พิมพ์สมการ ฉ(x; เอ) = 0 เรียกว่า สมการตัวแปร Xและพารามิเตอร์ เอ.
แก้สมการด้วยพารามิเตอร์ เอซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกค่า เอหาค่า Xเป็นไปตามสมการนี้
ตัวอย่าง 1 โอ้= 0
ตัวอย่าง 2 โอ้ = เอ
ตัวอย่างที่ 3
x + 2 = ขวาน
x - ขวาน \u003d -2
x (1 - ก) \u003d -2
ถ้า 1 - เอ= 0 กล่าวคือ เอ= 1 แล้ว X 0 = -2 ไม่มีราก
ถ้า 1 - เอ 0 คือ เอ 1 แล้ว X =
ตัวอย่างที่ 4
(เอ 2 – 1) X = 2เอ 2 + เอ – 3
(เอ – 1)(เอ + 1)X = 2(เอ – 1)(เอ – 1,5)
(เอ – 1)(เอ + 1)X = (1เอ – 3)(เอ – 1)
ถ้า เอ= 1 จากนั้น 0 X = 0
X- ใดๆ เบอร์จริง
ถ้า เอ= -1 จากนั้น 0 X = -2
ไม่มีราก
ถ้า เอ 1, เอ-1 แล้ว X= (ทางออกเดียว)
ซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกค่าที่ถูกต้อง เอตรงกับค่าเดียว X.
ตัวอย่างเช่น:
ถ้า เอ= 5 แล้ว X = = ;
ถ้า เอ= 0 แล้วก็ X= 3 เป็นต้น
สื่อการสอน
1. โอ้ = X + 3
2. 4 + โอ้ = 3X – 1
3. เอ = +
ที่ เอ= 1 ไม่มีราก
ที่ เอ= 3 ไม่มีราก
ที่ เอ = 1 Xจำนวนจริงใดๆ ยกเว้น X = 1
ที่ เอ = -1, เอ= 0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ที่ เอ = 0, เอ= 2 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ที่ เอ = -3, เอ = 0, 5, เอ= -2 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ที่ เอ = -กับ, กับ= 0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
สมการกำลังสองพร้อมพารามิเตอร์
ตัวอย่าง 1แก้สมการ
(เอ – 1)X 2 = 2(2เอ + 1)X + 4เอ + 3 = 0
ที่ เอ = 1 6X + 7 = 0
เมื่อไหร่ เอ 1 เลือกค่าเหล่านั้นของพารามิเตอร์ที่ ดีไปที่ศูนย์
D = (2(2 .) เอ + 1)) 2 – 4(เอ – 1)(4เอ + 30 = 16เอ 2 + 16เอ + 4 – 4(4เอ 2 + 3เอ – 4เอ – 3) = 16เอ 2 + 16เอ + 4 – 16เอ 2 + 4เอ + 12 = 20เอ + 16
20เอ + 16 = 0
20เอ = -16
ถ้า เอ < -4/5, то ดี < 0, уравнение имеет действительный корень.
ถ้า เอ> -4/5 และ เอ 1 แล้ว ดี > 0,
X = 
ถ้า เอ= 4/5 แล้ว ดี = 0,
ตัวอย่าง 2ที่ค่าของพารามิเตอร์ a สมการ
x 2 + 2( เอ + 1)X + 9เอ– 5 = 0 มีรากลบ 2 ตัวต่างกันอย่างไร
ง = 4( เอ + 1) 2 – 4(9เอ – 5) = 4เอ 2 – 28เอ + 24 = 4(เอ – 1)(เอ – 6)
4(เอ – 1)(เอ – 6) > 0
ตาม t. Vieta: X 1 + X 2 = -2(เอ + 1)
X 1 X 2 = 9เอ – 5
ตามเงื่อนไข X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(เอ + 1) < 0 и 9เอ – 5 > 0
| ในท้ายที่สุด | 4(เอ – 1)(เอ – 6) > 0 - 2(เอ + 1) < 0 9เอ – 5 > 0 |
เอ < 1: а > 6 เอ > - 1 เอ > 5/9 |
 (ข้าว. หนึ่ง) < เอ < 1, либо เอ > 6 |
ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่า เอซึ่งสมการนี้มีคำตอบ
x 2 - 2( เอ – 1)X + 2เอ + 1 = 0
ง = 4( เอ – 1) 2 – 4(2เอ + 10 = 4เอ 2 – 8เอ + 4 – 8เอ – 4 = 4เอ 2 – 16เอ
4เอ 2 – 16 0
4เอ(เอ – 4) 0
( เอ – 4)) 0
( เอ – 4) = 0
a = 0 หรือ เอ – 4 = 0
เอ = 4
(ข้าว. 2)
ตอบ: เอ 0 และ เอ 4
สื่อการสอน
1. ราคาเท่าไหร่ เอสมการ โอ้ 2 – (เอ + 1) X + 2เอ– 1 = 0 มีหนึ่งรูท?
