บทที่ 1 ตัวแปรและฟังก์ชัน

§1.1. ตัวเลขจริง
ความคุ้นเคยครั้งแรกกับจำนวนจริงเกิดขึ้นใน หลักสูตรโรงเรียนคณิตศาสตร์. จำนวนจริงใดๆ จะแสดงด้วยเศษส่วนทศนิยมที่มีจำกัดหรืออนันต์

จำนวนจริง (ของจริง) แบ่งออกเป็นสองคลาส: คลาสของจำนวนตรรกยะและคลาสของจำนวนอตรรกยะ มีเหตุผลเรียกตัวเลขที่มีลักษณะเหมือน โดยที่ มและ น- จำนวนเต็มร่วมกัน จำนวนเฉพาะ, แต่
. (เซตของจำนวนตรรกยะเขียนแทนด้วยตัวอักษร คิว). จำนวนจริงที่เหลือเรียกว่า ไม่มีเหตุผล. สรุปตัวเลขถูกแทนด้วยเศษส่วนคาบจำกัดหรืออนันต์ (เหมือนกับ เศษส่วนทั่วไป) จากนั้นตัวเลขเหล่านั้นและเฉพาะจำนวนจริงเหล่านั้นเท่านั้นที่สามารถแสดงด้วยเศษส่วนที่ไม่ต่อเนื่องเป็นอนันต์จะไม่ลงตัว

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข
- มีเหตุผลและ
,
,
เป็นต้น เป็นจำนวนอตรรกยะ

จำนวนจริงยังสามารถแบ่งออกเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต - รากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ที่เป็นตรรกยะ (ซึ่งรวมถึง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนตรรกยะทั้งหมด - รากของสมการ
) - และเหนือธรรมชาติ - ที่เหลือทั้งหมด (เช่น ตัวเลข
และคนอื่น ๆ).

เซตของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนจริงทั้งหมดแสดงตามลำดับดังนี้: นู๋Z, R
(อักษรตัวแรกของคำว่า Naturel, Zahl, Reel)

§1.2. รูปภาพของตัวเลขจริงบน แกนตัวเลข. ช่วงเวลา

ในทางเรขาคณิต (เพื่อความชัดเจน) จำนวนจริงจะแสดงด้วยจุดบนเส้นตรงอนันต์ (ทั้งสองทิศทาง) เรียกว่า ตัวเลข แกน. เพื่อจุดประสงค์นี้ จุดจะถูกนำไปที่เส้นที่พิจารณา (จุดอ้างอิงคือจุดที่ 0) ทิศทางที่เป็นบวกจะถูกระบุโดยลูกศร (โดยปกติไปทางขวา) และเลือกหน่วยมาตราส่วนซึ่งถูกกันไว้ อย่างไม่มีกำหนดทั้งสองด้านของจุด 0 นี่คือวิธีการแสดงจำนวนเต็ม เมื่อต้องการแสดงตัวเลขที่มีทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง แต่ละส่วนจะต้องแบ่งออกเป็นสิบส่วน เป็นต้น ดังนั้น แต่ละจำนวนจริงจะถูกแทนด้วยจุดบนเส้นจำนวน ตรงกันข้ามทุกจุด
ตรงกับจำนวนจริงเท่ากับความยาวของเซกเมนต์
และถ่ายด้วยเครื่องหมาย "+" หรือ "-" ขึ้นอยู่กับว่าจุดนั้นอยู่ทางขวาหรือทางซ้ายของแหล่งกำเนิด ดังนั้น การโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งจึงถูกสร้างขึ้นระหว่างเซตของจำนวนจริงทั้งหมดกับเซตของจุดทั้งหมดของแกนตัวเลข คำว่า "จำนวนจริง" และ "จุดของแกนตัวเลข" ใช้เป็น คำพ้องความหมาย

เครื่องหมาย เราจะแสดงทั้งจำนวนจริงและจุดที่ตรงกับมัน ตัวเลขบวกอยู่ทางด้านขวาของจุด 0, ลบ - ทางซ้าย ถ้า
จากนั้นจุดบนแกนจริง อยู่ทางด้านซ้ายของจุด . ให้ประเด็น
ตรงกับตัวเลขแล้วเรียกเลขนั้นว่าพิกัดของจุดนั้นเขียนว่า
; บ่อยขึ้น จุดนั้นจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกับตัวเลข จุด 0 คือที่มาของพิกัด แกนยังเขียนแทนด้วยตัวอักษร (รูปที่ 1.1)

ข้าว. 1.1. แกนตัวเลข
ชุดเลขทั้งหมดโกหก ระหว่างตัวเลขที่กำหนดและเรียกว่าช่วงเวลาหรือช่วงเวลา ปลายทางอาจเป็นของเขาหรือไม่ก็ได้ ขอชี้แจงเรื่องนี้ อนุญาต
. ชุดตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไข
เรียกว่าช่วงเวลา (ในความหมายที่แคบ) หรือช่วงเวลาที่เปิดแสดงด้วยสัญลักษณ์
(รูปที่ 1.2)

ข้าว. 1.2. ช่วงเวลา
ที่รวบรวมตัวเลขต่างๆเช่นว่า
เรียกว่าช่วงปิด (ส่วน, ส่วน) และแสดงโดย
; บนแกนตัวเลขมีการทำเครื่องหมายดังนี้:

ข้าว. 1.3. ช่วงปิด
มันแตกต่างจากช่องว่างเปิดเพียงสองจุด (สิ้นสุด) และ . แต่ความแตกต่างนี้เป็นพื้นฐาน จำเป็น ดังที่เราจะเห็นในภายหลัง เช่น เมื่อศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชัน

ละเว้นคำว่า “ชุดของตัวเลขทั้งหมด (จุด) xเช่นนั้น " ฯลฯ เราทราบเพิ่มเติม:

และ
, หมายถึง
และ
ครึ่งเปิดหรือครึ่งปิด ช่วงเวลา (บางครั้ง: ครึ่งช่วง);

หรือ
วิธี:
หรือ
และเขียนว่า
หรือ
;

หรือ
วิธี
หรือ
และเขียนว่า
หรือ
;

, หมายถึง
เซตของจำนวนจริงทั้งหมด ป้าย
สัญลักษณ์ของ "อินฟินิตี้"; พวกเขาถูกเรียกว่าตัวเลขที่ไม่เหมาะสมหรือในอุดมคติ

§1.3. ค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูลัส) เบอร์จริง
คำนิยาม. ค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูล)เรียกว่าตัวเลขนั้นเอง ถ้า
หรือ
ถ้า
. ค่าสัมบูรณ์แสดงด้วยสัญลักษณ์ . ดังนั้น,

ตัวอย่างเช่น,
,
,
.

ทางเรขาคณิตหมายถึงระยะทางของจุด เอถึงที่มาของพิกัด หากเรามีจุดสองจุด และ แล้ว ระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้สามารถแสดงเป็น
(หรือ
). ตัวอย่างเช่น,
ระยะทางนั้น
.

คุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์

1. ตามมาจากนิยามว่า

,
, นั่นคือ
.

2. ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมและผลต่างไม่เกินผลรวมของค่าสัมบูรณ์:
.

1) ถ้า
, แล้ว
. 2) ถ้า
, แล้ว . ▲

3.
.

จากนั้นตามคุณสมบัติ 2:
, เช่น.
. ในทำนองเดียวกัน หากเราจินตนาการถึง
แล้วเราก็มาถึงความไม่เท่าเทียมกัน
▲

4.
– ตามคำจำกัดความ: พิจารณาคดี
และ
.

