การบรรยาย: เส้นตัดกัน ขนานและเอียง ความตั้งฉากของเส้น

เส้นตัดกัน

หากมีเส้นตรงหลายเส้นบนระนาบ ไม่ช้าก็เร็วเส้นนั้นก็จะตัดกันตามอำเภอใจหรือเป็นมุมฉาก มิฉะนั้นจะขนานกัน มาดูแต่ละกรณีกัน

เส้นตัดกันคือเส้นที่มีจุดตัดกันอย่างน้อยหนึ่งจุด

คุณอาจถามว่าทำไมอย่างน้อยหนึ่งบรรทัดจึงไม่สามารถตัดอีกบรรทัดหนึ่งได้สองหรือสามครั้ง คุณถูก! แต่เส้นสามารถจับคู่กันได้อย่างสมบูรณ์ ในกรณีนี้ จะมีจุดร่วมจำนวนอนันต์

ความเท่าเทียม

ขนานเราสามารถตั้งชื่อเส้นเหล่านั้นที่ไม่มีวันตัดกัน แม้แต่ที่อนันต์

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความขนานคือสิ่งที่ไม่มีจุดร่วมเพียงจุดเดียว โปรดทราบว่า นิยามนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อเส้นเหล่านั้นอยู่ในระนาบเดียวกัน แต่ถ้าไม่มีจุดร่วม อยู่ในระนาบต่างกัน จะถือว่าตัดกัน

ตัวอย่างของเส้นขนานในชีวิต: สองขอบตรงข้ามของหน้าจอมอนิเตอร์ เส้นในโน้ตบุ๊ก รวมถึงส่วนอื่นๆ ของสิ่งของที่มีรูปทรงสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยม และรูปทรงอื่นๆ

เมื่อต้องการแสดงเป็นลายลักษณ์อักษรว่าบรรทัดหนึ่งขนานกับบรรทัดที่สอง จะใช้การกำหนดต่อไปนี้ a||b สัญกรณ์นี้บอกว่าเส้น a ขนานกับเส้น b

เมื่อศึกษาหัวข้อนี้ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจข้อความเพิ่มเติมหนึ่งประโยค: ผ่านจุดหนึ่งบนระนาบที่ไม่ได้อยู่ในเส้นที่กำหนด เราสามารถวาดเส้นคู่ขนานเส้นเดียวได้ แต่ให้ความสนใจอีกครั้งการแก้ไขอยู่บนเครื่องบิน หากเราพิจารณาพื้นที่สามมิติ ก็เป็นไปได้ที่จะวาดเส้นจำนวนอนันต์ที่จะไม่ตัดกัน แต่จะตัดกัน

ข้อความที่อธิบายข้างต้นเรียกว่า สัจพจน์ของเส้นขนาน.

ความตั้งฉาก

สายตรงสามารถโทรได้ก็ต่อเมื่อ ตั้งฉากถ้าตัดกันเป็นมุม 90 องศา

ในอวกาศสามารถวาดเส้นตั้งฉากจำนวนอนันต์ผ่านจุดหนึ่งบนเส้นได้ อย่างไรก็ตาม หากเรากำลังพูดถึงระนาบ เมื่อถึงจุดหนึ่งบนเส้นหนึ่ง เราสามารถวาดเส้นตั้งฉากเส้นเดียวได้

ข้ามเส้น ซีแคนท์

ถ้าเส้นบางเส้นตัดกัน ณ จุดใดจุดหนึ่งเป็นมุมที่กำหนด เรียกว่า ผสมพันธุ์.

เส้นเอียงใด ๆ มีมุมแนวตั้งและมุมที่อยู่ติดกัน

หากมุมที่เกิดจากเส้นตัดสองเส้นมีด้านเดียวเท่ากันจะเรียกว่าด้านประชิด:

มุมที่อยู่ติดกันรวมกันได้ 180 องศา

ก.40 ระยะห่างระหว่างสองเส้นตัดกัน

ในพิกัด

เอฟเอ็มพี.3 เพิ่มขึ้นเต็ม

ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว - การเพิ่มขึ้นที่ได้รับจากฟังก์ชันเมื่ออาร์กิวเมนต์ทั้งหมดได้รับการเพิ่มขึ้น (โดยทั่วไป ไม่ใช่ศูนย์) แม่นยำยิ่งขึ้น ให้กำหนดฟังก์ชัน f ในย่านใกล้เคียงของจุด