2. ราคาเท่าไหร่ เอสมการ ( เอ + 2) X 2 + 2(เอ + 2)X+ 2 = 0 มีหนึ่งรูท?
3. สำหรับค่าของ a คือสมการใด ( เอ 2 – 6เอ + 8) X 2 + (เอ 2 – 4) X + (10 – 3เอ – เอ 2) = 0 มีมากกว่าสองราก?
4. สำหรับค่าใดของสมการ 2 X 2 + X – เอ= 0 มีรูทร่วมอย่างน้อยหนึ่งรูทพร้อมสมการ 2 X 2 – 7X + 6 = 0?
5. สำหรับค่าของ a ทำสมการอะไร X 2 +โอ้+1 = 0 และ X 2 + X + เอ= 0 มีอย่างน้อยหนึ่งรูทร่วมกัน?
1. เมื่อไร เอ = - 1/7, เอ = 0, เอ = 1
2. เมื่อไร เอ = 0
3. เมื่อไร เอ = 2
4. เมื่อไร เอ = 10
5. เมื่อไร เอ = - 2
สมการเลขชี้กำลังที่มีพารามิเตอร์
ตัวอย่าง 1.Find ค่าทั้งหมด เอซึ่งสมการ
9 x - ( เอ+ 2) * 3 x-1 / x +2 เอ*3 -2/x = 0 (1) มีสองรากพอดี
การตัดสินใจ. คูณทั้งสองข้างของสมการ (1) ด้วย 3 2/x เราจะได้สมการที่เท่ากัน
3 2(x+1/x) – ( เอ+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 เอ = 0 (2)
ให้ 3 x+1/x = ที่จากนั้นสมการ (2) ใช้รูปแบบ ที่ 2 – (เอ + 2)ที่ + 2เอ= 0 หรือ
(ที่ – 2)(ที่ – เอ) = 0 เพราะเหตุใด ที่ 1 =2, ที่ 2 = เอ.
ถ้า ที่= 2 นั่นคือ 3 x + 1/x = 2 จากนั้น X + 1/X= บันทึก 3 2 , หรือ X 2 – Xล็อก 3 2 + 1 = 0
สมการนี้ไม่มีรากจริงเพราะมัน ดี= บันทึก 2 3 2 – 4< 0.
ถ้า ที่ = เอ, เช่น. 3 x+1/x = เอแล้ว X + 1/X= บันทึก 3 เอ, หรือ X 2 –Xบันทึก 3 a + 1 = 0 (3)
สมการ (3) มีรากสองอันพอดี if และ only if
D = บันทึก 2 3 2 – 4 > 0 หรือ |log 3 a| > 2.
ถ้าล็อก 3 a > 2 แล้ว เอ> 9 และถ้าบันทึก 3 a< -2, то 0 < เอ < 1/9.
คำตอบ: 0< เอ < 1/9, เอ > 9.
ตัวอย่าง 2. ที่ค่าของสมการ 2 2x - ( ก - 3) 2 x - 3 เอ= 0 มีวิธีแก้ปัญหา?