5.
โดยมีเงื่อนไขว่า
เดียวกันตามมาจากคำจำกัดความ

6. ความไม่เท่าเทียมกัน
,
, วิธี
. ความไม่เท่าเทียมกันนี้ถูกเติมเต็มโดยจุดที่อยู่ระหว่าง
และ
.

7. ความไม่เท่าเทียมกัน
เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน
, เช่น. . เป็นช่วงที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดความยาว
. มันถูกเรียกว่า
บริเวณใกล้เคียงของจุด (ตัวเลข) . ถ้า
แล้วย่านนั้นจึงเรียกว่าทะลุทะลวง: นี่หรือ
. (รูปที่ 1.4)

8.
จึงเป็นเหตุให้เกิดความไม่เท่าเทียมกัน
(
) เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน
หรือ
; และความไม่เท่าเทียมกัน
กำหนดชุดของคะแนนที่
, เช่น. เป็นจุดนอกเซกเมนต์
, อย่างแน่นอน:
และ
.

§1.4. แนวคิด การกำหนดบางอย่าง
ให้เราให้แนวคิดที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย สัญกรณ์จากทฤษฎีเซต ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่

1 . แนวคิด ชุดเป็นหนึ่งในพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ เบื้องต้น สากล - ดังนั้นจึงไม่สามารถกำหนดได้ สามารถอธิบายได้เท่านั้น (แทนที่ด้วยคำพ้องความหมาย): มันคือของสะสม, ของสะสม, ของบางอย่าง, สิ่งของ, รวมกันด้วยสัญญาณบางอย่าง วัตถุเหล่านี้เรียกว่า องค์ประกอบชุด ตัวอย่าง: เม็ดทรายจำนวนมากบนชายฝั่ง ดาวในจักรวาล นักเรียนในห้องเรียน รากของสมการ จุดของส่วน ชุดที่มีองค์ประกอบเป็นตัวเลขเรียกว่า ชุดตัวเลข. สำหรับชุดมาตรฐานบางชุด จะมีการแนะนำสัญลักษณ์พิเศษ เช่น นู๋,Z,ร-ดู§ 1.1.

อนุญาต อา- ตั้งค่าและ xเป็นองค์ประกอบ แล้วเราเขียน:
; อ่าน " xเป็นของ อา» (
เครื่องหมายรวมสำหรับองค์ประกอบ) ถ้าวัตถุ xไม่รวมอยู่ใน อาแล้วพวกเขาก็เขียน
; อ่านว่า: " xไม่เป็น อา". ตัวอย่างเช่น,
นู๋; 8,51นู๋; แต่ 8.51 R.

ถ้า xเป็นการกำหนดทั่วไปสำหรับองค์ประกอบของเซต อาแล้วพวกเขาก็เขียน
. หากเป็นไปได้ที่จะเขียนการกำหนดองค์ประกอบทั้งหมดให้เขียน
,
เป็นต้น ชุดที่ไม่มีองค์ประกอบเดียวเรียกว่าชุดว่างและแสดงด้วยสัญลักษณ์  เช่น เซตของราก (ของจริง) ของสมการ
มีอันที่ว่างเปล่า

ชุดเรียกว่า สุดท้ายถ้ามันประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัด อย่างไรก็ตาม ถ้าไม่ว่าจะถ่าย N อะไรก็ตาม ในชุด อามีองค์ประกอบมากกว่า N แล้ว อาเรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด set: มีองค์ประกอบมากมายในนั้น

ถ้าทุกองค์ประกอบของเซต ^อาเป็นของชุด บี, แล้ว เรียกว่าส่วนหรือเซตย่อยของเซต บีและเขียน
; อ่าน " อาบรรจุใน บี» (
มีเครื่องหมายรวมสำหรับชุด) ตัวอย่างเช่น, นู๋Zร.ถ้าและ
,แล้วเราว่าชุด อาและ บีเท่ากับและเขียน
. มิฉะนั้น เขียน
. ตัวอย่างเช่น if
, แ
ชุดรากของสมการ
, แล้ว .

เซตขององค์ประกอบของทั้งสองเซต อาและ บีเรียกว่า สมาคมกำหนดและเขียนแทน
(บางครั้ง
). เซตขององค์ประกอบที่เป็นของ and อาและ บี, ถูกเรียก จุดตัดกำหนดและเขียนแทน
. ชุดขององค์ประกอบทั้งหมดของชุด ^อาซึ่งไม่รวมอยู่ใน บี, ถูกเรียก ความแตกต่างกำหนดและเขียนแทน
. แผนผัง การดำเนินการเหล่านี้สามารถอธิบายได้ดังนี้:

หากสามารถกำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของเซตได้ พวกเขากล่าวว่าเซตเหล่านี้มีค่าเท่ากันและเขียน
. ชุดใดก็ได้ อาเทียบเท่ากับเซต ตัวเลขธรรมชาติ นู๋= เรียกว่า นับได้หรือ นับได้กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตเรียกว่านับได้ถ้าองค์ประกอบของมันสามารถนับได้ วางไว้ในอนันต์ รองลงมา
ซึ่งสมาชิกทั้งหมดมีความแตกต่างกัน:
ที่
และสามารถเขียนได้เป็น . เซตอนันต์อื่นๆ เรียกว่า นับไม่ได้. นับได้ ยกเว้นเซตเอง ยังไม่มีข้อความจะมีตัวอย่างเช่นชุด
, ซี.ปรากฎว่าเซตของเหตุผลทั้งหมดและ เลขพีชคณิตนับได้ และเซตที่เทียบเท่ากันของจำนวนอตรรกยะ เหนือธรรมชาติ จำนวนจริง และจุดของช่วงใดๆ จะนับไม่ได้ พวกเขากล่าวว่าอย่างหลังมีอำนาจของคอนตินิวอัม (อำนาจเป็นการสรุปแนวคิดของจำนวน (จำนวน) ขององค์ประกอบสำหรับเซตอนันต์

2 . ให้มีสองข้อความ สองข้อเท็จจริง: และ
. เครื่องหมาย
หมายถึง: "ถ้าจริงก็จริงและ" หรือ "ตาม", "หมายความว่ามีรากของสมการมีคุณสมบัติจากภาษาอังกฤษ มีอยู่- มีอยู่.

การบันทึก:

, หรือ
, หมายถึง: มี (อย่างน้อยหนึ่ง) วัตถุที่มีคุณสมบัติ . บันทึก
, หรือ
, หมายถึง: ทั้งหมดมีคุณสมบัติ . โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถเขียน:
และ .

ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์โดยละเอียด ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข. เราจะให้คำจำกัดความต่างๆ ของโมดูลัสของตัวเลข แนะนำสัญกรณ์ และให้ภาพประกอบกราฟิก ในกรณีนี้ เราจะพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของการหาโมดูลัสของตัวเลขตามคำจำกัดความ หลังจากนั้นเราจะแสดงรายการและปรับคุณสมบัติหลักของโมดูล ในตอนท้ายของบทความ เราจะพูดถึงวิธีการกำหนดและตำแหน่งของโมดูล จำนวนเชิงซ้อน.