สเปซ n มิติของตัวแปร x 1,. . ., x หน้าเพิ่มขึ้น

ฟังก์ชั่น f ที่จุด x (0) โดยที่

เรียกว่า เพิ่มขึ้นเต็มที่หากถือเป็นฟังก์ชันของ n การเพิ่มที่เป็นไปได้ D x 1, . . ., ดิ๊ x นข้อโต้แย้ง x 1 , . .., x พี,อยู่ภายใต้เงื่อนไขว่าจุด x (0) + Dx เป็นของโดเมนของฟังก์ชัน f เท่านั้น นอกจากการเพิ่มขึ้นเชิงเส้นของฟังก์ชันแล้ว เราพิจารณาการเพิ่มขึ้นบางส่วน D x k fฟังก์ชัน f ที่จุด x (0) ในตัวแปร x k,นั่นคือการเพิ่มขึ้น Df ซึ่ง Dx yj =0, j=1, 2, . . ., เค- 1, k+1, . . ., น, เค -คงที่ (k=1, 2, . . ., n)

เอฟเอ็มพี.4. A: การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน z \u003d (x, y) เทียบกับ x คือผลต่างกับการเพิ่มขึ้นบางส่วนเมื่อเทียบกับ

A: อนุพันธ์ย่อยบางส่วนเทียบกับ x ของฟังก์ชัน z \u003d (x, y) คือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นบางส่วนต่อการเพิ่มขึ้น Axe เมื่อส่วนหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์:

การกำหนดอื่นๆ: ในทำนองเดียวกันสำหรับตัวแปร

โนอา ยู

สังเกตว่าถูกกำหนดที่ค่าคงที่ y และ - ที่ค่าคงที่ x เราสามารถกำหนดกฎได้: อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x ของฟังก์ชัน z \u003d (x, y) เป็นอนุพันธ์ปกติเทียบกับ x ซึ่งคำนวณภายใต้ สันนิษฐานว่า y \u003d const. ในทำนองเดียวกัน ในการคำนวณอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ y เราต้องพิจารณา x = const ดังนั้น กฎในการคำนวณอนุพันธ์ย่อยจะเหมือนกับในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว

เอฟเอ็มพี.5 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน การหาความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน เรียกว่า ต่อเนื่อง ณ จุด หากเป็นไปตามเงื่อนไขที่เทียบเท่าข้อใดข้อหนึ่ง:

2) สำหรับลำดับโดยพลการ ( x น) ค่ามาบรรจบกันที่ น→ ∞ ถึงจุดหนึ่ง x 0 , ลำดับที่สอดคล้องกัน ( ฉ(x น)) ค่าของฟังก์ชันมาบรรจบกันสำหรับ น→ ∞ ถึง ฉ(x 0);

3) หรือ ฉ(x) - ฉ(x 0) → 0 สำหรับ x - x 0 → 0;

4) เช่นนั้นหรือซึ่งเหมือนกัน

ฉ: ]x 0 - δ , x 0 + δ [ → ]ฉ(x 0) - ε , ฉ(x 0) + ε [.

จากนิยามความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ฉณ จุดนั้น x 0 เป็นไปตามนั้น

ถ้าฟังก์ชัน ฉต่อเนื่องทุกจุดของช่วง ] เอ, ข[ แล้วฟังก์ชัน ฉเรียกว่า ต่อเนื่องในช่วงเวลานี้.

เอฟเอ็มพี.6. ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ อนุพันธ์บางส่วน- หนึ่งในแนวคิดทั่วไปของแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันอย่างชัดเจน ฉกำหนดไว้ดังนี้

กราฟฟังก์ชัน z = x² + xy + y². อนุพันธ์บางส่วนที่จุด (1, 1, 3) ที่ค่าคงที่ yสอดคล้องกับมุมเอียงของเส้นสัมผัสที่ขนานกับระนาบ xz.

ส่วนของกราฟที่แสดงด้านบนโดยระนาบ y= 1

โปรดทราบว่าสัญกรณ์ควรเข้าใจว่าเป็น ทั้งหมดสัญลักษณ์ ตรงกันข้ามกับอนุพันธ์ปกติของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว ซึ่งสามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันและอาร์กิวเมนต์ได้ อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์ย่อยสามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของดิฟเฟอเรนเชียลได้เช่นกัน แต่ในกรณีนี้จำเป็นต้องระบุว่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามตัวแปรใด: , โดยที่ d x fคือดิฟเฟอเรนเชียลบางส่วนของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x บ่อยครั้งที่ความเข้าใจผิดเกี่ยวกับความเป็นจริงของความสมบูรณ์ของสัญลักษณ์เป็นสาเหตุของข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิด เช่น ตัวย่อในนิพจน์ (สำหรับรายละเอียด โปรดดูที่ Fikhtengolts "หลักสูตรของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์")

ในทางเรขาคณิต อนุพันธ์ย่อยคืออนุพันธ์ตามทิศทางของแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน ฉณ จุดหนึ่งตามพิกัด x kเท่ากับอนุพันธ์เทียบกับทิศทางโดยที่หน่วยยืนอยู่บน k-สถานที่