เพื่อให้สมการที่กำหนดมีคำตอบ จำเป็นและเพียงพอที่สมการ t 2 – (ก - 3) t – 3เอ= 0 มีรากที่เป็นบวกอย่างน้อยหนึ่งราก มาหารากโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา: X 1 = -3, X 2 = เอ = >
a เป็นจำนวนบวก
คำตอบ: เมื่อไร เอ > 0
สื่อการสอน
1. ค้นหาค่าทั้งหมดของ a ที่สมการ
25 x - (2 .) เอ+ 5) * 5 x-1 / x + 10 เอ* 5 -2/x = 0 มี 2 คำตอบพอดี
2. สมการของ a มีค่าเท่าใด
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 มีรูทเดียว?
3. สำหรับค่าใดของพารามิเตอร์ a สมการ
4 x - (5 เอ-3) 2 x +4 เอ 2 – 3เอ= 0 มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร?
สมการลอการิทึมกับพารามิเตอร์
ตัวอย่าง 1ค้นหาค่าทั้งหมด เอซึ่งสมการ
บันทึก 4x (1 + โอ้) = 1/2 (1)
มีโซลูชั่นที่เป็นเอกลักษณ์
การตัดสินใจ. สมการ (1) เทียบเท่ากับสมการ
1 + โอ้ = 2Xที่ X > 0, X 1/4 (3)
X = ที่
au 2 - ที่ + 1 = 0 (4)
เงื่อนไข (2) จาก (3) ไม่เป็นที่พอใจ
ปล่อยให้เป็น เอ 0 แล้ว au 2 – 2ที่+ 1 = 0 มีรากจริงก็ต่อเมื่อ ดี = 4 – 4เอ 0 คือ ที่ เอ 1. เพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกัน (3) เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน Galitsky M.L. , Moshkovich M.M. , Shvartburd S.I.การศึกษาเชิงลึกของหลักสูตรพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: การตรัสรู้, 1990
1. งาน.
ที่ค่าของพารามิเตอร์ เอสมการ ( เอ - 1)x 2 + 2x + เอ- 1 = 0 มีรูทเพียงอันเดียวใช่หรือไม่
1. การตัดสินใจ
ที่ เอ= 1 สมการมีรูปแบบ 2 x= 0 และเห็นได้ชัดว่ามีรูทเดียว x= 0. ถ้า เอลำดับที่ 1 สมการนี้เป็นสมการกำลังสองและมีรากเดียวสำหรับค่าของพารามิเตอร์ที่ discriminant ของ trinomial สแควร์มีค่าเท่ากับศูนย์ หาค่า discriminant เป็นศูนย์ เราจะได้สมการของค่าพารามิเตอร์ เอ
4เอ 2 - 8เอ= 0 เพราะเหตุใด เอ= 0 หรือ เอ = 2.
1. คำตอบ:สมการมีรากเดียวที่ เอโอ(0; 1; 2).
2. งาน
ค้นหาค่าพารามิเตอร์ทั้งหมด เอซึ่งสมการมีรากต่างกันสองราก x 2 +4ขวาน+8เอ+3 = 0.
2. การตัดสินใจ
สมการ x 2 +4ขวาน+8เอ+3 = 0 มีสองรากที่แตกต่างกัน if และ only if ดี =
16เอ 2 -4(8เอ+3) > 0 เราได้รับ (หลังจากลดลงโดย ปัจจัยร่วม 4) 4เอ 2 -8เอ-3 > 0 เพราะเหตุใด
2. คำตอบ:
| เอ O (-Ґ ; 1 - | C 7 2 |
) และ (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. งาน
เป็นที่ทราบกันดีว่า
ฉ 2 (x) = 6x-x 2 -6.
ก) กราฟฟังก์ชัน ฉ 1 (x) ที่ เอ = 1.
ข) ค่าอะไร เอกราฟฟังก์ชัน ฉ 1 (x) และ ฉ 2 (x) มีจุดร่วมเพียงจุดเดียว?