การนำทางหน้า

โมดูลัสของตัวเลข - ความหมาย สัญกรณ์ และตัวอย่าง

ก่อนอื่นเราขอแนะนำ การกำหนดโมดูลัส. โมดูลของตัวเลข a จะถูกเขียนเป็น นั่นคือ ทางด้านซ้ายและด้านขวาของตัวเลข เราจะใส่เส้นแนวตั้งที่เป็นสัญลักษณ์ของโมดูล ลองยกตัวอย่างสองสามตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น โมดูโล -7 สามารถเขียนเป็น ; โมดูล 4,125 เขียนเป็น และโมดูลเขียนเป็น .

คำจำกัดความต่อไปนี้ของโมดูลอ้างอิงถึง และด้วยเหตุนี้ ถึง และจำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ ในส่วนที่เป็นส่วนประกอบของเซตของจำนวนจริง เราจะพูดถึงโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน

คำนิยาม.

โมดูลัสของ aเป็นตัวเลข a เอง ถ้า a เป็นจำนวนบวก หรือจำนวน −a อยู่ตรงข้ามกับตัวเลข a ถ้า a คือ ตัวเลขติดลบหรือ 0 ถ้า a=0

คำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขที่เปล่งออกมามักจะเขียนในรูปแบบต่อไปนี้ สัญกรณ์นี้หมายความว่า if a>0 , if a=0 , และ if a<0 .

บันทึกสามารถแสดงในรูปแบบที่กะทัดรัดยิ่งขึ้น . สัญกรณ์นี้หมายความว่าถ้า (a มากกว่าหรือเท่ากับ 0 ) และถ้า a<0 .

มีบันทึกด้วย . ในที่นี้ กรณีที่ควรจะอธิบาย a=0 แยกกัน ในกรณีนี้ เรามี แต่ −0=0 เนื่องจากศูนย์ถือเป็นตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับตัวมันเอง

มาเอากัน ตัวอย่างการหาโมดูลัสของจำนวนด้วยคำจำกัดความที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ลองหาโมดูลของตัวเลข 15 และ . มาเริ่มกันที่การค้นหา เนื่องจากหมายเลข 15 เป็นค่าบวก ตามคำจำกัดความ โมดูลัสของมันคือ เท่ากับจำนวนนี้เอง นั่นคือ . โมดูลัสของจำนวนคืออะไร? เนื่องจากเป็นจำนวนลบ โมดูลัสจึงเท่ากับจำนวนตรงข้ามกับตัวเลข นั่นคือ จำนวน . ทางนี้, .

ในบทสรุปของย่อหน้านี้ เราได้ให้ข้อสรุปหนึ่งข้อ ซึ่งสะดวกมากที่จะนำไปใช้ในทางปฏิบัติเมื่อค้นหาโมดูลัสของตัวเลข จากนิยามโมดูลัสของจำนวนนั้น ได้ดังนี้ โมดูลัสของตัวเลขเท่ากับจำนวนที่อยู่ใต้เครื่องหมายของโมดูลัสโดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมายและจากตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น จะเห็นได้ชัดเจนมาก ข้อความที่เปล่งออกมาอธิบายว่าทำไมโมดูลัสของตัวเลขจึงถูกเรียกว่า ค่าสัมบูรณ์ของจำนวน. ดังนั้นโมดูลัสของจำนวนหนึ่งและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจึงเป็นหนึ่งเดียวกัน

โมดูลัสของจำนวนตามระยะทาง

ในเชิงเรขาคณิต โมดูลัสของตัวเลขสามารถตีความได้ว่า ระยะทาง. มาเอากัน การกำหนดโมดูลัสของจำนวนในแง่ของระยะทาง.

คำนิยาม.

โมดูลัสของ aคือระยะทางจากจุดกำเนิดบนเส้นพิกัดถึงจุดที่สอดคล้องกับตัวเลข a

คำจำกัดความนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขที่ระบุในย่อหน้าแรก มาอธิบายประเด็นนี้กัน ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดที่ตรงกับจำนวนบวกเท่ากับจำนวนนี้ ศูนย์สอดคล้องกับจุดอ้างอิง ดังนั้นระยะทางจากจุดอ้างอิงถึงจุดที่มีพิกัด 0 เท่ากับศูนย์ (ไม่มีส่วนเดียวและไม่มีส่วนที่ประกอบขึ้นเป็นเศษส่วนของส่วนเดียวเพื่อให้ได้จากจุด O ไปยังจุดด้วย พิกัด 0). ระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัดเป็นลบจะเท่ากับจำนวนที่อยู่ตรงข้ามพิกัดของจุดที่กำหนด เนื่องจากจะเท่ากับระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนตรงข้าม

ตัวอย่างเช่น โมดูลัสของเลข 9 คือ 9 เนื่องจากระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัด 9 คือเก้า ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง จุดที่มีพิกัด −3.25 อยู่ที่ระยะ 3.25 จากจุด O ดังนั้น .

คำจำกัดความเสียงของโมดูลัสของตัวเลขเป็นกรณีพิเศษของการกำหนดโมดูลัสของผลต่างของตัวเลขสองตัว

คำนิยาม.

โมดูลัสผลต่างของตัวเลขสองตัว a และ b เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดของเส้นพิกัดที่มีพิกัด a และ b .

นั่นคือ หากกำหนดจุดบนเส้นพิกัด A(a) และ B(b) ระยะห่างจากจุด A ถึงจุด B จะเท่ากับโมดูลัสของผลต่างระหว่างตัวเลข a และ b หากเราใช้จุด O (จุดอ้างอิง) เป็นจุด B เราจะได้คำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขที่ระบุในตอนต้นของย่อหน้านี้

การหาโมดูลัสของตัวเลขผ่านรากที่สองของเลขคณิต

บางครั้งก็พบ การหาค่าโมดูลัสผ่านสแควร์รูทเลขคณิต.

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณโมดูลของตัวเลข −30 และยึดตามคำจำกัดความนี้ เรามี . ในทำนองเดียวกัน เราคำนวณโมดูลัสของสองในสาม: .

คำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขในแง่ของรากที่สองของเลขคณิตยังสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรกของบทความนี้ เอามาโชว์กัน ให้ a เป็นจำนวนบวก และให้ −a เป็นลบ แล้ว และ , ถ้า a=0 แล้ว .

คุณสมบัติของโมดูล

โมดูลมีผลคุณลักษณะหลายประการ - คุณสมบัติของโมดูล. ตอนนี้เราจะให้หลักและใช้กันมากที่สุด เมื่อพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้ เราจะอาศัยคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขในแง่ของระยะทาง

เริ่มจากคุณสมบัติของโมดูลที่ชัดเจนที่สุด − โมดูลัสของตัวเลขไม่สามารถเป็นจำนวนลบได้. ในรูปแบบตัวอักษร คุณสมบัตินี้มีรูปแบบสำหรับตัวเลข a ใดๆ คุณสมบัตินี้ง่ายต่อการพิสูจน์: โมดูลัสของตัวเลขคือระยะทาง และระยะทางไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนลบได้

ไปที่คุณสมบัติถัดไปของโมดูลกัน โมดูลัสของตัวเลขจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเลขนี้เป็นศูนย์. โมดูลัสของศูนย์เป็นศูนย์ตามคำจำกัดความ ศูนย์สอดคล้องกับจุดเริ่มต้น ไม่มีจุดอื่นบนเส้นพิกัดที่สอดคล้องกับศูนย์ เนื่องจากจำนวนจริงแต่ละจำนวนเชื่อมโยงกับจุดเดียวบนเส้นพิกัด ด้วยเหตุผลเดียวกัน ตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะสอดคล้องกับจุดอื่นที่ไม่ใช่จุดกำเนิด และระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดใดๆ ที่ไม่ใช่จุด O นั้นไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดสองจุดจะเท่ากับศูนย์หากจุดเหล่านี้ตรงกันเท่านั้น เหตุผลข้างต้นพิสูจน์ว่าโมดูลัสของศูนย์เท่านั้นที่เท่ากับศูนย์

