§7. ฟังก์ชันผกผันและกราฟ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา:

• สร้างความรู้บน หัวข้อใหม่ตามเนื้อหาของโปรแกรม
• เพื่อศึกษาคุณสมบัติของการพลิกกลับของฟังก์ชันและสอนวิธีค้นหาฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันที่กำหนด

กำลังพัฒนา:

• พัฒนาทักษะการควบคุมตนเอง การพูดในหัวข้อ
• ฝึกฝนแนวคิดของฟังก์ชันผกผันและเรียนรู้วิธีค้นหาฟังก์ชันผกผัน

การศึกษา: เพื่อสร้างความสามารถในการสื่อสาร

อุปกรณ์:คอมพิวเตอร์ โปรเจ็กเตอร์ หน้าจอ กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ SMART Board เอกสารแจก ( งานอิสระ) สำหรับงานกลุ่ม

ระหว่างเรียน.

1. ช่วงเวลาขององค์กร

เป้า – การเตรียมนักเรียนให้พร้อมสำหรับการทำงานในห้องเรียน:

คำจำกัดความของการขาด

ทัศนคติของนักศึกษาต่อการทำงาน การจัดระเบียบความสนใจ

ข้อความเกี่ยวกับหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

2. อัพเดท ความรู้พื้นฐานนักเรียน.แบบสำรวจความคิดเห็นด้านหน้า

เป้า - เพื่อสร้างความถูกต้องและความตระหนักรู้ของเนื้อหาทางทฤษฎีที่ศึกษา การทำซ้ำของเนื้อหาที่ครอบคลุม<Приложение 1 >

กราฟของฟังก์ชันจะแสดงบนกระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบสำหรับนักเรียน ครูกำหนดงาน - เพื่อพิจารณากราฟของฟังก์ชันและแสดงรายการคุณสมบัติที่ศึกษาของฟังก์ชัน นักศึกษาแสดงรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันตามแบบงานวิจัย ครูทางด้านขวาของกราฟของฟังก์ชัน จดคุณสมบัติที่มีชื่อไว้ด้วยเครื่องหมายบนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

คุณสมบัติของฟังก์ชัน:

เมื่อสิ้นสุดการศึกษา ครูรายงานว่าวันนี้ในบทเรียนนี้ พวกเขาจะได้ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติอีกอย่างของฟังก์ชัน - การย้อนกลับได้ สำหรับการศึกษาเนื้อหาใหม่อย่างมีความหมาย ครูเชื้อเชิญให้เด็กทำความคุ้นเคยกับคำถามหลักที่นักเรียนต้องตอบเมื่อจบบทเรียน คำถามถูกเขียนบนกระดานธรรมดาและนักเรียนแต่ละคนมีเอกสารแจก (แจกก่อนบทเรียน)

1. ฟังก์ชั่นย้อนกลับคืออะไร?
2. ทุกฟังก์ชั่นย้อนกลับได้หรือไม่?
3. ฟังก์ชันผกผันที่กำหนดคืออะไร?
4. โดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่าของฟังก์ชันและฟังก์ชันผกผันเกี่ยวข้องกันอย่างไร
5. หากฟังก์ชันได้รับการวิเคราะห์ คุณจะกำหนดฟังก์ชันผกผันด้วยสูตรอย่างไร
6. หากฟังก์ชันได้รับแบบกราฟิก จะพล็อตฟังก์ชันผกผันได้อย่างไร

3. คำอธิบายของวัสดุใหม่

เป้า - เพื่อสร้างความรู้ในหัวข้อใหม่ตามเนื้อหาของโปรแกรม เพื่อศึกษาคุณสมบัติของการพลิกกลับของฟังก์ชันและสอนวิธีค้นหาฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันที่กำหนด พัฒนาเรื่อง

ครูดำเนินการนำเสนอเนื้อหาตามเนื้อหาของย่อหน้า บนกระดานแบบโต้ตอบ ครูจะเปรียบเทียบกราฟของฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่าเหมือนกัน แต่ฟังก์ชันหนึ่งเป็นแบบโมโนโทนิกและอีกฟังก์ชันหนึ่งไม่ใช่ ดังนั้น จึงนำนักเรียนมาอยู่ภายใต้แนวคิดของฟังก์ชันย้อนกลับ .

จากนั้นครูจะกำหนดคำจำกัดความของฟังก์ชันย้อนกลับและดำเนินการพิสูจน์ทฤษฎีบทฟังก์ชันย้อนกลับโดยใช้กราฟของฟังก์ชันโมโนโทนิกบนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

นิยาม 1: ฟังก์ชัน y=f(x), x X เรียกว่า ย้อนกลับได้หากใช้ค่าใดค่าหนึ่งที่จุดหนึ่งของเซต X เท่านั้น

ทฤษฎีบท: หากฟังก์ชัน y=f(x) เป็นโมโนโทนในชุด X แสดงว่าฟังก์ชันนี้กลับด้านได้

การพิสูจน์:

1. ให้ฟังก์ชั่น y=f(x)เพิ่มขึ้นโดย Xปล่อยมันไป x 1 ≠ x 2- สองแต้มของเซต X.
2. เพื่อความชัดเจนให้ x 1< x2.
   แล้วจากอะไร x 1< x2ตามนั้น ฉ(x 1) < ฉ(x 2).
3. ดังนั้นค่าต่าง ๆ ของอาร์กิวเมนต์จึงสอดคล้องกับค่าต่าง ๆ ของฟังก์ชันเช่น ฟังก์ชันนี้ย้อนกลับได้

(ระหว่างการพิสูจน์ทฤษฎีบท ครูให้คำอธิบายที่จำเป็นทั้งหมดเกี่ยวกับภาพวาดด้วยปากกามาร์กเกอร์)

ก่อนกำหนดนิยามของฟังก์ชันผกผัน ครูจะขอให้นักเรียนพิจารณาว่าฟังก์ชันใดที่เสนอให้สามารถย้อนกลับได้ กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบแสดงกราฟของฟังก์ชันและฟังก์ชันต่างๆ ที่กำหนดไว้ในเชิงวิเคราะห์ถูกเขียนขึ้น:

ข)

ช) y = 2x + 5

ง) y = -x 2 + 7

ครูแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันผกผัน

คำจำกัดความ 2: ให้ฟังก์ชันพลิกกลับได้ y=f(x)ที่กำหนดไว้ในชุด Xและ E(f)=Y. มาจับคู่กัน yจาก Yแล้วความหมายเดียว Xซึ่ง f(x)=y.จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันที่กำหนดบน Y, แ Xคือช่วงของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้แสดงไว้ x=f -1 (y)และเรียกว่าผกผันของฟังก์ชัน y=f(x).