3. วิธีแก้ปัญหา
3.ก.มาแปลงร่างกันเถอะ ฉ 1 (x) ด้วยวิธีต่อไปนี้
กราฟของฟังก์ชันนี้ เอ= 1 แสดงในรูปด้านขวา
3.ข.เราทราบทันทีว่ากราฟฟังก์ชัน y =
kx+ขและ y = ขวาน 2 +bx+ค
(เอลำดับที่ 0) ตัดกันที่จุดเดียวก็ต่อเมื่อสมการกำลังสอง kx+ข =
ขวาน 2 +bx+คมีรากเดียว การใช้มุมมอง ฉ 1 จาก 3.a, เราถือเอาการเลือกปฏิบัติของสมการ เอ = 6x-x 2 -6 ถึงศูนย์ จากสมการ 36-24-4 เอ= 0 เราได้รับ เอ= 3. ทำเช่นเดียวกันกับสมการ 2 x-เอ = 6x-x 2 -6 หา เอ= 2 เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าค่าพารามิเตอร์เหล่านี้เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหาหรือไม่ ตอบ: เอ= 2 หรือ เอ = 3.
4. งาน
ค้นหาค่าทั้งหมด เอซึ่งชุดของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน x 2 -2ขวาน-3เอ i 0 มีเซ็กเมนต์
4. วิธีแก้ปัญหา
พิกัดแรกของจุดยอดของพาราโบลา ฉ(x) =
x 2 -2ขวาน-3เอเท่ากับ x 0 =
เอ. จากคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสอง เงื่อนไข ฉ(x) i 0 ในช่วงเวลาเท่ากับผลรวมของสามระบบ
มีสองวิธีแก้ปัญหา?
5. การตัดสินใจ
ลองเขียนสมการนี้ใหม่ในรูปแบบ x 2 + (2เอ-2)x - 3เอ+7 = 0. นี่คือสมการกำลังสอง มันมีคำตอบอยู่สองคำตอบถ้าการจำแนกแยกกันมีค่ามากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด เมื่อคำนวณการแยกแยะ เราได้เงื่อนไขของการมีสองรากเท่านั้นคือการเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกัน เอ 2 +เอ-6 > 0. การแก้ความไม่เท่าเทียมกัน, เราพบว่า เอ < -3 или เอ> 2. ความไม่เท่าเทียมกันอย่างแรกคือการแก้ปัญหาใน ตัวเลขธรรมชาติไม่มีและคำตอบธรรมชาติที่เล็กที่สุดของที่สองคือหมายเลข 3
5. คำตอบ: 3.
6. งาน (10 เซลล์)
ค้นหาค่าทั้งหมด เอซึ่งกราฟของฟังก์ชันหรือหลังจากการแปลงที่เห็นได้ชัด เอ-2 = |
2-เอ| . สมการสุดท้ายเทียบเท่ากับอสมการ เอฉัน 2.
6. คำตอบ: เอ\end(กรณี)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6] $
เรารวมคำตอบเข้าด้วยกัน จะได้ชุดที่ต้องการ: $a\in(-\infty;-3)\cup$
ตอบ.$a\in(-\infty;-3)\cup$.
สำหรับค่าของพารามิเตอร์ $a$ ค่าความไม่เท่าเทียมกัน $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ ไม่มีคำตอบสำหรับค่าใด
การตัดสินใจ
- หาก $a = 0$ ความไม่เท่าเทียมกันนี้จะกลายเป็นความไม่เท่าเทียมกัน $5 \leqslant 0$ ซึ่งไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้น ค่า $a = 0$ จึงเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา
- ถ้า $a > 0$ กราฟของไตรนามกำลังสองทางด้านซ้ายของอสมการจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งขึ้น เราคำนวณ $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$ ความไม่เท่าเทียมกันไม่มีคำตอบหากพาราโบลาอยู่เหนือแกน x นั่นคือเมื่อไตรโนเมียลกำลังสองไม่มีราก ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- ถ้า $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
ตอบ.$a \in \left$ อยู่ระหว่างรูท ดังนั้นจะต้องมีสองรูท (ดังนั้น $a\ne 0$) หากกิ่งก้านของพาราโบลา $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ ชี้ขึ้นไป แล้ว $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ และ $y(1) > 0$
กรณีที่ 1ให้ $a > 0$ แล้ว
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(อาร์เรย์) \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $
นั่นคือ ในกรณีนี้ ปรากฎว่า $a > 3$ ทั้งหมดพอดี
กรณีที่ 2ให้ $a< 0$. Тогда
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
นั่นคือ ในกรณีนี้ ปรากฎว่า $a . ทั้งหมด< -1$.
