วิธีหา discriminant และรากของสมการกำลังสอง การแก้สมการกำลังสอง: สูตรราก, ตัวอย่าง

ที่ สังคมสมัยใหม่ความสามารถในการทำงานกับสมการที่มีตัวแปรกำลังสองนั้นมีประโยชน์ในหลาย ๆ ด้านของกิจกรรม และมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้จากการออกแบบเรือเดินทะเลและแม่น้ำ เครื่องบิน และขีปนาวุธ ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณดังกล่าวจะกำหนดวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุต่าง ๆ รวมถึงวัตถุอวกาศ ตัวอย่างโซลูชัน สมการกำลังสองไม่เพียงแต่ใช้ในการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจเท่านั้น ในการออกแบบและก่อสร้างอาคารเท่านั้น แต่ยังใช้ในสถานการณ์ประจำวันที่ธรรมดาที่สุดด้วย อาจจำเป็นสำหรับการเดินทางไปแคมป์ปิ้ง ที่งานกีฬา ในร้านค้าเมื่อซื้อของ และในสถานการณ์ทั่วไปอื่นๆ

แบ่งนิพจน์ออกเป็นปัจจัยส่วนประกอบ

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยค่าสูงสุดของระดับของตัวแปรที่มีอยู่ในนิพจน์ที่กำหนด หากมีค่าเท่ากับ 2 สมการดังกล่าวจะเรียกว่าสมการกำลังสอง

หากเราพูดในภาษาของสูตร นิพจน์เหล่านี้ไม่ว่าจะมีลักษณะอย่างไร ก็สามารถนำมาสู่แบบฟอร์มได้เสมอเมื่อด้านซ้ายของนิพจน์ประกอบด้วยคำศัพท์สามคำ ในหมู่พวกเขา: ax 2 (นั่นคือตัวแปรยกกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์), bx (ไม่ทราบโดยไม่มีกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์) และ c (องค์ประกอบอิสระนั่นคือตัวเลขธรรมดา) ทั้งหมดนี้ทางด้านขวาเท่ากับ 0 ในกรณีที่พหุนามดังกล่าวไม่มีพจน์ที่เป็นส่วนประกอบ ยกเว้น ax 2 จะเรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างการแก้ปัญหาดังกล่าวซึ่งหาค่าของตัวแปรได้ไม่ยากควรพิจารณาก่อน

หากนิพจน์ดูเหมือนว่ามีคำศัพท์สองคำอยู่ทางด้านขวาของนิพจน์ ให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ax 2 และ bx การค้นหา x ที่ง่ายที่สุดคือการใส่ตัวแปรในวงเล็บ ตอนนี้สมการของเราจะมีลักษณะดังนี้: x(ax+b) นอกจากนี้ จะเห็นได้ชัดว่า x=0 หรือปัญหาลดลงจนพบตัวแปรจากนิพจน์ต่อไปนี้: ax+b=0 สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติอย่างหนึ่งของการคูณ กฎบอกว่าผลคูณของสองปัจจัยส่งผลให้เป็น 0 ต่อเมื่อตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์

ตัวอย่าง

x=0 หรือ 8x - 3 = 0

เป็นผลให้เราได้รากของสมการสองราก: 0 และ 0.375

สมการประเภทนี้สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วง ซึ่งเริ่มเคลื่อนจากจุดหนึ่งซึ่งถือเป็นจุดกำเนิด สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: y = v 0 t + gt 2 /2 โดยการแทนที่ค่าที่จำเป็น ให้เท่ากันทางด้านขวาเป็น 0 และค้นหาค่าที่ไม่ทราบค่าที่เป็นไปได้ คุณสามารถค้นหาเวลาที่ผ่านไปตั้งแต่ช่วงเวลาที่ร่างกายเพิ่มขึ้นจนถึงช่วงเวลาที่มันตกลงมา ตลอดจนปริมาณอื่นๆ อีกมากมาย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

การแยกตัวประกอบนิพจน์

กฎที่อธิบายไว้ข้างต้นทำให้สามารถแก้ไขปัญหาเหล่านี้ได้ในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น พิจารณาตัวอย่างด้วยการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

X2 - 33x + 200 = 0

ไตรโนเมียลกำลังสองนี้เสร็จสมบูรณ์แล้ว อันดับแรก เราแปลงนิพจน์และแยกออกเป็นปัจจัย มีสองตัว: (x-8) และ (x-25) = 0 เป็นผลให้เรามีรากที่สอง 8 และ 25

ตัวอย่างที่มีการแก้สมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ช่วยให้วิธีนี้สามารถค้นหาตัวแปรในนิพจน์ได้ ไม่เพียงแต่ในนิพจน์ที่สองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลำดับที่สามและสี่ด้วย

ตัวอย่างเช่น: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0 เมื่อแยกตัวประกอบทางด้านขวาเป็นตัวประกอบด้วยตัวแปร จะมีสามตัว นั่นคือ (x + 1), (x-3) และ (x + 3).

เป็นผลให้เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีสามราก: -3; -หนึ่ง; 3.

การแยกรากที่สอง

อีกกรณีหนึ่งของสมการอันดับสองที่ไม่สมบูรณ์คือนิพจน์ที่เขียนด้วยภาษาของตัวอักษรในลักษณะที่ด้านขวาถูกสร้างขึ้นจากส่วนประกอบ ax 2 และ c ในที่นี้ เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปร เทอมอิสระจะถูกโอนไปทางด้านขวา และหลังจากนั้น สแควร์รูทจะถูกดึงออกมาจากทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน ควรสังเกตว่าในกรณีนี้มักจะมีรากของสมการอยู่สองราก ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือความเท่าเทียมกันที่ไม่มีคำว่า c โดยที่ตัวแปรมีค่าเท่ากับศูนย์ เช่นเดียวกับตัวแปรของนิพจน์เมื่อด้านขวากลายเป็นค่าลบ ในกรณีหลังนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย เนื่องจากการกระทำข้างต้นไม่สามารถทำได้ด้วยรูท ควรพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

ในกรณีนี้ รากของสมการจะเป็นตัวเลข -4 และ 4

การคำนวณพื้นที่ที่ดิน

ความจำเป็นในการคำนวณประเภทนี้ปรากฏขึ้นในสมัยโบราณ เนื่องจากการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ในยุคที่ห่างไกลนั้นส่วนใหญ่มาจากความจำเป็นในการกำหนดพื้นที่และปริมณฑลของแปลงที่ดินด้วยความแม่นยำสูงสุด

เราควรพิจารณาตัวอย่างด้วยการแก้สมการกำลังสองที่รวบรวมจากปัญหาประเภทนี้

สมมุติว่ามีที่ดินผืนหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ยาวกว่าความกว้าง 16 เมตร คุณควรหาความยาว ความกว้าง และปริมณฑลของไซต์ ถ้าทราบว่ามีพื้นที่ 612 ม. 2

เริ่มต้นธุรกิจในตอนแรกเราจะสร้างสมการที่จำเป็น กำหนดความกว้างของส่วนเป็น x แล้วความยาวของมันจะเป็น (x + 16) จากที่เขียนว่าพื้นที่ถูกกำหนดโดยนิพจน์ x (x + 16) ซึ่งตามเงื่อนไขของปัญหาของเราคือ 612 ซึ่งหมายความว่า x (x + 16) \u003d 612

คำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์ และพจน์นี้ก็คือว่า ไม่สามารถทำได้ในลักษณะเดียวกัน ทำไม แม้ว่าด้านซ้ายของมันยังประกอบด้วยสองปัจจัย แต่ผลคูณของพวกมันไม่เท่ากับ 0 เลย ดังนั้นจึงใช้วิธีการอื่นที่นี่

เลือกปฏิบัติ

ก่อนอื่น เราจะทำการแปลงที่จำเป็น จากนั้นรูปลักษณ์ของนิพจน์นี้จะมีลักษณะดังนี้: x 2 + 16x - 612 = 0 ซึ่งหมายความว่าเราได้รับนิพจน์ในรูปแบบที่สอดคล้องกับมาตรฐานที่ระบุก่อนหน้านี้โดยที่ a=1, b=16, c= -612.

นี้สามารถเป็นตัวอย่างของการแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติ ที่นี่ การคำนวณที่จำเป็นผลิตตามโครงการ: D = b 2 - 4ac ค่าเสริมนี้ไม่เพียงแต่ทำให้สามารถค้นหาค่าที่ต้องการในสมการอันดับสองเท่านั้น แต่ยังเป็นตัวกำหนดจำนวนของตัวเลือกที่เป็นไปได้ ในกรณี D>0 มีสองตัว; สำหรับ D=0 มีหนึ่งรูท ในกรณีที่D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

เกี่ยวกับรากและสูตรของมัน

ในกรณีของเรา การเลือกปฏิบัติคือ: 256 - 4(-612) = 2704 ซึ่งบ่งชี้ว่าปัญหาของเรามีคำตอบ หากคุณทราบถึงการแก้สมการกำลังสองจะต้องดำเนินการต่อโดยใช้สูตรด้านล่าง ช่วยให้คุณสามารถคำนวณราก

ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่นำเสนอ: x 1 =18, x 2 =-34 ตัวเลือกที่สองในภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกนี้ไม่สามารถแก้ปัญหาได้ เนื่องจากขนาดของที่ดินไม่สามารถวัดเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่า x (นั่นคือ ความกว้างของแปลง) คือ 18 ม. จากที่นี่ เราจะคำนวณความยาว: 18+16=34 และปริมณฑล 2(34+ 18) = 104 (m 2)

ตัวอย่างและงาน

เราศึกษาสมการกำลังสองต่อไป ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดของหลายรายการจะได้รับด้านล่าง

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายของความเท่าเทียมกัน แปลงร่าง นั่นคือ เราได้รูปแบบของสมการ ซึ่งปกติเรียกว่าสมการมาตรฐาน และให้เท่ากับศูนย์

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

เมื่อเพิ่มสิ่งที่คล้ายคลึงกันแล้วเราจะพิจารณาการเลือกปฏิบัติ: D \u003d 49 - 48 \u003d 1 ดังนั้นสมการของเราจะมีสองราก เราคำนวณตามสูตรข้างต้น ซึ่งหมายความว่าอันแรกจะเท่ากับ 4/3 และอันที่สองคือ 1

2) ตอนนี้เราจะเปิดเผยปริศนาประเภทอื่น

มาดูกันว่ามี root x 2 - 4x + 5 = 1 ไหม? เพื่อให้ได้คำตอบที่ละเอียดถี่ถ้วน เรานำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบที่คุ้นเคยและคำนวณตัวแบ่งแยก ในตัวอย่างนี้ ไม่จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง เพราะสาระสำคัญของปัญหาไม่มีอยู่ในนี้ ในกรณีนี้ D \u003d 16 - 20 \u003d -4 ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากจริงๆ

ทฤษฎีบทของเวียตา

สะดวกในการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรข้างต้นและตัวจำแนกประเภท เมื่อรากที่สองถูกแยกจากค่าของตัวหลัง แต่สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป อย่างไรก็ตาม มีหลายวิธีในการรับค่าของตัวแปรในกรณีนี้ ตัวอย่าง: การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา ได้รับการตั้งชื่อตามชายคนหนึ่งที่อาศัยอยู่ในฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 16 และมีอาชีพที่ยอดเยี่ยมด้วยความสามารถทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ที่ศาล ภาพเหมือนของเขาสามารถเห็นได้ในบทความ

รูปแบบที่ชาวฝรั่งเศสผู้โด่งดังสังเกตเห็นมีดังนี้ เขาพิสูจน์ว่าผลรวมของรากของสมการเท่ากับ -p=b/a และผลิตภัณฑ์ของสมการนั้นสอดคล้องกับ q=c/a

ทีนี้มาดูงานเฉพาะกันบ้าง

3x2 + 21x - 54 = 0

เพื่อความง่าย ให้แปลงนิพจน์:

x 2 + 7x - 18 = 0

เมื่อใช้ทฤษฎีบทเวียตา จะได้ผลดังนี้ ผลรวมของรากคือ -7 และผลคูณของรากคือ -18 จากที่นี่เราได้ว่ารากของสมการคือตัวเลข -9 และ 2 เมื่อทำการตรวจสอบแล้ว เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่าของตัวแปรเหล่านี้พอดีกับนิพจน์จริงๆ

