V priebehu štúdia algebry sme sa stretli s pojmami polynóm (napríklad ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ atď.) a algebraický zlomok (napríklad $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ atď.) Podobnosť týchto pojmov spočíva v tom, že v polynómoch aj v algebraických zlomkoch existujú premenné a číselné hodnoty, aritmetické úkony: sčítanie, odčítanie, násobenie, umocňovanie Rozdiel medzi týmito pojmami je v tom, že delenie premennou sa nevykonáva v polynómoch a delenie premennou sa môže vykonávať v algebraických zlomkoch.
Polynómy aj algebraické zlomky sa v matematike nazývajú racionálne algebraické výrazy. Ale polynómy sú celočíselné racionálne výrazy a algebraické zlomkové výrazy sú zlomkové racionálne výrazy.
Z zlomkovo racionálneho výrazu je možné pomocou identickej transformácie získať celý algebraický výraz, ktorý bude v tomto prípade hlavnou vlastnosťou zlomku – redukciou zlomkov. Poďme si to overiť v praxi:
Príklad 1
Transformácia: $\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
rozhodnutie: Túto zlomkovo-racionálnu rovnicu možno transformovať použitím základnej vlastnosti zlomku-zrušenie, t.j. delením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom alebo výrazom iným ako $0$.
Tento zlomok nie je možné okamžite zmenšiť, je potrebné previesť čitateľa.
Transformujeme výraz v čitateli zlomku, na to použijeme vzorec pre druhú mocninu rozdielu: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Zlomok má tvar
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\vľavo(x-2\vpravo)(x-2))(x-2)\]
Teraz vidíme, že čitateľ a menovateľ majú spoločný faktor--toto je výraz $x-2$, na ktorom zlomok zmenšíme
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\vľavo(x-2\vpravo)(x-2))(x-2)=x-2\]
Po redukcii sme dostali, že z pôvodného zlomkovo-racionálneho výrazu $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ sa stal polynóm $x-2$, t.j. celý racionálny.
Teraz venujme pozornosť skutočnosti, že výrazy $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ a $x-2\ $ možno považovať za identické nie pre všetky hodnoty premennej, pretože aby existoval zlomkovo-racionálny výraz a bola možná redukcia pomocou polynómu $x-2$, menovateľ zlomku by sa nemal rovnať $0$ (rovnako ako faktor, ktorým redukujeme. V tomto príklade menovateľ a faktor sú rovnaké, ale nie vždy to tak je).
Premenné hodnoty, pre ktoré bude existovať algebraický zlomok, sa nazývajú platné premenné hodnoty.
Na menovateľ zlomku dáme podmienku: $x-2≠0$, potom $x≠2$.
Takže výrazy $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ a $x-2$ sú rovnaké pre všetky hodnoty premennej okrem $2$.
Definícia 1
identicky rovnaké Výrazy sú tie, ktoré sú rovnaké pre všetky možné hodnoty premennej.
Identická transformácia je akékoľvek nahradenie pôvodného výrazu identicky rovnakým. Takéto transformácie zahŕňajú vykonávanie akcií: sčítanie, odčítanie, násobenie, vyňatie spoločného činiteľa zo zátvorky, uvedenie algebraických zlomkov do spoločného menovateľa, zmenšenie algebraických zlomkov, prinesenie ako termíny atď. Je potrebné vziať do úvahy, že množstvo transformácií, ako je zníženie, zníženie podobných výrazov, môže zmeniť prípustné hodnoty premennej.
Techniky používané na preukazovanie totožnosti
Preveďte ľavú stranu identity na pravú stranu alebo naopak pomocou transformácií identity
Zredukujte obe časti na rovnaký výraz pomocou rovnakých transformácií
Preneste výrazy v jednej časti výrazu do druhej a dokážte, že výsledný rozdiel sa rovná $0$
Ktorý z vyššie uvedených spôsobov na preukázanie danej identity použiť, závisí od pôvodnej identity.
Príklad 2
Dokážte totožnosť $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
rozhodnutie: Na preukázanie tejto identity používame prvú z vyššie uvedených metód, a to transformovať ľavú stranu identity, kým sa nebude rovnať pravej strane.