น76) ระบบ ur-tion เรียกว่า Cramer's ถ้าจำนวนสมการเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบค่า

น77-78) ระบบ เรียกว่าข้อต่อถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธีและเข้ากันไม่ได้

น79-80) ระบบข้อต่อ. เรียกว่า definite ว่ามีทางออกเดียวหรือไม่ อย่างอื่นไม่มีกำหนด

น81) ...ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบแครมเมอร์แตกต่างจากศูนย์

น169) เพื่อให้ระบบมีความสม่ำเสมอ จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย =

น170) ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบแครมเมอร์แตกต่างจากศูนย์ แสดงว่าระบบถูกกำหนดและหาคำตอบได้จากสูตร

น171) 1. หาคำตอบของระบบสมการแครมเมอร์ด้วยวิธีเมทริกซ์ 2.. ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์ ; 3. คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของระบบโดยใช้คุณสมบัติ: 4. จากนั้นให้จดเมทริกซ์ผกผัน A-1; 5. ดังนั้น

น172) ระบบเอกพันธ์ สมการเชิงเส้น AX = 0 ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอเพราะมีอย่างน้อยหนึ่งโซลูชัน

LA 173) ถ้าดีเทอร์มีแนนต์อย่างน้อยหนึ่งตัว , , ไม่เท่ากับศูนย์ คำตอบทั้งหมดของระบบ (1) จะถูกกำหนดโดยสูตร , , , โดยที่ t เป็นจำนวนที่ต้องการ คำตอบแต่ละข้อได้มาที่ค่าเฉพาะของ t

น174) เซตของสารละลายเป็นเนื้อเดียวกัน ระบบเรียกว่าระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาหาก: 1) พวกมันเป็นอิสระเชิงเส้น; 2) คำตอบใดๆ ของระบบคือผลรวมเชิงเส้นของคำตอบ

AG118. สมการทั่วไปของระนาบคือ...

สมการระนาบการมองเรียกว่า สมการทั่วไปเครื่องบิน.

AG119.ถ้าระนาบ a ถูกอธิบายโดยสมการ Ax+D=0 แล้ว...

PR 10.ค่าที่น้อยมากคืออะไรและคุณสมบัติหลักของมันคืออะไร?

OL 11. อะไรเรียกว่ายิ่งใหญ่ไม่สิ้นสุด? ความสัมพันธ์ของเธอคืออะไร

ด้วยจำนวนที่น้อยนิด?

PR12.Kการจำกัดความสัมพันธ์แบบใดที่เรียกว่าการจำกัดที่ยอดเยี่ยมครั้งแรก? ลิมิตที่น่าทึ่งประการแรกคือความสัมพันธ์ลิมิต

OL 13การจำกัดความสัมพันธ์แบบใดที่เรียกว่าการจำกัดที่น่าทึ่งครั้งที่สอง?

OL14คุณรู้ฟังก์ชันเทียบเท่าคู่ใดบ้าง

CR64ชุดฮาร์มอนิกคืออะไร? มันมาบรรจบกันภายใต้เงื่อนไขใด?

อนุกรมวิธานเรียกว่า ฮาร์มอนิก

CR 65.อะไรคือผลรวมของความก้าวหน้าที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

CH66.ทฤษฎีบทเปรียบเทียบข้อแรกหมายถึงข้อความใด

ให้มีแถวบวกสองแถว

ถ้าอย่างน้อยจากบางจุด (เช่น สำหรับ ) อสมการต่อไปนี้ถือ: การบรรจบกันของอนุกรมหมายถึงการบรรจบกันของอนุกรม หรือ ซึ่งเหมือนกัน ไดเวอร์เจนซ์ของอนุกรมตามมาจากไดเวอร์เจนซ์ของ ชุด.

CR67. ทฤษฎีบทการเปรียบเทียบที่สองหมายถึงข้อความใด

มาแสร้งทำเป็นว่า หากมีขีดจำกัด

จากนั้นทั้งสองชุดจะบรรจบกันหรือแยกจากกันในเวลาเดียวกัน

CR 45กำหนดเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม

ถ้าอนุกรมมีผลรวมจำกัด เรียกว่า คอนเวอร์เจนต์

CR 29อนุกรมฮาร์มอนิก คือ อนุกรมของรูปแบบ…. มันมาบรรจบกันเมื่อ

อนุกรมวิธานเรียกว่า ฮาร์มอนิกดังนั้น อนุกรมฮาร์มอนิกมาบรรจบที่ และแตกต่างที่

AG 6. ระบบสั่งการของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นที่วางอยู่บนเส้นที่กำหนด (ในระนาบที่กำหนด ในอวกาศ) ถูกเรียกเป็นพื้นฐานบนเส้นนี้ (บนระนาบนี้ ในอวกาศ) ถ้าเวกเตอร์ใดวางอยู่บนเส้นที่กำหนด (ใน ระนาบที่กำหนด ช่องว่าง) ) สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบอิสระเชิงเส้นนี้