ตอบ.$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ $a$ ซึ่งแต่ละค่าของระบบสมการ
$ \begin(กรณี) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(กรณี) $
มีสองวิธีแก้ปัญหา
การตัดสินใจ
ลบวินาทีจากตัวแรก: $(x-y)^2 = 1$ แล้ว
$ \left[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1 \end(อาร์เรย์)\right. $
แทนที่นิพจน์ที่ได้รับลงในสมการที่สองของระบบ เราได้สมการกำลังสองสองสมการ: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ และ $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$ การเลือกปฏิบัติของแต่ละคนมีค่าเท่ากับ $D = 16a-4$
สังเกตว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่คู่ของรากของตัวแรกของ สมการกำลังสองเกิดขึ้นพร้อมกับรากที่สองของสมการกำลังสอง เนื่องจากผลรวมของรากแรกเท่ากับ $-1$ และตัวที่สองคือ 1
ซึ่งหมายความว่าสมการเหล่านี้แต่ละสมการต้องมีหนึ่งรูท จากนั้นระบบเดิมจะมีคำตอบสองคำตอบ นั่นคือ $D = 16a - 4 = 0$
ตอบ.$a=\dfrac(1)(4)$
ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ $a$ สำหรับแต่ละค่าซึ่งสมการ $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ มีสองราก
การตัดสินใจ
ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ:
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$
พิจารณาฟังก์ชัน $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$
สำหรับ $x\geqslant 3$ โมดูลัสแรกจะถูกขยายด้วยเครื่องหมายบวก และฟังก์ชันจะกลายเป็น: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$ เห็นได้ชัดว่าด้วยการขยายโมดูลใดๆ ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ $k\geqslant 5-3-1=1>0$ จะได้รับ นั่นคือ ฟังก์ชันนี้จะเติบโตโดยไม่มีการผูกมัดในช่วงเวลานี้
พิจารณาตอนนี้ช่วงเวลา $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
ดังนั้นเราจึงได้ว่า $x=3$ คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ และนี่หมายความว่าเพื่อให้สมการเดิมมีสองคำตอบ ค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุดต้องน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือความไม่เท่าเทียมกันเกิดขึ้น: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \leftrightarrow \quad |9-|3+a|| $ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Leftrightarrow\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 ตอบ.$a \in (-24; 18)$ สำหรับค่าของพารามิเตอร์ $a$ สมการ $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ มีรูทเดียวสำหรับค่าใด มาทำการเปลี่ยนแปลงกัน: $t = 5^x > 0$ จากนั้นสมการดั้งเดิมจะอยู่ในรูปของสมการกำลังสอง: $t^2-3t+a-1 =0$ สมการเดิมจะมีรากเดียวถ้าสมการนี้มีรากบวกหนึ่งรากหรือรากสองราก อันหนึ่งเป็นค่าบวก อีกอันเป็นค่าลบ การเลือกปฏิบัติของสมการคือ: $D = 13-4a$ สมการนี้จะมีหนึ่งรูท ถ้าผล discriminant ที่ได้มีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือสำหรับ $a = \dfrac(13)(4)$ ในกรณีนี้ root $t=\dfrac(3)(2) > 0$ ดังนั้นค่าที่กำหนดของ $a$ จึงเหมาะสม หากมีสองราก หนึ่งค่าบวกและหนึ่งค่าที่ไม่ใช่ค่าบวก ดังนั้น $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ และ $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ นั่นคือ $a\in(-\infty;1]$ ตอบ.