Uvažujme ľavú stranu identity: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- je to rozdiel dvoch polynómov. V tomto prípade je prvý polynóm druhou mocninou súčtu troch členov. Na odmocnenie súčtu niekoľkých členov použijeme vzorec:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
Aby sme to dosiahli, musíme vynásobiť číslo polynómom. Pripomeňme si, že na to musíme vynásobiť spoločný faktor mimo zátvorky každým členom polynómu v zátvorkách. Potom dostaneme:
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Teraz späť k pôvodnému polynómu, bude mať tvar:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Všimnite si, že pred zátvorkou je znak „-“, čo znamená, že po otvorení zátvoriek sa všetky znaky, ktoré boli v zátvorkách, zmenia na opačné.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Ak prinesieme podobné pojmy, tak dostaneme, že monomiály $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ a $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ sa navzájom rušia, t.j. ich suma sa rovná 0 $.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Takže identickými transformáciami sme získali identický výraz na ľavej strane pôvodnej identity
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Všimnite si, že výsledný výraz ukazuje, že pôvodná identita je pravdivá.
Všimnite si, že v pôvodnej identite sú povolené všetky hodnoty premennej, čo znamená, že identitu sme dokázali pomocou identické premeny a platí to pre všetky platné hodnoty premennej.
Rovnice
Ako riešiť rovnice?
V tejto časti si pripomenieme (alebo naštudujeme – ako má kto rád) najelementárnejšie rovnice. Čo je teda rovnica? Ľudsky povedané, ide o nejaký matematický výraz, kde je znamienko rovnosti a neznáme. Čo sa zvyčajne označuje písmenom "X". vyriešiť rovnicu je nájsť také hodnoty x, ktoré pri dosadzovaní do originálny výraz, nám dá správnu identitu. Pripomínam, že identita je výraz, ktorý nevzbudzuje pochybnosti ani u človeka absolútne nezaťaženého matematickými znalosťami. Napríklad 2=2, 0=0, ab=ab atď. Ako teda riešite rovnice? Poďme na to.
Sú tam všelijaké rovnice (to som bol prekvapený, však?). Ale všetku ich nekonečnú rozmanitosť možno rozdeliť iba do štyroch typov.
4. Iné.)
Všetko ostatné, samozrejme, najviac, áno...) To zahŕňa kubické, exponenciálne, logaritmické, trigonometrické a všetky ostatné. Budeme s nimi úzko spolupracovať v príslušných sekciách.
Hneď musím povedať, že niekedy sú rovnice prvých troch typov také navinuté, že ich nepoznáte ... Nič. Naučíme sa, ako ich odreagovať.
A prečo potrebujeme tieto štyri typy? A potom čo lineárne rovnice vyriešené jedným spôsobom námestie iní zlomkové racionálne - tretie, a odpočinok vôbec nerieši! No nejde o to, že by sa vôbec nerozhodovali, nadarmo som matematiku urážal.) Len majú svoje špeciálne techniky a metódy.
Ale pre akékoľvek (opakujem - pre akýkoľvek!) rovníc je spoľahlivým a bezproblémovým základom na riešenie. Funguje všade a vždy. Táto základňa - Znie to strašidelne, ale vec je veľmi jednoduchá. A veľmi (veľmi!) dôležité.
V skutočnosti riešenie rovnice pozostáva z tých istých transformácií. Na 99 %. Odpoveď na otázku: " Ako riešiť rovnice?“ klame, práve v týchto premenách. Je náznak jasný?)
Identitné transformácie rovníc.
AT akékoľvek rovnice na nájdenie neznámeho je potrebné pôvodný príklad transformovať a zjednodušiť. Navyše tak, že pri zmene vzhľadu podstata rovnice sa nezmenila. Takéto premeny sa nazývajú identické alebo ekvivalent.
Všimnite si, že tieto transformácie sú len pre rovnice. V matematike sú stále rovnaké transformácie výrazov. Toto je iná téma.
Teraz si zopakujeme all-all-all basic identické transformácie rovníc.
Základné, pretože sa na ne dá aplikovať akýkoľvek rovnice - lineárne, kvadratické, zlomkové, trigonometrické, exponenciálne, logaritmické atď. atď.
Prvá identická transformácia: obe strany akejkoľvek rovnice možno sčítať (odčítať) akýkoľvek(ale to isté!) číslo alebo výraz (vrátane výrazu s neznámou!). Podstata rovnice sa nemení.
Mimochodom, túto transformáciu ste neustále používali, iba ste si mysleli, že prenášate niektoré pojmy z jednej časti rovnice do druhej so zmenou znamienka. Typ:
Záležitosť je známa, posunieme dvojku doprava a dostaneme:
Vlastne ty odvezený z oboch strán rovnice dvojka. Výsledok je rovnaký:
x+2 - 2 = 3 - 2
Presun pojmov vľavo-vpravo so zmenou znamienka je jednoducho skrátená verzia prvej identickej transformácie. A prečo potrebujeme také hlboké znalosti? - pýtaš sa. Nič v rovniciach. Pohni to, preboha. Len nezabudnite zmeniť znamenie. Ale v nerovnostiach môže zvyk prenosu viesť do slepej uličky ....
