เมื่อเร็ว ๆ นี้ในงาน C2 มีปัญหาซึ่งจำเป็นต้องสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยใช้ระนาบและหาพื้นที่ของมัน มีการเสนองานดังกล่าวในเวอร์ชันสาธิต การหาพื้นที่ของส่วนผ่านพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากมักจะสะดวก การนำเสนอมีสูตรสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าวและ การวิเคราะห์โดยละเอียดงานซึ่งมาพร้อมกับชุดภาพวาด
ดาวน์โหลด:
ดูตัวอย่าง:
หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google (บัญชี) และลงชื่อเข้าใช้: https://accounts.google.com
คำบรรยายสไลด์:
การเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State - 2014 ในวิชาคณิตศาสตร์ การหาพื้นที่หน้าตัดผ่านพื้นที่ฉายภาพมุมฉาก งาน C2 ครูคณิตศาสตร์ MBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 143 ของ Krasnoyarsk Knyazkina T.V.
พิจารณาวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว: ทรงลูกบาศก์, . ส่วนของเส้นขนานผ่านจุด B และ D และสร้างมุมกับระนาบ ABC หาพื้นที่หน้าตัด. การหาพื้นที่ของส่วนผ่านพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากมักจะสะดวก การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในแง่ของพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากนั้นแสดงได้ง่าย ๆ ด้วยรูปต่อไปนี้:
CH คือความสูงของสามเหลี่ยม ABC, C ‘H คือความสูงของสามเหลี่ยม ABC " ซึ่งเป็นการฉายภาพมุมฉากของสามเหลี่ยม ABC จาก สามเหลี่ยมมุมฉาก CHC " : พื้นที่สามเหลี่ยม ABC " เท่ากับ พื้นที่สามเหลี่ยม ABC คือ ดังนั้น พื้นที่สามเหลี่ยม ABC เท่ากับ พื้นที่สามเหลี่ยม ABC ' หารด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบ ของสามเหลี่ยม ABC และสามเหลี่ยม ABC " ซึ่งเป็นเส้นโครงมุมฉากของสามเหลี่ยม ABC
เนื่องจากพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมจะเท่ากับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากบนระนาบหารด้วยโคไซน์ของมุมระหว่าง ระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและการฉายภาพ เราใช้ข้อเท็จจริงนี้เพื่อแก้ปัญหาของเรา (ดูสไลด์ 2) แผนการแก้ปัญหามีดังนี้: A) เราสร้างส่วน B) หาเส้นโครงฉากตั้งฉากบนระนาบของฐาน C) หาพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉาก ง) หาพื้นที่หน้าตัด
1. ขั้นแรกเราต้องสร้างส่วนนี้ เห็นได้ชัดว่าเซ็กเมนต์ BD เป็นของระนาบส่วนและระนาบฐาน นั่นคือ เป็นของเส้นตัดของระนาบ:
มุมระหว่างระนาบสองระนาบคือมุมระหว่างฉากตั้งฉากสองอันที่ลากไปยังเส้นตัดของระนาบและอยู่ในระนาบเหล่านี้ ให้จุด O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน OC - ตั้งฉากกับแนวตัดของระนาบซึ่งอยู่ในระนาบของฐาน:
2. กำหนดตำแหน่งของฉากตั้งฉากซึ่งอยู่ในระนาบของส่วน (จำไว้ว่าถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับการฉายของเส้นเฉียง มันก็ตั้งฉากกับเส้นเฉียงที่สุดเช่นกัน เรากำลังมองหาเส้นเฉียงโดยการฉายภาพ (OC) และมุมระหว่างเส้นโครงกับเส้นเฉียง หนึ่ง). ค้นหาแทนเจนต์ของมุม COC ₁ ระหว่าง OC ₁ และ OC
ดังนั้น มุมระหว่างระนาบส่วนกับระนาบฐานจึงมากกว่าระหว่าง OC ₁ และ OC นั่นคือส่วนจะอยู่ในลักษณะนี้: K เป็นจุดตัดของ OP และ A ₁C₁, LM||B₁D₁
นี่คือส่วนของเรา: 3. ค้นหาการฉายภาพของส่วน BLMD บนระนาบฐาน ในการทำเช่นนี้ เราจะหาเส้นโครงของจุด L และ M
รูปสี่เหลี่ยม BL ₁M₁D คือการฉายภาพของส่วนบนระนาบของฐาน 4. หาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม BL ₁M₁D . เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ลบพื้นที่ของสามเหลี่ยม L ₁CM₁ ออกจากพื้นที่ของสามเหลี่ยม BCD ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม L ₁CM₁ . สามเหลี่ยม L ₁CM₁ คล้ายกับสามเหลี่ยม BCD มาหาค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน
เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้พิจารณา m สามเหลี่ยม OPC และ OKK₁ : ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม L₁CM₁ คือ 4/25 ของพื้นที่ของสามเหลี่ยม BCD (อัตราส่วนของพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันเท่ากับกำลังสองของ ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน) จากนั้นพื้นที่สี่เหลี่ยม BL₁M₁D จะเท่ากับ 1-4/25=21/25 ของพื้นที่สามเหลี่ยม BCD และเท่ากับ
5. ตอนนี้หา 6 และในที่สุด เราก็ได้คำตอบ: 112
ในหัวข้อ: การพัฒนาระเบียบวิธี การนำเสนอ และหมายเหตุ
งานตรวจสอบในสาขาวิชา "วิศวกรรมคอมพิวเตอร์กราฟิก" ประกอบด้วยสี่ รายการทดสอบเพื่อสร้างการปฏิบัติตาม คุณจะมีเวลา 15-20 นาทีในการทำงานให้เสร็จ....
การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ปี 2014 ทางคณิตศาสตร์ การใช้อนุพันธ์และแอนติเดริเวทีฟ (ต้นแบบ B8 จากธนาคารเปิดของภารกิจ USE)
การนำเสนอพร้อมหลักสูตรระยะสั้นของทฤษฎีและวิธีแก้ปัญหาสำหรับต้นแบบ B8 ต่างๆ จากธนาคารเปิดของภารกิจ USE สามารถใช้กับไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบหรือพีซีสำหรับนักเรียนเพื่อการศึกษาด้วยตนเอง...
การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ปี 2014 ทางคณิตศาสตร์ การแก้ปัญหาของงาน C1
วัสดุให้คำตอบสำหรับงาน C1 (สมการตรีโกณมิติ) และ 4 วิธีสำหรับการเลือกรากที่เป็นของช่วงเวลา: การใช้ วงกลมตรีโกณมิติโดยใช้กราฟฟังก์ชัน การแจงนับ...
บทที่ IV. เส้นตรงและระนาบในอวกาศ รูปทรงหลายเหลี่ยม
§ 55. พื้นที่ฉายของรูปหลายเหลี่ยม
จำไว้ว่ามุมระหว่างเส้นกับระนาบคือมุมระหว่างเส้นที่กำหนดกับการฉายบนระนาบ (รูปที่ 164)
ทฤษฎีบท. พื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ฉาย คูณด้วยโคไซน์ของมุมที่เกิดจากระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและระนาบการฉาย
รูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม ซึ่งผลรวมของพื้นที่นั้นเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับรูปสามเหลี่ยม
อนุญาต /\
ABC ถูกฉายบนเครื่องบิน R. พิจารณาสองกรณี:
ก) ฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง /\
ABC ขนานกับระนาบ R;
ข) ไม่มีฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง /\
ABC ไม่ขนานกัน R.
พิจารณา กรณีแรก: ให้ [AB] || R.
ลากผ่านระนาบ (AB) R 1 || Rและโปรเจกต์แบบตั้งฉาก /\
ABC บน R 1 และต่อไป R(รูปที่ 165); เราได้รับ /\
เอบีซี 1 และ /\
เอ"บี"ส".
โดยคุณสมบัติการฉาย เรามี /\
เอบีซี 1 /\
A"B"C" ดังนั้น
ส /\ ABC1=S /\ เอ"บี"ซี
มาวาด _|_ และส่วน D 1 C 1 กัน จากนั้น _|_ , a = φ คือมุมระหว่างระนาบ /\ เอบีซีและเครื่องบิน Rหนึ่ง . นั่นเป็นเหตุผลที่
ส /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | ซีดี 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ
และด้วยเหตุนี้ S /\ A"B"C" = ส /\ เอบีซี cos φ
มาพิจารณากันต่อครับ กรณีที่สอง. วาดเครื่องบิน R 1 || Rเหนือจุดสูงสุดนั้น /\
ABC ระยะทางจากระนาบถึงระนาบ Rที่เล็กที่สุด (ปล่อยให้มันเป็นจุดสุดยอด A)
เราจะออกแบบ /\
ABC บนเครื่องบิน R 1 และ R(รูปที่ 166); ให้ประมาณการของมันตามลำดับ /\
AB 1 C 1 และ /\
เอ"บี"ส".