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์ใดๆ ที่วางอยู่บนระนาบที่กำหนดจะสร้างฐานบนระนาบนั้น

AG 7. ระบบสั่งการของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นที่วางอยู่บนเส้นที่กำหนด (ในระนาบที่กำหนด ในอวกาศ) เรียกว่าเป็นพื้นฐานบนเส้นนี้ (บนระนาบนี้ ในอวกาศ) ถ้าเวกเตอร์ใดวางอยู่บนเส้นที่กำหนด (ใน ระนาบที่กำหนด ช่องว่าง) ) สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบอิสระเชิงเส้นนี้

เวกเตอร์สามตัวที่ไม่ใช่ระนาบใดๆ ก่อตัวเป็นฐานในอวกาศ

AG 8, สัมประสิทธิ์การขยายตัวของเวกเตอร์ในแง่ของฐานเรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์นี้ตามเกณฑ์ที่กำหนด ในการหาพิกัดของเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่กำหนด จำเป็นต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์: ถ้า , แล้ว .

เอจี 9.ก)มาสร้างเวกเตอร์กันเถอะ (เรียกเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดและจุดสิ้นสุดที่จุด เวกเตอร์รัศมีจุด ).

AG 10. ไม่ เพราะ การวัดเรเดียนของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวนั้นอยู่ระหว่าง and . เสมอ

AG 11. สเกลาร์คือจำนวนจริงใดๆ สินค้าจุดเวกเตอร์สองตัวและเรียกว่าจำนวนเท่ากับผลคูณของโมดูลและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

เอจี 12. เราคำนวณได้ระยะห่างระหว่างจุด เวกเตอร์ฐาน มุมระหว่างเวกเตอร์

AG 13 ผลคูณของเวกเตอร์โดยเวกเตอร์คือเวกเตอร์ที่สามที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ความยาวของมันคือ

เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบที่มีเวกเตอร์และ

ถ้าเส้นตรงสองเส้นในอวกาศมีจุดร่วม แสดงว่าเส้นสองเส้นนี้ตัดกัน ในรูปต่อไปนี้ เส้น a และ b ตัดกันที่จุด A เส้น a และ c ไม่ตัดกัน

สองบรรทัดใดมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว หรือไม่มีจุดร่วม

เส้นขนาน

เส้นสองเส้นในอวกาศเรียกว่าขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน ในการกำหนดเส้นคู่ขนานให้ใช้ไอคอนพิเศษ - ||.

สัญกรณ์ a||b หมายความว่าเส้น a ขนานกับเส้น b จากรูปด้านบน เส้น a และ c ขนานกัน

ทฤษฎีบทเส้นขนาน

ผ่านจุดใดๆ ในอวกาศที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเส้นที่ขนานกับเส้นที่กำหนดและยิ่งกว่านั้น มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ข้ามเส้น

เส้นสองเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันสามารถตัดกันหรือขนานกันก็ได้ แต่ในอวกาศ เส้นตรงสองเส้นไม่จำเป็นต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน พวกเขาสามารถอยู่ในเครื่องบินสองลำที่แตกต่างกัน

เห็นได้ชัดว่าเส้นที่อยู่ในระนาบต่างกันไม่ตัดกันและไม่ใช่เส้นขนาน เส้นสองเส้นที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันเรียกว่า ข้ามเส้น.

รูปต่อไปนี้แสดงเส้นตัดกันสองเส้น a และ b ซึ่งอยู่ในระนาบต่างกัน

เครื่องหมายและทฤษฎีบทความเบ้

หากเส้นใดเส้นหนึ่งในสองเส้นอยู่ในระนาบหนึ่ง และอีกเส้นตัดกับระนาบนี้ ณ จุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นแรก เส้นเหล่านี้จะเบ้

ทฤษฎีบทการข้ามเส้น: ผ่านแต่ละเส้นตัดกันสองเส้น จะมีระนาบขนานกับอีกเส้นหนึ่ง และยิ่งกว่านั้น มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ดังนั้นเราได้พิจารณาทั้งหมด กรณีที่เป็นไปได้การจัดเรียงเส้นร่วมกันในอวกาศ มีเพียงสามคนเท่านั้น

1. เส้นตัดกัน (นั่นคือพวกเขามีจุดร่วมเพียงจุดเดียว)

2. เส้นขนานกัน (นั่นคือไม่มีจุดร่วมและอยู่ในระนาบเดียวกัน)

3. เส้นตรงตัดกัน (นั่นคือพวกเขาอยู่ในระนาบต่างๆ)