ก้าวไปข้างหน้า. ตัวเลขตรงข้ามมีโมดูลเท่ากัน นั่นคือ สำหรับตัวเลข a ใดๆ อันที่จริง จุดสองจุดบนเส้นพิกัดซึ่งมีพิกัดเป็นตัวเลขตรงข้ามกันนั้นอยู่ห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าโมดูลของตัวเลขตรงข้ามกันนั้นเท่ากัน

คุณสมบัติโมดูลต่อไปคือ: โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขสองตัวเท่ากับผลคูณของโมดูลของตัวเลขเหล่านี้, นั่นคือ, . ตามคำจำกัดความ โมดูลัสของผลคูณของจำนวน a และ b อาจเป็น a b ถ้า หรือ −(a b) if ก็ได้ จากกฎการคูณจำนวนจริงที่ผลคูณของโมดูลของตัวเลข a และ b เท่ากับ a b , , หรือ −(a b) , if ซึ่งพิสูจน์คุณสมบัติที่พิจารณา

โมดูลัสของผลหารของการหาร a ด้วย b เท่ากับผลหารของการหารโมดูลัสของ a ด้วยโมดูลัสของ b, นั่นคือ, . ให้เราปรับคุณสมบัติของโมดูลนี้ เนื่องจากผลหารเท่ากับผลคูณ ดังนั้น . โดยอาศัยอํานาจเดิม เรามี . ยังคงเป็นเพียงการใช้ความเท่าเทียมกัน ซึ่งถูกต้องเนื่องจากคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข

คุณสมบัติโมดูลต่อไปนี้เขียนเป็นความไม่เท่าเทียมกัน: , a , b และ c เป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ ความไม่เท่าเทียมกันในการเขียนไม่มีอะไรมากไปกว่า อสมการสามเหลี่ยม. เพื่อให้ชัดเจน ให้พิจารณาจุด A(a) , B(b) , C(c) บนเส้นพิกัด และพิจารณาสามเหลี่ยม ABC ที่เสื่อมสภาพ ซึ่งมีจุดยอดอยู่บนเส้นเดียวกัน ตามคำจำกัดความ โมดูลัสของความแตกต่างจะเท่ากับความยาวของเซ็กเมนต์ AB - ความยาวของเซ็กเมนต์ AC และ - ความยาวของเซ็กเมนต์ CB เนื่องจากความยาวของด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เกินผลรวมของความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ ความเหลื่อมล้ำ ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันก็ถือ

ความไม่เท่าเทียมกันที่พิสูจน์แล้วนั้นพบได้บ่อยในรูปแบบนี้มาก . ความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรมักจะถือเป็นคุณสมบัติแยกต่างหากของโมดูลด้วยสูตร: “ โมดูลัสของผลรวมของตัวเลขสองตัวไม่เกินผลรวมของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้". แต่ความไม่เท่าเทียมกันจะตามมาโดยตรงจากความไม่เท่าเทียมกัน ถ้าเราใส่ −b แทน b เข้าไป และรับ c=0

โมดูลัสจำนวนเชิงซ้อน

ให้ การหาค่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน. ให้เราได้ จำนวนเชิงซ้อนเขียนในรูปแบบพีชคณิต โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริงบางจำนวน แทนตามลำดับ ส่วนจริงและจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนด z และเป็นหน่วยจินตภาพตามลำดับ

คำนิยาม.

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z=x+i y ถูกเรียกว่ารากที่สองของเลขคณิตของผลบวกกำลังสองของส่วนจำนวนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนด

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z แสดงเป็น จากนั้นคำนิยามเสียงของโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนสามารถเขียนได้เป็น .

คำจำกัดความนี้ช่วยให้คุณคำนวณโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ในรูปแบบพีชคณิต ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน ในตัวอย่างนี้ ส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนคือ และส่วนจินตภาพคือลบสี่ จากนั้น โดยนิยามโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน จะได้ .

การตีความทางเรขาคณิตของโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนสามารถกำหนดได้ในแง่ของระยะทาง โดยการเปรียบเทียบกับการตีความทางเรขาคณิตของโมดูลัสของจำนวนจริง

คำนิยาม.

โมดูลัสจำนวนเชิงซ้อน z คือระยะทางจากจุดเริ่มต้นของระนาบเชิงซ้อนถึงจุดที่สอดคล้องกับตัวเลข z ในระนาบนี้

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ระยะทางจากจุด O ถึงจุดที่มีพิกัด (x, y) จะพบเป็น , ดังนั้น , โดยที่ . ดังนั้น คำจำกัดความสุดท้ายของโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนจึงเห็นด้วยกับค่าแรก

คำจำกัดความนี้ยังช่วยให้คุณระบุได้ทันทีว่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z คืออะไร หากเขียนในรูปแบบตรีโกณมิติเป็น หรือในรูปแบบเลขชี้กำลัง ที่นี่ . ตัวอย่างเช่น โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน คือ 5 และโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนคือ

นอกจากนี้ยังสามารถเห็นได้ว่าผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนและคอนจูเกตเชิงซ้อนของมันให้ผลรวมของกำลังสองของส่วนจริงและส่วนจินตภาพ จริงๆ, . ความเท่าเทียมกันที่ได้ทำให้เราสามารถกำหนดโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนได้อีกหนึ่งคำ

คำนิยาม.

โมดูลัสจำนวนเชิงซ้อน z คือรากที่สองของเลขคณิตของผลิตภัณฑ์ของจำนวนนี้และคอนจูเกตเชิงซ้อนของมันคือ

โดยสรุป เราสังเกตว่าคุณสมบัติทั้งหมดของโมดูลที่กำหนดในส่วนย่อยที่เกี่ยวข้องนั้นใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนเช่นกัน

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya. เป็นต้น คณิตศาสตร์. ป.6 ตำราเรียนสำหรับสถานศึกษา
• Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราสำหรับ 8 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
• Lunts G.L. , Elsgolts L.E. หน้าที่ของตัวแปรที่ซับซ้อน: หนังสือเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย
• Privalov I.I. บทนำสู่ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

ลำดับที่ 1 คุณสมบัติของจำนวนตรรกยะ

 ความเป็นระเบียบ . สำหรับจำนวนตรรกยะใด ๆ และมีกฎที่อนุญาตให้คุณระบุระหว่างพวกเขาได้เพียงหนึ่งในสามเท่านั้น ความสัมพันธ์: "", "" หรือ "". กฎนี้เรียกว่า กฎการสั่งซื้อและมีสูตรดังนี้ จำนวนบวกสองจำนวนเชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนเต็มสองจำนวน ตัวเลขที่ไม่เป็นบวกสองตัวและสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับตัวเลขที่ไม่เป็นลบสองตัวและ ถ้าจู่ ๆ ไม่ใช่ลบ แต่เป็นลบแล้ว

ผลรวมของเศษส่วน

 การดำเนินการเพิ่มเติม . กฎการบวกซึ่งทำให้สอดคล้องกับจำนวนตรรกยะบางอย่าง ในกรณีนี้จะเรียกเลขนี้ว่า ผลรวม ตัวเลข u ถูกแทน และกระบวนการค้นหาตัวเลขนั้นเรียกว่า ผลรวม. กฎการรวมมีรูปแบบต่อไปนี้: .