ปล่อยให้ (ดวงอาทิตย์) พี 1 = ง. แล้ว
ส /\ A"B"C" = ส /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (ส /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ
งาน.ระนาบถูกลากผ่านด้านข้างของฐานของปริซึมสามเหลี่ยมปกติที่มุม φ = 30° กับระนาบของฐาน หาพื้นที่ของส่วนผลลัพธ์ถ้าด้านฐานของปริซึม เอ= 6 ซม.
ลองอธิบายส่วนของปริซึมนี้ (รูปที่ 167) เนื่องจากปริซึมเป็นแบบปกติ ขอบด้านข้างจึงตั้งฉากกับระนาบของฐาน วิธี, /\ ABC เป็นการฉายภาพ /\ ADC ดังนั้น
พิจารณาเครื่องบิน พี และเส้นที่ตัดกับมัน . อนุญาต แต่ เป็นจุดโดยพลการในอวกาศ ลากเส้นผ่านจุดนี้ , ขนานกับเส้น . อนุญาต . Dot เรียกว่า การฉายจุด แต่ขึ้นเครื่องบิน พีในการออกแบบขนานตามเส้นที่กำหนด . เครื่องบิน พี ซึ่งการฉายจุดของพื้นที่นั้นเรียกว่าระนาบการฉาย
p - ระนาบการฉาย;
- การออกแบบโดยตรง ;
; ; ;
การออกแบบมุมฉากเป็นกรณีพิเศษของการออกแบบคู่ขนาน การฉายภาพมุมฉากเป็นการฉายภาพขนานโดยที่เส้นฉายภาพตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพ การฉายภาพแบบมุมฉากใช้กันอย่างแพร่หลายในการวาดภาพทางเทคนิค โดยจะฉายภาพบนระนาบสามระนาบ - แนวนอนและแนวตั้งสองแนว
คำนิยาม:
การฉายภาพออร์โธกราฟิกของจุด เอ็มขึ้นเครื่องบิน พีเรียกว่าฐาน M 1ตั้งฉาก MM 1, ลดลงจากจุด เอ็มขึ้นเครื่องบิน พี.
การกำหนด: , 
, .
คำนิยาม: การฉายภาพออร์โธกราฟิกของร่าง Fขึ้นเครื่องบิน พีคือเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบที่เป็นเส้นโครงฉากของเซตของจุดของรูป Fขึ้นเครื่องบิน พี.
การออกแบบมุมฉากในกรณีพิเศษของการออกแบบขนานมีคุณสมบัติเหมือนกัน:
p - ระนาบการฉาย;
- การออกแบบโดยตรง ;
1) ;
2) , .
- การฉายภาพของเส้นคู่ขนานจะขนานกัน
พื้นที่ฉายภาพแบน
ทฤษฎีบท: พื้นที่ฉายภาพของรูปหลายเหลี่ยมแบนบนระนาบหนึ่งเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ฉาย คูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมกับระนาบการฉาย
ขั้นที่ 1: ภาพที่ฉายเป็นรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งด้านที่ AC อยู่ในระนาบการฉายภาพ a (ขนานกับระนาบการฉายภาพ a)
ที่ให้ไว้:
พิสูจน์:
การพิสูจน์:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. ตามทฤษฎีบทสามตั้งฉาก
BD - ความสูง; ใน 1 D - ความสูง;
5. - มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล
6. ; ; ; 
;
ระยะที่ 2: ภาพที่ฉายเป็นรูปสามเหลี่ยม ABC ไม่มีด้านใดอยู่ในระนาบการฉายภาพ a และไม่ขนานกับมัน
ที่ให้ไว้:
พิสูจน์:
การพิสูจน์:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(ระยะที่ 1);
5. ; ; ;
(ระยะที่ 1);
เวที: รูปทรงที่ออกแบบเป็นรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการ
การพิสูจน์:
รูปหลายเหลี่ยมถูกหารด้วยเส้นทแยงมุมที่ลากจากจุดยอดหนึ่งจุดเป็นสามเหลี่ยมจำนวนจำกัด ซึ่งแต่ละอันทฤษฎีบทนั้นเป็นจริง ดังนั้น ทฤษฎีบทจะเป็นจริงสำหรับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีระนาบอยู่ในมุมเดียวกันกับระนาบการฉาย
ความคิดเห็น: ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วนั้นใช้ได้กับทุก ๆ รูปร่างแบนล้อมรอบด้วยโค้งปิด
การออกกำลังกาย:
1. หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ระนาบเอียงกับระนาบการฉายเป็นมุมหนึ่ง ถ้าการฉายภาพเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติที่มีด้าน a
2. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีระนาบเอียงกับระนาบการฉายเป็นมุมหนึ่งถ้าการฉายของมันคือ สามเหลี่ยมหน้าจั่วด้านกว้าง 10 ซม. ฐาน 12 ซม.
3. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีระนาบเอียงกับระนาบการฉายเป็นมุมหนึ่ง ถ้าการฉายภาพเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 9, 10 และ 17 ซม.
4. คำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งระนาบนั้นเอียงไปที่ระนาบการฉายในมุมหนึ่งหากการฉายภาพเป็น สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งฐานใหญ่กว่า 44 ซม. ด้านข้าง 17 ซม. และเส้นทแยงมุม 39 ซม.
5. คำนวณพื้นที่ฉายภาพของรูปหกเหลี่ยมปกติที่มีด้านยาว 8 ซม. ซึ่งระนาบนั้นเอียงไปที่ระนาบการฉายในมุมหนึ่ง
6. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้าน 12 ซม. และ มุมแหลมสร้างมุมกับระนาบที่กำหนด คำนวณพื้นที่ของการฉายภาพสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบนระนาบนี้
7. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้าน 20 ซม. และเส้นทแยงมุม 32 ซม. สร้างมุมด้วยระนาบที่กำหนด คำนวณพื้นที่ของการฉายภาพสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบนระนาบนี้
8. การฉายภาพทรงพุ่มบนระนาบแนวนอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้านและ . หาพื้นที่ของทรงพุ่มถ้าด้านข้างของทรงพุ่มเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากันโดยเอียงระนาบแนวนอนเป็นมุม และส่วนตรงกลางของทรงพุ่มจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานกับระนาบการฉาย
11. แบบฝึกหัดในหัวข้อ "เส้นและระนาบในอวกาศ":
ด้านของสามเหลี่ยมคือ 20 ซม. 65 ซม. 75 ซม. เส้นตั้งฉากเท่ากับ 60 ซม. จากจุดยอดของมุมที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยมถึงระนาบของมัน จงหาระยะห่างจากปลายของฉากตั้งฉากกับด้านที่ใหญ่กว่า ของรูปสามเหลี่ยม
2. จากจุดที่แยกจากระนาบที่ระยะ ซม. จะมีการวาดมุมเอียงสองอันสร้างมุมด้วยระนาบเท่ากับ และระหว่างกัน - มุมฉาก หาระยะห่างระหว่างจุดตัดของระนาบเอียง
3. ปาร์ตี้ สามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ 12 ซม. เลือกจุด M เพื่อให้ส่วนที่เชื่อมต่อจุด M กับจุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมทำมุมกับระนาบของมัน หาระยะทางจากจุด M ถึงจุดยอดและด้านข้างของสามเหลี่ยม
4. ระนาบถูกลากผ่านด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยทำมุมกับแนวทแยงของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หามุมที่ด้านทั้งสองของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอียงกับระนาบ
5. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วเอียงไปทางระนาบโดยผ่านด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นมุมหนึ่ง พิสูจน์ว่ามุมระหว่างระนาบ a กับระนาบของสามเหลี่ยมคือ .
6. มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบของสามเหลี่ยม ABC และ DBC คือ ค้นหา AD ถ้า AB = AC = 5 ซม., BC = 6 ซม., BD = DC = ซม.
ควบคุมคำถามในหัวข้อ "เส้นและระนาบในอวกาศ"
1. เขียนรายการแนวคิดพื้นฐานของ stereometry กำหนดสัจพจน์ของ stereometry
2. พิสูจน์ผลที่ตามมาของสัจพจน์
3. คืออะไร การจัดการร่วมกันสองบรรทัดในอวกาศ? กำหนดเส้นตัด ขนาน เส้นตัดกัน
4. พิสูจน์เกณฑ์การตัดกันเส้น
5. ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นและระนาบคืออะไร? ให้คำจำกัดความของการตัดกัน เส้นขนาน และระนาบ
6. พิสูจน์สัญญาณความขนานของเส้นตรงและระนาบ
7. ตำแหน่งสัมพัทธ์ของระนาบทั้งสองคืออะไร?