ในบทความนี้ ก่อนอื่นเราจะกำหนดมุมระหว่างเส้นเอียงและให้ภาพประกอบกราฟิก ต่อไป เราตอบคำถาม: “วิธีหามุมระหว่างเส้นเบ้ถ้าพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ใน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด"? โดยสรุป เราจะฝึกหามุมระหว่างเส้นเอียงเมื่อแก้ตัวอย่างและปัญหา

การนำทางหน้า

มุมระหว่างเส้นเบ้ - คำจำกัดความ

เราจะค่อยๆ เข้าใกล้คำจำกัดความของมุมระหว่างเส้นตัดกัน

ให้เราจำคำจำกัดความของเส้นเอียงก่อน: สองเส้นในพื้นที่สามมิติเรียกว่า ผสมพันธุ์ถ้าไม่นอนระนาบเดียวกัน จากคำจำกัดความนี้ เส้นเอียงไม่ตัดกัน ไม่ขนานกัน และยิ่งไปกว่านั้น ไม่ตรงกัน ไม่เช่นนั้นเส้นทั้งสองจะอยู่ในระนาบเดียวกัน

เราขอเสนออาร์กิวเมนต์เสริมเพิ่มเติม

ให้สองเส้นตัดกัน a และ b ในปริภูมิสามมิติ มาสร้างเส้น a 1 และ b 1 เพื่อให้ขนานกับเส้นเอียง a และ b ตามลำดับ และผ่านจุดของช่องว่าง M 1 ดังนั้นเราจะได้เส้นตัดกันสองเส้น a 1 และ b 1 ให้มุมระหว่างเส้นตัดกัน a 1 และ b 1 เท่ากับมุม ทีนี้มาสร้างเส้น a 2 และ b 2 ขนานกับเส้นเอียง a และ b ตามลำดับ ผ่านจุด M 2 ที่แตกต่างจากจุด M 1 มุมระหว่างเส้นตัดกัน a 2 และ b 2 จะเท่ากับมุมด้วย ข้อความนี้เป็นความจริง เนื่องจากเส้น a 1 และ b 1 จะตรงกับเส้น a 2 และ b 2 ตามลำดับ หากคุณทำการถ่ายโอนแบบขนาน โดยที่จุด M 1 จะไปที่จุด M 2 ดังนั้น การวัดมุมระหว่างเส้นสองเส้นที่ตัดกันที่จุด M ซึ่งขนานกับเส้นเอียงที่ให้มาตามลำดับ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุด M

ตอนนี้เราพร้อมที่จะกำหนดมุมระหว่างเส้นเอียงแล้ว

คำนิยาม.

มุมระหว่างเส้นเบ้คือมุมระหว่างเส้นตัดสองเส้นที่ขนานกับเส้นเอียงที่กำหนดตามลำดับ

จากคำจำกัดความว่ามุมระหว่างเส้นเอียงจะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุด M เช่นกัน ดังนั้น เมื่อเป็นจุด M คุณสามารถใช้จุดใดก็ได้ที่เป็นของเส้นเอียงเส้นใดจุดหนึ่ง

เราให้ภาพประกอบของคำจำกัดความของมุมระหว่างเส้นเอียง

การหามุมระหว่างเส้นเอียง

เนื่องจากมุมระหว่างเส้นตัดกันถูกกำหนดโดยมุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน การหามุมระหว่างเส้นตัดกันจะลดลงไปจนถึงการหามุมระหว่างเส้นที่ตัดกันในพื้นที่สามมิติ

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าวิธีการศึกษาในบทเรียนเรขาคณิตใน มัธยม. กล่าวคือเมื่อสร้างโครงสร้างที่จำเป็นเสร็จแล้วก็เป็นไปได้ที่จะเชื่อมต่อมุมที่ต้องการกับมุมใด ๆ ที่ทราบจากเงื่อนไขโดยพิจารณาจากความเท่าเทียมกันหรือความคล้ายคลึงกันของตัวเลขในบางกรณีก็ช่วยได้ ทฤษฎีบทโคไซน์และบางครั้งก็นำไปสู่ผลลัพธ์ นิยามของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมสามเหลี่ยมมุมฉาก.