Druhá transformácia identity: obe strany rovnice možno vynásobiť (vydeliť) rovnako nenulovéčíslo alebo výraz. Už tu sa objavuje pochopiteľné obmedzenie: je hlúpe násobiť nulou a deliť sa už vôbec nedá. Toto je transformácia, ktorú použijete, keď sa rozhodnete pre niečo skvelé
pochopiteľné, X= 2. Ale ako ste to našli? Výber? Alebo len svietiť? Aby ste sa nezdvihli a nečakali na pochopenie, musíte pochopiť, že ste spravodliví rozdeliť obe strany rovnice o 5. Pri delení ľavej strany (5x) sa päťka zmenšila a zostalo čisté X. Čo sme potrebovali. A pri delení pravej strany (10) piatimi z toho, samozrejme, vyšla dvojka.
To je všetko.
Je to smiešne, ale tieto dve (iba dve!) rovnaké transformácie sú základom riešenia všetky matematické rovnice. Ako! Má zmysel pozrieť sa na príklady toho, čo a ako, nie?)
Príklady identických transformácií rovníc. Hlavné problémy.
Začnime s najprv identická transformácia. Pohyb doľava-doprava.
Príklad pre najmenších.)
Povedzme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu rovnicu:
3-2x=5-3x
Spomeňme si na kúzlo: "s X - doľava, bez X - doprava!" Toto kúzlo je pokynom na aplikáciu prvej transformácie identity.) Aký výraz s x máme vpravo? 3x? Odpoveď je nesprávna! Po našej pravici - 3x! Mínus tri x! Pri radení doľava sa teda znamienko zmení na plus. Získajte:
3-2x+3x=5
Takže X sa dali dokopy. Urobme čísla. Tri vľavo. Aké znamenie? Odpoveď „so žiadnym“ sa neprijíma!) Pred trojkou sa skutočne nič nekreslí. A to znamená, že pred trojkou je plus. Matematici teda súhlasili. Nič nie je napísané, takže plus. Preto sa trojka prenesie na pravú stranu s mínusom. Dostaneme:
-2x+3x=5-3
Zostávajú voľné miesta. Vľavo - dajte podobné, vpravo - počítajte. Odpoveď je okamžite:
V tomto príklade stačila jedna identická transformácia. Druhý nebol potrebný. No dobre.)
Príklad pre starších.)
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Spolu so štúdiom operácií a ich vlastností v algebre študujú také pojmy ako výraz, rovnica, nerovnosť . Prvotné zoznámenie s nimi prebieha v r primárny kurz matematiky. Zavádzajú sa spravidla bez striktných definícií, najčastejšie ostenzívne, čo od učiteľa vyžaduje nielen veľkú obozretnosť pri používaní pojmov označujúcich tieto pojmy, ale aj znalosť množstva ich vlastností. Hlavnou úlohou, ktorú sme si stanovili pri začatí štúdia materiálu tohto odseku, je preto objasnenie a prehĺbenie vedomostí o výrazoch (číselné aj s premennými), číselných rovnosti a číselných nerovností, rovníc a nerovníc.
Štúdium týchto pojmov je spojené s používaním matematického jazyka, odkazuje na umelé jazyky ktoré sa vytvárajú a rozvíjajú spolu s tou či onou vedou. Ako každý iný matematický jazyk má svoju vlastnú abecedu. V našom kurze to bude prezentované čiastočne, kvôli potrebe venovať väčšiu pozornosť vzťahu medzi algebrou a aritmetikou. Táto abeceda zahŕňa:
1) čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; s ich pomocou sa čísla píšu podľa osobitných pravidiel;
2) znaky operácií +, -, , :;
3) znaky vzťahu<, >, =, M;
4) malé písmená latinskej abecedy, používajú sa na označenie čísel;
5) zátvorky (okrúhle, kučeravé atď.), nazývajú sa technické značky.
Pomocou tejto abecedy sa slová tvoria v algebre, nazývajú sa výrazmi a zo slov sa získavajú vety - číselné rovnosti, číselné nerovnosti, rovnice, nerovnice s premennými.