กราฟและสมการพาราโบลา

แนวคิดของฟังก์ชันกำลังสองและสมการกำลังสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ตัวอย่างนี้ได้รับไปแล้วก่อนหน้านี้ ตอนนี้เรามาดูปริศนาทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดเพิ่มเติมกันเล็กน้อย สมการใด ๆ ของประเภทที่อธิบายไว้สามารถแสดงได้ด้วยสายตา การพึ่งพาอาศัยกันซึ่งวาดในรูปของกราฟเรียกว่าพาราโบลา ประเภทต่างๆ ดังรูปด้านล่าง

พาราโบลาใด ๆ มีจุดยอดนั่นคือจุดที่กิ่งก้านของมันออกมา ถ้า a>0 พวกมันขึ้นไปถึงอนันต์ และเมื่อ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

การแสดงฟังก์ชันแบบเห็นภาพช่วยในการแก้สมการใดๆ รวมทั้งสมการกำลังสอง วิธีนี้เรียกว่ากราฟิก และค่าของตัวแปร x คือพิกัด abscissa ที่จุดที่เส้นกราฟตัดกับ 0x พิกัดของจุดยอดสามารถพบได้โดยสูตรที่ให้ x 0 = -b / 2a และการแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมของฟังก์ชัน คุณจะพบว่า y 0 นั่นคือพิกัดที่สองของพาราโบลาจุดยอดที่เป็นของแกน y

จุดตัดของกิ่งก้านของพาราโบลากับแกน abscissa

มีตัวอย่างมากมายเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสอง แต่ก็มีรูปแบบทั่วไปเช่นกัน ลองพิจารณาพวกเขา เป็นที่ชัดเจนว่าจุดตัดของกราฟที่มีแกน 0x สำหรับ a>0 เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ y 0 รับค่าลบ และสำหรับ<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. มิฉะนั้น D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

จากกราฟของพาราโบลา คุณยังสามารถกำหนดรากได้อีกด้วย สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ หากไม่ง่ายที่จะได้การแสดงฟังก์ชันกำลังสองเป็นภาพ คุณสามารถทำให้ด้านขวาของนิพจน์เท่ากับ 0 และแก้สมการผลลัพธ์ได้ และเมื่อรู้จุดตัดกับแกน 0x ก็จะพล็อตได้ง่ายขึ้น

จากประวัติศาสตร์

ด้วยความช่วยเหลือของสมการที่มีตัวแปรกำลังสองในสมัยก่อนไม่เพียง แต่ทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์และกำหนดพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น คนโบราณต้องการการคำนวณดังกล่าวสำหรับการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ในด้านฟิสิกส์และดาราศาสตร์ เช่นเดียวกับการพยากรณ์ทางโหราศาสตร์

ตามที่นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่แนะนำ ชาวบาบิโลนเป็นกลุ่มแรกที่แก้สมการกำลังสอง มันเกิดขึ้นสี่ศตวรรษก่อนการมาถึงของยุคของเรา แน่นอนว่าการคำนวณของพวกเขานั้นแตกต่างจากที่ยอมรับในปัจจุบันและกลายเป็นแบบดั้งเดิมมากขึ้น ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวเมโสโปเตเมียไม่มีความคิดเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนลบ พวกเขาไม่คุ้นเคยกับรายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ ของผู้ที่รู้จักนักเรียนในยุคของเรา

บางทีอาจจะเร็วกว่านักวิทยาศาสตร์ของบาบิโลน ปราชญ์จากอินเดีย บาธยามะ ได้ใช้คำตอบของสมการกำลังสอง สิ่งนี้เกิดขึ้นประมาณแปดศตวรรษก่อนการมาถึงของยุคของพระคริสต์ จริงอยู่ สมการอันดับสอง ซึ่งเป็นวิธีการแก้ที่เขาให้นั้นง่ายที่สุด นอกจากเขาแล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวจีนยังสนใจคำถามที่คล้ายกันในสมัยก่อนอีกด้วย ในยุโรป สมการกำลังสองเริ่มถูกแก้เมื่อต้นศตวรรษที่ 13 เท่านั้น แต่ต่อมานักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อย่างนิวตัน เดส์การตส์ และคนอื่นๆ อีกหลายคนก็ใช้สมการนี้ในงานของพวกเขา

ในความต่อเนื่องของหัวข้อ "การแก้สมการ" เนื้อหาในบทความนี้จะแนะนำคุณเกี่ยวกับสมการกำลังสอง

ลองพิจารณาทุกอย่างโดยละเอียด: สาระสำคัญและสัญกรณ์ของสมการกำลังสอง กำหนดเงื่อนไขที่มาพร้อมกัน วิเคราะห์โครงร่างสำหรับการแก้สมการที่ไม่สมบูรณ์และสมบูรณ์ ทำความคุ้นเคยกับสูตรของรากและการแบ่งแยก สร้างการเชื่อมต่อระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์ และของ แน่นอนเราจะให้วิธีแก้ปัญหาด้วยภาพตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง

สมการกำลังสอง ประเภทของมัน

คำจำกัดความ 1

สมการกำลังสองเป็นสมการที่เขียนเป็น a x 2 + b x + c = 0, ที่ไหน x– ตัวแปร a , b และ คเป็นตัวเลขบางส่วนในขณะที่ เอไม่เป็นศูนย์

บ่อยครั้ง สมการกำลังสองเรียกอีกอย่างว่าสมการของดีกรีที่สอง เนื่องจากอันที่จริง สมการกำลังสองคือสมการพีชคณิตของดีกรีที่สอง

ให้ตัวอย่างเพื่อแสดงคำจำกัดความที่กำหนด: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 เป็นต้น เป็นสมการกำลังสอง

คำจำกัดความ 2

ตัวเลข a , b และ คคือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c = 0ในขณะที่สัมประสิทธิ์ เอเรียกว่าแรกหรืออาวุโสหรือสัมประสิทธิ์ที่ x 2, b - สัมประสิทธิ์ที่สองหรือสัมประสิทธิ์ที่ x, แ คเรียกว่าเป็นสมาชิกฟรี

ตัวอย่างเช่น ในสมการกำลังสอง 6 x 2 - 2 x - 11 = 0สัมประสิทธิ์สูงสุดคือ 6 สัมประสิทธิ์ที่สองคือ − 2 และระยะฟรีเท่ากับ − 11 . ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ ขและ/หรือ c เป็นลบ จากนั้นจึงใช้รูปแบบชวเลข 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, แต่ไม่ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

ให้เราชี้แจงประเด็นนี้ด้วย: ถ้าสัมประสิทธิ์ เอและ/หรือ ขเท่ากับ 1 หรือ − 1 จากนั้นพวกเขาอาจไม่มีส่วนร่วมอย่างชัดเจนในการเขียนสมการกำลังสองซึ่งอธิบายโดยลักษณะเฉพาะของการเขียนสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่ระบุ ตัวอย่างเช่น ในสมการกำลังสอง y 2 − y + 7 = 0สัมประสิทธิ์อาวุโสคือ 1 และสัมประสิทธิ์ที่สองคือ − 1 .

สมการกำลังสองลดและไม่ลด

ตามค่าของสัมประสิทธิ์แรก สมการกำลังสองจะแบ่งออกเป็นลดและไม่ลด

คำจำกัดความ 3

สมการกำลังสองลดลงเป็นสมการกำลังสองโดยที่สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 สำหรับค่าอื่นๆ ของสัมประสิทธิ์นำ สมการกำลังสองจะไม่ลดลง

สมการกำลังสอง x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 ลดลง โดยแต่ละค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1

9 x 2 - x - 2 = 0- สมการกำลังสองไม่ลด โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์แรกแตกต่างจาก 1 .

สมการกำลังสองที่ไม่ลดทอนใดๆ สามารถแปลงเป็นสมการลดรูปได้โดยการหารทั้งสองส่วนด้วยสัมประสิทธิ์แรก (การแปลงเทียบเท่า) สมการที่แปลงแล้วจะมีรากเดียวกับสมการที่ไม่ลดค่าที่กำหนด หรือจะไม่มีรากเลย

การพิจารณาตัวอย่างเฉพาะจะช่วยให้เราแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากสมการกำลังสองที่ไม่ลดทอนไปเป็นสมการที่ลดลง

ตัวอย่างที่ 1

จากสมการ 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . จำเป็นต้องแปลงสมการเดิมให้อยู่ในรูปย่อ

การตัดสินใจ

ตามรูปแบบข้างต้น เราแบ่งทั้งสองส่วนของสมการเดิมด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า 6 . จากนั้นเราได้รับ: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3และนี่ก็เหมือนกับ: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0และต่อไป: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 .จากที่นี่: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . ดังนั้นจึงได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา

ตอบ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

ให้เราหันไปหาคำจำกัดความของสมการกำลังสอง โดยเราระบุไว้ว่า a 0. เงื่อนไขที่คล้ายกันเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับสมการ a x 2 + b x + c = 0เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสพอดีตั้งแต่ a = 0มันแปลงร่างเป็น สมการเชิงเส้น ข x + ค = 0.

ในกรณีที่สัมประสิทธิ์ ขและ คเท่ากับศูนย์ (ซึ่งเป็นไปได้ทั้งแบบแยกส่วนและร่วมกัน) สมการกำลังสองเรียกว่าไม่สมบูรณ์

คำจำกัดความ 4

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์เป็นสมการกำลังสอง ก x 2 + ข x + ค \u003d 0,โดยที่สัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งตัว ขและ ค(หรือทั้งสองอย่าง) เป็นศูนย์

สมการกำลังสองสมบูรณ์เป็นสมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์ตัวเลขทั้งหมดไม่เท่ากับศูนย์

มาพูดคุยกันว่าทำไมชื่อของสมการกำลังสองจึงได้รับชื่อดังกล่าวอย่างแม่นยำ

สำหรับ b = 0 สมการกำลังสองอยู่ในรูป a x 2 + 0 x + c = 0ซึ่งก็เหมือนกับ ก x 2 + ค = 0. ที่ ค = 0สมการกำลังสองเขียนเป็น a x 2 + b x + 0 = 0ซึ่งเทียบเท่ากับ ก x 2 + ข x = 0. ที่ ข = 0และ ค = 0สมการจะอยู่ในรูป x 2 = 0. สมการที่เราได้รับแตกต่างจากสมการกำลังสองเต็มตรงที่ด้านซ้ายมือไม่มีพจน์ที่มีตัวแปร x หรือเทอมอิสระ หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน อันที่จริง ข้อเท็จจริงนี้ทำให้ชื่อของสมการประเภทนี้ - ไม่สมบูรณ์

ตัวอย่างเช่น x 2 + 3 x + 4 = 0 และ − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 เป็นสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 เป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

คำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นทำให้สามารถแยกแยะประเภทของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ต่อไปนี้ได้:

• x 2 = 0สัมประสิทธิ์สอดคล้องกับสมการดังกล่าว ข = 0และ c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 สำหรับ b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 สำหรับ c = 0 .

พิจารณาคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์แต่ละประเภทอย่างต่อเนื่อง

คำตอบของสมการ a x 2 \u003d 0

ดังที่ได้กล่าวมาแล้วสมการดังกล่าวสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ ขและ คเท่ากับศูนย์ สมการ x 2 = 0สามารถแปลงเป็นสมการเทียบเท่าได้ x2 = 0ซึ่งเราได้จากการหารสมการเดิมทั้งสองข้างด้วยจำนวน เอไม่เท่ากับศูนย์ ความจริงที่เห็นได้ชัดก็คือรากของสมการ x2 = 0เป็นศูนย์เพราะ 0 2 = 0 . สมการนี้ไม่มีรากอื่นซึ่งอธิบายโดยคุณสมบัติของดีกรี: สำหรับจำนวนใด ๆ พี ,ไม่เท่ากับศูนย์ ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง p2 > 0ซึ่งสืบเนื่องมาจากเมื่อ พี ≠ 0ความเท่าเทียมกัน p2 = 0จะไม่มีวันไปถึง

คำจำกัดความ 5

ดังนั้น สำหรับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 = 0 จะมีรากเดียว x=0.

