จำนวนใดเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ จำนวนอตรรกยะหมายถึงอะไร? คุณสมบัติของจำนวนอตรรกยะ

และพวกเขาได้รากมาจากคำว่า "อัตราส่วน" ในภาษาละตินซึ่งแปลว่า "เหตุผล" ขึ้นอยู่กับการแปลตามตัวอักษร:

จำนวนตรรกยะคือ "จำนวนตรรกยะ"
จำนวนอตรรกยะตามลำดับคือ "จำนวนที่ไม่สมเหตุผล"

แนวคิดทั่วไปของจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะคือจำนวนหนึ่งที่สามารถเขียนได้ดังนี้:

เศษส่วนบวกสามัญ
เชิงลบ เศษส่วนร่วม.
ศูนย์ (0) เป็นตัวเลข

กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำจำกัดความต่อไปนี้จะพอดีกับจำนวนตรรกยะ:

จำนวนธรรมชาติใดๆ เป็นจำนวนตรรกยะโดยเนื้อแท้ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้
จำนวนเต็มใดๆ รวมทั้งเลขศูนย์ เนื่องจากจำนวนเต็มใดๆ สามารถเขียนได้ทั้งเป็นเศษส่วนบวก เป็นเศษส่วนธรรมดาติดลบ และเป็นเลขศูนย์
เศษส่วนธรรมดาใดๆ ก็ตาม และไม่ว่ามันจะเป็นบวกหรือลบ ไม่ว่าตรงนี้จะเป็นบวกหรือลบ ก็เข้าใกล้นิยามของจำนวนตรรกยะโดยตรงด้วย
รวมอยู่ในคำจำกัดความคือ คละจำนวน, เศษส่วนทศนิยมจำกัด หรือเศษส่วนคาบไม่จำกัด

ตัวอย่างจำนวนตรรกยะ

ลองพิจารณาตัวอย่างจำนวนตรรกยะ:

ตัวเลขธรรมชาติ - "4", "202", "200"
จำนวนเต็ม - "-36", "0", "42"
เศษส่วนสามัญ

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นได้ชัดว่า จำนวนตรรกยะเป็นได้ทั้งบวกและลบ. โดยธรรมชาติแล้ว ตัวเลข 0 (ศูนย์) ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะก็ไม่ได้อยู่ในหมวดหมู่ของจำนวนบวกหรือลบ

จึงอยากเตือนว่า โปรแกรมการศึกษาทั่วไปโดยใช้คำจำกัดความต่อไปนี้: “จำนวนตรรกยะ” คือตัวเลขที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วน x / y โดยที่ x (ตัวเศษ) เป็นจำนวนเต็ม และ y (ตัวส่วน) เป็นจำนวนธรรมชาติ

แนวคิดทั่วไปและคำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะ

นอกจาก "จำนวนตรรกยะ" เรายังรู้จักสิ่งที่เรียกว่า "จำนวนอตรรกยะ" ด้วย ลองนิยามตัวเลขเหล่านี้สั้น ๆ

แม้แต่นักคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณที่ต้องการคำนวณเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ด้านข้าง ได้เรียนรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะ
ตามคำจำกัดความของจำนวนตรรกยะ คุณสามารถสร้างห่วงโซ่ตรรกะและกำหนดจำนวนอตรรกยะได้
อันที่จริง จำนวนจริงเหล่านั้นที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ก็คือ จำนวนอตรรกยะในเบื้องต้น
เศษส่วนทศนิยม แสดงจำนวนอตรรกยะ ไม่เป็นคาบและอนันต์

ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ

ลองพิจารณาตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ของจำนวนอตรรกยะเพื่อความชัดเจน ตามที่เราเข้าใจแล้ว เศษส่วนที่ไม่ใช่ระยะทศนิยมอนันต์เรียกว่าอตรรกยะ เช่น