นักเรียนได้รับเชิญให้ทำการสรุปเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่าของฟังก์ชันผกผัน

ในการพิจารณาคำถามว่าจะหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันที่ให้มาได้อย่างไร ครูจึงใช้นักเรียนสองคน วันก่อน เด็กๆ ได้รับงานจากครูให้วิเคราะห์วิธีการวิเคราะห์และกราฟิกเพื่อค้นหาฟังก์ชันผกผันที่กำหนดอย่างอิสระ ครูทำหน้าที่เป็นที่ปรึกษาในการเตรียมนักเรียนสำหรับบทเรียน

ข้อความจากนักเรียนคนแรก

หมายเหตุ: ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันคือ เพียงพอเงื่อนไขการมีอยู่ของฟังก์ชันผกผัน แต่มัน ไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็น

นักเรียนยกตัวอย่างสถานการณ์ต่างๆ เมื่อฟังก์ชันไม่โมโนโทนิก แต่ย้อนกลับได้ เมื่อฟังก์ชันไม่โมโนโทนิกและย้อนกลับไม่ได้ เมื่อเป็นแบบโมโนโทนิกและย้อนกลับได้

จากนั้นนักเรียนแนะนำให้นักเรียนรู้จักวิธีการหาฟังก์ชันผกผันที่ให้การวิเคราะห์

ค้นหาอัลกอริทึม

1. ตรวจสอบให้แน่ใจว่าฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก
2. แสดง x ในรูปของ y
3. เปลี่ยนชื่อตัวแปร แทนที่จะเป็น x \u003d f -1 (y) พวกเขาเขียน y \u003d f -1 (x)

จากนั้นจึงแก้ตัวอย่างสองตัวอย่างเพื่อหาฟังก์ชันผกผันของค่าที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 1:แสดงว่ามีฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชัน y=5x-3 และค้นหานิพจน์การวิเคราะห์

วิธีการแก้. ฟังก์ชันเชิงเส้น y=5x-3 ถูกกำหนดบน R เพิ่มขึ้นบน R และพิสัยของมันคือ R ดังนั้น ฟังก์ชันผกผันจึงมีอยู่บน R ในการหานิพจน์เชิงวิเคราะห์ เราแก้สมการ y=5x-3 เทียบกับ x; เราได้ นี่คือฟังก์ชันผกผันที่ต้องการ ถูกกำหนดและเพิ่มขึ้นโดย R.

ตัวอย่างที่ 2:แสดงว่ามีฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชัน y=x 2 , x≤0 และค้นหานิพจน์การวิเคราะห์

ฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง เสียงเดียวในขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่สามารถย้อนกลับได้ เมื่อวิเคราะห์โดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่าของฟังก์ชันแล้ว จะมีการสรุปที่สอดคล้องกันเกี่ยวกับนิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชันผกผัน

นักเรียนคนที่สองนำเสนอเกี่ยวกับ กราฟิกวิธีหาฟังก์ชันผกผัน ในระหว่างการอธิบาย นักเรียนใช้ความสามารถของไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

เพื่อให้ได้กราฟของฟังก์ชัน y=f -1 (x) ผกผันกับฟังก์ชัน y=f(x) จำเป็นต้องแปลงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) แบบสมมาตรเทียบกับเส้นตรง y=x

ในระหว่างการอธิบายบนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ งานต่อไปนี้จะถูกดำเนินการ:

สร้างกราฟของฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชันผกผันในระบบพิกัดเดียวกัน เขียนนิพจน์การวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชันผกผัน

4. การตรึงเบื้องต้นของวัสดุใหม่

เป้า - เพื่อสร้างความถูกต้องและความตระหนักในความเข้าใจของเนื้อหาที่ศึกษา เพื่อระบุช่องว่างในความเข้าใจเบื้องต้นของเนื้อหา เพื่อแก้ไขให้ถูกต้อง

นักเรียนแบ่งออกเป็นคู่ พวกเขาได้รับแผ่นงานที่พวกเขาทำงานเป็นคู่ เวลาในการทำงานมีจำกัด (5-7 นาที) นักเรียนคู่หนึ่งทำงานบนคอมพิวเตอร์ คราวนี้โปรเจ็กเตอร์ปิดอยู่ และเด็กที่เหลือจะมองไม่เห็นว่านักเรียนทำงานอย่างไรบนคอมพิวเตอร์

เมื่อสิ้นสุดเวลา (สันนิษฐานว่านักเรียนส่วนใหญ่ทำงานเสร็จแล้ว) กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ (เปิดโปรเจ็กเตอร์อีกครั้ง) จะแสดงงานของนักเรียน ซึ่งจะมีการชี้แจงระหว่างการทดสอบว่างานเสร็จสมบูรณ์ใน คู่ หากจำเป็น ครูจะดำเนินการแก้ไขและอธิบาย