 การดำเนินการคูณ . สำหรับจำนวนตรรกยะใด ๆ และมีสิ่งที่เรียกว่า กฎการคูณซึ่งทำให้สอดคล้องกับจำนวนตรรกยะบางอย่าง ในกรณีนี้จะเรียกเลขนี้ว่า งาน ตัวเลข ii แสดงไว้และกระบวนการค้นหาตัวเลขนั้นเรียกว่า การคูณ. กฎการคูณมีดังนี้: .

 ทรานซิทีฟ สั่งซื้อความสัมพันธ์สำหรับจำนวนตรรกยะสามเท่าใดๆ และถ้าน้อยกว่าก็น้อยกว่านั้นและถ้าเท่ากันและเท่ากันก็เท่ากับ

 การสับเปลี่ยน ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.จากการเปลี่ยนตำแหน่งของพจน์ที่เป็นตรรกยะ ผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลง

 สมาคม ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.ลำดับที่เพิ่มจำนวนตรรกยะสามตัวจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์

 ความพร้อมใช้งานศูนย์ . มีเลขตรรกยะ 0 ที่คงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ไว้เมื่อนำมาบวกกัน

 การปรากฏตัวของตัวเลขตรงข้ามจำนวนตรรกยะใด ๆ มีจำนวนตรรกยะตรงข้าม ซึ่งเมื่อรวมแล้วจะได้ 0

 การเปลี่ยนแปลงของการคูณโดยการเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยที่มีเหตุผล ผลิตภัณฑ์จะไม่เปลี่ยนแปลง

 ความสัมพันธ์ของการคูณลำดับการคูณจำนวนตรรกยะ 3 จำนวนนั้นไม่มีผลกับผลลัพธ์

 ความพร้อมใช้งานหน่วย . มีจำนวนตรรกยะ 1 ที่จะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ไว้เมื่อคูณ

 ความพร้อมใช้งานตัวเลขซึ่งกันและกัน . จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะผกผัน คูณด้วย 1

 การกระจาย การคูณด้วยการบวกการดำเนินการคูณนั้นสอดคล้องกับการดำเนินการเพิ่มเติมผ่านกฎหมายการจำหน่าย:

 การเชื่อมต่อของความสัมพันธ์ของการสั่งซื้อกับการดำเนินการของการบวกคุณสามารถเพิ่มจำนวนตรรกยะที่ด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการตรรกยะได้

 ความสัมพันธ์ของลำดับกับการดำเนินการของการคูณด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการจำนวนตรรกยะสามารถคูณด้วยจำนวนตรรกยะบวกเดียวกันได้

 สัจพจน์ของอาร์คิมิดีส . ไม่ว่าจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนเท่าใด คุณก็สามารถนำหน่วยจำนวนมากจนเกินผลรวมของพวกมันไปได้

ลำดับที่ 2 โมดูลัสของจำนวนจริง

คำนิยาม . โมดูลัสของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ x คือตัวของมันเอง: | x | = x; โมดูลัสของจำนวนจริงลบ x เป็นจำนวนตรงข้าม: I x | = - x.

เขียนโดยย่อดังนี้

2. ความหมายทางเรขาคณิตของโมดูลัสของจำนวนจริง

ให้เรากลับไปที่เซต R ของจำนวนจริงและเรขาคณิตของมัน รุ่น- เส้นตัวเลข เราทำเครื่องหมายจุดสองจุด a และ b บนเส้น (ตัวเลขจริงสองตัว a และ b) แทนด้วย (a, b) ระยะห่างระหว่างจุด a และ b (- ตัวอักษรของตัวอักษรกรีก "ro") ระยะนี้เท่ากับ b - a ถ้า b > a (รูปที่ 101) จะเท่ากับ a - b ถ้า a > b (รูปที่ 102) สุดท้ายจะเป็นศูนย์ถ้า a = b

ทั้งสามกรณีครอบคลุมอยู่ในสูตรเดียว:

b) สมการ | x + 3.2 | = 2 เขียนใหม่ในรูปแบบ | x - (- 3.2) | \u003d 2 และต่อไป (x, - 3.2) \u003d 2 มีสองจุดบนเส้นพิกัดที่ถูกลบออกจากจุด - 3.2 ที่ระยะทางเท่ากับ 2 สิ่งเหล่านี้คือจุด - 5.2 และ - 1.2 (รูปที่ . 104) สมการจึงมี 2 ราก: -5.2 และ -1.2

№4.ชุดตัวเลขจริง

การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะเรียกว่าเซต ถูกต้อง (หรือ วัสดุ ) ตัวเลข . เซตของจำนวนจริงแสดงด้วยสัญลักษณ์ R. อย่างชัดเจน, .

ตัวเลขจริงจะแสดงบน แกนตัวเลข โอ้จุด (รูป) ในกรณีนี้ จำนวนจริงแต่ละจำนวนจะสัมพันธ์กับจุดหนึ่งของแกนตัวเลข และแต่ละจุดของแกนจะสอดคล้องกับจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง

ดังนั้น แทนที่จะพูดว่า "จำนวนจริง" คุณสามารถพูดว่า "จุด" ได้

ลำดับที่ 5 ช่องว่างจำนวน

ประเภทช่องว่าง	ภาพเรขาคณิต	การกำหนด	การเขียนโดยใช้ความไม่เท่าเทียมกัน
ช่วงเวลา
ครึ่งช่วง
ครึ่งช่วง
เปิดคาน
เปิดคาน

ลำดับที่ 6 ฟังก์ชันตัวเลข

ให้กำหนดหมายเลข หากแต่ละหมายเลขกำหนดหมายเลขเดียว y,แล้วเราว่าในชุด ดีตัวเลข การทำงาน :

y = ฉ (x),

เยอะ ดีเรียกว่า ขอบเขตการทำงาน และเขียนว่า ดี (ฉ (x)). ชุดขององค์ประกอบทั้งหมด ฉ (x) ที่ไหนเรียกว่า ช่วงฟังก์ชัน และเขียนว่า อี (ฉ (x)).

ตัวเลข xมักจะเรียก อาร์กิวเมนต์ฟังก์ชัน หรือตัวแปรอิสระและตัวเลข y- ตัวแปรตามหรือที่จริงแล้ว การทำงาน ตัวแปร x. ตัวเลขที่ตรงกับค่าเรียกว่า ค่าฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งและแสดงว่าหรือ

การตั้งค่าฟังก์ชั่น ฉคุณต้องระบุ:

1) ขอบเขตของคำจำกัดความ ดี (ฉ (x));

2) ระบุกฎ ฉโดยที่แต่ละค่ามีความเกี่ยวข้องกับค่าบางอย่าง y = ฉ (x).