อย่างไรก็ตาม จะสะดวกมากในการแก้ปัญหาการหามุมระหว่างเส้นเอียงโดยใช้วิธีการพิกัด นั่นคือสิ่งที่เราจะพิจารณา

ให้ Oxyz ถูกนำมาใช้ในพื้นที่สามมิติ (อย่างไรก็ตาม ในหลาย ๆ ปัญหาจะต้องได้รับการแนะนำอย่างอิสระ)

มาเริ่มงานกัน: เพื่อหามุมระหว่างเส้นตัดกัน a และ b ซึ่งสอดคล้องกับสมการบางเส้นในอวกาศในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า Oxyz

มาแก้กัน

ลองหาจุดใดก็ได้ของช่องว่างสามมิติ M แล้วสมมติว่าเส้น a 1 และ b 1 ผ่านมัน ขนานกับเส้นที่ตัดกัน a และ b ตามลำดับ จากนั้นมุมที่ต้องการระหว่างเส้นตัด a และ b จะเท่ากับมุมระหว่างเส้นตัด a 1 และ b 1 ตามคำจำกัดความ

ดังนั้น เรายังคงต้องหามุมระหว่างเส้นตัดกัน a 1 และ b 1 ในการใช้สูตรการหามุมระหว่างเส้นสองเส้นที่ตัดกันในอวกาศ เราต้องรู้พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a 1 และ b 1

เราจะได้รับพวกเขาได้อย่างไร และมันง่ายมาก คำจำกัดความของเวกเตอร์การกำกับของเส้นตรงช่วยให้เราสามารถระบุได้ว่าชุดของเวกเตอร์การกำกับของเส้นตรงคู่ขนานตรงกัน ดังนั้น เนื่องจากเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a 1 และ b 1 เราจึงหาเวกเตอร์ทิศทางได้ และ เส้นตรง a และ b ตามลำดับ

ดังนั้น, มุมระหว่างสองเส้นตัดกัน a และ b คำนวณโดยสูตร
, ที่ไหน และ คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a และ b ตามลำดับ

สูตรหาโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นเอียง a และ b มีรูป .

ให้คุณหาไซน์ของมุมระหว่างเส้นเบ้ ถ้าทราบโคไซน์: .

ยังคงวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หามุมระหว่างเส้นเอียง a และ b ซึ่งถูกกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ด้วยสมการ และ .

การตัดสินใจ.

สมการบัญญัติของเส้นตรงในอวกาศช่วยให้คุณกำหนดพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงนี้ได้ทันที - กำหนดโดยตัวเลขในตัวส่วนของเศษส่วน กล่าวคือ . สมการพาราเมตริกของเส้นตรงในอวกาศยังทำให้สามารถเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางได้ทันที ซึ่งเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้าพารามิเตอร์ กล่าวคือ - เวกเตอร์ทิศทางตรง . ดังนั้นเราจึงมีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อใช้สูตรโดยคำนวณมุมระหว่างเส้นเอียง:

ตอบ:

มุมระหว่างเส้นเอียงที่กำหนดคือ

ตัวอย่าง.

ค้นหาไซน์และโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นเอียงที่ขอบ AD และ BC ของพีระมิด ABCD อยู่ หากทราบพิกัดของจุดยอด:

การตัดสินใจ.

เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตัด AD และ BC คือเวกเตอร์และ มาคำนวณพิกัดเป็นความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์:

ตามสูตร เราสามารถคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นเอียงที่กำหนดได้:

ตอนนี้เราคำนวณไซน์ของมุมระหว่างเส้นเอียง:

ตอบ:

โดยสรุป เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นต้องหามุมระหว่างเส้นเบ้ และต้องป้อนระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอย่างอิสระ

ตัวอย่าง.

กำหนดให้ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน โดยที่ AB=3 , AD=2 และ AA 1 =7 หน่วย จุด E อยู่บนขอบ AA 1 และหารสัมพันธ์กับ 5 ถึง 2 นับจากจุด A จงหามุมระหว่างเส้นเอียง BE และ A 1 C

การตัดสินใจ.

เพราะซี่โครง ทรงลูกบาศก์ที่จุดยอดจุดเดียวตั้งฉากกัน จะสะดวกที่จะแนะนำระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และกำหนดมุมระหว่างเส้นตัดกันที่ระบุโดยวิธีพิกัดผ่านมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้

ขอแนะนำระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ดังนี้ ให้จุดกำเนิดตรงกับจุดยอด A แกน Ox ตรงกับเส้น AD แกน Oy กับเส้น AB และแกน Oz กับเส้น AA 1

จากนั้นจุด B มีพิกัด จุด E - (หากจำเป็น ดูบทความ) จุด A 1 - และจุด C - จากพิกัดของจุดเหล่านี้ เราสามารถคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ และ . เรามี , .

มันยังคงใช้สูตรในการหามุมระหว่างเส้นเอียงตามพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง:

ตอบ:

บรรณานุกรม.

• Atanasyan L.S. , Butuzov V.F. , Kadomtsev S.B. , Kiseleva L.S. , Poznyak E.G. เรขาคณิต. หนังสือเรียนสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 10-11
• Pogorelov A.V. เรขาคณิต หนังสือเรียน ป.7-11 ของสถานศึกษา
• Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น เล่มที่หนึ่ง: องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์
• Ilyin V.A. , Poznyak E.G. เรขาคณิตวิเคราะห์.