ทำงานอิสระเป็นคู่<ภาคผนวก 2 >

5. ผลลัพธ์ของบทเรียนเกี่ยวกับคำถามที่ถามก่อนการบรรยาย ประกาศเกรดสำหรับบทเรียน

การบ้าน §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 ใน 2 ส่วนสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova และอื่น ๆ เอ็ด A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน y = f (x) ที่โมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด (ลดลงหรือเพิ่มขึ้น) และต่อเนื่องในโดเมน x ∈ a ; ข; ช่วงของค่าคือ y ∈ c ; d และในช่วง c ; d ในเวลาเดียวกัน เราจะมีฟังก์ชัน x = g (y) พร้อมช่วงของค่า a ; ข. ฟังก์ชั่นที่สองจะเป็นแบบต่อเนื่องและแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด เทียบกับ y = f (x) มันจะเป็นฟังก์ชันผกผัน นั่นคือ เราสามารถพูดถึงฟังก์ชันผกผัน x = g (y) เมื่อ y = f (x) จะลดลงหรือเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนด

ฟังก์ชันทั้งสองนี้ f และ g จะผกผันกัน

ทำไมเราถึงต้องการแนวคิดของฟังก์ชันผกผันเลย?

เราต้องการสิ่งนี้เพื่อแก้สมการ y = f (x) ซึ่งเขียนโดยใช้นิพจน์เหล่านี้

สมมุติว่าเราต้องหาคำตอบของสมการ cos (x) = 1 3 . ทุกจุดจะเป็นคำตอบ: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π k , k ∈ Z

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันอาร์คโคไซน์และโคไซน์จะผกผันซึ่งกันและกัน

ให้เราวิเคราะห์ปัญหาต่างๆ เพื่อค้นหาฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 1

สภาพ:ฟังก์ชันผกผันของ y = 3 x + 2 คืออะไร?

วิธีการแก้

โดเมนของคำจำกัดความและโดเมนของค่าของฟังก์ชันที่ระบุในเงื่อนไขคือเซตของทั้งหมด ตัวเลขจริง. ลองแก้สมการนี้ผ่าน x นั่นคือ โดยแสดง x ถึง y

เราได้ x = 1 3 y - 2 3 . นี่คือฟังก์ชันผกผันที่เราต้องการ แต่ตรงนี้ y จะเป็นอาร์กิวเมนต์ และ x จะเป็นฟังก์ชัน มาจัดเรียงใหม่เพื่อให้ได้สัญกรณ์ที่คุ้นเคยมากขึ้น:

ตอบ:ฟังก์ชัน y = 1 3 x - 2 3 จะผกผันสำหรับ y = 3 x + 2 .

ฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันทั้งสองสามารถพล็อตได้ดังนี้:

เราเห็นความสมมาตรของกราฟทั้งสองเทียบกับ y = x . เส้นนี้เป็นเส้นแบ่งครึ่งของจตุภาคที่หนึ่งและสาม เราได้รับข้อพิสูจน์คุณสมบัติอย่างหนึ่งของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน ซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง

ลองมาดูตัวอย่างที่คุณต้องการหาฟังก์ชันลอการิทึม ซึ่งเป็นค่าผกผันของเลขชี้กำลังที่กำหนด

ตัวอย่าง 2

สภาพ:กำหนดฟังก์ชันที่จะผกผันสำหรับ y = 2 x

วิธีการแก้

สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด โดเมนของคำจำกัดความคือจำนวนจริงทั้งหมด ช่วงของค่าอยู่ในช่วง 0 ; +∞ . ตอนนี้เราต้องแสดง x ถึง y นั่นคือ แก้สมการที่ระบุถึง x เราได้ x = บันทึก 2 y จัดเรียงตัวแปรใหม่และรับ y = log 2 x

เป็นผลให้เราได้รับการสาธิตและ ฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งจะผกผันซึ่งกันและกันทั่วทั้งขอบเขตของคำจำกัดความ

ตอบ: y = บันทึก 2 x

บนกราฟ ฟังก์ชันทั้งสองจะมีลักษณะดังนี้:

คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน

ในส่วนย่อยนี้ เราจะแสดงรายการคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน y = f (x) และ x = g (y) ที่ผกผันซึ่งกันและกัน

คำจำกัดความ 1

1. เราได้รับคุณสมบัติแรกก่อนหน้านี้แล้ว: y = f (g (y)) และ x = g (f (x))
2. คุณสมบัติที่สองตามมาจากคุณสมบัติแรก: โดเมนของคำจำกัดความ y = f (x) จะตรงกับโดเมนของฟังก์ชันผกผัน x = g (y) และในทางกลับกัน
3. กราฟของฟังก์ชันที่ผกผันจะมีความสมมาตรเทียบกับ y = x
4. ถ้า y = f (x) เพิ่มขึ้น x = g (y) ก็จะเพิ่มขึ้นด้วย และถ้า y = f (x) ลดลง x = g (y) ก็จะลดลงด้วย

เราแนะนำให้คุณใส่ใจกับแนวคิดของโดเมนของคำจำกัดความและขอบเขตของฟังก์ชันอย่างใกล้ชิด และอย่าสับสน สมมติว่าเรามีฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันสองฟังก์ชัน y = f (x) = a x และ x = g (y) = log a y ตามคุณสมบัติแรก y = f (g (y)) = a log a y ความเท่าเทียมกันนี้จะเป็นจริงเฉพาะในกรณีของค่าบวกของ y และสำหรับค่าลบ ลอการิทึมไม่ได้ถูกกำหนด ดังนั้นอย่ารีบเขียนบันทึกว่า a y = y . อย่าลืมตรวจสอบและเพิ่มว่านี่เป็นจริงสำหรับค่าบวก y เท่านั้น

แต่ความเท่าเทียมกัน x \u003d f (g (x)) \u003d บันทึก a x \u003d x จะเป็นจริงสำหรับค่าจริงของ x

อย่าลืมประเด็นนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณต้องทำงานกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและผกผัน ดังนั้น a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 เพราะพิสัยของอาร์กไซน์คือ π 2 ; π 2 และ 7 π 3 ไม่รวมอยู่ในนั้น รายการที่ถูกต้องจะเป็น

a r c บาปบาป 7 π 3 \u003d a r c บาปบาป 2 π + π 3 \u003d \u003d \u003d ในรูปแบบของ a s u l p r ฉัน o n ฉัน o n \u003d a r c บาปบาป π 3 \u003d π 3

แต่ sin a r c sin 1 3 \u003d 1 3 คือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องนั่นคือ บาป (a r c บาป x) = x สำหรับ x ∈ - 1 ; 1 และ a r c บาป (บาป x) = x สำหรับ x ∈ - π 2 ; π 2 . ระวังขอบเขตและขอบเขตของฟังก์ชันผกผันเสมอ!

• ฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันพื้นฐาน: กำลัง

หากเรามีฟังก์ชันกำลัง y = x a ดังนั้นสำหรับ x > 0 ฟังก์ชันกำลัง x = y 1 a ก็จะกลับกัน ลองแทนที่ตัวอักษรและรับ y = x a และ x = y 1 a ตามลำดับ

ในแผนภูมิจะมีลักษณะดังนี้ (กรณีที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวกและลบ a):

• ฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันขั้นพื้นฐาน: เลขชี้กำลังและลอการิทึม

ลองหา a ซึ่งจะเป็นจำนวนบวก ไม่เท่ากับ 1 .

กราฟสำหรับฟังก์ชันที่มี > 1 และ a< 1 будут выглядеть так:

• ฟังก์ชันผกผันพื้นฐานร่วมกัน: ตรีโกณมิติและตรีโกณมิติผกผัน

หากเราต้องพลอตสาขาหลักของไซน์และอาร์คไซน์ มันจะออกมาเป็นแบบนี้ (แสดงในพื้นที่แสงที่ไฮไลท์ไว้)

คำจำกัดความของฟังก์ชันผกผันและคุณสมบัติของฟังก์ชัน: บทแทรกเกี่ยวกับความซ้ำซากจำเจร่วมกันของฟังก์ชันโดยตรงและผกผัน ความสมมาตรของกราฟของฟังก์ชันทางตรงและทางผกผัน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดในเซ็กเมนต์ ช่วงเวลา และครึ่งช่วง ตัวอย่างของฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างของการแก้ปัญหา การพิสูจน์คุณสมบัติและทฤษฎีบท

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: นิยามของฟังก์ชัน ขอบเขตบนและล่าง ฟังก์ชันโมโนโทนิก

ความหมายและคุณสมบัติ

นิยามของฟังก์ชันผกผัน
ให้ฟังก์ชันมีโดเมน X และชุดของค่า Y และปล่อยให้มันมีคุณสมบัติ:
สำหรับทุกอย่าง .
จากนั้นสำหรับองค์ประกอบใดๆ จากชุด Y จะเชื่อมโยงได้เพียงองค์ประกอบเดียวของชุด X ซึ่ง การติดต่อนี้กำหนดฟังก์ชันที่เรียกว่า ฟังก์ชันผกผันถึง . ฟังก์ชันผกผันแสดงดังนี้:
.

สืบเนื่องมาจากคำนิยามที่ว่า
;
สำหรับทุกอย่าง ;
สำหรับทุกอย่าง .

คุณสมบัติเกี่ยวกับสมมาตรของกราฟของฟังก์ชันตรงและผกผัน
กราฟของฟังก์ชันทางตรงและทางกลับมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันบนเซกเมนต์
ให้ฟังก์ชันทำงานต่อเนื่องและเพิ่มขึ้น (ลดลง) ตามช่วงเวลาอย่างเคร่งครัด จากนั้นในช่วงเวลา ฟังก์ชันผกผันจะถูกกำหนดและต่อเนื่อง ซึ่งกำลังเพิ่มขึ้น (ลดลง) อย่างเคร่งครัด

สำหรับฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น สำหรับลง - .

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันในช่วงเวลา
ให้ฟังก์ชันทำงานอย่างต่อเนื่องและเพิ่มขึ้น (ลดลง) อย่างเคร่งครัดในช่วงเวลาจำกัดหรืออนันต์แบบเปิด จากนั้นฟังก์ชันผกผันจะถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลาซึ่งกำลังเพิ่มขึ้น (ลดลง) อย่างเคร่งครัด

สำหรับฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น
สำหรับการลง: .

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันในครึ่งช่วง

หากฟังก์ชันต่อเนื่องและเพิ่มขึ้น (ลดลง) อย่างเคร่งครัดใน half-interval หรือ จากนั้นใน half-interval หรือฟังก์ชันผกผันจะถูกกำหนด ซึ่งจะเพิ่ม (ลดลง) อย่างเคร่งครัด ที่นี่ .

หากเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ช่วงเวลาและสอดคล้องกับช่วงเวลา และ . หากลดลงอย่างเคร่งครัด ช่วงเวลาและสอดคล้องกับช่วงเวลา และ .
ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันในช่วงเวลา

ตัวอย่างของฟังก์ชันผกผัน

Arcsine

แปลง y= บาป xและฟังก์ชันผกผัน y = อาร์คซิน x.

พิจารณา ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซนัส: . มีการกำหนดและต่อเนื่องสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ แต่ไม่ใช่แบบโมโนโทนิก อย่างไรก็ตาม หากขอบเขตของคำจำกัดความแคบลง ก็จะสามารถแยกแยะส่วนที่ซ้ำซากจำเจได้ ดังนั้นในเซกเมนต์ ฟังก์ชันถูกกำหนด ต่อเนื่อง เพิ่มอย่างเคร่งครัดและรับค่าจาก -1 ก่อน +1 . ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผันซึ่งเรียกว่าอาร์กไซน์ อาร์กไซน์มีขอบเขตของคำจำกัดความและชุดของค่า

ลอการิทึม

แปลง y= 2 xและฟังก์ชันผกผัน y = บันทึก 2 x.