№7. ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผัน

ถ้าบทบาทของการโต้แย้งและหน้าที่กลับกัน ดังนั้น xกลายเป็นหน้าที่ของ y. ในกรณีนี้ พูดถึงฟังก์ชันใหม่ที่เรียกว่า ฟังก์ชันผกผันสมมติว่าเรามีฟังก์ชัน:

วี = ยู 2 ,

ที่ไหน ยู- อาร์กิวเมนต์ a วี- การทำงาน. ถ้าเรากลับบทบาทของพวกเขา เราจะได้ ยู เป็นหน้าที่ วี :

ถ้าเราแสดงอาร์กิวเมนต์ในทั้งสองฟังก์ชันเป็น x และฟังก์ชันผ่าน yแล้วเรามีสองหน้าที่:

ซึ่งแต่ละอันเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน

ตัวอย่าง. ฟังก์ชันเหล่านี้ผกผันซึ่งกันและกัน:

1) บาป xและ arcsin x, เนื่องจาก if y= บาป x, แล้ว x= อาร์คซิน y;

2) cos xและ Arccos x, เนื่องจาก if y= cos x, แล้ว x= Arccos y;

3) แทน xและ Arctan x, เนื่องจาก if y= ตาล x, แล้ว x= อาร์คตัน y;

4) อี xและ ln x, เนื่องจาก if y= อี x, แล้ว x=ln ย.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน- ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ตรงกันข้ามกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันมักประกอบด้วยหกฟังก์ชัน:

arcsine(สัญลักษณ์: อาร์ซิน)

อาร์คโคไซน์(สัญลักษณ์: arccos)

อาร์คแทนเจนต์(การกำหนด: arctg; ในวรรณคดีต่างประเทศ arctan)

อาร์คแทนเจนต์(การกำหนด: arcctg; ในวรรณคดีต่างประเทศ arccotan)

อาร์คเซแคนท์(สัญลักษณ์: arcsec)

arccosecant(การกำหนด: arccosec; ในวรรณคดีต่างประเทศ arccsc)

№8. ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น ฟังก์ชันพื้นฐาน

เป็นที่น่าสังเกตว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันนั้นมีหลายค่า (มีนัยสำคัญอนันต์) เมื่อทำงานกับค่าเหล่านี้จะใช้ค่าหลักที่เรียกว่า

№9. ตัวเลขที่ซับซ้อน

ถูกเขียนเป็น: a+ สอง. ที่นี่ เอและ ข – ตัวเลขจริง, แ ผม – หน่วยจินตภาพ กล่าวคือ ผม 2 = –1. ตัวเลข เอ เรียกว่า abscissa, แ ข – ประสานงานจำนวนเชิงซ้อน a+ บีไอ สองจำนวนเชิงซ้อน a+ สอง และ เอ – สอง เรียกว่า ผันตัวเลขที่ซับซ้อน

จำนวนจริงสามารถแสดงด้วยจุดบนเส้นตรง ดังที่แสดงในรูป โดยที่จุด A แทนหมายเลข 4 และจุด B แทนตัวเลข -5 หมายเลขเดียวกันสามารถแสดงโดยกลุ่ม OA, OB โดยคำนึงถึงความยาวไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทิศทางด้วย

แต่ละจุด M ของเส้นจำนวนแสดงจำนวนจริงบางจำนวน (เป็นเหตุเป็นผลถ้าส่วน OM เทียบได้กับหน่วยของความยาว และอตรรกยะถ้าเทียบกันไม่ได้) ดังนั้นจึงไม่มีที่ว่างบนเส้นจำนวนสำหรับจำนวนเชิงซ้อน

แต่จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงบนระนาบตัวเลขได้ ในการทำเช่นนี้ เราเลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ โดยมีสเกลเท่ากันทั้งสองแกน

จำนวนเชิงซ้อน a + b ฉันแสดงโดยจุด M ซึ่ง abscissa x เท่ากับ abscissa เอจำนวนเชิงซ้อน และพิกัดของ y เท่ากับพิกัด ขจำนวนเชิงซ้อน.

เรารู้แล้วว่าเซตของจำนวนจริง $R$ นั้นประกอบขึ้นจากจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะสามารถแสดงเป็นทศนิยมได้เสมอ (ระยะจำกัดหรืออนันต์)

จำนวนอตรรกยะเขียนเป็นทศนิยมอนันต์แต่ไม่เกิดซ้ำ

เซตของจำนวนจริง $R$ ยังรวมองค์ประกอบ $-\infty $ และ $+\infty $ ซึ่งอสมการ $-\infty

พิจารณาวิธีแสดงจำนวนจริง

เศษส่วนทั่วไป

เศษส่วนสามัญเขียนโดยใช้ตัวเลขธรรมชาติสองตัวและแถบเศษส่วนแนวนอน แถบเศษส่วนจะแทนที่เครื่องหมายหารจริง ๆ ตัวเลขใต้เส้นเป็นตัวส่วน (ตัวหาร) ตัวเลขเหนือเส้นคือตัวเศษ (ตัวหาร)

คำนิยาม

เศษส่วนเรียกว่าเหมาะสมถ้าตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ในทางกลับกัน เศษส่วนจะเรียกว่าไม่เหมาะสมหากตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน

สำหรับเศษส่วนธรรมดา มีกฎการเปรียบเทียบที่เรียบง่ายและชัดเจน ($m$,$n$,$p$ เป็นจำนวนธรรมชาติ):

1. ของเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ตัวที่มีตัวเศษมากกว่าจะมีค่ามากกว่า นั่นคือ $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ สำหรับ $m>n$;
2. ของเศษส่วนสองตัวที่มีตัวเศษเท่ากัน ตัวที่มีตัวส่วนน้อยกว่าจะมากกว่า นั่นคือ $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ สำหรับ $ m
3. เศษส่วนที่เหมาะสมจะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ เศษเกินหนึ่งเสมอ เศษส่วนที่ตัวเศษเท่ากับตัวส่วนเท่ากับหนึ่ง
4. เศษเกินใดๆ มีค่ามากกว่าเศษส่วนที่เหมาะสมใดๆ

เลขทศนิยม

สัญกรณ์ของตัวเลขทศนิยม (เศษส่วนทศนิยม) มีรูปแบบ: ทั้งส่วน, จุดทศนิยม, เศษส่วน สัญกรณ์ทศนิยมของเศษส่วนธรรมดาหาได้จากการหาร "มุม" ของตัวเศษด้วยตัวส่วน ซึ่งอาจส่งผลให้เกิดเศษส่วนทศนิยมจำกัดหรือเศษส่วนทศนิยมที่มีระยะเวลาไม่จำกัด

คำนิยาม

ตัวเลขเศษส่วนเรียกว่าตำแหน่งทศนิยม ในกรณีนี้ หลักแรกหลังจุดทศนิยมเรียกว่า หลักสิบ หลักที่สอง - หลักร้อย หลักสาม - หลักพัน ฯลฯ

ตัวอย่าง 1

เรากำหนดค่าของเลขทศนิยม 3.74 เราได้รับ: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $

สามารถปัดเศษทศนิยมได้ ในกรณีนี้ คุณต้องระบุตัวเลขที่จะทำการปัดเศษ

กฎการปัดเศษมีดังนี้:

1. ตัวเลขทั้งหมดทางด้านขวาของตัวเลขนี้จะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ (หากตัวเลขเหล่านี้อยู่ก่อนจุดทศนิยม) หรือทิ้งไป (หากตัวเลขเหล่านี้อยู่หลังจุดทศนิยม)
2. หากหลักแรกตามหลังตัวเลขที่กำหนดน้อยกว่า 5 ตัวเลขของหลักนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง
3. หากหลักแรกตามหลังหลักที่กำหนดคือ 5 ตัวขึ้นไป ตัวเลขของหลักนี้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก

ตัวอย่างที่ 2

1. ลองปัดเศษจำนวน 17302 เป็นพันที่ใกล้ที่สุด: 17000
2. ลองปัดเศษตัวเลข 17378 เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด: 17400
3. ลองปัดเศษตัวเลข 17378.45 เป็นสิบ: 17380
4. ลองปัดเศษตัวเลข 378.91434 เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด: 378.91
5. ลองปัดเศษตัวเลข 378.91534 เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด: 378.92

การแปลงเลขทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วม

กรณีที่ 1

ตัวเลขทศนิยมแสดงถึงส่วนสุดท้าย ทศนิยม.

วิธีการแปลงแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2

เรามี: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $

นำไปสู่ ตัวส่วนร่วมและเราได้รับ:

เศษส่วนสามารถลดได้: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $

กรณีที่ 2

เลขทศนิยมเป็นทศนิยมที่เกิดซ้ำแบบไม่จำกัด

วิธีการแปลงขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนที่เป็นคาบของเศษส่วนทศนิยมแบบคาบถือได้ว่าเป็นผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงแบบอนันต์

ตัวอย่างที่ 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $ สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.74$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.01$

ตัวอย่างที่ 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.08$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.1$

ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงแบบอนันต์คำนวณโดยสูตร $s=\frac(a)(1-q) $ โดยที่ $a$ เป็นเทอมแรกและ $q$ เป็นตัวหารของความก้าวหน้า $ \left (0

ตัวอย่างที่ 6

ลองแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นงวด $0,\left(72\right)$ ให้เป็นเศษส่วนธรรมดากัน

สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.72$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.01$ เราได้รับ: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11)$. ดังนั้น $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

ตัวอย่าง 7

มาแปลงเศษส่วนทศนิยมที่มีระยะเวลาไม่สิ้นสุด $0.5\left(3\right)$ เป็นเศษส่วนธรรมดากัน

สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.03$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.1$ เราได้รับ: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.

ดังนั้น $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30) ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

จำนวนจริงสามารถแสดงด้วยจุดบนเส้นจำนวน

ในกรณีนี้ เราเรียกแกนตัวเลขว่าเส้นตรงอนันต์ โดยเลือกจุดเริ่มต้น (จุด $O$) ทิศทางบวก (ระบุด้วยลูกศร) และมาตราส่วน (เพื่อแสดงค่า)

มีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนจริงทั้งหมดและจุดทั้งหมดของแกนตัวเลข แต่ละจุดสอดคล้องกับตัวเลขเดี่ยว และในทางกลับกัน ตัวเลขแต่ละตัวสอดคล้องกับจุดเดียว ดังนั้นเซตของจำนวนจริงจึงมีความต่อเนื่องและไม่มีที่สิ้นสุดในลักษณะเดียวกับแกนจำนวนที่ต่อเนื่องและไม่มีที่สิ้นสุด

เซตย่อยของเซตจำนวนจริงบางเซตเรียกว่าช่วงตัวเลข องค์ประกอบของช่วงตัวเลขคือตัวเลข $x\in R$ ที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันบางอย่าง ให้ $a\in R$, $b\in R$ และ $a\le b$ ในกรณีนี้ ประเภทของช่องว่างอาจเป็นดังนี้:

1. ช่วงเวลา $\left(a,\; b\right)$. ในเวลาเดียวกัน $ a
2. เซ็กเมนต์ $\left$ นอกจากนี้ $a\le x\le b$
3. ครึ่งส่วนหรือครึ่งช่วง $\left$ ในเวลาเดียวกัน $ a \le x
4. ช่วงอนันต์ เช่น $a

สิ่งที่สำคัญอย่างยิ่งก็คือช่วงเวลาชนิดหนึ่งที่เรียกว่าย่านใกล้จุด ย่านของจุดที่กำหนด $x_(0) \in R$ เป็นช่วงที่กำหนด $\left(a,\; b\right)$ ที่มีจุดนี้อยู่ภายในตัวมันเอง นั่นคือ $a 0$ - รัศมีที่ 10

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวน

ค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูลัส) ของจำนวนจริง $x$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ $\left|x\right|$ กำหนดโดยสูตร: $\left|x\right|=\left\(\ Begin(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm on)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm on)\; \; x

ในเชิงเรขาคณิต $\left|x\right|$ หมายถึงระยะห่างระหว่างจุด $x$ และ 0 บนแกนจริง

คุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์:

1. มันตามมาจากคำจำกัดความที่ว่า $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. สำหรับโมดูลัสของผลรวมและสำหรับโมดูลัสของผลต่างของตัวเลขสองตัว อสมการ $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ ซ้าย|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ และ $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. โมดูลัสของผลิตภัณฑ์และโมดูลัสของผลหารของตัวเลขสองตัวตรงตามความเท่าเทียมกัน $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ and $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

ตามคำจำกัดความของค่าสัมบูรณ์สำหรับจำนวน $a>0$ โดยพลการ เราสามารถสร้างสมมูลของอสมการคู่ต่อไปนี้ได้:

1. ถ้า $ \left|x\right|
2. ถ้า $\left|x\right|\le a$ แล้ว $-a\le x\le a$;
3. ถ้า $\left|x\right|>a$ แล้ว $xa$;
4. ถ้า $\left|x\right|\ge a$ แล้ว $x\le -a$ หรือ $x\ge a$

ตัวอย่างที่ 8

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน $\left|2\cdot x+1\right|

ความไม่เท่าเทียมกันนี้เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน $-7

จากที่นี่เราได้รับ: $-8

เรารู้แล้วว่าเซตของจำนวนจริง $R$ นั้นประกอบขึ้นจากจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะสามารถแสดงเป็นทศนิยมได้เสมอ (ระยะจำกัดหรืออนันต์)

จำนวนอตรรกยะเขียนเป็นทศนิยมอนันต์แต่ไม่เกิดซ้ำ

เซตของจำนวนจริง $R$ ยังรวมองค์ประกอบ $-\infty $ และ $+\infty $ ซึ่งอสมการ $-\infty

พิจารณาวิธีแสดงจำนวนจริง

เศษส่วนทั่วไป

เศษส่วนสามัญเขียนโดยใช้ตัวเลขธรรมชาติสองตัวและแถบเศษส่วนแนวนอน แถบเศษส่วนจะแทนที่เครื่องหมายหารจริง ๆ ตัวเลขใต้เส้นเป็นตัวส่วน (ตัวหาร) ตัวเลขเหนือเส้นคือตัวเศษ (ตัวหาร)

คำนิยาม

เศษส่วนเรียกว่าเหมาะสมถ้าตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ในทางกลับกัน เศษส่วนจะเรียกว่าไม่เหมาะสมหากตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน

สำหรับเศษส่วนธรรมดา มีกฎการเปรียบเทียบที่เรียบง่ายและชัดเจน ($m$,$n$,$p$ เป็นจำนวนธรรมชาติ):

1. ของเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ตัวที่มีตัวเศษมากกว่าจะมีค่ามากกว่า นั่นคือ $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ สำหรับ $m>n$;
2. ของเศษส่วนสองตัวที่มีตัวเศษเท่ากัน ตัวที่มีตัวส่วนน้อยกว่าจะมากกว่า นั่นคือ $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ สำหรับ $ m
3. เศษส่วนที่เหมาะสมจะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ เศษเกินหนึ่งเสมอ เศษส่วนที่ตัวเศษเท่ากับตัวส่วนเท่ากับหนึ่ง
4. เศษเกินใดๆ มีค่ามากกว่าเศษส่วนที่เหมาะสมใดๆ