$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$ ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ $a$ ที่ระบบ $ \begin(กรณี)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(กรณี) $ มีสองวิธีแก้ปัญหา ขอแปลงระบบเป็นรูปแบบต่อไปนี้: $ \begin(กรณี) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2 \end(กรณี) $ เนื่องจากพารามิเตอร์ $a$ อยู่ที่ฐานของลอการิทึม จึงมีการกำหนดข้อจำกัดต่อไปนี้: $a>0$, $a \ne 1$ เนื่องจากตัวแปร $y$ เป็นอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม ดังนั้น $y > 0$ เมื่อรวมสมการทั้งสองของระบบเข้าด้วยกัน เราส่งผ่านไปยังสมการ: $\log_a y = y^2$ ขึ้นอยู่กับค่าที่พารามิเตอร์ $a$ ใช้ เป็นไปได้สองกรณี: ตอบ.$a\in(0,1)$ พิจารณากรณีที่ $a > 1$ เนื่องจากสำหรับค่า $t$ จำนวนมาก กราฟของฟังก์ชัน $f(t) = a^t$ อยู่เหนือเส้นตรง $g(t) = t$ จุดร่วมเพียงจุดเดียวคือจุดสัมผัส . ให้ $t_0$ เป็นจุดสัมผัส ณ จุดนี้อนุพันธ์ของ $f(t) = a^t$ เท่ากับหนึ่ง (แทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์) นอกจากนี้ ค่าของฟังก์ชันทั้งสองจะเท่ากัน นั่นคือ ระบบเกิดขึ้น: $ \begin(กรณี) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(cases) $ เหตุใด $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$ $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $ ในขณะเดียวกัน เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันทางตรงและเลขชี้กำลังไม่มีจุดร่วมอื่นๆ ตอบ.$a \in (0;1] \cup \left\(e^(e^(-1))\right\)$ ถึง งานที่มีพารามิเตอร์รวมถึงตัวอย่างเช่น การค้นหาคำตอบของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป การศึกษาสมการสำหรับจำนวนรากที่มีอยู่ ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ โดยไม่ให้คำจำกัดความโดยละเอียด ให้พิจารณาสมการต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง: y = kx โดยที่ x, y เป็นตัวแปร k คือพารามิเตอร์ y = kx + b โดยที่ x, y คือตัวแปร k และ b คือพารามิเตอร์ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ x คือตัวแปร a, b และ c คือพารามิเตอร์ ในการแก้สมการ (อสมการ, ระบบ) ด้วยพารามิเตอร์หมายถึงตามกฎแล้ว ให้แก้สมการอนันต์ (อสมการ, ระบบ) งานที่มีพารามิเตอร์สามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทตามเงื่อนไข:
ก)เงื่อนไขบอกว่า: แก้สมการ (อสมการ, ระบบ) - ซึ่งหมายความว่าสำหรับค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ ค้นหาคำตอบทั้งหมด หากยังไม่ได้สำรวจอย่างน้อยหนึ่งกรณี การแก้ปัญหาดังกล่าวไม่ถือเป็นที่น่าพอใจ ข)จำเป็นต้องระบุค่าที่เป็นไปได้ของพารามิเตอร์ที่สมการ (อสมการ, ระบบ) มีคุณสมบัติบางอย่าง ตัวอย่างเช่น มีวิธีแก้ปัญหาเดียว ไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นของช่วงเวลา ฯลฯ ในงานดังกล่าว จำเป็นต้องระบุอย่างชัดเจนว่าค่าพารามิเตอร์ใดที่เงื่อนไขที่ต้องการได้รับความพึงพอใจ พารามิเตอร์ซึ่งเป็นจำนวนคงที่ที่ไม่รู้จักมีความเป็นคู่พิเศษ ก่อนอื่นต้องคำนึงว่าชื่อเสียงที่ถูกกล่าวหาแนะนำว่าพารามิเตอร์ต้องถูกมองว่าเป็นตัวเลข