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนด ต่อเนื่อง และเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ชุดค่าของมันคือช่วงเวลาที่เปิด ฟังก์ชันผกผันคือลอการิทึมฐานสอง มันมีขอบเขตและชุดของค่า

รากที่สอง

แปลง y=x 2 และฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชั่นพลังงานถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับทุกคน ชุดค่าของมันคือครึ่งช่วง แต่มันไม่ซ้ำซากจำเจสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ อย่างไรก็ตามในช่วงครึ่งหลังจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องและเคร่งครัด ดังนั้นถ้าเราหาเซตเป็นโดเมน แสดงว่ามีฟังก์ชันผกผันที่เรียกว่า รากที่สอง. ฟังก์ชันผกผันมีโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่า

ตัวอย่าง. หลักฐานการมีอยู่และเอกลักษณ์ของรากของดีกรี n

พิสูจน์ว่าสมการ โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ มีคำตอบเฉพาะบนเซตของจำนวนจริง วิธีแก้ปัญหานี้เรียกว่ารูทที่ n ของ a นั่นคือ คุณต้องแสดงว่าจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบใดๆ มีรากของดีกรี n เฉพาะ

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปร x :
(ป1) .

ให้เราพิสูจน์ว่ามันต่อเนื่อง
โดยใช้นิยามของความต่อเนื่อง แสดงว่า
.
เราใช้สูตรทวินามของนิวตัน:
(ป2)
.
ให้เราใช้คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของลิมิตของฟังก์ชัน เนื่องจาก เฉพาะเทอมแรกเท่านั้นที่ไม่ใช่ศูนย์:
.
ความต่อเนื่องได้รับการพิสูจน์แล้ว

ให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน (P1) เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดเป็น .
ลองหาตัวเลขโดยพลการที่เชื่อมต่อกันด้วยความไม่เท่าเทียมกัน:
, , .
เราต้องแสดงให้เห็นว่า มาแนะนำตัวแปรกัน แล้ว . เนื่องจาก เห็นได้จาก (A2) ว่า . หรือ
.
การเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดได้รับการพิสูจน์แล้ว

ค้นหาชุดของค่าฟังก์ชันสำหรับ .
ณ จุดนั้น .
มาหาขีดจำกัดกันเถอะ
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้อสมการเบอร์นูลลี เมื่อเรามี:
.
ตั้งแต่นั้นมา และ .
เมื่อใช้คุณสมบัติของอสมการของฟังก์ชันขนาดใหญ่อย่างอนันต์ เราพบว่า .
ทางนี้, , .

ตามทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันผกผันถูกกำหนดและต่อเนื่องเป็นช่วง นั่นคือสำหรับสิ่งใดสิ่งหนึ่งมีเอกลักษณ์ที่ตรงกับสมการ เนื่องจากเรามี ซึ่งหมายความว่าสำหรับใดๆ สมการจะมีคำตอบเฉพาะ ซึ่งเรียกว่ารากของดีกรี n จากจำนวน x:
.

หลักฐานคุณสมบัติและทฤษฎีบท

หลักฐานของบทแทรกเกี่ยวกับความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันโดยตรงและผกผัน

ให้ฟังก์ชันมีโดเมน X และชุดของค่า Y ให้เราพิสูจน์ว่ามันมีฟังก์ชันผกผัน จาก เราต้องพิสูจน์ว่า
สำหรับทุกอย่าง .

สมมุติว่าตรงกันข้าม ให้มีตัวเลขดังนั้น ให้พร้อมๆ กัน มิฉะนั้นเราจะเปลี่ยนสัญกรณ์ให้เป็น จากนั้นเนื่องจากความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวดของ f ความไม่เท่าเทียมกันอย่างใดอย่างหนึ่งต้องถือ:
ถ้า f เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด
ถ้า f ลดลงอย่างเคร่งครัด
นั่นคือ . มีความขัดแย้ง ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผัน

ให้ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชันผกผันก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ให้เราแนะนำสัญกรณ์:
. นั่นคือ เราต้องพิสูจน์ว่า ถ้า แล้ว .

สมมุติว่าตรงกันข้าม ให้ แต่ .

ถ้าอย่างนั้น . คดีนี้ออก

อนุญาต . จากนั้นเนื่องจากการเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดของฟังก์ชัน , , หรือ . มีความขัดแย้ง ดังนั้นจึงทำได้เฉพาะกรณีเท่านั้น

บทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีหน้าที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด บทแทรกนี้สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกันสำหรับฟังก์ชันที่ลดลงอย่างเคร่งครัด

พิสูจน์คุณสมบัติบนสมมาตรของกราฟของฟังก์ชันตรงและผกผัน

อนุญาต เป็นจุดใดก็ได้ของกราฟฟังก์ชันตรง:
(2.1) .
แสดงว่าจุดสมมาตรถึงจุด A เทียบกับเส้นตรง เป็นของกราฟของฟังก์ชันผกผัน :
.
มันตามมาจากนิยามของฟังก์ชันผกผันที่
(2.2) .
ดังนั้น เราต้องแสดง (2.2)

กราฟของฟังก์ชันผกผัน y = f -1(x)มีความสมมาตรกับกราฟของฟังก์ชันตรง y = f (x)เทียบกับเส้นตรง y = x

จากจุด A และ S เราวางแนวตั้งฉากบนแกนพิกัด แล้ว
, .

ผ่านจุด A เราวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง ให้เส้นตัดกันที่จุด C เราสร้างจุด S บนเส้นเพื่อให้ จากนั้นจุด S จะสมมาตรกับจุด A เทียบกับเส้นตรง

พิจารณาสามเหลี่ยมและ . พวกมันมีความยาวเท่ากันสองด้าน: และ, และ มุมเท่ากันระหว่างพวกเขา: . ดังนั้นพวกเขาจึงสอดคล้องกัน แล้ว
.

ลองพิจารณาสามเหลี่ยม เพราะงั้น
.
เช่นเดียวกับสามเหลี่ยม:
.
แล้ว
.