หมายเลข "-5.020020002 ... (เห็นได้ชัดว่าทั้งสองถูกคั่นด้วยลำดับศูนย์หนึ่งสองสามและอื่น ๆ )
หมายเลข "7.040044000444 ... (เป็นที่ชัดเจนว่าจำนวนสี่และจำนวนศูนย์เพิ่มขึ้นหนึ่งครั้งในห่วงโซ่)
ทุกคน หมายเลขที่รู้จักปี่ (3.1415…). ใช่ใช่ - มันไม่สมเหตุสมผลเช่นกัน

โดยทั่วไป จำนวนจริงทั้งหมดมีทั้งจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ การพูด พูดง่ายๆ, จำนวนอตรรกยะไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดา x / y ได้

ข้อสรุปทั่วไปและการเปรียบเทียบโดยย่อระหว่างตัวเลข

เราพิจารณาแต่ละจำนวนแยกกัน ความแตกต่างระหว่างจำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะยังคงอยู่:

จำนวนอตรรกยะเกิดขึ้นเมื่อหารากที่สอง เมื่อหารวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง เป็นต้น
จำนวนตรรกยะแทนเศษส่วนธรรมดา

เราสรุปบทความของเราด้วยคำจำกัดความบางประการ:

การดำเนินการเลขคณิตที่ดำเนินการกับจำนวนตรรกยะ นอกเหนือจากการหารด้วย 0 (ศูนย์) จะทำให้เกิดจำนวนตรรกยะในผลลัพธ์สุดท้ายด้วย
ผลลัพธ์สุดท้ายเมื่อทำ การดำเนินการเลขคณิตมากกว่าจำนวนอตรรกยะ อาจส่งผลให้เกิดค่าที่เป็นตรรกยะหรือค่าอตรรกยะก็ได้
หากตัวเลขทั้งสองมีส่วนร่วมในการคำนวณ (ยกเว้นการหารหรือการคูณด้วยศูนย์) ผลลัพธ์จะให้จำนวนอตรรกยะแก่เรา

จำนวนอตรรกยะสามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่ระยะอนันต์ได้ ชุดของจำนวนอตรรกยะแสดงด้วย $I$ และเท่ากับ: $I=R / Q$

ตัวอย่างเช่น. จำนวนอตรรกยะคือ:

การดำเนินการกับจำนวนอตรรกยะ

ในชุดของจำนวนอตรรกยะ สามารถแนะนำการดำเนินการเลขคณิตพื้นฐานสี่อย่าง: การบวก การลบ การคูณ และการหาร แต่สำหรับการดำเนินการใด ๆ ที่ระบุไว้ ชุดของจำนวนอตรรกยะมีคุณสมบัติในการปิด ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนสามารถเป็นจำนวนตรรกยะได้

ตัวอย่างเช่น. ค้นหาผลรวมของจำนวนอตรรกยะสองจำนวน $0.1010010001 \ldots$ และ $0.0101101110 \ldots$ ตัวเลขตัวแรกของตัวเลขเหล่านี้ประกอบขึ้นจากลำดับของตัวเลข โดยคั่นด้วยศูนย์หนึ่งตัว ศูนย์สองตัว ศูนย์สามตัว และอื่นๆ ตามลำดับ ตัวที่สอง - โดยลำดับของศูนย์ ระหว่างที่หนึ่ง สอง ตัวสาม และอื่นๆ ถูกวางไว้:

$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

ดังนั้น ผลรวมของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนที่ให้มาคือจำนวน $\frac(1)(9)$ ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.พิสูจน์ว่าจำนวน $\sqrt(3)$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

การพิสูจน์.เราจะใช้วิธีพิสูจน์โดยขัดแย้ง สมมติว่า $\sqrt(3)$ เป็นจำนวนตรรกยะ นั่นคือ มันสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็น coprime ตัวเลขธรรมชาติ

เรายกกำลังสองด้านเท่ากันเราจะได้

$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

จำนวน 3$\cdot n^(2)$ หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น $m^(2)$ และด้วยเหตุนี้ $m$ จึงหารด้วย 3 ลงตัว ทำให้ $m=3 \cdot k$ เท่ากับ $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ สามารถเขียนเป็น