ประการที่สอง อิสระในการจัดการพารามิเตอร์นั้นถูกจำกัดโดยไม่ทราบสาเหตุ ตัวอย่างเช่น การดำเนินการหารด้วยนิพจน์ที่มีพารามิเตอร์หรือการแยกรากของระดับคู่จากนิพจน์ที่คล้ายกันจำเป็นต้องมีการวิจัยเบื้องต้น ดังนั้นต้องใช้ความระมัดระวังในการจัดการพารามิเตอร์ ตัวอย่างเช่น หากต้องการเปรียบเทียบตัวเลขสองตัว -6a และ 3a จะต้องพิจารณาสามกรณี: 1) -6a จะมากกว่า 3a ถ้า a เป็นจำนวนลบ 2) -6a = 3a ในกรณีที่ a = 0; 3) -6a จะน้อยกว่า 3a ถ้า a เป็นจำนวนบวก 0 การตัดสินใจจะเป็นคำตอบ ให้สมการ kx = b ถูกกำหนด สมการนี้เป็นชวเลขสำหรับชุดสมการอนันต์ในตัวแปรเดียว เมื่อแก้สมการดังกล่าวอาจมีบางกรณี: 1. ให้ k เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ และ b จำนวนใดๆ จาก R แล้ว x = b/k 2. ให้ k = 0 และ b ≠ 0 สมการเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 0 · x = b เห็นได้ชัดว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ 3. ให้ k กับ b เป็นตัวเลขเท่ากับศูนย์ แล้วเราจะมีความเท่าเทียมกัน 0 · x = 0 คำตอบของมันคือจำนวนจริงใดๆ อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการประเภทนี้: 1. กำหนดค่า "การควบคุม" ของพารามิเตอร์ 2. แก้สมการเดิมของ x ด้วยค่าของพารามิเตอร์ที่กำหนดไว้ในย่อหน้าแรก 3. แก้สมการเดิมของ x ด้วยค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างจากที่เลือกไว้ในย่อหน้าแรก 4. คุณสามารถเขียนคำตอบในรูปแบบต่อไปนี้: 1) เมื่อ ... (ค่าพารามิเตอร์) สมการมีราก ...; 2) เมื่อ ... (ค่าพารามิเตอร์) ไม่มีรากในสมการ ตัวอย่าง 1 แก้สมการด้วยพารามิเตอร์ |6 – x| = ก. การตัดสินใจ.
มันง่ายที่จะเห็นว่าที่นี่ ≥ 0 ตามกฎของโมดูโล 6 – x = ±a เราแสดง x: คำตอบ: x = 6 ± a โดยที่ a ≥ 0
ตัวอย่าง 2 แก้สมการ a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 เทียบกับตัวแปร x การตัดสินใจ.
มาเปิดวงเล็บกันเถอะ: axe - a + 2x - 2 \u003d 0 ลองเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน: x(a + 2) = a + 2 ถ้านิพจน์ a + 2 ไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ ถ้า ≠ -2 เรามีคำตอบ x = (a + 2) / (a + 2), i.e. x = 1 หาก a + 2 เท่ากับศูนย์ นั่นคือ a \u003d -2 แล้วเรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง 0 x \u003d 0 ดังนั้น x เป็นจำนวนจริงใดๆ คำตอบ: x \u003d 1 สำหรับ a ≠ -2 และ x € R สำหรับ a \u003d -2
ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ x/a + 1 = a + x เทียบกับตัวแปร x การตัดสินใจ.
ถ้า a \u003d 0 เราจะแปลงสมการเป็นรูปแบบ a + x \u003d a 2 + ax หรือ (a - 1) x \u003d -a (a - 1) สมการสุดท้ายของ a = 1 มีรูปแบบ 0 · x = 0 ดังนั้น x จึงเป็นตัวเลขใดๆ ถ้า ≠ 1 สมการสุดท้ายจะอยู่ในรูปแบบ x = -a วิธีแก้ปัญหานี้สามารถแสดงได้บนเส้นพิกัด (รูปที่ 1) คำตอบ: ไม่มีคำตอบสำหรับ a = 0; x - ตัวเลขใดๆ ที่ a = 1; x \u003d -a ที่มี ≠ 0 และ 1
วิธีกราฟิก พิจารณาอีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ - แบบกราฟิก วิธีนี้ใช้ค่อนข้างบ่อย ตัวอย่างที่ 4 สมการ ||x| . มีกี่ราก ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a – 2| = เอ? การตัดสินใจ.
