทั้งสาม - คณิตศาสตร์, ภาษารัสเซียและภาษาต่างประเทศ ในการลงทะเบียนในวิชาพิเศษ "สังคมวิทยา" คุณต้องได้คะแนนอย่างน้อย 68 คะแนนในแต่ละวิชาจากสามวิชา - คณิตศาสตร์ ภาษารัสเซีย และสังคมศึกษา

ความน่าจะเป็นที่ผู้สมัคร B. จะได้รับอย่างน้อย 68 คะแนนในวิชาคณิตศาสตร์คือ 0.6 ในภาษารัสเซีย - 0.8 ในภาษาต่างประเทศ - 0.5 และในสังคมศึกษา - 0.7

จงหาความน่าจะเป็นที่ B. จะสามารถเข้าสู่หนึ่งในสองความเชี่ยวชาญพิเศษที่กล่าวถึง

10. มีเครื่องชงกาแฟสองเครื่องที่เหมือนกันในห้าง ความน่าจะเป็นที่เครื่องชงกาแฟจะหมดก่อนสิ้นวันคือ 0.25 ความน่าจะเป็นที่กาแฟทั้งสองเครื่องจะหมดคือ 0.14 หาความน่าจะเป็นที่ในท้ายที่สุดจะมีกาแฟเหลืออยู่ในตู้จำหน่ายสินค้าอัตโนมัติทั้งสองเครื่อง