การจัดเรียงเส้นตรงสองเส้นร่วมกันในช่องว่าง

การจัดเรียงร่วมกันของสองบรรทัดและพื้นที่นั้นมีลักษณะที่เป็นไปได้สามประการต่อไปนี้

เส้นอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วม - เส้นขนาน

เส้นอยู่ในระนาบเดียวกันและมีจุดร่วมหนึ่งจุด - เส้นตัดกัน

ในอวกาศ เส้นตรงสองเส้นยังคงอยู่ในลักษณะที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เส้นดังกล่าวเรียกว่าตัดกัน (ไม่ตัดกันและไม่ขนานกัน)

ตัวอย่าง:

ปัญหา 434 สามเหลี่ยม ABC อยู่ในระนาบ a

สามเหลี่ยม ABC อยู่ในระนาบ และจุด D ไม่ได้อยู่ในระนาบนี้ จุด M, N และ K ตามลำดับ จุดกึ่งกลางของกลุ่ม DA, DB และ DC

ทฤษฎีบท.หากเส้นหนึ่งในสองเส้นอยู่ในระนาบหนึ่ง และอีกเส้นตัดกันระนาบนี้กับจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นแรก เส้นเหล่านี้ตัดกัน

ในรูป 26 เส้น a อยู่ในระนาบ และเส้น c ตัดกันที่จุด N เส้น a และ c ตัดกัน

ทฤษฎีบท.ผ่านแต่ละเส้นตัดกันสองเส้น จะมีระนาบเดียวที่ขนานไปกับอีกเส้นหนึ่ง

ในรูป 26 เส้น a และ b ตัดกัน Cheren เส้นตรงและระนาบ a (alpha) || b (เส้นตรง a1 || b ระบุไว้ในระนาบ B (เบต้า)

ทฤษฎีบท 3.2

เส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สามขนานกัน

คุณสมบัตินี้เรียกว่า สกรรมกริยาเส้นขนาน.

การพิสูจน์

ให้เส้น a และ b ขนานกับเส้น c พร้อมกัน สมมติว่า a ไม่ขนานกับ b แล้วเส้น a ตัดกับเส้น b ในบางจุด A ที่ไม่อยู่บนเส้น c โดยสมมติฐาน ดังนั้นเราจึงมีสองเส้น a และ b ผ่านจุด A ที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด c และขนานกับมันพร้อมกัน สิ่งนี้ขัดแย้งกับความจริง 3.1 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 3.3

ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่ในเส้นที่กำหนด สามารถลากเส้นเดียวและเพียงเส้นเดียวขนานกับเส้นที่กำหนด

การพิสูจน์

ให้ (AB ) เป็นเส้นที่กำหนด และ C เป็นจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรง เส้น AC แบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง จุด B อยู่ในหนึ่งในนั้น ตามความจริง 3.2 เป็นไปได้ที่จะเลื่อนมุม (ACD ) เท่ากับมุม (CAB ) จากรังสี C A ไปยังระนาบอื่น ACD และ CAB เป็นเส้นขวางภายในเท่ากันโดยอยู่ที่เส้น AB และ CD และซีแคนต์ (AC ) จากนั้นโดยอาศัยทฤษฎีบท 3.1 (AB ) || (ซีดี). โดยคำนึงถึงสัจพจน์ 3.1 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คุณสมบัติของเส้นคู่ขนานถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้ ผกผันกับทฤษฎีบท 3.1

ทฤษฎีบท 3.4

ถ้าเส้นที่สามตัดกันสองเส้นขนานกัน มุมภายในที่ตัดกันจะเท่ากัน

การพิสูจน์

ให้ (AB ) || (ซีดี). สมมติว่า ACD ≠ BAC . ลากเส้น AE ผ่านจุด A เพื่อให้ EAC = ACD แต่แล้วโดยทฤษฎีบท 3.1 (AE ) || (CD ) และตามเงื่อนไข - (AB ) || (ซีดี). ตามทฤษฎีบท 3.2 (AE ) || (เอบี). สิ่งนี้ขัดแย้งกับทฤษฎีบท 3.3 ตามที่ผ่านจุด A ไม่ได้นอนบนเส้น ซีดี เราสามารถวาดเส้นเดียวขนานไปกับมัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

รูปที่ 3.3.1.