ตัวอย่าง 2

ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ − 3 x 2 = 0. เทียบเท่ากับสมการ x2 = 0, รากเดียวของมันคือ x=0จากนั้นสมการเดิมจะมีรากเดียว - ศูนย์

สรุปวิธีแก้ปัญหาได้ดังนี้

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0

คำตอบของสมการ a x 2 + c \u003d 0

บรรทัดถัดไปคือคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ โดยที่ b \u003d 0, c ≠ 0 นั่นคือสมการของรูปแบบ ก x 2 + ค = 0. ลองแปลงสมการนี้โดยย้ายเทอมจากด้านหนึ่งของสมการไปอีกด้านหนึ่ง เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นด้านตรงข้ามและหารทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์:

• อดทน คทางด้านขวาซึ่งให้สมการ ก x 2 = − c;
• หารทั้งสองข้างของสมการด้วย เอเราจะได้ผลลัพธ์ x = - c a

การแปลงของเราเท่ากัน ตามลำดับ สมการที่ได้ก็เทียบเท่ากับสมการเดิม และข้อเท็จจริงนี้ทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับรากของสมการได้ จากค่านิยมคืออะไร เอและ คขึ้นอยู่กับค่าของนิพจน์ - c a: สามารถมีเครื่องหมายลบได้ (เช่น if a = 1และ ค = 2แล้ว - c a = - 2 1 = - 2) หรือเครื่องหมายบวก (เช่น if ก = -2และ ค=6จากนั้น - c a = - 6 - 2 = 3); มันไม่เท่ากับศูนย์เพราะ ค ≠ 0. ให้เราอาศัยรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับสถานการณ์เมื่อ - c a< 0 и - c a > 0 .

ในกรณีที่เมื่อ - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа พีความเท่าเทียมกัน p 2 = - c a ไม่สามารถเป็นจริงได้

ทุกอย่างแตกต่างกันเมื่อ - c a > 0: จำสแควร์รูทและจะเห็นได้ชัดว่ารูทของสมการ x 2 \u003d - c a จะเป็นตัวเลข - c a เนื่องจาก - c a 2 \u003d - c a เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าตัวเลข - - c a - ยังเป็นรากของสมการ x 2 = - c a: แน่นอน, - - c a 2 = - c a

สมการจะไม่มีรากอื่น เราสามารถสาธิตสิ่งนี้โดยใช้วิธีที่ตรงกันข้าม อันดับแรก ให้ตั้งค่าสัญกรณ์ของรูตที่พบด้านบนเป็น x 1และ − x 1. สมมติว่าสมการ x 2 = - c a มีรูทด้วย x2ซึ่งแตกต่างจากรากเหง้า x 1และ − x 1. เรารู้ว่าโดยการแทนค่าลงในสมการแทน xรากของมัน, เราแปลงสมการเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ยุติธรรม

สำหรับ x 1และ − x 1เขียน: x 1 2 = - c a และสำหรับ x2- x 2 2 \u003d - ค. ตามคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข เราลบความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหนึ่งจากอีกเทอมหนึ่งด้วยเทอม ซึ่งจะทำให้เรา: x 1 2 − x 2 2 = 0. ใช้คุณสมบัติของการดำเนินการตัวเลขเพื่อเขียนค่าความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็น (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. เป็นที่ทราบกันดีว่าผลคูณของตัวเลขสองตัวนั้นเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ จากที่เล่ามาก็ว่า x1 − x2 = 0และ/หรือ x1 + x2 = 0ซึ่งก็เหมือนกัน x2 = x1และ/หรือ x 2 = − x 1. เกิดความขัดแย้งอย่างเห็นได้ชัดเพราะในตอนแรกตกลงกันว่ารากของสมการ x2แตกต่างจาก x 1และ − x 1. ดังนั้น เราได้พิสูจน์แล้วว่าสมการไม่มีรากอื่นนอกจาก x = - c a และ x = - - c a

เราสรุปข้อโต้แย้งทั้งหมดข้างต้น

คำจำกัดความ 6

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์ ก x 2 + ค = 0เทียบเท่ากับสมการ x 2 = - c a ซึ่ง:

• จะไม่มีรากที่ - c a< 0 ;
• จะมีสองราก x = - c a และ x = - - c a when - c a > 0

ให้เรายกตัวอย่างการแก้สมการ ก x 2 + ค = 0.

ตัวอย่างที่ 3

รับสมการกำลังสอง 9 x 2 + 7 = 0 .จำเป็นต้องหาทางแก้ไข

การตัดสินใจ

เราโอนเทอมอิสระไปทางด้านขวาของสมการ จากนั้นสมการจะอยู่ในรูป 9 x 2 \u003d - 7
เราหารสมการผลลัพธ์ทั้งสองข้างด้วย 9 , เรามาถึง x 2 = - 7 9 . ทางด้านขวา เราเห็นตัวเลขที่มีเครื่องหมายลบ ซึ่งหมายความว่า สมการที่กำหนดไม่มีราก แล้วสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์เดิม 9 x 2 + 7 = 0จะไม่มีราก

ตอบ:สมการ 9 x 2 + 7 = 0ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 4

จำเป็นต้องแก้สมการ − x2 + 36 = 0.

การตัดสินใจ

ลองย้าย 36 ไปทางด้านขวา: − x 2 = − 36.
ขอแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น − 1 , เราได้รับ x2 = 36. ทางด้านขวาเป็นจำนวนบวกซึ่งเราสามารถสรุปได้ว่า x = 36 หรือ x = - 36 .
เราแยกรากและเขียนผลลัพธ์สุดท้าย: สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ − x2 + 36 = 0มีสองราก x=6หรือ x = -6.

ตอบ: x=6หรือ x = -6.

คำตอบของสมการ a x 2 +b x=0

ให้เราวิเคราะห์สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทที่สามเมื่อ ค = 0. การหาคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ก x 2 + ข x = 0เราใช้วิธีแยกตัวประกอบ ให้เราแยกตัวประกอบพหุนามซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของสมการโดยเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ x. ขั้นตอนนี้จะทำให้สามารถเปลี่ยนสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์เดิมให้มีค่าเท่ากันได้ x (a x + b) = 0. และสมการนี้ก็เท่ากับเซตของสมการ x=0และ ก x + ข = 0. สมการ ก x + ข = 0เชิงเส้นและรากของมัน: x = − ข ก.

คำจำกัดความ 7

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ก x 2 + ข x = 0จะมีสองราก x=0และ x = − ข ก.

มารวมเนื้อหาด้วยตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5

จำเป็นต้องหาคำตอบของสมการ 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

การตัดสินใจ

ออกไปกันเถอะ xนอกวงเล็บและรับสมการ x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . สมการนี้เทียบเท่ากับสมการ x=0และ 2 3 x - 2 2 7 = 0 . ตอนนี้คุณควรแก้สมการเชิงเส้นที่ได้: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

โดยสั้น ๆ เราเขียนคำตอบของสมการดังนี้:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 หรือ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 หรือ x = 3 3 7

ตอบ: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminant สูตรรากของสมการกำลังสอง

ในการหาคำตอบของสมการกำลังสอง มีสูตรรูทดังนี้

คำจำกัดความ 8

x = - b ± D 2 a โดยที่ D = b 2 − 4 a cคือสิ่งที่เรียกว่า discriminant ของสมการกำลังสอง

การเขียน x \u003d - b ± D 2 a โดยพื้นฐานแล้วหมายความว่า x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a

จะเป็นประโยชน์ในการทำความเข้าใจว่าสูตรที่ระบุได้มาอย่างไรและจะนำไปใช้อย่างไร

ที่มาของสูตรรากของสมการกำลังสอง

สมมติว่าเรากำลังเผชิญกับงานแก้สมการกำลังสอง a x 2 + b x + c = 0. ลองทำการแปลงที่เทียบเท่ากันจำนวนหนึ่ง:

• หารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวน เอแตกต่างจากศูนย์เราได้รับสมการกำลังสองที่ลดลง: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• เลือกสี่เหลี่ยมเต็มทางด้านซ้ายของสมการผลลัพธ์:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  หลังจากนี้สมการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​+ b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• ตอนนี้มันเป็นไปได้ที่จะถ่ายโอนสองเทอมสุดท้ายไปทางด้านขวา เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม หลังจากนั้นเราจะได้: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• ในที่สุด เราแปลงนิพจน์ที่เขียนทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันสุดท้าย:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2

เราจึงมาถึงสมการ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการเดิม a x 2 + b x + c = 0.

เราได้กล่าวถึงการแก้สมการดังกล่าวในย่อหน้าก่อนหน้า (การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์) ประสบการณ์ที่ได้รับทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับรากของสมการ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• สำหรับ b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• สำหรับ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 สมการมีรูปแบบ x + b 2 · a 2 = 0 จากนั้น x + b 2 · a = 0

จากที่นี่ มีเพียงรูท x = - b 2 · a เท่านั้นที่ชัดเจน

• สำหรับ b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 ค่าที่ถูกต้องคือ: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 หรือ x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 ซึ่งก็คือ เช่นเดียวกับ x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 หรือ x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 นั่นคือ สมการมีสองราก

เป็นไปได้ที่จะสรุปว่าการมีหรือไม่มีรากของสมการ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (และด้วยเหตุนี้สมการดั้งเดิม) ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของนิพจน์ b 2 - 4 a c 4 · a 2 เขียนไว้ทางด้านขวา และเครื่องหมายของนิพจน์นี้ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของตัวเศษ (ตัวส่วน 4 ต่อ 2จะเป็นบวกเสมอ) นั่นคือเครื่องหมายของนิพจน์ ข 2 − 4 ค. สำนวนนี้ ข 2 − 4 คมีการตั้งชื่อ - การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองและตัวอักษร D ถูกกำหนดให้เป็นการกำหนด ที่นี่คุณสามารถเขียนแก่นแท้ของการเลือกปฏิบัติ - ด้วยค่าและเครื่องหมาย พวกมันสรุปได้ว่าสมการกำลังสองจะมีรากจริงหรือไม่ และถ้ามี หนึ่งหรือสองรากมีกี่ราก

กลับไปที่สมการ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . ลองเขียนมันใหม่โดยใช้สัญกรณ์จำแนก: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2

มาสรุปข้อสรุปกัน:

คำจำกัดความ 9

• ที่ ดี< 0 สมการไม่มีรากที่แท้จริง
• ที่ D=0สมการมีรากเดียว x = - b 2 · a ;
• ที่ D > 0สมการมีสองราก: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 หรือ x \u003d - b 2 a - D 4 a 2 ตามคุณสมบัติของอนุมูล รากเหล่านี้สามารถเขียนได้ดังนี้: x \u003d - b 2 a + D 2 a หรือ - b 2 a - D 2 a และเมื่อเราเปิดโมดูลและลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม เราจะได้: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการใช้เหตุผลของเราคือการได้มาของสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , การเลือกปฏิบัติ ดีคำนวณโดยสูตร D = b 2 − 4 a c.

สูตรเหล่านี้ทำให้เป็นไปได้ เมื่อ discriminant มีค่ามากกว่าศูนย์ เพื่อกำหนดรากที่แท้จริงทั้งสอง เมื่อ discriminant เป็นศูนย์ การใช้ทั้งสองสูตรจะให้รากเดียวกันเป็นคำตอบเดียวของสมการกำลังสอง ในกรณีที่ discriminant เป็นค่าลบ พยายามใช้สูตรรากกำลังสอง เราจะต้องเผชิญกับความจำเป็นในการแยกรากที่สองของจำนวนลบออกซึ่งจะพาเราไปไกลกว่านั้น ตัวเลขจริง. ด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ สมการกำลังสองจะไม่มีรากที่แท้จริง แต่มีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนคู่หนึ่ง ซึ่งกำหนดโดยสูตรรากเดียวกันที่เราได้รับ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก

เป็นไปได้ที่จะแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรรากทันที แต่โดยพื้นฐานแล้ว จะทำได้เมื่อจำเป็นต้องหารากที่ซับซ้อน

ในกรณีส่วนใหญ่ การค้นหามักจะไม่ได้มีไว้สำหรับความซับซ้อน แต่สำหรับรากที่แท้จริงของสมการกำลังสอง จากนั้นจึงจะเหมาะสมที่สุด ก่อนที่จะใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง ขั้นแรกให้กำหนดการเลือกปฏิบัติและตรวจดูให้แน่ใจว่าไม่เป็นค่าลบ (ไม่เช่นนั้น เราจะสรุปได้ว่าสมการไม่มีรากจริง) แล้วจึงดำเนินการคำนวณ คุณค่าของราก

เหตุผลข้างต้นทำให้สามารถกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองได้

คำจำกัดความ 10

ในการแก้สมการกำลังสอง a x 2 + b x + c = 0, จำเป็น:

• ตามสูตร D = b 2 − 4 a cหาค่าของการเลือกปฏิบัติ;
• ที่ D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• สำหรับ D = 0 ค้นหารากเดียวของสมการโดยใช้สูตร x = - b 2 · a ;
• สำหรับ D > 0 ให้หารากจริงสองรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตร x = - b ± D 2 · a

โปรดทราบว่าเมื่อ discriminant เป็นศูนย์ คุณสามารถใช้สูตร x = - b ± D 2 · a ได้ ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เหมือนกับสูตร x = - b 2 · a

พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

เรานำเสนอวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างสำหรับค่านิยมต่างๆของการเลือกปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 6

จำเป็นต้องหารากของสมการ x 2 + 2 x - 6 = 0.