ตอนนี้เราพบ:
;
.

ดังนั้น สมการ (2.2):
(2.2)
พอใจเพราะ และ (2.1) พอใจ:
(2.1) .

เนื่องจากเราได้เลือกจุด A โดยพลการ จึงใช้ได้กับทุกจุดของกราฟ:
จุดทุกจุดของกราฟของฟังก์ชัน ซึ่งสะท้อนอย่างสมมาตรเทียบกับเส้นตรง อยู่ในกราฟของฟังก์ชันผกผัน
จากนั้นเราสามารถสลับสถานที่ได้ เป็นผลให้เราได้รับ
ทุกจุดของกราฟของฟังก์ชัน ซึ่งสะท้อนอย่างสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรง อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน
ตามด้วยกราฟของฟังก์ชันและมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง

คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

การพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันในช่วงเวลา

ให้ หมายถึงโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน - เซ็กเมนต์

1. แสดงว่าชุดของค่าฟังก์ชันคือช่วง :
,
ที่ไหน .

อันที่จริง เนื่องจากฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องในส่วนนั้น ดังนั้น ตามทฤษฎีบทของไวเออร์สตราส มันถึงค่าต่ำสุดและสูงสุดบนฟังก์ชันนั้น จากนั้นตามทฤษฎีบท Bolzano-Cauchy ฟังก์ชันจะใช้ค่าทั้งหมดจากเซ็กเมนต์ นั่นคือสำหรับสิ่งที่มีอยู่ซึ่ง เนื่องจากมีค่าต่ำสุดและสูงสุด ฟังก์ชันจึงใช้ค่าเฉพาะเซ็กเมนต์จากชุด

2. เนื่องจากฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด ดังนั้นตามข้างต้น จึงมีฟังก์ชันผกผัน ซึ่งเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด (เพิ่มขึ้นหากเพิ่มขึ้น และลดลงหากลดลง) โดเมนของฟังก์ชันผกผันคือเซต และเซตของค่าคือเซต

3. ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่าฟังก์ชันผกผันต่อเนื่องกัน

3.1. ให้มีจุดภายในโดยพลการของเซ็กเมนต์ : . ให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชันผกผันต่อเนื่อง ณ จุดนี้

ให้มันตรงประเด็น เนื่องจากฟังก์ชันผกผันเป็นแบบโมโนโทนิกเท่านั้น นั่นคือจุดภายในของเซกเมนต์:
.
ตามคำจำกัดความของความต่อเนื่อง เราต้องพิสูจน์ว่าฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งนั้น
(3.1) สำหรับทุกอย่าง .

โปรดทราบว่าเราสามารถใช้เวลาเพียงเล็กน้อย แท้จริงแล้ว หากเราพบฟังก์ชันที่ความไม่เท่าเทียมกัน (3.1) ได้รับความพึงพอใจสำหรับค่าขนาดเล็กที่เพียงพอของ พวกเขาจะพึงพอใจโดยอัตโนมัติสำหรับค่าขนาดใหญ่ใดๆ ของ หากเราตั้งค่าเป็น .

ให้เราทำให้มันเล็กจนจุดและอยู่ในส่วน :
.
ให้เราแนะนำและจัดเรียงสัญกรณ์:



.

เราแปลงความไม่เท่าเทียมกันแรก (3.1):
(3.1) สำหรับทุกอย่าง .
;
;
;
(3.2) .
เนื่องจากเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด จึงเป็นไปตามนั้น
(3.3.1) , ถ้าเพิ่มขึ้น;
(3.3.2) ถ้ามันลดลง
เนื่องจากฟังก์ชันผกผันยังเป็นโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด อสมการ (3.3) จึงบ่งบอกถึงความไม่เท่าเทียมกัน (3.2)

สำหรับ ε . ใดๆ > 0 มีอยู่ δ ดังนั้น |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε สำหรับทุกคน |y - y 0 | < δ .

ความไม่เท่าเทียมกัน (3.3) กำหนดช่วงเวลาที่เปิดซึ่งปลายถูกแยกออกจากจุดด้วยระยะทางและ ให้มีระยะทางที่น้อยที่สุดเหล่านี้:
.
เนื่องจากความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวดของ , , . นั่นเป็นเหตุผล จากนั้นช่วงเวลาจะอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนดโดยอสมการ (3.3) และสำหรับค่าทั้งหมดที่เป็นของมัน ความไม่เท่าเทียมกัน (3.2) จะถูกเติมเต็ม

ดังนั้น เราพบว่าสำหรับขนาดเล็กเพียงพอ มีอยู่ ดังนั้น
ที่ .
ตอนนี้ขอเปลี่ยนสัญกรณ์
สำหรับขนาดเล็กพอ มีอยู่เช่นว่า
ที่ .
ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันผกผันจะต่อเนื่องที่จุดภายใน

3.2. ตอนนี้ให้พิจารณาจุดสิ้นสุดของโดเมนแห่งคำจำกัดความ อาร์กิวเมนต์ทั้งหมดยังคงเหมือนเดิม เฉพาะย่านที่อยู่ด้านเดียวของจุดเหล่านี้เท่านั้นที่ต้องได้รับการพิจารณา แทนที่จะเป็นจุดจะมี หรือ และแทนที่จะเป็นจุดหรือ

ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น , .
ที่ .
ฟังก์ชันผกผันจะต่อเนื่องที่ เพราะสำหรับขนาดเล็กเพียงพอจะมี ดังนั้น
ที่ .

สำหรับฟังก์ชันที่ลดลง , .
ฟังก์ชันผกผันจะต่อเนื่องที่ เพราะสำหรับขนาดเล็กเพียงพอจะมี ดังนั้น
ที่ .
ฟังก์ชันผกผันจะต่อเนื่องที่ เพราะสำหรับขนาดเล็กเพียงพอจะมี ดังนั้น
ที่ .