บนพื้นฐานของทฤษฎีบทนี้ คุณสมบัติดังต่อไปนี้สามารถพิสูจน์ได้ง่าย

ถ้าเส้นที่สามตัดกันสองเส้นขนานกัน มุมที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน

ถ้าเส้นที่สามตัดกันสองเส้นขนานกัน ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในจะเท่ากับ 180°

ข้อพิสูจน์ 3.2

หากเส้นตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง ก็จะตั้งฉากกับเส้นอีกเส้นหนึ่งด้วย

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมทำให้เราแนะนำแนวคิดใหม่ต่อไปนี้ ซึ่งจำเป็นต่อในบทที่ 11

ทั้งสองคานเรียกว่า กำกับอย่างเท่าเทียมกัน, หากมีเส้นดังกล่าวซึ่งประการแรกพวกมันตั้งฉากกับเส้นนี้และประการที่สองรังสีอยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวกับเส้นนี้

ทั้งสองคานเรียกว่า ทิศตรงข้ามหากแต่ละรายการมีทิศทางเท่ากันโดยมีรังสีประกอบซึ่งกันและกัน

เราจะระบุรังสี AB และ CD ที่มีทิศทางเท่ากัน: และรังสีที่กำกับตรงข้าม AB และ CD -

รูปที่ 3.3.2

สัญญาณของเส้นตัดกัน

หากเส้นใดเส้นหนึ่งในสองเส้นอยู่ในระนาบหนึ่ง และอีกเส้นตัดกับระนาบนี้ ณ จุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นแรก เส้นเหล่านี้จะเบ้

กรณีการจัดเรียงเส้นร่วมกันในช่องว่าง

1. มีสี่กรณีที่แตกต่างกันของตำแหน่งของสองบรรทัดในอวกาศ:

   
   

   - ทางตัดกันโดยตรงคือ อย่านอนในระนาบเดียวกัน

   – เส้นตัดกันเช่น อยู่ในระนาบเดียวกันและมีจุดร่วมหนึ่งจุด

   - ขนานตรงคือ นอนในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน

   - เส้นตรง

   
   

   ให้เราได้สัญญาณของกรณีเหล่านี้ของการจัดเรียงร่วมกันของเส้นที่กำหนดโดยสมการบัญญัติ

   
   
   ที่ไหน เป็นจุดที่เป็นของเส้นและ ตามลำดับ a- เวกเตอร์ทิศทาง (รูปที่ 4.34) แสดงโดยเวกเตอร์เชื่อมต่อจุดที่กำหนด
   
   

   กรณีข้างต้นของการจัดเรียงบรรทัดร่วมกันสอดคล้องกับคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

   
   

   – เวกเตอร์ตรงและตัดขวางไม่ใช่ระนาบเดียวกัน

   
   

   – เส้นและเวกเตอร์ตัดกันเป็นระนาบเดียวกัน แต่เวกเตอร์ไม่เป็นเส้นตรง

   
   

   – เวกเตอร์แบบเส้นตรงและแบบขนานเป็นแบบคอลลิเนียร์ แต่เวกเตอร์ไม่เป็นแบบคอลลิเนียร์

   
   

   เป็นเส้นตรงและเวกเตอร์คู่กันคือ collinear

   
   

   เงื่อนไขเหล่านี้สามารถเขียนได้โดยใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสมและเวกเตอร์ จำได้ว่าผลคูณผสมของเวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมด้านขวาหาได้จากสูตร:

   
   
   และตัดกันดีเทอร์มีแนนต์เท่ากับศูนย์ และแถวที่สองและสามไม่เป็นสัดส่วน กล่าวคือ
   

   - เส้นตรงและแถวที่สองและแถวที่สามขนานกันของดีเทอร์มีแนนต์เป็นสัดส่วน กล่าวคือ และสองบรรทัดแรกไม่เป็นสัดส่วน กล่าวคือ

   
   

   เป็นเส้นตรงและประจวบกัน ทุกแถวของดีเทอร์มีแนนต์เป็นสัดส่วน กล่าวคือ

หลักฐานของเกณฑ์สำหรับเส้นเอียง

ถ้าเส้นใดเส้นหนึ่งในสองเส้นอยู่ในระนาบ และอีกเส้นตัดกับระนาบนี้ ณ จุดที่ไม่ได้เป็นของเส้นแรก เส้นตรงสองเส้นนี้ตัดกัน

การพิสูจน์

ให้ a เป็นของ α, b ตัดกัน α = A, A ไม่เป็นของ a (รูปที่ 2.1.2) สมมติว่าเส้น a และ b ไม่ตัดกัน นั่นคือ ตัดกัน จากนั้นก็มีระนาบ β ซึ่งเส้น a และ b อยู่ เส้น a และจุด A อยู่ในระนาบนี้ β เนื่องจากเส้น a และจุด A ด้านนอก จึงกำหนดระนาบเฉพาะ ดังนั้น β = α แต่ b นำไปสู่ ​​β และ b ไม่ได้เป็นของ α ดังนั้นความเท่าเทียมกัน β = α จึงเป็นไปไม่ได้