การตัดสินใจ

เราเขียนสัมประสิทธิ์ตัวเลขของสมการกำลังสอง: a \u003d 1, b \u003d 2 และ ค = − 6. ต่อไป เราดำเนินการตามอัลกอริทึม กล่าวคือ มาเริ่มคำนวณ discriminant ซึ่งเราแทนค่าสัมประสิทธิ์ a , b และ คลงในสูตรการเลือกปฏิบัติ: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

ดังนั้นเราจึงได้ D > 0 ซึ่งหมายความว่าสมการเดิมจะมีรากจริงสองราก
ในการค้นหาเราใช้สูตรรูท x \u003d - b ± D 2 · a และแทนที่ค่าที่เหมาะสมเราจะได้: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1 เราลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์โดยการเอาตัวประกอบออกจากเครื่องหมายของรูท ตามด้วยการลดเศษส่วน:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 หรือ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 หรือ x = - 1 - 7

ตอบ: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

ตัวอย่าง 7

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

การตัดสินใจ

มากำหนดการเลือกปฏิบัติ: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. ด้วยค่าดิสคริมิแนนต์นี้ สมการดั้งเดิมจะมีเพียงหนึ่งรูท ซึ่งกำหนดโดยสูตร x = - b 2 · a

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

ตอบ: x = 3, 5.

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องแก้สมการ 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

การตัดสินใจ

สัมประสิทธิ์ตัวเลขของสมการนี้จะเป็น: a = 5 , b = 6 และ c = 2 เราใช้ค่าเหล่านี้เพื่อค้นหาการเลือกปฏิบัติ: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . ดิสคริมิแนนต์ที่คำนวณได้นั้นเป็นค่าลบ ดังนั้นสมการกำลังสองดั้งเดิมจึงไม่มีรากที่แท้จริง

ในกรณีที่งานคือการระบุรากที่ซับซ้อน เราใช้สูตรรากโดยดำเนินการกับ ตัวเลขเชิงซ้อน:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 หรือ x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i หรือ x = - 3 5 - 1 5 i .

ตอบ:ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อนคือ: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

ในหลักสูตรของโรงเรียนเป็นมาตรฐาน ไม่จำเป็นต้องมองหารากที่ซับซ้อน ดังนั้น หากการเลือกปฏิบัติถูกกำหนดเป็นลบระหว่างการแก้ปัญหา คำตอบจะถูกบันทึกทันทีว่าไม่มีรากที่แท้จริง

สูตรรากสำหรับสัมประสิทธิ์เลขคู่

สูตรราก x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) ทำให้ได้สูตรอื่นที่กะทัดรัดยิ่งขึ้น ช่วยให้คุณหาคำตอบของสมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์คู่ที่ x (หรือด้วยค่าสัมประสิทธิ์ ของรูปแบบ 2 a n ตัวอย่างเช่น 2 3 หรือ 14 ln 5 = 2 7 ln 5) ให้เราแสดงให้เห็นว่าสูตรนี้ได้มาอย่างไร

สมมติว่าเรากำลังเผชิญกับภารกิจในการหาคำตอบของสมการกำลังสอง a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 เราดำเนินการตามอัลกอริทึม: เรากำหนดการเลือกปฏิบัติ D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) จากนั้นใช้สูตรรูท:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · ค ก.

ให้นิพจน์ n 2 − a c แทนด้วย D 1 (บางครั้งแสดงแทน D ") จากนั้นสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่พิจารณาด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2 n จะมีรูปแบบดังนี้

x \u003d - n ± D 1 a โดยที่ D 1 \u003d n 2 - a c

ง่ายที่จะเห็นว่า D = 4 · D 1 หรือ D 1 = D 4 กล่าวอีกนัยหนึ่ง D 1 คือหนึ่งในสี่ของการเลือกปฏิบัติ เห็นได้ชัดว่าเครื่องหมายของ D 1 เหมือนกับเครื่องหมายของ D ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายของ D 1 สามารถใช้เป็นตัวบ่งชี้ว่ามีหรือไม่มีรากของสมการกำลังสอง

คำจำกัดความ 11

ดังนั้น ในการหาคำตอบของสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่สองเท่ากับ 2 n จึงจำเป็น:

• หา D 1 = n 2 − a c ;
• ที่ D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• สำหรับ D 1 = 0 ให้กำหนดรากเดียวของสมการโดยใช้สูตร x = - n a ;
• สำหรับ D 1 > 0 กำหนดสองรากที่แท้จริงโดยใช้สูตร x = - n ± D 1 a

ตัวอย่างที่ 9

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0

การตัดสินใจ

สัมประสิทธิ์ที่สองของสมการที่กำหนดสามารถแสดงเป็น 2 · (− 3) . จากนั้นเราเขียนสมการกำลังสองที่กำหนดใหม่เป็น 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 โดยที่ a = 5 , n = − 3 และ c = − 32

ลองคำนวณส่วนที่สี่ของการเลือกปฏิบัติ: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 ค่าผลลัพธ์เป็นบวก ซึ่งหมายความว่าสมการมีรากจริงสองราก เรากำหนดโดยสูตรที่สอดคล้องกันของราก:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 หรือ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 หรือ x = - 2

เป็นไปได้ที่จะทำการคำนวณโดยใช้สูตรปกติสำหรับรากของสมการกำลังสอง แต่ในกรณีนี้ การแก้ปัญหาจะยุ่งยากกว่า

ตอบ: x = 3 1 5 หรือ x = - 2 .

การลดความซับซ้อนของรูปสมการกำลังสอง

บางครั้งเป็นไปได้ที่จะปรับรูปแบบของสมการดั้งเดิมให้เหมาะสม ซึ่งจะทำให้ขั้นตอนการคำนวณรากง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสอง 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 จะสะดวกกว่าในการแก้มากกว่า 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 อย่างชัดเจน

บ่อยครั้ง การลดความซับซ้อนของรูปแบบของสมการกำลังสองนั้นทำได้โดยการคูณหรือหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวนที่แน่นอน ตัวอย่างเช่น ด้านบน เราได้แสดงการแสดงสมการแบบง่าย 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 ซึ่งได้จากหารทั้งสองส่วนด้วย 100

การแปลงดังกล่าวเป็นไปได้เมื่อสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองไม่ใช่จำนวนเฉพาะ จากนั้นโดยปกติทั้งสองส่วนของสมการจะถูกหารด้วยตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์

ตัวอย่างเช่น เราใช้สมการกำลังสอง 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 กำหนด gcd ของค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . ลองหารทั้งสองส่วนของสมการกำลังสองเดิมด้วย 6 แล้วได้สมการกำลังสองที่เท่ากัน 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0

โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการกำลังสอง สัมประสิทธิ์เศษส่วนมักจะถูกตัดออก ในกรณีนี้ ให้คูณด้วยตัวคูณร่วมน้อยของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น หากแต่ละส่วนของสมการกำลังสอง 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 ถูกคูณด้วย LCM (6, 3, 1) \u003d 6 จากนั้นจะถูกเขียนในรูปแบบที่ง่ายกว่า x 2 + 4 x - 18 = 0 .

สุดท้าย เราสังเกตว่าเกือบทุกครั้งจะกำจัดเครื่องหมายลบที่สัมประสิทธิ์แรกของสมการกำลังสอง โดยเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอมของสมการ ซึ่งทำได้โดยการคูณ (หรือหาร) ทั้งสองส่วนด้วย − 1 ตัวอย่างเช่น จากสมการกำลังสอง - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 คุณสามารถไปที่เวอร์ชันย่อ 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0

ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์

สูตรที่ทราบอยู่แล้วสำหรับรากของสมการกำลังสอง x = - b ± D 2 · a เป็นการแสดงออกถึงรากของสมการในแง่ของสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลข จากสูตรนี้ เรามีโอกาสที่จะตั้งค่าการพึ่งพาอื่น ๆ ระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์

ที่มีชื่อเสียงและใช้ได้จริงคือสูตรของทฤษฎีบทเวียตา:

x 1 + x 2 \u003d - b a และ x 2 \u003d c a.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับสมการกำลังสองที่ให้มา ผลรวมของรากคือสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากจะเท่ากับเทอมว่าง ตัวอย่างเช่น โดยรูปแบบของสมการกำลังสอง 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 เป็นไปได้ที่จะระบุได้ทันทีว่าผลรวมของรากของมันคือ 7 3 และผลิตภัณฑ์ของรากคือ 22 3

คุณยังสามารถค้นหาความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ผลรวมของกำลังสองของรากของสมการกำลังสองสามารถแสดงในรูปของสัมประสิทธิ์:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

หัวข้อนี้อาจดูซับซ้อนในตอนแรกเนื่องจากมีสูตรที่ไม่ง่ายมากมาย สมการกำลังสองไม่เพียงแต่มีรายการยาว แต่รากยังพบผ่านการเลือกปฏิบัติ มีทั้งหมดสามสูตรใหม่ จำไม่ค่อยได้. สิ่งนี้เป็นไปได้หลังจากการแก้สมการดังกล่าวบ่อยครั้งเท่านั้น จากนั้นสูตรทั้งหมดจะถูกจดจำด้วยตัวเอง

มุมมองทั่วไปของสมการกำลังสอง

ที่นี่มีการเสนอสัญกรณ์ที่ชัดเจนเมื่อเขียนระดับที่ใหญ่ที่สุดก่อนแล้วจึงเรียงลำดับจากมากไปน้อย มักจะมีสถานการณ์ที่เงื่อนไขแตกต่างออกไป จะดีกว่าถ้าเขียนสมการใหม่โดยเรียงจากมากไปหาน้อยของดีกรีของตัวแปร

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ แสดงในตารางด้านล่าง

ถ้าเรายอมรับสัญกรณ์เหล่านี้ สมการกำลังสองทั้งหมดจะลดลงเป็นสัญกรณ์ต่อไปนี้

ยิ่งกว่านั้นสัมประสิทธิ์ a ≠ 0 ให้สูตรนี้แทนด้วยเลขหนึ่ง

เมื่อให้สมการมา จะไม่ชัดเจนว่าคำตอบจะมีรากกี่ตัว เพราะหนึ่งในสามตัวเลือกนั้นเป็นไปได้เสมอ:

• สารละลายจะมีสองราก
• คำตอบจะเป็นตัวเลขเดียว
• สมการไม่มีรากเลย

และในขณะที่การตัดสินใจไม่สิ้นสุด เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าตัวเลือกใดจะหลุดออกไปในบางกรณี

ประเภทของบันทึกสมการกำลังสอง

งานอาจมีรายการที่แตกต่างกัน ไม่ได้ดูเหมือน .เสมอไป สูตรทั่วไปสมการกำลังสอง. บางครั้งก็ขาดเงื่อนไขบางอย่าง สิ่งที่เขียนข้างต้นเป็นสมการที่สมบูรณ์ หากคุณลบเทอมที่สองหรือสามออกไป คุณจะได้อย่างอื่น บันทึกเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าสมการกำลังสอง ไม่สมบูรณ์เท่านั้น

นอกจากนี้ เฉพาะเงื่อนไขที่สัมประสิทธิ์ "b" และ "c" เท่านั้นที่สามารถหายไปได้ ตัวเลข "a" ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ไม่ว่ากรณีใดๆ เพราะในกรณีนี้สูตรจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น สูตรสำหรับสมการที่ไม่สมบูรณ์จะเป็นดังนี้:

ดังนั้น มีเพียงสองประเภทเท่านั้น นอกเหนือจากแบบสมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกด้วย ให้สูตรแรกเป็นเลขสองและเลขสองสาม

การเลือกปฏิบัติและการพึ่งพาจำนวนรากตามมูลค่า

ต้องรู้ตัวเลขนี้เพื่อคำนวณรากของสมการ มันสามารถคำนวณได้เสมอ ไม่ว่าสูตรของสมการกำลังสองจะเป็นอะไรก็ตาม ในการคำนวณการเลือกปฏิบัติ คุณต้องใช้ความเท่าเทียมกันที่เขียนไว้ด้านล่าง ซึ่งจะมีเลขสี่

หลังจากแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรนี้แล้ว คุณจะได้ตัวเลขด้วย สัญญาณต่างๆ. ถ้าคำตอบคือใช่ คำตอบของสมการจะเป็นรากที่สองต่างกัน ด้วยจำนวนลบ รากของสมการกำลังสองจะหายไป ถ้าเท่ากับศูนย์ คำตอบจะเป็นหนึ่ง

สมการกำลังสองสมบูรณ์แก้ได้อย่างไร?