ในการแก้ปัญหาด้วยวิธีกราฟิก เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = ||x| – 2| และ y = a (รูปที่ 2). ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงกรณีที่เป็นไปได้ของตำแหน่งของเส้น y = a และจำนวนรากในแต่ละเส้น คำตอบ: สมการจะไม่มีรากถ้า a< 0; два корня будет в случае, если a >2 และ a = 0; สมการจะมีสามรากในกรณี a = 2; สี่ราก - ที่ 0< a < 2.
ตัวอย่างที่ 5 ซึ่งสมการ 2|x| + |x – 1| = a มีรูทเดียว? การตัดสินใจ.
มาวาดกราฟของฟังก์ชัน y = 2|x| . กัน + |x – 1| และ y = ก สำหรับ y = 2|x| + |x - 1| การขยายโมดูลด้วยวิธี gap เราได้รับ: (-3x + 1, ที่ x< 0, y = (x + 1 สำหรับ 0 ≤ x ≤ 1 (3x – 1 สำหรับ x > 1 บน รูปที่ 3จะเห็นได้ชัดเจนว่าสมการจะมีรูทเฉพาะเมื่อ a = 1 คำตอบ: ก = 1
ตัวอย่างที่ 6 กำหนดจำนวนคำตอบของสมการ |x + 1| + |x + 2| = a ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a? การตัดสินใจ.
กราฟของฟังก์ชัน y = |x + 1| + |x + 2| จะเป็นเส้นขาด จุดยอดจะอยู่ที่จุด (-2; 1) และ (-1; 1) (ภาพที่ 4). คำตอบ: ถ้าพารามิเตอร์ a น้อยกว่าหนึ่ง สมการจะไม่มีราก ถ้า a = 1 คำตอบของสมการจะเป็นชุดตัวเลขอนันต์จากช่วง [-2; -หนึ่ง]; หากค่าของพารามิเตอร์ a มากกว่า 1 สมการจะมีรากที่สอง
คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่? ไม่ทราบวิธีแก้สมการด้วยพารามิเตอร์? เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งกีฬา มนุษย์ใช้สมการมาตั้งแต่สมัยโบราณและนับแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น ในวิชาคณิตศาสตร์ มีปัญหาที่ต้องค้นหาคำตอบของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองใน ปริทัศน์หรือค้นหาจำนวนรูทที่สมการมีขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ งานทั้งหมดนี้มีพารามิเตอร์ พิจารณาสมการต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง: \[y = kx,\] โดยที่ \ - ตัวแปร, \ - พารามิเตอร์; \[y = kx + b,\] โดยที่ \ - ตัวแปร, \ - พารามิเตอร์; \[ax^2 + bx + c = 0,\] โดยที่ \ เป็นตัวแปร \[a, b, c\] เป็นพารามิเตอร์ การแก้สมการด้วยพารามิเตอร์หมายถึงการแก้สมการชุดอนันต์ตามกฎ อย่างไรก็ตาม เมื่อปฏิบัติตามอัลกอริธึมบางอย่าง เราสามารถแก้สมการต่อไปนี้ได้อย่างง่ายดาย: 1. กำหนดค่า "การควบคุม" ของพารามิเตอร์ 2. แก้สมการดั้งเดิมสำหรับ [\x\] ด้วยค่าพารามิเตอร์ที่ระบุในย่อหน้าแรก 3. แก้สมการดั้งเดิมสำหรับ [\x\] ด้วยค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างจากที่เลือกไว้ในย่อหน้าแรก สมมติให้สมการต่อไปนี้: \[\กลาง 6 - x \กลาง = ก.\] หลังจากวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นแล้ว พบว่า a \[\ge 0.\] โดยกฎโมดูลัส \ เราแสดง \ คำตอบ: \ ที่ไหน \ คุณสามารถแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้ปัญหาออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณแก้สมการออนไลน์ของความซับซ้อนใด ๆ ในไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงแค่ป้อนข้อมูลของคุณลงในโปรแกรมแก้ไข คุณสามารถชมวิดีโอการสอนและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณมีคำถามใดๆ คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม Vkontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีที่จะช่วยเหลือคุณเสมอการตัดสินใจ
การตัดสินใจ
เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรก ฟรี!
ฉันจะแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ออนไลน์ได้ที่ไหน