$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

จากความเท่าเทียมกันสุดท้ายที่ $n^(2)$ และ $n$ หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นเศษส่วน $\frac(m)(n)$ จึงสามารถลดลงได้ 3 แต่โดยสมมติฐาน เศษส่วน $\ frac(m)( n)$ ไม่สามารถลดได้ ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งได้พิสูจน์ให้เห็นว่าตัวเลข $\sqrt(3)$ ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ $\frac(m)(n)$ ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผล

คิวอีดี

ด้วยส่วนของความยาวหน่วย นักคณิตศาสตร์โบราณรู้อยู่แล้ว: พวกเขารู้ เช่น ความไม่สามารถเทียบเคียงได้ของเส้นทแยงมุมและด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งเทียบเท่ากับความไร้เหตุผลของตัวเลข

ไม่ลงตัวคือ:

ตัวอย่างการพิสูจน์ความไร้เหตุผล

รากของ2

สมมติว่าตรงกันข้าม: มีเหตุผลนั่นคือมันถูกแสดงเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้โดยที่และเป็นจำนวนเต็ม ลองยกกำลังสองความเท่าเทียมกันที่ควรจะเป็น:

จากนี้ไป แม้กระทั่ง ดังนั้น แม้ และ . ให้ที่ทั้ง. แล้ว

ดังนั้น แม้ ดังนั้น แม้ และ . เราได้รับสิ่งนั้น และ เป็นคู่ ซึ่งขัดแย้งกับการไม่สามารถลดทอนของเศษส่วนได้ ดังนั้นสมมติฐานเดิมจึงผิดและเป็นจำนวนอตรรกยะ

ลอการิทึมไบนารีของจำนวน 3

สมมติว่าตรงกันข้าม: มีเหตุผลนั่นคือมันถูกแสดงเป็นเศษส่วนโดยที่และเป็นจำนวนเต็ม ตั้งแต่ และสามารถนำมาบวก แล้ว

แต่มันชัดเจน มันแปลก เราได้รับความขัดแย้ง

อี

เรื่องราว

แนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะถูกนำมาใช้โดยปริยายโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล เมื่อมานาวา (ค. 750 ปีก่อนคริสตกาล - 690 ปีก่อนคริสตกาล) พบว่ารากที่สองของจำนวนธรรมชาติบางจำนวน เช่น 2 และ 61 ไม่สามารถอธิบายได้อย่างชัดเจน

หลักฐานแรกของการมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะมักมาจาก Hippasus of Metapontus (c. 500 BC) ซึ่งเป็นชาวพีทาโกรัสที่พบข้อพิสูจน์นี้โดยการศึกษาความยาวของด้านข้างของรูปดาวห้าแฉก ในยุคพีทาโกรัส เชื่อกันว่ามีความยาวหน่วยเดียว ซึ่งมีขนาดเล็กเพียงพอและแบ่งแยกไม่ได้ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มของจำนวนครั้งที่รวมอยู่ในส่วนใดๆ อย่างไรก็ตาม ฮิปปาซัสแย้งว่าไม่มีหน่วยความยาวใด ๆ เนื่องจากข้อสันนิษฐานของการมีอยู่ของมันนำไปสู่ความขัดแย้ง เขาแสดงให้เห็นว่าถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากของหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉากมีจำนวนส่วนของหน่วยจำนวนเต็ม ดังนั้นจำนวนนี้ต้องเป็นคู่และคี่ในเวลาเดียวกัน หลักฐานมีลักษณะดังนี้:

อัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกับความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วสามารถแสดงเป็น เอ:ข, ที่ไหน เอและ ขเลือกให้น้อยที่สุด
ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: เอ² = 2 ข².
เพราะ เอ² แม้กระทั่ง เอต้องเป็นเลขคู่ (เนื่องจากกำลังสองของเลขคี่จะเป็นเลขคี่)
เพราะว่า เอ:ขลดไม่ได้ ขจะต้องแปลก
เพราะ เอแม้หมายถึง เอ = 2y.
แล้ว เอ² = 4 y² = 2 ข².
ข² = 2 y² ดังนั้น ขเท่ากันแล้ว ขสม่ำเสมอ.
อย่างไรก็ตามได้รับการพิสูจน์แล้วว่า ขแปลก. ความขัดแย้ง.