อันที่จริงการพิจารณาเรื่องนี้ได้เริ่มขึ้นแล้ว เพราะก่อนอื่นคุณต้องค้นหาการเลือกปฏิบัติ หลังจากที่ชี้แจงว่ามีรากของสมการกำลังสองและทราบจำนวนแล้ว คุณต้องใช้สูตรสำหรับตัวแปร หากมีสองรูทคุณต้องใช้สูตรดังกล่าว

เนื่องจากมีเครื่องหมาย “±” อยู่ จึงมี 2 ค่า การแสดงออกที่ลงนาม รากที่สองเป็นผู้เลือกปฏิบัติ ดังนั้นสูตรจึงสามารถเขียนใหม่ได้ในลักษณะที่ต่างออกไป

สูตรห้า. จากบันทึกเดียวกันจะเห็นได้ว่าหาก discriminant เป็นศูนย์ รากทั้งสองก็จะรับค่าเดียวกัน

หากการแก้สมการกำลังสองยังไม่ได้ผล จะเป็นการดีกว่าที่จะเขียนค่าของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดก่อนที่จะใช้สูตรจำแนกและตัวแปร ภายหลังช่วงเวลานี้จะไม่ทำให้เกิดปัญหา แต่ในตอนแรกมีความสับสน

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์แก้ไขได้อย่างไร?

ทุกอย่างง่ายกว่ามากที่นี่ แม้จะไม่ต้องการสูตรเพิ่มเติมก็ตาม และคุณไม่จำเป็นต้องมีสิ่งที่เขียนไว้แล้วสำหรับการเลือกปฏิบัติและสิ่งที่ไม่รู้จัก

อันดับแรก ให้พิจารณาสมการที่ไม่สมบูรณ์ข้อที่สอง ในความเท่าเทียมกันนี้ ควรจะเอาค่าที่ไม่รู้จักออกจากวงเล็บและแก้สมการเชิงเส้น ซึ่งจะยังคงอยู่ในวงเล็บ คำตอบจะมีสองราก อันแรกจำเป็นต้องเท่ากับศูนย์ เพราะมีตัวประกอบที่ประกอบด้วยตัวแปรเอง ประการที่สองได้จากการแก้สมการเชิงเส้น

สมการที่ไม่สมบูรณ์ที่หมายเลขสามแก้ไขได้โดยการโอนหมายเลขจากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา จากนั้นคุณต้องหารด้วยสัมประสิทธิ์หน้าค่านิรนาม เหลือเพียงการแยกรากที่สองออกและอย่าลืมเขียนสองครั้งด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

ต่อไปนี้คือการดำเนินการบางอย่างที่ช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ความเท่าเทียมกันทุกประเภทที่เปลี่ยนเป็นสมการกำลังสอง พวกเขาจะช่วยให้นักเรียนหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเนื่องจากการไม่ตั้งใจ ข้อบกพร่องเหล่านี้เป็นสาเหตุของคะแนนไม่ดีเมื่อศึกษาหัวข้อ "สมการกำลังสอง (เกรด 8)" อย่างละเอียด ต่อจากนั้น การกระทำเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องดำเนินการอย่างต่อเนื่อง เพราะจะมีนิสัยที่มั่นคง

• ก่อนอื่นคุณต้องเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือ ขั้นแรก เทอมที่มีดีกรีดีกรีมากที่สุดของตัวแปร และจากนั้น - ไม่มีดีกรีและตัวสุดท้าย - ก็แค่ตัวเลข

• หากเครื่องหมายลบปรากฏขึ้นก่อนสัมประสิทธิ์ "a" ก็อาจทำให้งานสำหรับผู้เริ่มต้นศึกษาสมการกำลังสองซับซ้อนขึ้นได้ ดีกว่าที่จะกำจัดมัน เพื่อจุดประสงค์นี้ ความเท่าเทียมกันทั้งหมดจะต้องคูณด้วย "-1" ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขทั้งหมดจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม

• ในทำนองเดียวกัน ขอแนะนำให้กำจัดเศษส่วน แค่คูณสมการด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อให้ตัวส่วนตัดกัน

ตัวอย่าง

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองต่อไปนี้:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

สมการแรก: x 2 - 7x \u003d 0 ยังไม่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงแก้ไขตามที่อธิบายไว้สำหรับสูตรหมายเลขสอง

หลังจากถ่ายคร่อมแล้วปรากฎว่า: x (x - 7) \u003d 0

รูทแรกรับค่า: x 1 \u003d 0 ตัวที่สองจะหาได้จากสมการเชิงเส้น: x - 7 \u003d 0 ง่ายที่จะเห็นว่า x 2 \u003d 7

สมการที่สอง: 5x2 + 30 = 0 ไม่สมบูรณ์อีกครั้ง เท่านั้นจะแก้ไขตามที่อธิบายไว้สำหรับสูตรที่สาม

หลังจากโอน 30 ไปทางด้านขวาของสมการแล้ว: 5x 2 = 30 ตอนนี้คุณต้องหารด้วย 5 ปรากฎว่า: x 2 = 6 คำตอบจะเป็นตัวเลข: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

สมการที่สาม: 15 - 2x - x 2 \u003d 0 ที่นี่และด้านล่าง การแก้สมการกำลังสองจะเริ่มต้นด้วยการเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0 ตอนนี้ได้เวลาใช้สมการที่สองแล้ว คำแนะนำที่เป็นประโยชน์และคูณทุกอย่างด้วยลบหนึ่ง ปรากฎ x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ตามสูตรที่สี่คุณต้องคำนวณการจำแนก: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. มันคือ จำนวนบวก จากที่กล่าวข้างต้น ปรากฎว่าสมการมีสองราก ต้องคำนวณตามสูตรที่ห้า ตามนั้นปรากฎว่า x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2 จากนั้น x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5

สมการที่สี่ x 2 + 8 + 3x \u003d 0 ถูกแปลงเป็นสิ่งนี้: x 2 + 3x + 8 \u003d 0 การเลือกปฏิบัติเท่ากับค่านี้: -23 เนื่องจากตัวเลขนี้เป็นค่าลบ คำตอบของงานนี้จึงเป็นรายการต่อไปนี้: "ไม่มีราก"

สมการที่ห้า 12x + x 2 + 36 = 0 ควรเขียนใหม่ดังนี้: x 2 + 12x + 36 = 0 หลังจากใช้สูตรสำหรับการเลือกปฏิบัติ จะได้เลขศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจะมีหนึ่งรูทคือ: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6

สมการที่หก (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) ต้องมีการแปลง ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าคุณจำเป็นต้องนำพจน์ที่เหมือนกันมา ก่อนเปิดวงเล็บ แทนที่อันแรกจะมีนิพจน์ดังกล่าว: x 2 + 2x + 1 หลังจากความเท่าเทียมกัน รายการนี้จะปรากฏขึ้น: x 2 + 3x + 2 หลังจากนับคำศัพท์ที่คล้ายกันแล้ว สมการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​2 - x \u003d 0 มันไม่สมบูรณ์ คล้ายกับได้รับการพิจารณาให้สูงขึ้นเล็กน้อยแล้ว รากของสิ่งนี้จะเป็นตัวเลข 0 และ 1

เราศึกษาหัวข้อต่อไป แก้สมการ". เราได้ทำความคุ้นเคยกับสมการเชิงเส้นแล้ว และตอนนี้เรากำลังจะทำความคุ้นเคยกับ สมการกำลังสอง.

อันดับแรก เราจะวิเคราะห์ว่าสมการกำลังสองคืออะไร มันเขียนอย่างไรใน ปริทัศน์และให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง หลังจากนั้น เราจะใช้ตัวอย่างวิเคราะห์ในรายละเอียดว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์นั้นได้รับการแก้ไขอย่างไร ต่อไป เราจะไปต่อในการแก้สมการที่สมบูรณ์ รับสูตรสำหรับราก ทำความคุ้นเคยกับการจำแนกสมการกำลังสอง และพิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไป สุดท้าย เราติดตามการเชื่อมต่อระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์

การนำทางหน้า

สมการกำลังสองคืออะไร? ประเภทของพวกเขา

ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าสมการกำลังสองคืออะไร ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะเริ่มพูดถึงสมการกำลังสองด้วยคำจำกัดความของสมการกำลังสอง เช่นเดียวกับคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง หลังจากนั้น คุณสามารถพิจารณาประเภทหลักของสมการกำลังสอง: สมการกำลังสองและการลดรูป รวมถึงสมการที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

ความหมายและตัวอย่างของสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

สมการกำลังสองเป็นสมการของรูป a x 2 +b x+c=0โดยที่ x เป็นตัวแปร a , b และ c คือตัวเลขบางตัว และ a ต่างจากศูนย์

สมมติทันทีว่าสมการกำลังสองมักเรียกว่าสมการดีกรีที่สอง ทั้งนี้เป็นเพราะสมการกำลังสองคือ สมการพีชคณิตระดับที่สอง

คำจำกัดความที่ฟังดูแล้วทำให้เราสามารถยกตัวอย่างสมการกำลังสองได้ ดังนั้น 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, เป็นต้น เป็นสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

ตัวเลข a , b และ c เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c \u003d 0 และสัมประสิทธิ์ a เรียกว่าตัวแรกหรือตัวสูงหรือสัมประสิทธิ์ที่ x 2 b คือสัมประสิทธิ์ที่สองหรือสัมประสิทธิ์ที่ x และ c เป็นสมาชิกอิสระ

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสองของรูปแบบ 5 x 2 −2 x−3=0 โดยที่สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 5 สัมประสิทธิ์ที่สองคือ −2 และเทอมอิสระคือ −3 โปรดทราบว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ b และ/หรือ c เป็นลบ ดังในตัวอย่างที่ให้ไว้ จะใช้รูปแบบสั้นของสมการกำลังสองของรูปแบบ 5 x 2 −2 x−3=0 ไม่ใช่ 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ a และ / หรือ b เท่ากับ 1 หรือ -1 ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้มักจะไม่ชัดเจนในสัญกรณ์สมการกำลังสอง ซึ่งเกิดจากลักษณะเฉพาะของสัญกรณ์ดังกล่าว . ตัวอย่างเช่น ในสมการกำลังสอง y 2 −y+3=0 สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 และสัมประสิทธิ์ที่ y คือ -1

สมการกำลังสองลดและไม่ลด

ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์นำ สมการกำลังสองลดและไม่ลดจะแตกต่างกัน ให้เราให้คำจำกัดความที่สอดคล้องกัน

คำนิยาม.

สมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 เรียกว่า สมการกำลังสองลดลง. มิฉะนั้น สมการกำลังสองคือ ไม่ลดลง.

ตาม นิยามนี้, สมการกำลังสอง x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, เป็นต้น - ลดลงในแต่ละค่าสัมประสิทธิ์แรกเท่ากับหนึ่ง และ 5 x 2 −x−1=0 เป็นต้น - สมการกำลังสองไม่ลดค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าแตกต่างจาก 1 .

จากสมการกำลังสองที่ไม่ลดรูปใดๆ โดยการหารทั้งสองส่วนด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า คุณสามารถไปที่ส่วนที่ลดแล้วได้ การกระทำนี้เป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน กล่าวคือ สมการกำลังสองลดรูปที่ได้รับในลักษณะนี้มีรากเดียวกันกับสมการกำลังสองแบบไม่ลดค่าดั้งเดิม หรือแบบที่ไม่มีราก

ลองมาดูตัวอย่างว่าการเปลี่ยนจากสมการกำลังสองแบบไม่ลดรูปไปเป็นสมการกำลังสองนั้นทำอย่างไร

ตัวอย่าง.

จากสมการ 3 x 2 +12 x−7=0 ไปที่สมการกำลังสองลดค่าที่สอดคล้องกัน

การตัดสินใจ.

หารทั้งสองส่วนของสมการเดิมด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า 3 ก็เพียงพอแล้ว ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถดำเนินการนี้ได้ เรามี (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ซึ่งเหมือนกับ (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 เป็นต้น (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 เป็นต้น (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 มาจากไหน เราก็ได้สมการกำลังสองลดรูป ซึ่งเท่ากับสมการเดิม

ตอบ:

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

มีเงื่อนไข a≠0 ในนิยามของสมการกำลังสอง เงื่อนไขนี้จำเป็นเพื่อให้สมการ a x 2 +b x+c=0 เป็นกำลังสองพอดี เนื่องจาก a=0 จะกลายเป็นสมการเชิงเส้นของรูปแบบ b x+c=0 จริงๆ

สำหรับสัมประสิทธิ์ b และ c พวกมันสามารถเท่ากับศูนย์ ทั้งแยกจากกันและรวมกัน ในกรณีเหล่านี้ สมการกำลังสองเรียกว่าไม่สมบูรณ์

คำนิยาม.

สมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 เรียกว่า ไม่สมบูรณ์, ถ้าอย่างน้อยหนึ่งสัมประสิทธิ์ b , c เท่ากับศูนย์

ถึงคราวของมัน

คำนิยาม.

สมการกำลังสองสมบูรณ์เป็นสมการที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดต่างจากศูนย์

ชื่อเหล่านี้ไม่ได้รับโดยบังเอิญ สิ่งนี้จะชัดเจนจากการสนทนาต่อไปนี้

หากสัมประสิทธิ์ b เท่ากับศูนย์ สมการกำลังสองจะอยู่ในรูปแบบ a x 2 +0 x+c=0 และเทียบเท่ากับสมการ a x 2 +c=0 ถ้า c=0 นั่นคือสมการกำลังสองมีรูปแบบ a x 2 +b x+0=0 ก็สามารถเขียนใหม่เป็น x 2 +b x=0 ได้ และด้วย b=0 และ c=0 เราได้สมการกำลังสอง a·x 2 =0 สมการที่ได้จะแตกต่างจากสมการกำลังสองเต็มตรงตรงที่ด้านซ้ายมือไม่มีพจน์ที่มีตัวแปร x หรือพจน์อิสระ หรือทั้งสองอย่าง ดังนั้นชื่อของพวกเขาจึงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ดังนั้น สมการ x 2 +x+1=0 และ −2 x 2 −5 x+0,2=0 จึงเป็นตัวอย่างของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ และ x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 เป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

สืบเนื่องมาจากข้อความในวรรคก่อนว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามชนิด:

• a x 2 =0 , สัมประสิทธิ์ b=0 และ c=0 สอดคล้องกับมัน;
• a x 2 +c=0 เมื่อ b=0 ;
• และ a x 2 +b x=0 เมื่อ c=0 .

ให้เราวิเคราะห์เพื่อที่จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแต่ละประเภทเหล่านี้ได้อย่างไร

ก x 2 \u003d 0

เริ่มต้นด้วยการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งสัมประสิทธิ์ b และ c เท่ากับศูนย์ นั่นคือ ด้วยสมการของรูปแบบ a x 2 =0 สมการ a·x 2 =0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 ซึ่งได้มาจากสมการเดิมโดยการหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ a เห็นได้ชัดว่ารากของสมการ x 2 \u003d 0 เป็นศูนย์ เนื่องจาก 0 2 \u003d 0 สมการนี้ไม่มีรากอื่น ซึ่งอธิบายไว้จริง ๆ สำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ p ใด ๆ ความไม่เท่าเทียมกัน p 2 >0 เกิดขึ้น ซึ่งหมายความว่าสำหรับ p≠0 ความเท่าเทียมกัน p 2 =0 จะไม่เกิดขึ้น

ดังนั้นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 \u003d 0 มีรากเดียว x \u003d 0

ตัวอย่างเช่น เราให้คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −4·x 2 =0 มันเทียบเท่ากับสมการ x 2 \u003d 0, รูตเดียวของมันคือ x \u003d 0 ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงมีศูนย์รูทเดียว

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ในกรณีนี้สามารถออกได้ดังนี้:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0
x=0 .

ก x 2 +c=0

ทีนี้ลองพิจารณาว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์นั้นแก้ได้อย่างไร โดยที่สัมประสิทธิ์ b เท่ากับศูนย์ และ c≠0 นั่นคือสมการของรูปแบบ a x 2 +c=0 เรารู้ว่าการถ่ายโอนเทอมจากด้านหนึ่งของสมการไปอีกด้านหนึ่งด้วยเครื่องหมายตรงข้าม เช่นเดียวกับการหารสมการทั้งสองข้างด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ ให้สมการที่เท่ากัน ดังนั้น การแปลงที่เทียบเท่ากันของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 สามารถทำได้:

• เลื่อน c ไปทางด้านขวา ซึ่งให้สมการ a x 2 =−c,
• และหารทั้งสองส่วนด้วย a เราจะได้

สมการที่ได้ทำให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับรากเหง้าของมันได้ ขึ้นอยู่กับค่าของ a และ c ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าลบ (เช่น ถ้า a=1 และ c=2 แล้ว ) หรือค่าบวก (เช่น ถ้า a=−2 และ c=6 แล้ว ) มันไม่เท่ากับศูนย์เพราะตามเงื่อนไข c≠0 เราจะแยกวิเคราะห์กรณีและ .

ถ้า แสดงว่าสมการไม่มีราก ข้อความนี้สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของจำนวนใดๆ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนี้ไปเมื่อ เมื่อ ดังนั้นสำหรับจำนวน p ความเสมอภาคจะไม่เป็นจริง

ถ้า แล้วสถานการณ์ที่มีรากของสมการจะต่างกัน ในกรณีนี้ หากเราจำได้ รากของสมการก็จะชัดเจนในทันที นั่นคือตัวเลขตั้งแต่ มันง่ายที่จะเดาว่าตัวเลขนั้นเป็นรากของสมการเช่นกัน สมการนี้ไม่มีรากอื่น ซึ่งสามารถแสดงได้ ตัวอย่างเช่น โดยความขัดแย้ง มาทำกัน

ลองแสดงว่ารากที่เปล่งออกมาของสมการเป็น x 1 และ −x 1 สมมติว่าสมการมีราก x 2 อื่นแตกต่างจากรากที่ระบุ x 1 และ −x 1 เป็นที่ทราบกันดีว่าการแทนที่ในสมการแทนที่จะเป็น x ของรากจะทำให้สมการนั้นกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง สำหรับ x 1 และ −x 1 เรามี และสำหรับ x 2 เรามี คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขทำให้เราสามารถลบค่าความเท่าเทียมกันของจำนวนจริงแบบเทอมต่อเทอมได้ ดังนั้นการลบส่วนที่สอดคล้องกันของความเท่าเทียมกันจะได้ x 1 2 − x 2 2 =0 คุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลขทำให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันที่ได้ (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 ใหม่เป็น เรารู้ว่าผลคูณของตัวเลขสองตัวเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นไปตามความเท่าเทียมกันที่ได้รับว่า x 1 −x 2 =0 และ/หรือ x 1 +x 2 =0 ซึ่งเท่ากัน x 2 =x 1 และ/หรือ x 2 = −x 1 ดังนั้นเราจึงมาถึงความขัดแย้ง เนื่องจากในตอนแรกเรากล่าวว่ารากของสมการ x 2 นั้นแตกต่างจาก x 1 และ −x 1 . นี่เป็นการพิสูจน์ว่าสมการไม่มีรากอื่นนอกจาก และ

มาสรุปข้อมูลในย่อหน้านี้กัน สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 เทียบเท่ากับสมการ ซึ่ง

• ไม่มีรากถ้า ,
• มีสองรากและถ้า .

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ a·x 2 +c=0

เริ่มจากสมการกำลังสอง 9 x 2 +7=0 กัน หลังจากย้ายพจน์ว่างไปทางด้านขวาของสมการแล้ว จะมีรูปแบบ 9·x 2 =−7 หารทั้งสองข้างของสมการผลลัพธ์ด้วย 9 เราก็มาถึง เนื่องจากได้จำนวนลบทางด้านขวา สมการนี้จึงไม่มีราก ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ดั้งเดิม 9 x 2 +7=0 จึงไม่มีราก

ลองแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกหนึ่ง −x 2 +9=0 กัน เราโอนเก้าไปทางขวา: -x 2 \u003d -9 ตอนนี้เราหารทั้งสองส่วนด้วย -1 เราจะได้ x 2 =9 ด้านขวาประกอบด้วยจำนวนบวก ซึ่งเราสรุปได้ว่า หรือ . หลังจากที่เราเขียนคำตอบสุดท้าย: สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −x 2 +9=0 มีสองราก x=3 หรือ x=−3

ก x 2 +ข x=0

ยังคงต้องจัดการกับคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทสุดท้ายสำหรับ c=0 . สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ a x 2 +b x=0 ช่วยให้คุณแก้ได้ วิธีการแยกตัวประกอบ. แน่นอน เราสามารถตั้งอยู่ทางด้านซ้ายของสมการได้ ซึ่งเพียงพอที่จะเอาปัจจัยร่วม x ออกจากวงเล็บ วิธีนี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์เดิมเป็น เทียบเท่ากับสมการของรูปแบบ x (a x+b)=0 . และสมการนี้เทียบเท่ากับเซตของสมการสองสมการ x=0 และ a x+b=0 อันสุดท้ายเป็นแบบเชิงเส้นและมีราก x=−b/a

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +b x=0 มีสองราก x=0 และ x=−b/a

ในการรวมเนื้อหา เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ.

การตัดสินใจ.

เราเอา x ออกจากวงเล็บ, นี่จะได้สมการ เทียบเท่ากับสองสมการ x=0 และ . เราแก้สมการเชิงเส้นที่ได้: , และหลังการหาร คละจำนวนให้เป็นเศษส่วนธรรมดา เราพบ . ดังนั้น รากของสมการเดิมคือ x=0 และ .

หลังจากได้รับการปฏิบัติที่จำเป็นแล้ว คำตอบของสมการดังกล่าวสามารถเขียนสั้นๆ ได้ดังนี้

ตอบ:

x=0 , .

Discriminant สูตรรากของสมการกำลังสอง

ในการแก้สมการกำลังสองมีสูตรรากอยู่ มาเขียนกันเถอะ สูตรรากของสมการกำลังสอง: , ที่ไหน D=b 2 −4 a c- ที่เรียกว่า จำแนกสมการกำลังสอง. โดยหลักสัญกรณ์หมายความว่า

เป็นประโยชน์ที่จะรู้ว่าได้สูตรรากมาอย่างไร และนำไปใช้ในการหารากของสมการกำลังสองได้อย่างไร มาจัดการกับเรื่องนี้กันเถอะ

ที่มาของสูตรรากของสมการกำลังสอง

ให้เราแก้สมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c=0 กัน มาทำการแปลงที่เทียบเท่ากัน:

• เราสามารถหารทั้งสองส่วนของสมการนี้ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ a ดังนั้นเราจึงได้สมการกำลังสองที่ลดลง
• ตอนนี้ เลือกสี่เหลี่ยมเต็มทางด้านซ้าย: . หลังจากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ .
• ในขั้นตอนนี้ เป็นไปได้ที่จะดำเนินการโอนสองเทอมสุดท้ายไปทางด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม เรามี .
• และเรามาแปลงนิพจน์ทางด้านขวากัน: .

เป็นผลให้เรามาถึงสมการ ซึ่งเทียบเท่ากับสมการกำลังสองเดิม a·x 2 +b·x+c=0

เราได้แก้สมการที่คล้ายกันในรูปแบบในย่อหน้าก่อนหน้านี้เมื่อเราวิเคราะห์ สิ่งนี้ทำให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับรากของสมการได้ดังต่อไปนี้:

• ถ้า แสดงว่าสมการไม่มีคำตอบจริง
• ถ้า สมการนั้นมีรูปแบบ ดังนั้น ซึ่งมองเห็นรูทเพียงอันเดียว
• ถ้า , then หรือ ซึ่งเหมือนกับ or นั่นคือ สมการมีสองราก

ดังนั้นการมีหรือไม่มีรากของสมการและด้วยเหตุนี้สมการกำลังสองดั้งเดิมจึงขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านขวา ในทางกลับกัน เครื่องหมายของนิพจน์นี้ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของตัวเศษ เนื่องจากตัวส่วน 4 a 2 เป็นค่าบวกเสมอ นั่นคือ เครื่องหมายของนิพจน์ ข 2 −4 a c . นิพจน์นี้ b 2 −4 a c เรียกว่า จำแนกสมการกำลังสองและทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษร ดี. จากที่นี่ แก่นแท้ของการเลือกปฏิบัตินั้นชัดเจน - ด้วยค่าและเครื่องหมาย สรุปได้ว่าสมการกำลังสองมีรากจริงหรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น หนึ่งหรือสองคือจำนวนเท่าใด

เรากลับไปที่สมการ เขียนใหม่โดยใช้สัญกรณ์ discriminant: . และเราสรุปว่า:

• ถ้าD<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ถ้า D=0 สมการนี้มีรากเดียว
• สุดท้าย ถ้า D>0 สมการจะมีรากที่สองหรือ ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ หรือ และหลังจากขยายและลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม เราก็จะได้

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองมา พวกมันดูเหมือน โดยที่ discriminant D คำนวณโดยสูตร D=b 2 −4 a c

ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถคำนวณรากจริงของสมการกำลังสองทั้งสองได้ เมื่อ discriminant เท่ากับศูนย์ สูตรทั้งสองจะให้ค่ารากเดียวกันซึ่งสอดคล้องกับคำตอบเดียวของสมการกำลังสอง และด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ เมื่อพยายามใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง เราต้องเผชิญกับการแยกรากที่สองออกจากจำนวนลบ ซึ่งนำเราไปไกลกว่านั้นและ หลักสูตรโรงเรียน. ด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ สมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริง แต่มีคู่ คอนจูเกตที่ซับซ้อนราก ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตรรากเดียวกับที่เราได้รับ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก

ในทางปฏิบัติ เมื่อแก้สมการกำลังสอง คุณสามารถใช้สูตรรากได้ทันที เพื่อคำนวณค่าของพวกมัน แต่นี่เป็นเรื่องเกี่ยวกับการค้นหารากที่ซับซ้อนมากกว่า

อย่างไรก็ตาม ใน หลักสูตรโรงเรียนพีชคณิตมักจะไม่ซับซ้อน แต่เกี่ยวกับรากที่แท้จริงของสมการกำลังสอง ในกรณีนี้ แนะนำให้หา discriminant ก่อนใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง ตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่เป็นลบ (ไม่เช่นนั้น เราจะสรุปได้ว่าสมการไม่มีรากจริง) และหลังจากนั้น คำนวณค่าของราก

เหตุผลข้างต้นทำให้เราเขียนได้ อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง. ในการแก้สมการกำลังสอง a x 2 + b x + c \u003d 0 คุณต้อง:

• ใช้สูตรแยกแยะ D=b 2 −4 a c คำนวณค่าของมัน
• สรุปได้ว่าสมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริงถ้าการจำแนกเป็นลบ
• คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตรถ้า D=0 ;
• หารากจริงสองรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก ถ้า discriminant เป็นค่าบวก

ที่นี่เราทราบเพียงว่าถ้า discriminant เท่ากับศูนย์ สามารถใช้สูตรได้ ก็จะให้ค่าเดียวกับ .

คุณสามารถไปยังตัวอย่างการใช้อัลกอริทึมในการแก้สมการกำลังสองได้

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

พิจารณาคำตอบของสมการกำลังสองสามสมการที่มีการแบ่งแยกทางบวก ลบ และศูนย์ เมื่อจัดการกับคำตอบแล้ว โดยการเปรียบเทียบจะเป็นไปได้ที่จะแก้สมการกำลังสองอื่นๆ เริ่มกันเลย.

ตัวอย่าง.

หารากของสมการ x 2 +2 x−6=0 .

การตัดสินใจ.

ในกรณีนี้ เรามีสัมประสิทธิ์สมการกำลังสองดังต่อไปนี้: a=1 , b=2 และ c=−6 . ตามอัลกอริธึมคุณต้องคำนวณ discriminant ก่อนสำหรับสิ่งนี้เราแทนที่ a, b และ c ที่ระบุลงในสูตรจำแนกเรามี D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. ตั้งแต่ 28>0 นั่นคือ discriminant มากกว่าศูนย์ สมการกำลังสองจึงมีรากที่แท้จริงสองราก ลองหามันด้วยสูตรของรูต เราได้รับ ที่นี่เราสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ได้รับโดยการทำ แยกเครื่องหมายของรากออกตามด้วยการลดเศษส่วน:

ตอบ:

ไปที่ตัวอย่างทั่วไปต่อไป

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง −4 x 2 +28 x−49=0 .

การตัดสินใจ.

เราเริ่มต้นด้วยการค้นหาการเลือกปฏิบัติ: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีรากเดียว ซึ่งเราพบว่า นั่นคือ

ตอบ:

x=3.5 .

ยังคงต้องพิจารณาการแก้สมการกำลังสองด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ 5 y 2 +6 y+2=0 .

การตัดสินใจ.

นี่คือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง: a=5 , b=6 และ c=2 . แทนค่าเหล่านี้ในสูตรจำแนกเรามี D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ ดังนั้น สมการกำลังสองนี้จึงไม่มีรากที่แท้จริง

หากคุณต้องการระบุรากที่ซับซ้อน เราใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับรากของสมการกำลังสองและดำเนินการ การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน:

ตอบ:

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อนคือ: .

เป็นอีกครั้งหนึ่ง เราสังเกตว่าหากการเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองเป็นค่าลบ โรงเรียนมักจะเขียนคำตอบทันที ซึ่งระบุว่าไม่มีรากที่แท้จริง และไม่พบรากที่ซับซ้อน

สูตรรากสำหรับสัมประสิทธิ์เลขคู่

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง โดยที่ D=b 2 −4 a c ช่วยให้คุณได้สูตรที่กะทัดรัดยิ่งขึ้น ซึ่งช่วยให้คุณแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์คู่ที่ x (หรือเพียงแค่ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ดูเหมือน 2 n ตัวอย่างเช่น หรือ 14 ln5=2 7 ln5 ) พาเธอออกไปกันเถอะ

สมมติว่าเราต้องแก้สมการกำลังสองของรูปแบบ a x 2 +2 n x + c=0 . ลองหารากของมันโดยใช้สูตรที่เรารู้จัก การทำเช่นนี้เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)จากนั้นเราใช้สูตรรูท:

ระบุนิพจน์ n 2 −a c เป็น D 1 (บางครั้งก็แสดงว่า D ") จากนั้นสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่พิจารณาด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2 n จะอยู่ในรูปแบบ โดยที่ D 1 =n 2 −a c

ง่ายที่จะเห็นว่า D=4·D 1 , หรือ D 1 =D/4 . กล่าวอีกนัยหนึ่ง D 1 เป็นส่วนที่สี่ของการเลือกปฏิบัติ เป็นที่ชัดเจนว่าเครื่องหมายของ D 1 เหมือนกับเครื่องหมายของ D นั่นคือเครื่องหมาย D 1 ยังเป็นตัวบ่งชี้ว่ามีหรือไม่มีรากของสมการกำลังสอง

ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2 n คุณต้องการ

• คำนวณ D 1 =n 2 −a·c ;
• ถ้า D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• ถ้า D 1 =0 ให้คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตร
• ถ้า D 1 >0 ให้หารากจริงสองตัวโดยใช้สูตร

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างโดยใช้สูตรรูทที่ได้รับในย่อหน้านี้

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง 5 x 2 −6 x−32=0 .

การตัดสินใจ.

สัมประสิทธิ์ที่สองของสมการนี้สามารถแสดงเป็น 2·(−3) นั่นคือคุณสามารถเขียนสมการกำลังสองดั้งเดิมในรูปแบบ 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 ที่นี่ a=5 , n=−3 และ c=−32 และคำนวณส่วนที่สี่ของ เลือกปฏิบัติ: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. เนื่องจากค่าของมันเป็นบวก สมการจึงมีรากจริงสองราก เราพบพวกเขาโดยใช้สูตรรูทที่เกี่ยวข้อง:

โปรดทราบว่าเป็นไปได้ที่จะใช้สูตรปกติสำหรับรากของสมการกำลังสอง แต่ในกรณีนี้ จะต้องทำการคำนวณเพิ่มเติม

ตอบ:

การลดความซับซ้อนของรูปสมการกำลังสอง

บางครั้ง ก่อนเริ่มคำนวณรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตร การถามคำถามว่า “เป็นไปได้ไหมที่จะลดรูปของสมการนี้”? ยอมรับว่าในแง่ของการคำนวณจะง่ายกว่าในการแก้สมการกำลังสอง 11 x 2 −4 x −6=0 มากกว่า 1100 x 2 −400 x−600=0

โดยปกติ การลดความซับซ้อนของรูปแบบของสมการกำลังสองทำได้โดยการคูณหรือหารทั้งสองข้างของมันด้วยจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราจัดการเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น 1100 x 2 −400 x −600=0 โดยหารทั้งสองข้างด้วย 100

การแปลงที่คล้ายกันนั้นดำเนินการด้วยสมการกำลังสองซึ่งไม่มีสัมประสิทธิ์ ในกรณีนี้ สมการทั้งสองส่วนมักจะถูกหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสอง 12 x 2 −42 x+48=0 ค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . หารทั้งสองส่วนของสมการกำลังสองเดิมด้วย 6 เรามาถึงสมการกำลังสองที่เท่ากัน 2 x 2 −7 x+8=0 .

และการคูณของทั้งสองส่วนของสมการกำลังสองมักจะทำเพื่อกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วน ในกรณีนี้ การคูณจะดำเนินการกับตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น หากทั้งสองส่วนของสมการกำลังสองถูกคูณด้วย LCM(6, 3, 1)=6 แล้ว มันจะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า x 2 +4 x−18=0 .

ในบทสรุปของย่อหน้านี้ เราสังเกตว่าเกือบทุกครั้งจะกำจัดเครื่องหมายลบที่สัมประสิทธิ์นำหน้าของสมการกำลังสองโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของพจน์ทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับการคูณ (หรือหาร) ทั้งสองส่วนด้วย -1 ตัวอย่างเช่น โดยปกติจากสมการกำลังสอง −2·x 2 −3·x+7=0 ไปที่คำตอบ 2·x 2 +3·x−7=0 .

ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองแสดงรากของสมการในแง่ของสัมประสิทธิ์ จากสูตรของราก คุณสามารถรับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์ได้

สูตรที่เป็นที่รู้จักและใช้ได้ดีที่สุดจากทฤษฎีบทเวียตาของแบบฟอร์มและ . โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับสมการกำลังสองที่ให้มา ผลรวมของรากจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากคือเทอมอิสระ ตัวอย่างเช่น โดยรูปแบบของสมการกำลังสอง 3 x 2 −7 x+22=0 เราสามารถพูดได้ทันทีว่าผลรวมของรากของมันคือ 7/3 และผลิตภัณฑ์ของรากคือ 22/3

เมื่อใช้สูตรที่เขียนไว้แล้ว คุณจะได้รับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแสดงผลรวมของกำลังสองของรากของสมการกำลังสองในรูปของสัมประสิทธิ์: .

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
• มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำรานักเรียน สถาบันการศึกษา/ เอ.จี. มอร์ดโควิช. - ค.ศ. 11 ลบ. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ไอ 978-5-346-01155-2

เราขอเตือนคุณว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการของรูปแบบ:

การแก้สมการกำลังสองเต็มนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย (นิดหน่อย) กว่าที่ให้มา

จดจำ, สมการกำลังสองใด ๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้ discriminant!

ยังไม่สมบูรณ์

วิธีที่เหลือจะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่ถ้าคุณมีปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสอง ขั้นแรกให้เชี่ยวชาญวิธีแก้ปัญหาโดยใช้การเลือกปฏิบัติ

1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้การเลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้ง่ายมาก สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร

ถ้า สมการมี 2 ราก ความต้องการ ความสนใจเป็นพิเศษไปที่ขั้นตอนที่ 2

discriminant D บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• ถ้าอย่างนั้นสูตรตามขั้นตอนจะลดเหลือ ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
• หากเป็นเช่นนั้นเราจะไม่สามารถแยกรากของการเลือกปฏิบัติได้ในขั้นตอน นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

ให้เราหันไปหาความหมายทางเรขาคณิตของสมการกำลังสอง

กราฟของฟังก์ชันคือพาราโบลา:

กลับไปที่สมการของเราและดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 9

แก้สมการ

ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:

สมการจึงมีรากสองราก

ขั้นตอนที่ 3

ตอบ:

ตัวอย่าง 10

แก้สมการ

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:

สมการจึงมีหนึ่งราก

ตอบ:

ตัวอย่าง 11

แก้สมการ

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าเราไม่สามารถแยกรากออกจากการเลือกปฏิบัติได้ ไม่มีรากของสมการ

ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบดังกล่าวอย่างถูกต้องแล้ว

ตอบ:ไม่มีราก

2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา

หากคุณจำได้ มีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่า รีดิวซ์ (เมื่อสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา:

ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากก็เท่ากัน

คุณแค่ต้องเลือกคู่ของตัวเลขที่ผลคูณเท่ากับเทอมว่างของสมการ และผลรวมจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง นำด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

ตัวอย่าง 12

แก้สมการ

สมการนี้เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาเพราะ .

ผลรวมของรากของสมการคือ กล่าวคือ เราได้สมการแรก:

และสินค้าคือ

มาสร้างและแก้ไขระบบกันเถอะ:

• และ. ผลรวมคือ;
• และ. ผลรวมคือ;
• และ. จำนวนเงินที่เท่ากัน

และเป็นทางออกของระบบ:

ตอบ: ; .