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

การพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันในช่วงเวลา

ให้ หมายถึงโดเมนของฟังก์ชัน - ช่วงเวลาที่เปิด อนุญาต เป็นเซตของค่าของมัน จากที่กล่าวข้างต้น มีฟังก์ชันผกผันที่มีขอบเขตของคำจำกัดความ ชุดของค่า และเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด (เพิ่มขึ้นหากเพิ่มขึ้นและลดลงหากลดลง) มันอยู่ที่เราจะต้องพิสูจน์ว่า
1) ชุดเป็นช่วงเปิด และ that
2) ฟังก์ชันผกผันจะต่อเนื่องกับมัน
ที่นี่ .

1. แสดงว่าชุดของค่าฟังก์ชันเป็นช่วงเปิด:
.

เช่นเดียวกับชุดที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ที่มีองค์ประกอบมีการดำเนินการเปรียบเทียบ ชุดของค่าฟังก์ชันมีขอบเขตล่างและบน:
.
ที่นี่และสามารถเป็นจำนวนจำกัดหรือสัญลักษณ์และ .

1.1. ให้เราแสดงว่าจุดและไม่ได้อยู่ในชุดของค่าของฟังก์ชัน นั่นคือชุดของค่าไม่สามารถเป็นกลุ่มได้

ถ้าหรือเป็น ชี้ไปที่อนันต์: หรือ ดังนั้น จุดดังกล่าวจึงไม่ใช่องค์ประกอบของเซต ดังนั้นจึงไม่สามารถอยู่ในชุดของค่าได้

ให้ (หรือ ) เป็นจำนวนจำกัด สมมุติว่าตรงกันข้าม ให้จุด (หรือ ) อยู่ในชุดของค่าของฟังก์ชัน . นั่นคือมีอยู่ซึ่ง (หรือ ). ใช้คะแนนและตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน:
.
เนื่องจากฟังก์ชั่นเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดดังนั้น
, ถ้า f เพิ่มขึ้น;
ถ้า f ลดลง
นั่นคือ เราพบจุดที่ค่าของฟังก์ชันน้อยกว่า (มากกว่า ) แต่สิ่งนี้ขัดกับคำจำกัดความของใบหน้าล่าง (บน) ตามที่
สำหรับทุกอย่าง .
ดังนั้นจุดและไม่สามารถอยู่ในชุดของค่าของฟังก์ชัน .

1.2. ตอนนี้ขอแสดงให้เห็นว่าชุดของค่าเป็นช่วงและไม่ใช่การรวมกันของช่วงเวลาและจุด นั่นคือสำหรับจุดใดที่มีอยู่ซึ่ง

ตามคำจำกัดความของขอบเขตล่างและบน พื้นที่ใกล้เคียงของจุดใด ๆ และประกอบด้วยองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งชุด อนุญาต เป็นจำนวนใด ๆ ที่เป็นของช่วงเวลา : . แล้วสำหรับพื้นที่ใกล้เคียงที่มีอยู่สำหรับที่
.
สำหรับย่านนั้นมีอยู่ซึ่ง
.

นับแต่นั้นเป็นต้นมา แล้ว
(4.1.1) ถ้าเพิ่มขึ้น;
(4.1.2) ถ้ามันลดลง
ความไม่เท่าเทียมกัน (4.1) พิสูจน์ได้ง่ายด้วยความขัดแย้ง แต่คุณสามารถใช้ ตามที่มีฟังก์ชั่นผกผันในชุดซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดถ้ามันเพิ่มขึ้นและลดลงอย่างเคร่งครัดถ้ามันลดลง จากนั้นเราจะได้รับความไม่เท่าเทียมกันทันที (4.1)

ดังนั้นเราจึงมีส่วนที่ถ้าเพิ่มขึ้น
ถ้ามันลดลง
ที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ ฟังก์ชันรับค่า และ . ตั้งแต่นั้นมาโดยทฤษฎีบท Bolzano - Cauchy มีจุดที่

เนื่องจากเราได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับสิ่งใดที่มีอยู่ซึ่ง ซึ่งหมายความว่าชุดค่าของฟังก์ชันเป็นช่วงเวลาที่เปิด

2. ตอนนี้ แสดงว่าฟังก์ชันผกผันมีความต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ ของช่วงเวลา : . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ นำไปใช้กับกลุ่ม ตั้งแต่นั้นมา ฟังก์ชันผกผันจะต่อเนื่องบนช่วงเวลา รวมถึงที่จุดนั้นด้วย

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อมูลอ้างอิง:
โอ.ไอ. ปีศาจ บรรยายเรื่องการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 1 มอสโก 2547
ซม. นิโคลสกี้. หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 มอสโก 2526

ดูสิ่งนี้ด้วย:

ฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน

ให้ฟังก์ชันเป็นโมโนโทนอย่างเคร่งครัด (เพิ่มขึ้นหรือลดลง) และต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความช่วงของฟังก์ชันนี้จากนั้นในช่วงเวลาจะมีการกำหนดฟังก์ชันโมโนโทนแบบต่อเนื่องอย่างเคร่งครัดพร้อมช่วงของค่าซึ่ง ผกผันสำหรับ .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะพูดถึงฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่งๆ ถ้ามันเพิ่มขึ้นหรือลดลงในช่วงเวลานี้

ฟังก์ชั่น ฉ และ g เรียกว่าซึ่งกันและกัน

เหตุใดจึงพิจารณาแนวคิดของฟังก์ชันผกผันเลย?

ซึ่งเกิดจากการแก้สมการ คำตอบเขียนในรูปของฟังก์ชันผกผัน

พิจารณา ตัวอย่างการหาฟังก์ชันผกผัน .

มาเริ่มกันที่ฟังก์ชันผกผันเชิงเส้นตรงกัน

ค้นหาฟังก์ชันผกผันของ

ฟังก์ชันนี้เป็นเส้นตรง กราฟของมันคือเส้นตรง ดังนั้น ฟังก์ชันนี้เป็นเสียงเดียวในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความ ดังนั้น เราจะมองหาฟังก์ชันผกผันกับมันในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความ

.