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเรียกอัตราส่วนนี้ว่าปริมาณที่เปรียบเทียบไม่ได้ alogos(อธิบายไม่ได้) แต่ตามตำนานแล้ว Hippasus ไม่ได้รับความเคารพ มีตำนานเล่าว่าฮิปปาซัสได้ค้นพบระหว่างการเดินทางในทะเลและถูกชาวพีทาโกรัสคนอื่นโยนลงน้ำ "เพื่อสร้างองค์ประกอบของจักรวาลซึ่งปฏิเสธหลักคำสอนที่ว่าทุกหน่วยงานในจักรวาลสามารถลดลงเป็นจำนวนเต็มและอัตราส่วนของพวกเขา " การค้นพบฮิปปาซัสก่อให้เกิดปัญหาร้ายแรงสำหรับคณิตศาสตร์พีทาโกรัส ทำลายสมมติฐานพื้นฐานที่ว่าตัวเลขและวัตถุทางเรขาคณิตเป็นหนึ่งเดียวกันและแยกออกไม่ได้

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

ระบบตัวเลข
นับ ชุด	จำนวนเต็ม ()

จำนวนตรรกยะเป็นตัวเลขที่แสดงด้วยเศษส่วนธรรมดา m/n โดยที่ตัวเศษ m เป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วน n เป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์แบบคาบได้ ชุดของจำนวนตรรกยะแสดงด้วย Q

ถ้า เบอร์จริงไม่สมเหตุสมผลก็ จำนวนอตรรกยะ. เศษส่วนทศนิยมที่แสดงจำนวนอตรรกยะเป็นอนันต์และไม่เป็นระยะ เซตของจำนวนอตรรกยะมักจะเขียนแทนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ I

เรียกจำนวนจริงว่า พีชคณิตหากเป็นรากของพหุนามบางตัว (ดีกรีไม่เป็นศูนย์) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นตรรกยะ หมายเลขใด ๆ ที่ไม่ใช่พีชคณิตเรียกว่า พ้น.

คุณสมบัติบางอย่าง:

เซตของจำนวนตรรกยะอยู่ที่ แกนตัวเลขทุกหนทุกแห่งหนาแน่น: ระหว่างจำนวนตรรกยะที่แตกต่างกันสองจำนวนใด ๆ จะมีจำนวนตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งจำนวน (และด้วยเหตุนี้ชุดจำนวนตรรกยะอนันต์) อย่างไรก็ตาม ปรากฎว่าเซตของจำนวนตรรกยะ Q และเซตของจำนวนธรรมชาติ N นั้นเท่ากัน นั่นคือ เราสามารถสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างพวกเขาได้ (องค์ประกอบทั้งหมดของเซตของจำนวนตรรกยะสามารถจัดลำดับใหม่ได้) .

ชุด Q ของจำนวนตรรกยะถูกปิดภายใต้การบวก การลบ การคูณและการหาร นั่นคือ ผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของจำนวนตรรกยะสองจำนวนก็เป็นจำนวนตรรกยะเช่นกัน

จำนวนตรรกยะทั้งหมดเป็นพีชคณิต (การสนทนาไม่เป็นความจริง)

ทุกจริง เลขเหนือเป็นเรื่องไม่สมเหตุผล

จำนวนอตรรกยะทุกจำนวนเป็นพีชคณิตหรืออตรรกยะ

เซตของจำนวนอตรรกยะนั้นหนาแน่นทุกหนทุกแห่งบนเส้นจริง: ระหว่างตัวเลขสองตัวใด ๆ จะมีจำนวนอตรรกยะ