Ako viete, záznamy 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× Volajú sa 2-17 číselné výrazy. Tvoria sa z čísel, akčných znakov, zátvoriek. Ak vykonáme všetky akcie uvedené vo výraze, dostaneme volané číslo hodnotu číselného výrazu . Takže hodnota číselného výrazu je 3 × 2 - 4 sa rovná 2.
Existujú číselné výrazy, ktorých hodnoty sa nedajú nájsť. Hovorí sa, že takéto výrazy sú nedávajú zmysel .
napríklad, výraz 8: (4 - 4) nedáva zmysel, pretože nemožno nájsť jeho hodnotu: 4 - 4 = 0 a delenie nulou nie je možné. Výraz 7-9 tiež nedáva zmysel, ak ho zvažujeme na scéne prirodzené čísla, pretože hodnoty výrazu 7-9 nie je možné nájsť na tejto množine.
Zoberme si zápis 2a + 3. Je tvorený z číslic, akčných znakov a písmena a. Ak namiesto a nahradíme čísla, získajú sa rôzne číselné výrazy:
ak a = 7, potom 2 × 7 + 3;
ak a = 0, potom 2 × 0 + 3;
ak a = - 4, potom 2 × (- 4) + 3.
V zápise 2a + 3 sa takéto písmeno a nazýva premenlivý a samotný záznam 2a + 3 - variabilný výraz.
Premenná v matematike sa zvyčajne označuje akoukoľvek malými písmenami latinská abeceda. AT Základná škola na označenie premennej sa okrem písmen používajú aj iné znaky, napríklad œ. Potom výraz s premennou má tvar: 2ל + 3.
Každý výraz s premennou zodpovedá množine čísel, ktorých dosadením vznikne číselný výraz, ktorý dáva zmysel. Táto zostava sa nazýva rozsah prejavu .
Napríklad, doména výrazu 5: (x - 7) pozostáva zo všetkých reálne čísla, s výnimkou čísla 7, pretože pre x \u003d 7 výraz 5: (7 - 7) nedáva zmysel.
V matematike sa berú do úvahy výrazy, ktoré obsahujú jednu, dve alebo viac premenných.
Napríklad, 2a + 3 je výraz s jednou premennou a (3x + 8y) × 2 je výraz s tromi premennými. Ak chcete získať číselný výraz z výrazu s tromi premennými, namiesto každej premennej nahraďte čísla, ktoré patria do rozsahu výrazu.
Zistili sme teda, ako sa z abecedy matematického jazyka tvoria číselné výrazy a výrazy s premennými. Ak nakreslíme analógiu s ruským jazykom, potom výrazy sú slová matematického jazyka.
Ale pomocou abecedy matematického jazyka je možné vytvoriť napríklad záznamy: (3 + 2)) - × 12 alebo 3x - y: +) 8, ktoré nemožno nazvať ani číselným výrazom, ani výrazom s premennou. Tieto príklady naznačujú, že popis - z ktorých sa tvoria znaky abecedy matematických jazykových výrazov, číselné a s premennými, nie je definíciou týchto pojmov. Uveďme definíciu číselného výrazu (podobne je definovaný výraz s premennými).
Definícia.Ak f a q sú číselné výrazy, potom (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) sú číselné výrazy. Každé číslo sa považuje za číselný výraz.
Ak by sa presne dodržiavala táto definícia, potom by bolo potrebné napísať príliš veľa zátvoriek, napríklad (7) + (5) alebo (6): (2). Pre skrátenie zápisu sme sa dohodli, že nebudeme písať zátvorky, ak sa sčítajú alebo odčítajú viaceré výrazy a tieto operácie sa vykonávajú zľava doprava. Rovnakým spôsobom sa pri násobení alebo delení viacerých čísel nepíšu zátvorky a tieto operácie sa vykonávajú v poradí zľava doprava.
napríklad, píšu takto: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 alebo 120:15-7:12.
Okrem toho sme sa dohodli, že najprv vykonáme akcie druhej etapy (násobenie a delenie) a potom akcie prvej etapy (sčítanie a odčítanie). Preto je výraz (12-4:3) + (5-8:2-7) napísaný takto: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu 3x (x - 2) + 4 (x - 2) pre x = 6.
rozhodnutie
1 spôsob. Namiesto premennej v tomto výraze dosaďte číslo 6: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2). Aby sme našli hodnotu výsledného číselného vyjadrenia, vykonáme všetky uvedené akcie: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. , kedy X= 6, hodnota výrazu 3x(x-2) + 4(x-2) je 88.