เลขทศนิยม

สัญกรณ์ของเลขทศนิยม (เศษส่วนทศนิยม) มีรูปแบบ: ส่วนจำนวนเต็ม จุดทศนิยม ส่วนเศษส่วน สัญกรณ์ทศนิยมของเศษส่วนธรรมดาหาได้จากการหาร "มุม" ของตัวเศษด้วยตัวส่วน ซึ่งอาจส่งผลให้เกิดเศษส่วนทศนิยมจำกัดหรือเศษส่วนทศนิยมที่มีระยะเวลาไม่จำกัด

คำนิยาม

ตัวเลขเศษส่วนเรียกว่าตำแหน่งทศนิยม ในกรณีนี้ หลักแรกหลังจุดทศนิยมเรียกว่า หลักสิบ หลักที่สอง - หลักร้อย หลักสาม - หลักพัน ฯลฯ

ตัวอย่าง 1

เรากำหนดค่าของเลขทศนิยม 3.74 เราได้รับ: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $

สามารถปัดเศษทศนิยมได้ ในกรณีนี้ คุณต้องระบุตัวเลขที่จะทำการปัดเศษ

กฎการปัดเศษมีดังนี้:

1. ตัวเลขทั้งหมดทางด้านขวาของตัวเลขนี้จะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ (หากตัวเลขเหล่านี้อยู่ก่อนจุดทศนิยม) หรือทิ้งไป (หากตัวเลขเหล่านี้อยู่หลังจุดทศนิยม)
2. หากหลักแรกตามหลังตัวเลขที่กำหนดน้อยกว่า 5 ตัวเลขของหลักนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง
3. หากหลักแรกตามหลังหลักที่กำหนดคือ 5 ตัวขึ้นไป ตัวเลขของหลักนี้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหลัก

ตัวอย่างที่ 2

1. ลองปัดเศษจำนวน 17302 เป็นพันที่ใกล้ที่สุด: 17000
2. ลองปัดเศษตัวเลข 17378 เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด: 17400
3. ลองปัดเศษตัวเลข 17378.45 เป็นสิบ: 17380
4. ลองปัดเศษตัวเลข 378.91434 เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด: 378.91
5. ลองปัดเศษตัวเลข 378.91534 เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด: 378.92

การแปลงเลขทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วม

กรณีที่ 1

ตัวเลขทศนิยมคือจุดสิ้นสุดของทศนิยม

วิธีการแปลงแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2

เรามี: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $

ลดให้เป็นตัวส่วนร่วมและรับ:

เศษส่วนสามารถลดได้: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $

กรณีที่ 2

เลขทศนิยมเป็นทศนิยมที่เกิดซ้ำแบบไม่จำกัด

วิธีการแปลงขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนที่เป็นคาบของเศษส่วนทศนิยมแบบคาบถือได้ว่าเป็นผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงแบบอนันต์

ตัวอย่างที่ 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $ สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.74$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.01$

ตัวอย่างที่ 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.08$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.1$

ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงแบบอนันต์คำนวณโดยสูตร $s=\frac(a)(1-q) $ โดยที่ $a$ เป็นเทอมแรกและ $q$ เป็นตัวหารของความก้าวหน้า $ \left (0

ตัวอย่างที่ 6

ลองแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นงวด $0,\left(72\right)$ ให้เป็นเศษส่วนธรรมดากัน

สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.72$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.01$ เราได้รับ: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11)$. ดังนั้น $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

ตัวอย่าง 7

มาแปลงเศษส่วนทศนิยมที่มีระยะเวลาไม่สิ้นสุด $0.5\left(3\right)$ เป็นเศษส่วนธรรมดากัน

สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าคือ $a=0.03$ ตัวหารของความก้าวหน้าคือ $q=0.1$ เราได้รับ: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.

ดังนั้น $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30) ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

จำนวนจริงสามารถแสดงด้วยจุดบนเส้นจำนวน

ในกรณีนี้ เราเรียกแกนตัวเลขว่าเส้นตรงอนันต์ โดยเลือกจุดเริ่มต้น (จุด $O$) ทิศทางบวก (ระบุด้วยลูกศร) และมาตราส่วน (เพื่อแสดงค่า)

มีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนจริงทั้งหมดและจุดทั้งหมดของแกนตัวเลข แต่ละจุดสอดคล้องกับตัวเลขเดี่ยว และในทางกลับกัน ตัวเลขแต่ละตัวสอดคล้องกับจุดเดียว ดังนั้นเซตของจำนวนจริงจึงมีความต่อเนื่องและไม่มีที่สิ้นสุดในลักษณะเดียวกับแกนจำนวนที่ต่อเนื่องและไม่มีที่สิ้นสุด

เซตย่อยของเซตจำนวนจริงบางเซตเรียกว่าช่วงตัวเลข องค์ประกอบของช่วงตัวเลขคือตัวเลข $x\in R$ ที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันบางอย่าง ให้ $a\in R$, $b\in R$ และ $a\le b$ ในกรณีนี้ ประเภทของช่องว่างอาจเป็นดังนี้:

1. ช่วงเวลา $\left(a,\; b\right)$. ในเวลาเดียวกัน $ a
2. เซ็กเมนต์ $\left$ นอกจากนี้ $a\le x\le b$
3. ครึ่งส่วนหรือครึ่งช่วง $\left$ ในเวลาเดียวกัน $ a \le x
4. ช่วงอนันต์ เช่น $a

สิ่งที่สำคัญอย่างยิ่งก็คือช่วงเวลาชนิดหนึ่งที่เรียกว่าย่านใกล้จุด ย่านของจุดที่กำหนด $x_(0) \in R$ เป็นช่วงที่กำหนด $\left(a,\; b\right)$ ที่มีจุดนี้อยู่ภายในตัวมันเอง นั่นคือ $a 0$ - รัศมีที่ 10

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวน

ค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูลัส) ของจำนวนจริง $x$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ $\left|x\right|$ กำหนดโดยสูตร: $\left|x\right|=\left\(\ Begin(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm on)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm on)\; \; x

ในเชิงเรขาคณิต $\left|x\right|$ หมายถึงระยะห่างระหว่างจุด $x$ และ 0 บนแกนจริง

คุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์:

1. มันตามมาจากคำจำกัดความที่ว่า $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. สำหรับโมดูลัสของผลรวมและสำหรับโมดูลัสของผลต่างของตัวเลขสองตัว อสมการ $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ ซ้าย|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ และ $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. โมดูลัสของผลิตภัณฑ์และโมดูลัสของผลหารของตัวเลขสองตัวตรงตามความเท่าเทียมกัน $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ and $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

ตามคำจำกัดความของค่าสัมบูรณ์สำหรับจำนวน $a>0$ โดยพลการ เราสามารถสร้างสมมูลของอสมการคู่ต่อไปนี้ได้:

1. ถ้า $ \left|x\right|
2. ถ้า $\left|x\right|\le a$ แล้ว $-a\le x\le a$;
3. ถ้า $\left|x\right|>a$ แล้ว $xa$;
4. ถ้า $\left|x\right|\ge a$ แล้ว $x\le -a$ หรือ $x\ge a$

ตัวอย่างที่ 8

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน $\left|2\cdot x+1\right|

ความไม่เท่าเทียมกันนี้เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน $-7

จากที่นี่เราได้รับ: $-8