เซตของจำนวนอตรรกยะนับไม่ได้

เมื่อแก้ปัญหาแล้วจะสะดวกร่วมกับจำนวนอตรรกยะ a + b√ c (โดยที่ a, b เป็นจำนวนตรรกยะ, c เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ) ให้พิจารณาเลข “คอนจูเกต” ด้วย มัน a - b√ c: ผลรวมและผลคูณด้วยจำนวนตรรกยะดั้งเดิม ดังนั้น a + b√ c และ a – b√ c จึงเป็นราก สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ปัญหาในการแก้ปัญหา

1. พิสูจน์ว่า

ก) หมายเลข √ 7;

b) หมายเลข lg 80;

c) หมายเลข √ 2 + 3 √ 3;

เป็นเรื่องไม่สมเหตุผล

a) สมมติว่าจำนวน √ 7 เป็นจำนวนตรรกยะ จากนั้นมี coprime p และ q เช่นนั้น √ 7 = p/q ดังนั้นเราจึงได้รับ p 2 = 7q 2 เนื่องจาก p และ q เป็น coprime ดังนั้น p 2 และด้วยเหตุนี้ p จึงหารด้วย 7 ลงตัว จากนั้น р = 7k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติบางส่วน ดังนั้น q 2 = 7k 2 = pk ซึ่งขัดแย้งกับความจริงที่ว่า p และ q เป็น coprime

ดังนั้นสมมติฐานจึงเป็นเท็จ ดังนั้นจำนวน √ 7 จึงไม่ลงตัว

b) สมมติว่าหมายเลข lg 80 มีเหตุผล จากนั้นมี p และ q ตามธรรมชาติที่ lg 80 = p/q หรือ 10 p = 80 q ดังนั้นเราจึงได้ 2 p–4q = 5 q–p เมื่อพิจารณาว่าตัวเลข 2 และ 5 เป็น coprime เราพบว่าความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็นไปได้เฉพาะสำหรับ p–4q = 0 และ q–p = 0 ดังนั้น p = q = 0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก p และ q เป็น เลือกให้เป็นธรรมชาติ

ดังนั้นสมมติฐานจึงเป็นเท็จ ดังนั้นจำนวน lg 80 จึงไม่ลงตัว

ค) หมายถึง ให้หมายเลขผ่าน x

จากนั้น (x - √ 2) 3 \u003d 3 หรือ x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2) หลังจากยกกำลังสองสมการนี้แล้ว เราจะได้ x ต้องเป็นไปตามสมการ

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0

รากที่มีเหตุผลของมันสามารถเป็นตัวเลข 1 และ -1 เท่านั้น การตรวจสอบแสดงว่า 1 และ -1 ไม่ใช่ราก

ดังนั้นจำนวนที่กำหนด √ 2 + 3 √ 3 จึงไม่ลงตัว

2. เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าตัวเลข a, b, √ a –√ b ,- มีเหตุผล. พิสูจน์สิ √ a และ √ bเป็นจำนวนตรรกยะด้วย

พิจารณาสินค้า

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

ตัวเลข √ a + √ b ,ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของตัวเลข a – b และ √ a –√ b ,เป็นตรรกยะเพราะผลหารของจำนวนตรรกยะสองจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ ผลรวมของจำนวนตรรกยะสองจำนวน

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

เป็นจำนวนตรรกยะ ความแตกต่าง

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งต้องพิสูจน์ด้วย

3. พิสูจน์ว่ามีจำนวนอตรรกยะบวก a และ b ซึ่งจำนวน a b เป็นธรรมชาติ

4. มีจำนวนตรรกยะ a, b, c, d เป็นไปตามความเท่าเทียมกันหรือไม่?

(a+ข √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ?