2 spôsobom. Pred dosadením čísla 6 do tohto výrazu si ho zjednodušíme: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2) (3x + 4). A potom nahradenie vo výslednom výraze namiesto Xčíslo 6, postupujte takto: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4x (18 + 4) = 4x22 = 88.
Venujme pozornosť nasledovnému: ako v prvom spôsobe riešenia problému, tak aj v druhom sme nahradili jeden výraz druhým.
napríklad, výraz 18 × 4 + 4 × 4 bol nahradený výrazom 72 + 16 a výraz 3x (x - 2) + 4 (x - 2) - výrazom (X - 2)(3x + 4) a tieto zámeny vedú k rovnakému výsledku. V matematike, ktorá popisuje riešenie tohto problému, hovoria, že sme vykonali identické premeny výrazov.
Definícia.Dva výrazy sa považujú za identicky rovnaké, ak sú pre akékoľvek hodnoty premenných z domény výrazov rovnaké.
Príkladmi identicky rovnakých výrazov sú výrazy 5(x + 2) a 5x+ 10, pretože za akékoľvek skutočné hodnoty X ich hodnoty sú rovnaké.
Ak sa dva výrazy, ktoré sú zhodne rovnaké na určitej množine, spoja znamienkom rovnosti, dostaneme vetu tzv identity na tejto súprave.
napríklad, 5 (x + 2) = 5x + 10 je identita na množine reálnych čísel, pretože pre všetky reálne čísla sú hodnoty výrazu 5(x + 2) a 5x + 10 rovnaké. Pomocou všeobecného zápisu kvantifikátora možno túto identitu zapísať takto: (" x н R) 5(x + 2) = 5x + 10. Za identity sa považujú aj skutočné číselné rovnosti.
Nahradenie výrazu iným, ktorý sa mu identicky rovná na nejakej množine, sa nazýva identická transformácia daného výrazu na tejto množine.
Nahradením výrazu 5(x + 2) výrazom 5x + 10, ktorý sa mu zhodne rovná, sme teda vykonali identickú transformáciu prvého výrazu. Ale ako pri dvoch výrazoch zistiť, či sú identicky rovnaké alebo nie? Nájdite zodpovedajúce hodnoty výrazov nahradením premenných špecifickými číslami? Dlhé a nie vždy možné. Aké sú však pravidlá, ktoré treba dodržiavať pri vykonávaní identických transformácií výrazov? Týchto pravidiel je veľa, medzi nimi aj vlastnosti algebraických operácií.
Úloha. Vynásobte výraz ax - bx + ab - b 2 .
rozhodnutie. Zoskupme členov tohto výrazu do dvoch (prvý s druhým, tretí so štvrtým): ax - bx + ab - b 2 \u003d (ax-bx) + (ab-b 2). Táto transformácia je možná na základe asociatívnej vlastnosti sčítania reálnych čísel.
Z každej zátvorky vyberieme spoločný faktor vo výslednom výraze: (ax - bx) + (ab - b 2) \u003d x (a - b) + b (a - b) - táto transformácia je možná na základe distributívneho vlastnosť násobenia vzhľadom na odčítanie reálnych čísel.
Vo výslednom výraze majú výrazy spoločný faktor, vyberieme ho zo zátvoriek: x (a - b) + b (a - b) \u003d (a - b) (x - b). Základom vykonanej transformácie je distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie.
Takže ax - bx + ab - b 2 \u003d (a - b) (x - b).
V počiatočnom kurze matematiky sa spravidla vykonávajú iba rovnaké transformácie číselné výrazy. Teoretický základ Takéto transformácie sú vlastnosti sčítania a násobenia, rôzne pravidlá: pridanie súčtu k číslu, číslo k súčtu, odčítanie čísla od súčtu atď.
napríklad, ak chcete nájsť súčin 35 × 4, musíte vykonať transformácie: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Vykonané transformácie sú založené na: distribučnej vlastnosti násobenia vzhľadom na sčítanie; princíp zápisu čísel v desiatkovej číselnej sústave (35 = 30 + 5); pravidlá pre násobenie a sčítanie prirodzených čísel.
Čísla a výrazy, ktoré tvoria pôvodný výraz, možno nahradiť výrazmi, ktoré sa im zhodne rovnajú. Takáto transformácia pôvodného výrazu vedie k výrazu, ktorý je mu identicky rovný.