8. กำหนดระนาบคู่ขนาน พิสูจน์เกณฑ์ความขนานของระนาบสองระนาบ กำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับระนาบคู่ขนาน
9. กำหนดมุมระหว่างเส้น
10. พิสูจน์เครื่องหมายความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ
11. ให้คำจำกัดความของฐานของเส้นตั้งฉาก, ฐานของส่วนเอียง, การฉายภาพของส่วนเอียงบนระนาบ กำหนดคุณสมบัติของแนวตั้งฉากและแนวเฉียงจากจุดหนึ่งถึงระนาบ
12. กำหนดมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ
13. พิสูจน์ทฤษฎีบทในสามฉากตั้งฉาก
14. ให้คำจำกัดความของมุมไดฮีดรัล มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล
15. พิสูจน์เครื่องหมายการตั้งฉากของระนาบสองระนาบ
16. กำหนดระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่แตกต่างกัน
17. กำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
18. กำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ
19. กำหนดระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับระนาบขนานกับมัน
20. กำหนดระยะห่างระหว่างระนาบคู่ขนาน
21. กำหนดระยะห่างระหว่างเส้นเอียง
22. กำหนดเส้นโครงมุมฉากของจุดบนระนาบ
23. กำหนดเส้นโครงฉากตั้งฉากของร่างบนระนาบ
24. กำหนดคุณสมบัติของการฉายภาพบนระนาบ
25. กำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทบนพื้นที่ฉายภาพของรูปหลายเหลี่ยมแบน
เรขาคณิต
แผนการสอนสำหรับเกรด 10
บทที่ 56
หัวข้อ. พื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม
วัตถุประสงค์ของบทเรียน: การศึกษาทฤษฎีบทในพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม การพัฒนาทักษะของนักเรียนเพื่อนำทฤษฎีบทที่ศึกษาไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา
อุปกรณ์ : ชุด stereometric รุ่น cube
ระหว่างเรียน
I. ตรวจการบ้าน
1. นักเรียนสองคนทำซ้ำแนวทางแก้ไขปัญหาหมายเลข 42, 45 บนกระดาน
2. สอบปากคำ.
1) กำหนดมุมระหว่างระนาบสองระนาบที่ตัดกัน
2) อะไรคือมุมระหว่าง:
ก) ระนาบคู่ขนาน
b) ระนาบตั้งฉาก?
3) มุมระหว่างระนาบทั้งสองสามารถเปลี่ยนแปลงได้มากน้อยเพียงใด
4) จริงหรือไม่ที่ระนาบที่ตัดระนาบคู่ขนานตัดกันในมุมเดียวกัน?
5) จริงไหมที่ระนาบที่ตัดกัน ระนาบตั้งฉากตัดกันในมุมเดียวกัน?
3. การตรวจสอบความถูกต้องของการแก้ปัญหาข้อที่ 42, 45 ซึ่งนักเรียนสร้างใหม่บนกระดาน
ครั้งที่สอง การรับรู้และการรับรู้ของวัสดุใหม่
มอบหมายให้นักเรียน
1. พิสูจน์ว่าพื้นที่ฉายภาพของสามเหลี่ยมที่มีด้านใดด้านหนึ่งในระนาบการฉายภาพเท่ากับผลคูณของพื้นที่และโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมกับระนาบการฉาย
2. พิสูจน์ทฤษฎีบทในกรณีที่สามเหลี่ยมขัดแตะมีด้านหนึ่งขนานกับระนาบการฉาย
3. พิสูจน์ทฤษฎีบทในกรณีที่สามเหลี่ยมขัดแตะไม่มีด้านใดขนานกับระนาบการฉาย
4. พิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับรูปหลายเหลี่ยมใดๆ
การแก้ปัญหา
1. หาพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมที่มีพื้นที่ 50 cm2 และมุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมกับการฉายภาพคือ 60°
2. หาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมถ้าพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมนี้เท่ากับ 50 cm2 และมุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมกับการฉายภาพคือ 45°
3. พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือ 64 cm2 และพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากคือ 32 cm2 หามุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมกับการฉาย
4. หรือบางทีพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมจะเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนี้?
5. ขอบของลูกบาศก์คือ a. หาพื้นที่หน้าตัดของลูกบาศก์โดยระนาบผ่านด้านบนของฐานที่มุม 30° ถึงฐานนี้แล้วตัดขอบด้านข้างทั้งหมด (ตอบ. )
6. ปัญหาหมายเลข 48 (1, 3) จากตำรา (หน้า 58)
7. ปัญหาหมายเลข 49 (2) จากตำรา (หน้า 58)
8. ด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด 20 และ 25 ซม. ด้านที่ฉายบนระนาบจะคล้ายคลึงกัน หาเส้นรอบวงของการฉายภาพ (ตอบ 72 ซม. หรือ 90 ซม.)