ด่วน x ผ่าน y (กล่าวอีกนัยหนึ่งให้แก้สมการสำหรับ x ).

- นี่คือฟังก์ชันผกผัน ความจริงอยู่ที่นี่ y เป็นข้อโต้แย้งและ x เป็นหน้าที่ของอาร์กิวเมนต์นี้ เพื่อไม่ให้เสียนิสัยในสัญกรณ์ (นี่ไม่ใช่ความสำคัญพื้นฐาน) การจัดเรียงตัวอักษรใหม่ x และ y ,จะเขียน .

ดังนั้น และ เป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน

ให้ภาพประกอบกราฟิกของฟังก์ชันเชิงเส้นผกผันซึ่งกันและกัน

เห็นได้ชัดว่ากราฟมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง (แบ่งครึ่งของไตรมาสที่หนึ่งและสาม) นี่เป็นหนึ่งในคุณสมบัติของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน ซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง

หาฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันนี้เป็นกำลังสอง กราฟคือพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดหนึ่ง

.

ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามและลดลงเป็น ซึ่งหมายความว่าเราสามารถค้นหาฟังก์ชันผกผันสำหรับค่าหนึ่งในสองช่วง

ให้แล้วและแลกเปลี่ยน x และ y เราได้รับฟังก์ชันผกผันในช่วงเวลาที่กำหนด:

หาฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันนี้คือลูกบาศก์ กราฟคือลูกบาศก์พาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดหนึ่ง

.

ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นที่ ซึ่งหมายความว่าเป็นไปได้ที่จะค้นหาฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความ

และโดยการแลกเปลี่ยน x กับ y เราได้ฟังก์ชันผกผัน

ลองแสดงสิ่งนี้บนกราฟ

มาลงรายการกัน คุณสมบัติของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน และ.

และ.

จะเห็นได้จากคุณสมบัติแรกว่าขอบเขตของฟังก์ชันตรงกับขอบเขตของฟังก์ชันและในทางกลับกัน

กราฟของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง

ถ้าเพิ่มก็เพิ่ม ถ้าลดก็ลด

สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ให้ค้นหาฟังก์ชันผกผัน:

สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ให้ค้นหาฟังก์ชันผกผันและพล็อตฟังก์ชันที่กำหนดและฟังก์ชันผกผัน: ค้นหาว่ามีฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดหรือไม่ ถ้าใช่ ให้กำหนดฟังก์ชันผกผันเชิงวิเคราะห์ พล็อตฟังก์ชันที่กำหนดและฟังก์ชันผกผัน: ค้นหาโดเมนและพิสัยของฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันหาก:

1. หาพิสัยของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันแต่ละฟังก์ชัน และหากกำหนดช่วงของฟังก์ชันดังกล่าว:

เป็นฟังก์ชันผกผันกันถ้า:

1. ค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันที่กำหนด พล็อตบนระบบพิกัดเดียวกันกราฟของฟังก์ชันผกผันร่วมกันเหล่านี้:

   ฟังก์ชันนี้ผกผันกับตัวเองหรือไม่: กำหนดฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันที่กำหนดและพล็อตกราฟ:
   

ฟังก์ชันผกผันคืออะไร? จะค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันที่กำหนดได้อย่างไร

คำนิยาม .

ให้ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดในชุด D และ E เป็นเซตของค่าของมัน ฟังก์ชันผกผันเทียบกับฟังก์ชัน y=f(x) คือฟังก์ชัน x=g(y) ซึ่งถูกกำหนดในชุด E และกำหนดค่าให้กับแต่ละ y∈E เช่น x∈D ที่ f(x)=y

ดังนั้น โดเมนของฟังก์ชัน y=f(x) คือโดเมนของฟังก์ชันผกผัน และโดเมนของ y=f(x) คือโดเมนของฟังก์ชันผกผัน

ในการหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันที่กำหนด y=f(x) ต้อง :

1) ในสูตรฟังก์ชัน แทน y แทน x แทน x - y:

2) จากผลลัพธ์ที่เท่ากัน ให้แสดง y ในรูปของ x:

ค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน y=2x-6

ฟังก์ชัน y=2x-6 และ y=0.5x+3 นั้นผกผันกัน

กราฟของฟังก์ชันตรงและผกผันมีความสมมาตรเทียบกับเส้นตรง y=x(แบ่งครึ่งของไตรมาสพิกัด I และ III)

y=2x-6 และ y=0.5x+3 - . กำหนดการ ฟังก์ชันเชิงเส้นเป็น . ในการวาดเส้นตรง เราใช้สองจุด

เป็นไปได้ที่จะแสดงค่า y อย่างเฉพาะเจาะจงในรูปของ x เมื่อสมการ x=f(y) มีคำตอบเฉพาะ สิ่งนี้สามารถทำได้หากฟังก์ชัน y=f(x) รับค่าแต่ละค่าที่จุดเดียวของโดเมนของคำจำกัดความ (ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า ย้อนกลับได้).

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับฟังก์ชันที่จะย้อนกลับได้)

ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลาที่เป็นตัวเลข ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันที่จะย้อนกลับได้ จำเป็นและเพียงพอที่ f(x) จะเป็นโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด

นอกจากนี้ ถ้า y=f(x) เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา ฟังก์ชันผกผันกับค่านั้นจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้ด้วย ถ้า y=f(x) ลดลง ฟังก์ชันผกผันก็จะลดลงเช่นกัน

หากเงื่อนไขการย้อนกลับไม่เป็นที่พอใจทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ เราสามารถแยกช่วงที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลงเท่านั้น และในช่วงเวลานี้ ให้ค้นหาฟังก์ชันผกผันกับช่วงที่กำหนด

ตัวอย่างคลาสสิกคือ ในระหว่าง)