หากความเท่าเทียมกันที่ให้ไว้ในเงื่อนไขเป็นที่น่าพอใจ และตัวเลข a, b, c, d เป็นเหตุเป็นผล ความเท่าเทียมกันก็จะเป็นที่พอใจเช่นกัน:

(a-b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

แต่ 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0 ความขัดแย้งที่ได้พิสูจน์ให้เห็นว่าความเท่าเทียมเดิมเป็นไปไม่ได้

คำตอบ: ไม่มีอยู่จริง

5. หากส่วนที่มีความยาว a, b, c เป็นรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นสำหรับทั้งหมด n = 2, 3, 4, . . . ส่วนที่มีความยาว n √ a , n √ b , n √ c สร้างรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน พิสูจน์สิ.

ถ้าส่วนที่มีความยาว a, b, c เป็นรูปสามเหลี่ยม แล้วอสมการสามเหลี่ยมจะให้

ดังนั้นเราจึงมี

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

กรณีที่เหลือของการตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมนั้นพิจารณาในทำนองเดียวกันซึ่งสรุปได้ดังนี้

6. พิสูจน์ว่าเศษส่วนทศนิยมอนันต์ 0.1234567891011121314... (ตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดอยู่ในลำดับหลังจุดทศนิยม) เป็นจำนวนอตรรกยะ

อย่างที่คุณทราบ จำนวนตรรกยะจะแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยม ซึ่งมีจุดเริ่มตั้งแต่เครื่องหมาย ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าเศษส่วนนี้ไม่เป็นคาบที่มีเครื่องหมายใดๆ สมมติว่าไม่ใช่กรณีนี้ และบางลำดับ T ซึ่งประกอบด้วย n หลัก เป็นคาบของเศษส่วน โดยเริ่มจากตำแหน่งทศนิยมที่ m เป็นที่ชัดเจนว่ามีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์หลังหลักที่ m ดังนั้นจึงมีตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์ในลำดับของตัวเลข T ซึ่งหมายความว่าเริ่มจากหลักที่ m หลังจุดทศนิยม ในบรรดา n หลักในแถว จะมีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบทศนิยมของเศษส่วนนี้ จะต้องมีเครื่องหมายทศนิยมสำหรับตัวเลข 100...0 = 10 k โดยที่ k > m และ k > n เป็นที่ชัดเจนว่ารายการนี้จะเกิดขึ้นทางด้านขวาของหลักที่ m และมีศูนย์มากกว่า n ตัวในแถว ดังนั้นเราจึงได้รับความขัดแย้งซึ่งทำให้การพิสูจน์สมบูรณ์

7. ให้เศษทศนิยมอนันต์ 0,a 1 a 2 ... . พิสูจน์ว่าตัวเลขในรูปแบบทศนิยมสามารถจัดเรียงใหม่ได้เพื่อให้เศษส่วนที่ได้แสดงจำนวนตรรกยะ

จำได้ว่าเศษส่วนแสดงจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อเป็นธาตุเป็นระยะ โดยเริ่มจากเครื่องหมายบางตัว เราแบ่งตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 ออกเป็นสองคลาส: ในชั้นหนึ่ง เรารวมตัวเลขที่เกิดขึ้นในเศษส่วนเดิมเป็นจำนวนจำกัดในชั้นที่สอง - ตัวเลขที่เกิดขึ้นในเศษส่วนเดิมเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด มาเริ่มเขียนเศษส่วนเป็นระยะกัน ซึ่งสามารถหาได้จากการเปลี่ยนลำดับของตัวเลขเดิม อย่างแรก หลังจากศูนย์และเครื่องหมายจุลภาค เราจะเขียนตัวเลขทั้งหมดจากชั้นหนึ่งโดยเรียงลำดับแบบสุ่ม - แต่ละครั้งมากที่สุดเท่าที่เกิดขึ้นในรายการของเศษส่วนเดิม ตัวเลขของคลาสแรกที่เขียนจะอยู่ข้างหน้าจุดในส่วนเศษส่วนของทศนิยม ต่อไป เราเขียนตัวเลขจากชั้นสองตามลำดับครั้ง เราจะประกาศชุดค่าผสมนี้เป็นช่วงเวลาและทำซ้ำเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด ดังนั้นเราจึงเขียนเศษส่วนเป็นระยะที่ต้องการซึ่งแสดงจำนวนตรรกยะ