สาม. การบ้าน
§4, n. 34; คำถามเพื่อความปลอดภัยหมายเลข 17; งานหมายเลข 48 (2), 49 (1) (หน้า 58)
IV. สรุปบทเรียน
คำถามสำหรับชั้น
1) กำหนดทฤษฎีบทในพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม
2) พื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม be พื้นที่ขนาดใหญ่รูปหลายเหลี่ยม?
3) ระนาบ α ถูกลากผ่านด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มุม 45 องศากับระนาบของสามเหลี่ยมและ CO ตั้งฉากกับระนาบ α AC \u003d 3 ซม. BC \u003d 4 ซม. ระบุว่าข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้องและไม่ถูกต้อง:
ก) มุมระหว่างระนาบ ABC และ α เท่ากับมุม CMO โดยที่จุด H คือฐานของความสูง CM ของสามเหลี่ยม ABC
ข) SD = 2.4 ซม.
c) สามเหลี่ยม AOC คือการฉายภาพมุมฉากของสามเหลี่ยม ABC บนระนาบ α;
d) พื้นที่สามเหลี่ยม AOB คือ 3 cm2
(คำตอบ ก) ถูกต้อง; ข) ผิด; ค) ผิด; ง) ถูกต้อง)
จำไว้ว่ามุมระหว่างเส้นกับระนาบคือมุมระหว่างเส้นที่กำหนดกับการฉายบนระนาบ (รูปที่ 164)
ทฤษฎีบท. พื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ฉาย คูณด้วยโคไซน์ของมุมที่เกิดจากระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและระนาบการฉาย
รูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม ซึ่งผลรวมของพื้นที่นั้นเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับรูปสามเหลี่ยม
ให้ \(\Delta\)ABC ฉายบนระนาบ R. พิจารณาสองกรณี:
a) ด้านใดด้านหนึ่ง \(\Delta\)ABC ขนานกับระนาบ R;
b) ไม่มีด้านใดด้านหนึ่ง \(\Delta\)ABC ขนานกัน R.
พิจารณา กรณีแรก: ให้ [AB] || R.
ลากผ่านระนาบ (AB) R 1 || Rและโปรเจ็กต์มุมฉาก \(\Delta\)ABC ไปยัง R 1 และต่อไป R(รูปที่ 165); เราได้ \(\Delta\)ABC 1 และ \(\Delta\)A'B'C'
โดยคุณสมบัติการฉาย เรามี \(\Delta\)ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) A'B'C' และด้วยเหตุนี้
S \(\Delta\)ABC1 = S \(\Delta\)A'B'C'
มาวาด ⊥ และส่วน D 1 C 1 กัน จากนั้น ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ คือมุมระหว่างระนาบ \(\Delta\) ABC และระนาบ Rหนึ่ง . นั่นเป็นเหตุผลที่
S \(\Delta\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1/2 |AB| | CD 1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
และด้วยเหตุนี้ S \(\Delta\)A'B'C' = S \(\Delta\)ABC cos φ
มาพิจารณากันต่อครับ กรณีที่สอง. วาดเครื่องบิน R 1 || Rผ่านจุดยอดนั้น \(\Delta\)ABC ระยะทางจากที่ไปยังระนาบ Rที่เล็กที่สุด (ปล่อยให้มันเป็นจุดสุดยอด A)
มาออกแบบ \(\Delta\)ABC บนเครื่องบินกันเถอะ R 1 และ R(รูปที่ 166); ปล่อยให้ประมาณการของมันคือ \(\Delta\)AB 1 C 1 และ \(\Delta\)A'B'C' ตามลำดับ
ให้ (BC) \(\cap \) พี 1 = ง. แล้ว
S \(\Delta\)A'B'C' = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \(\Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
งาน.ระนาบถูกลากผ่านด้านข้างของฐานของปริซึมสามเหลี่ยมปกติที่มุม φ = 30° กับระนาบของฐาน หาพื้นที่ของส่วนผลลัพธ์ถ้าด้านฐานของปริซึม เอ= 6 ซม.
ลองอธิบายส่วนของปริซึมนี้ (รูปที่ 167) เนื่องจากปริซึมเป็นแบบปกติ ขอบด้านข้างจึงตั้งฉากกับระนาบของฐาน ดังนั้น \(\Delta\)ABC จึงเป็นเส้นโครงของ \(\Delta\)ADC ดังนั้น
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
หรือ
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (ซม.^2) $$