Napríklad vo výraze 3+x možno číslo 3 nahradiť súčtom 1+2 , čím vznikne výraz (1+2)+x , ktorý sa zhodne rovná pôvodnému výrazu. Ďalší príklad: vo výraze 1+a 5 možno stupeň a 5 nahradiť súčinom, ktorý sa mu zhodne rovná, napríklad v tvare a·a 4 . Získame tak výraz 1+a·a 4 .
Táto premena je nepochybne umelá a zvyčajne je prípravou na nejakú ďalšiu premenu. Napríklad v súčte 4·x 3 +2·x 2, berúc do úvahy vlastnosti stupňa, výraz 4·x 3 môže byť reprezentovaný ako súčin 2·x 2 ·2·x. Po takejto transformácii bude mať pôvodný výraz tvar 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Je zrejmé, že členy vo výslednom súčte majú spoločný činiteľ 2 x 2, takže môžeme vykonať nasledujúcu transformáciu - zátvorky. Po ňom prídeme k výrazu: 2 x 2 (2 x+1) .
Sčítanie a odčítanie rovnakého čísla
Ďalšou umelou transformáciou výrazu je sčítanie a odčítanie toho istého čísla alebo výrazu v rovnakom čase. Takáto transformácia je identická, pretože je v skutočnosti ekvivalentná pripočítaniu nuly a pridanie nuly nemení hodnotu.
Zvážte príklad. Zoberme si výraz x 2 +2 x . Ak k tomu pridáte jeden a jeden odčítate, umožní vám to v budúcnosti vykonať ďalšiu identickú transformáciu - vyberte druhú mocninu binomu: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliografia.
- algebra: učebnica pre 7 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovič A.G. Algebra. 7. ročníka. O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre žiaka vzdelávacie inštitúcie/ A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dod. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: chor. ISBN 978-5-346-02432-3.
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
identity. Identitné transformácie výrazov. 7. ročníka.
Nájdite hodnotu výrazov pri x=5 a y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 Nájdite hodnotu výrazy na x=6 a y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33
ZÁVER: Dosiahli sme rovnaký výsledok. Z distribučnej vlastnosti vyplýva, že vo všeobecnosti sú pre všetky hodnoty premenných hodnoty výrazov 3(x + y) a 3x + 3y rovnaké. 3(x+y) = 3x+3y
Zvážte teraz výrazy 2x + y a 2xy. pre x=1 a y=2 berú rovnaké hodnoty: 2x+y=2*1+2=4 2x=2*1*2=4 pri x=3, y=4 hodnoty výrazu sa líšia 2x+y=2*3+4=10 2x=2* 3 x 4 = 24
ZÁVER: Výrazy 3(x+y) a 3x+3y sú zhodne rovnaké, ale výrazy 2x+y a 2xy zhodne rovnaké. Definícia: Dva výrazy, ktorých hodnoty sú rovnaké pre akékoľvek hodnoty premenných, sa považujú za identicky rovnaké.
IDENTITA Rovnosť 3(x+y) a 3x+3y platí pre všetky hodnoty x a y. Takéto rovnosti sa nazývajú identity. Definícia: Rovnosť, ktorá platí pre akékoľvek hodnoty premenných, sa nazýva identita. Za identity sa považujú aj skutočné číselné rovnosti. S identitami sme sa už stretli.
Identity sú rovnosti vyjadrujúce základné vlastnosti akcií na číslach. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac
Ďalšie príklady identít možno uviesť: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Nahradenie jedného výrazu iným výrazom, ktorý je mu identicky rovný, sa nazýva transformácia identity alebo jednoducho transformácia výrazu.
Ak chcete získať podobné výrazy, musíte pridať ich koeficienty a vynásobiť výsledok spoločnou písmenom. Príklad 1. Dáme podobné výrazy 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x
Ak je pred zátvorkami znamienko plus, zátvorky možno vynechať, pričom sa zachová znamienko každého výrazu v zátvorkách. Príklad 2. Rozbaľte zátvorky vo výraze 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c
Ak je pred zátvorkami znamienko mínus, zátvorky možno vynechať zmenou znamienka každého výrazu uzavretého v zátvorkách. Príklad 3. Otvorme zátvorky vo výraze a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c
Domáca úloha: s. 5, č. 91, 97, 99 Ďakujeme za lekciu!
K téme: metodologický vývoj, prezentácie a poznámky
Metódy prípravy študentov na skúšku v časti "Výrazy a transformácia výrazov"
Tento projekt bol vypracovaný s cieľom pripraviť študentov na štátne skúšky v 9. ročníku a ďalej na jednotný štátna skúška v 11 triede...