8. พิสูจน์ว่าในทุก ๆ เศษส่วนทศนิยมอนันต์มีลำดับของทศนิยมที่มีความยาวตามอำเภอใจซึ่งเกิดขึ้นหลายครั้งในการขยายเศษส่วนเป็นอนันต์

ให้ m เป็นจำนวนธรรมชาติที่กำหนดโดยพลการ ลองแบ่งเศษส่วนทศนิยมอนันต์นี้ออกเป็นส่วนๆ แต่ละส่วนมี m หลัก จะมีส่วนดังกล่าวมากมายอนันต์ ในทางกลับกัน มีเพียง 10 เมตรของระบบที่แตกต่างกันซึ่งประกอบด้วย m หลัก นั่นคือจำนวนจำกัด ดังนั้น อย่างน้อยหนึ่งระบบเหล่านี้ต้องทำซ้ำหลายครั้งอย่างไม่สิ้นสุด

ความคิดเห็น สำหรับจำนวนอตรรกยะ √ 2 , π or อีเราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าตัวเลขใดซ้ำหลายครั้งในจำนวนอนันต์ที่เป็นตัวแทนของพวกเขา เศษส่วนทศนิยมแม้ว่าแต่ละตัวเลขเหล่านี้สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายโดยมีตัวเลขที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองหลัก

9. พิสูจน์เบื้องต้นว่ารากบวกของสมการนั้น

เป็นเรื่องไม่สมเหตุผล

สำหรับ x > 0 ด้านซ้ายของสมการจะเพิ่มขึ้นด้วย x และจะเห็นได้ง่ายว่าที่ x = 1.5 จะน้อยกว่า 10 และที่ x = 1.6 จะมากกว่า 10 ดังนั้น รากที่เป็นบวกเพียงตัวเดียวของ สมการอยู่ภายในช่วง (1.5 ; 1.6)

เราเขียนรากเป็นเศษส่วนที่ลดทอนไม่ได้ p/q โดยที่ p และ q เป็นจำนวนธรรมชาติของโคไพรม์ จากนั้น สำหรับ x = p/q สมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

ดังนั้น p เป็นตัวหารของ 10 ดังนั้น p จึงเท่ากับหนึ่งในตัวเลข 1, 2, 5, 10 อย่างไรก็ตาม การเขียนเศษส่วนด้วยตัวเศษ 1, 2, 5, 10 เราสังเกตได้ทันทีว่าไม่มี อยู่ภายในช่วงเวลา (1.5; 1.6)

ดังนั้น รากบวกของสมการดั้งเดิมจึงไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ ซึ่งหมายความว่าเป็นจำนวนอตรรกยะ

10. ก) มีจุด A, B และ C สามจุดบนระนาบโดยที่จุด X ใด ๆ ความยาวอย่างน้อยหนึ่งเซกเมนต์ XA, XB และ XC นั้นไม่ลงตัว?

b) พิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยมนั้นมีเหตุผล พิสูจน์ว่าพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบนั้นมีเหตุผลด้วย

ค) มีทรงกลมซึ่งมีจุดตรรกยะเพียงจุดเดียวหรือไม่? (จุดตรรกยะคือจุดที่พิกัดคาร์ทีเซียนทั้งสามเป็นจำนวนตรรกยะ)

ก) ใช่มี ให้ C เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน AB จากนั้น XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2 หากตัวเลข AB 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ ตัวเลข XA, XB และ XC จะไม่สามารถหาเหตุผลได้ในเวลาเดียวกัน

b) ให้ (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) และ (a 3 ; b 3) เป็นพิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยม พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบนั้นถูกกำหนดโดยระบบสมการ:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2

ง่ายที่จะตรวจสอบว่าสมการเหล่านี้เป็นเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าคำตอบของระบบสมการที่พิจารณานั้นเป็นเหตุผล

c) ทรงกลมดังกล่าวมีอยู่ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีสมการ

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2

จุด O ที่มีพิกัด (0; 0; 0) เป็นจุดตรรกยะที่วางอยู่บนทรงกลมนี้ จุดที่เหลืออยู่ของทรงกลมนั้นไม่ลงตัว มาพิสูจน์กัน

สมมติว่าตรงกันข้าม: ให้ (x; y; z) เป็นจุดที่เป็นเหตุเป็นผลของทรงกลม ซึ่งแตกต่างจากจุด O เป็นที่ชัดเจนว่า x แตกต่างจาก 0 เนื่องจากสำหรับ x = 0 มีคำตอบเฉพาะ (0; 0 ; 0) ซึ่งตอนนี้เราไม่สามารถสนใจได้ มาขยายวงเล็บและแสดง √ 2 :

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

ซึ่งไม่สามารถเป็นเหตุผลได้ x, y, z และอตรรกยะ √ 2 . ดังนั้น O(0; 0; 0) เป็นจุดเหตุผลเพียงจุดเดียวบนทรงกลมที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ปัญหาที่ไม่มีทางแก้ไข

1. พิสูจน์ว่าจำนวน

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

เป็นเรื่องไม่สมเหตุผล

2. สำหรับจำนวนเต็มใด m และ n ความเท่าเทียมกัน (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n ถือ?

3. มีตัวเลข a ที่จำนวน a - √ 3 และ 1/a + √ 3 เป็นจำนวนเต็มหรือไม่

4. ตัวเลข 1, √ 2, 4 สามารถเป็นสมาชิก (ไม่จำเป็นต้องอยู่ติดกัน) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้หรือไม่?

5. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ n สมการ (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 ไม่มีคำตอบในจำนวนตรรกยะ (x; y)

ไม่ลงตัวคือ:

ตัวอย่างการพิสูจน์ความไร้เหตุผล

รากของ2

จากนี้ไป แม้กระทั่ง ดังนั้น แม้ และ . ให้ที่ทั้ง. แล้ว

ลอการิทึมไบนารีของจำนวน 3

แต่มันชัดเจน มันแปลก เราได้รับความขัดแย้ง

อี

เรื่องราว

หลักฐานแรกของการมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะมักมาจาก Hippasus of Metapontus (c. 500 BC) ซึ่งเป็นชาวพีทาโกรัสที่พบข้อพิสูจน์นี้โดยการศึกษาความยาวของด้านข้างของรูปดาวห้าแฉก ในยุคพีทาโกรัส เชื่อกันว่ามีความยาวหน่วยเดียว ซึ่งมีขนาดเล็กเพียงพอและแบ่งแยกไม่ได้ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มของจำนวนครั้งที่รวมอยู่ในส่วนใดๆ อย่างไรก็ตาม ฮิปปาซัสแย้งว่าไม่มีหน่วยความยาวใด ๆ เนื่องจากข้อสันนิษฐานของการมีอยู่ของมันนำไปสู่ความขัดแย้ง เขาแสดงให้เห็นว่าหากด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วมีจำนวนเต็มของส่วนของหน่วย ตัวเลขนี้ต้องเป็นทั้งคู่และคี่ในเวลาเดียวกัน หลักฐานมีลักษณะดังนี้:

อัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกับความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วสามารถแสดงเป็น เอ:ข, ที่ไหน เอและ ขเลือกให้น้อยที่สุด
ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: เอ² = 2 ข².
เพราะ เอ² แม้กระทั่ง เอต้องเป็นเลขคู่ (เนื่องจากกำลังสองของเลขคี่จะเป็นเลขคี่)
เพราะว่า เอ:ขลดไม่ได้ ขจะต้องแปลก
เพราะ เอแม้หมายถึง เอ = 2y.
แล้ว เอ² = 4 y² = 2 ข².
ข² = 2 y² ดังนั้น ขเท่ากันแล้ว ขสม่ำเสมอ.
อย่างไรก็ตามได้รับการพิสูจน์แล้วว่า ขแปลก. ความขัดแย้ง.

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

ระบบตัวเลข
นับ ชุด	จำนวนเต็ม ()