ตัวอย่างที่ 13

แก้สมการ

ตอบ:

ตัวอย่าง 14

แก้สมการ

สมการจะลดลงซึ่งหมายความว่า:

ตอบ:

สมการกำลังสอง ระดับกลาง

สมการกำลังสองคืออะไร?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ตัวเลขบางตัว

ตัวเลขเรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง, - ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง, ก - สมาชิกฟรี.

เพราะถ้าสมการจะกลายเป็นเชิงเส้นทันทีเพราะ จะหายไป.

ในกรณีนี้และสามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการเก้าอี้นี้เรียกว่า ไม่สมบูรณ์.

ถ้าทุกเทอมอยู่ในสถานที่ นั่นคือ สมการ - เสร็จสิ้น.

วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ในการเริ่มต้น เราจะวิเคราะห์วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งง่ายกว่า

สมการประเภทต่อไปนี้สามารถแยกแยะได้:

I. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระจะเท่ากัน

ครั้งที่สอง , ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

สาม. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ

ตอนนี้ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยเหล่านี้

เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

จำนวนที่ยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เพราะเมื่อคูณจำนวนลบสองจำนวนหรือบวกสองจำนวน ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น:

ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

ถ้าเรามีสองราก

ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือต้องไม่น้อยกว่านี้

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง 15

ตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!

ตัวอย่างที่ 16

กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก

เพื่อเขียนสั้นๆ ว่าปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่าง

ตอบ:

ตัวอย่าง 17

ดังนั้น สมการนี้จึงมีรากสองราก: และ

ตอบ:

ออกไปกันเถอะ ตัวคูณร่วมสำหรับวงเล็บ:

ผลคูณเท่ากับศูนย์หากตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการมีคำตอบเมื่อ:

ดังนั้นสมการกำลังสองนี้มีรากสองราก: และ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ.

การตัดสินใจ:

เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการและหาราก:

ตอบ:

วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์

1. การเลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้ทำได้ง่าย สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร จำไว้ว่าสมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้ discriminant! ยังไม่สมบูรณ์

คุณสังเกตเห็นรากของการเลือกปฏิบัติในสูตรรากหรือไม่?

แต่การเลือกปฏิบัติอาจเป็นลบได้

จะทำอย่างไร?

เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 ตัวแบ่งแยกจะบอกจำนวนรากของสมการให้เราทราบ

• หากสมการมีรูท:
• หากสมการนั้นมีรูตเหมือนกัน แต่อันที่จริงแล้ว หนึ่งรูต:

  รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่

• หากไม่ได้แยกรากของการเลือกปฏิบัติ นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

เหตุใดจึงมีจำนวนรากต่างกัน

ให้เราหันไปหาความหมายทางเรขาคณิตของสมการกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันคือพาราโบลา:

ในบางกรณีซึ่งเป็นสมการกำลังสอง .

และนี่หมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกน x (แกน)

พาราโบลาอาจไม่ตัดแกนเลย หรืออาจตัดกันที่จุดเดียว (เมื่อส่วนบนของพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด

นอกจากนี้สัมประสิทธิ์ยังรับผิดชอบทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา ถ้ากิ่งของพาราโบลาจะพุ่งขึ้นข้างบนและถ้า - ก็ลง

4 ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง 18

ตอบ:

ตัวอย่าง 19

ตอบ: .

ตัวอย่าง 20

ตอบ:

ตัวอย่าง 21

ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

ตอบ: .

2. ทฤษฎีบทของเวียตา

การใช้ทฤษฎีบทของเวียตานั้นง่ายมาก

สิ่งที่คุณต้องการคือ หยิบตัวเลขคู่หนึ่ง ซึ่งผลคูณเท่ากับเทอมว่างของสมการ และผลรวมเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง นำด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของเวียตาสามารถใช้ได้กับ .เท่านั้น ให้สมการกำลังสอง ()

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่าง 22

แก้สมการ.

การตัดสินใจ:

สมการนี้เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาเพราะ . ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; .

ผลรวมของรากของสมการคือ:

และสินค้าคือ

มาเลือกคู่ของตัวเลขกัน ซึ่งผลคูณของจำนวนนั้นเท่ากัน และตรวจดูว่าผลรวมของพวกมันเท่ากันหรือไม่:

• และ. ผลรวมคือ;
• และ. ผลรวมคือ;
• และ. จำนวนเงินที่เท่ากัน

และเป็นทางออกของระบบ:

ดังนั้นและเป็นรากของสมการของเรา

ตอบ: ; .

ตัวอย่าง 23

การตัดสินใจ:

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ในผลิตภัณฑ์ จากนั้นตรวจสอบว่าผลรวมของพวกมันเท่ากันหรือไม่:

และ: ให้ทั้งหมด

และ: ให้ทั้งหมด ในการรับมันคุณเพียงแค่เปลี่ยนสัญญาณของรูตที่ถูกกล่าวหา: และท้ายที่สุดก็คืองาน

ตอบ:

ตัวอย่าง 24

การตัดสินใจ:

พจน์ว่างของสมการเป็นค่าลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นจำนวนลบ สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งมีค่าเป็นลบและอีกรากหนึ่งเป็นค่าบวก ผลรวมของรากคือ ความแตกต่างของโมดูล.

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ในผลิตภัณฑ์และผลต่างเท่ากับ:

และ: ความแตกต่างคือ - ไม่เหมาะ;

และ: - ไม่เหมาะ;

และ: - ไม่เหมาะ;

และ: - เหมาะสม เหลือเพียงจำไว้ว่ารากหนึ่งเป็นค่าลบ เนื่องจากผลรวมของพวกมันจะต้องเท่ากัน ดังนั้นรูทซึ่งน้อยกว่าในค่าสัมบูรณ์จะต้องเป็นค่าลบ: เราตรวจสอบ:

ตอบ:

ตัวอย่าง 25

แก้สมการ.

การตัดสินใจ:

สมการจะลดลงซึ่งหมายความว่า:

เทอมอิสระเป็นค่าลบ และด้วยเหตุนี้ผลคูณของรากจึงเป็นค่าลบ และนี่เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งของสมการเป็นลบและอีกรากหนึ่งเป็นบวก

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลลัพธ์เท่ากัน จากนั้นกำหนดว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:

เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรูตและเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:

ตอบ:

ตัวอย่าง 26

แก้สมการ.

การตัดสินใจ:

สมการจะลดลงซึ่งหมายความว่า:

ผลรวมของรากเป็นค่าลบ ซึ่งหมายความว่าอย่างน้อยหนึ่งรากเป็นค่าลบ แต่เนื่องจากผลผลิตเป็นบวก หมายความว่ารากทั้งสองมีค่าลบ

เราเลือกคู่ของตัวเลขดังกล่าวซึ่งได้ผลลัพธ์เท่ากับ:

เห็นได้ชัดว่ารากคือตัวเลขและ

ตอบ:

เห็นด้วย มันสะดวกมาก - ในการประดิษฐ์รากด้วยปากเปล่าแทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้

พยายามใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ให้บ่อยที่สุด!

แต่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทเวียตาเพื่ออำนวยความสะดวกและเร่งค้นหาราก

เพื่อให้เป็นประโยชน์สำหรับคุณในการใช้งาน คุณต้องนำการดำเนินการไปสู่ระบบอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง

แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! ทฤษฎีบทของเวียต้าเท่านั้น!

5 ตัวอย่างทฤษฎีบทของเวียตาเพื่อการศึกษาด้วยตนเอง

ตัวอย่าง 27

งาน 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ตามปกติ เราจะเริ่มการเลือกด้วยผลิตภัณฑ์:

ไม่เหมาะสมเพราะปริมาณ;

: จำนวนเงินคือสิ่งที่คุณต้องการ

ตอบ: ; .

ตัวอย่าง 28

ภารกิจที่ 2

และอีกครั้ง ทฤษฎีบทเวียตาที่เราโปรดปราน: ผลรวมควรได้ผล แต่ผลคูณเท่ากัน

แต่เนื่องจากไม่ควร แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)

ตอบ: ; .

ตัวอย่าง 29

ภารกิจที่ 3

อืม... ที่ไหน?

จำเป็นต้องโอนเงื่อนไขทั้งหมดเป็นส่วนเดียว:

ผลรวมของรากเท่ากับผลคูณ

ใช่ หยุด! ไม่ได้ให้สมการ

แต่ทฤษฎีบทของเวียตาใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น

ก่อนอื่นคุณต้องนำสมการมา

หากคุณไม่สามารถอธิบายได้ ให้ยกเลิกแนวคิดนี้และแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ)

ผมขอเตือนคุณว่าการนำสมการกำลังสองมาหมายถึงทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ:

จากนั้นผลรวมของรากจะเท่ากันและผลคูณ

ง่ายกว่าที่จะรับที่นี่: หลังจากทั้งหมด - จำนวนเฉพาะ (ขออภัยสำหรับความซ้ำซากจำเจ)

ตอบ: ; .

ตัวอย่าง 30

ภารกิจที่ 4

ระยะฟรีเป็นค่าลบ

มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้?

และความจริงที่ว่ารากจะมีลักษณะแตกต่างกัน

และตอนนี้ ระหว่างการเลือก เราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของราก แต่ความแตกต่างระหว่างโมดูล: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลคูณ

ดังนั้น รากจึงเท่ากัน และหนึ่งในนั้นมีค่าลบ

ทฤษฎีบทของเวียตาบอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม นั่นคือ

ซึ่งหมายความว่ารูทที่เล็กกว่าจะมีค่าลบ: และตั้งแต่นั้นมา

ตอบ: ; .

ตัวอย่าง 31

งาน 5.

สิ่งที่ต้องทำก่อน?

ถูกต้อง ให้สมการดังนี้

อีกครั้ง: เราเลือกตัวประกอบของตัวเลข และความแตกต่างควรเท่ากับ:

รากเท่ากันและหนึ่งในนั้นคือลบ อย่างไหน? ผลรวมของพวกเขาจะต้องเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าด้วยลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า

ตอบ: ; .

สรุป

1. ทฤษฎีบทของเวียตาใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
2. เมื่อใช้ทฤษฎีบทเวียตา คุณสามารถค้นหารากได้โดยการเลือกด้วยวาจา
3. หากไม่ได้ให้สมการหรือไม่พบคู่ของตัวประกอบที่เหมาะสมของเทอมอิสระ แสดงว่าไม่มีรากของจำนวนเต็ม และคุณต้องแก้สมการนั้นด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการแบ่งแยก)

3. วิธีการเลือกสี่เหลี่ยมแบบเต็ม

หากคำศัพท์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักถูกแสดงเป็นคำศัพท์จากสูตรของการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร สมการสามารถแสดงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภท

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่าง 32

แก้สมการ: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:

ตัวอย่าง 33

แก้สมการ: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:

โดยทั่วไป การแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

นี่หมายความว่า: .

มันไม่ทำให้คุณนึกถึงอะไรเหรอ?

มันคือการเลือกปฏิบัติ! นั่นเป็นวิธีที่ได้รับสูตรการเลือกปฏิบัติ

สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยไม่ทราบค่า คือ สัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง เป็นพจน์ว่าง

สมการกำลังสองสมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์

สมการกำลังสองลดลง- สมการที่สัมประสิทธิ์ นั่นคือ .

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือเทอมอิสระ c เท่ากับศูนย์:

• ถ้าสัมประสิทธิ์สมการจะมีรูปแบบดังนี้ ,
• หากเป็นพจน์ว่าง สมการจะมีรูปแบบดังนี้ ,
• ถ้า และ สมการมีรูปแบบดังนี้ .

1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) แสดงสิ่งที่ไม่รู้จัก: ,

2) ตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์:

• ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้าสมการนั้นมีสองราก

1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) ลองแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,

2) ผลคูณเท่ากับศูนย์หากตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีรากที่สอง:

1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่:

สมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

2. อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของรูปแบบโดยที่

2.1. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การเลือกปฏิบัติ

1) เรานำสมการมาที่ มุมมองมาตรฐาน: ,

2) คำนวณ discriminant โดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:

3) ค้นหารากของสมการ:

• ถ้าสมการมีรูทซึ่งพบโดยสูตร:
• ถ้าสมการนั้นมีรูทซึ่งหาได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นไม่มีราก

2.2. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียต้า

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลดรูป (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากจะเท่ากัน กล่าวคือ ก.

2.3. สารละลายสี่เหลี่ยมจัตุรัส