การแปลงตัวตน การแปลงนิพจน์

เราพบแนวคิดของพหุนาม (เช่น ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ และอื่นๆ) และพีชคณิตเศษส่วน (เช่น $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ เป็นต้น) ความคล้ายคลึงกันของแนวคิดเหล่านี้ก็คือในพหุนาม ials และในเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตมีตัวแปรและค่าตัวเลข ดำเนินการเลขคณิต: การบวก การลบ การคูณ การยกกำลัง ความแตกต่างระหว่างแนวคิดเหล่านี้คือการหารด้วยตัวแปรไม่ได้ดำเนินการในพหุนาม และการหารด้วยตัวแปรสามารถทำได้ในเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต

ทั้งพหุนามและเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตเรียกว่านิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่มีเหตุผลในวิชาคณิตศาสตร์ แต่พหุนามเป็นนิพจน์ตรรกยะจำนวนเต็ม และนิพจน์เศษส่วนเชิงพีชคณิตเป็นนิพจน์ตรรกยะที่เป็นเศษส่วน

เป็นไปได้ที่จะได้นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตทั้งหมดจากนิพจน์ที่เป็นเศษส่วนโดยใช้การแปลงที่เหมือนกัน ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นคุณสมบัติหลักของเศษส่วน - การลดลงของเศษส่วน ลองดูในทางปฏิบัติ:

ตัวอย่างที่ 1

แปลงร่าง:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

สารละลาย:สมการเศษส่วน-ตรรกยะนี้สามารถแปลงได้โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของการยกเลิกเศษส่วน เช่น การหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกันที่ไม่ใช่ $0$

ไม่สามารถลดเศษส่วนนี้ได้ทันทีจำเป็นต้องแปลงตัวเศษ

เราแปลงนิพจน์ในตัวเศษของเศษส่วน สำหรับสิ่งนี้ เราใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลต่าง: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

เศษส่วนมีรูปแบบ

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)(x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

ตอนนี้เราเห็นว่ามีตัวประกอบร่วมกันในตัวเศษและตัวส่วน นี่คือนิพจน์ $x-2$ ซึ่งเราจะลดเศษส่วนลง

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)(x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

หลังจากการลดลง เราพบว่านิพจน์ที่เป็นเศษส่วนเหตุผล $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ได้กลายเป็นพหุนาม $x-2$ นั่นคือ มีเหตุผลทั้งหมด

ทีนี้มาให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์ $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ และ $x-2\ $ สามารถพิจารณาได้ว่าไม่เหมือนกันสำหรับทุกค่าของตัวแปร เพราะ เพื่อให้นิพจน์ที่เป็นเศษส่วนมีเหตุผลอยู่และสามารถลดได้ด้วยพหุนาม $x-2$ ตัวส่วนของเศษส่วนต้องไม่เท่ากับ $0$ (เช่นเดียวกับตัวประกอบที่เราลด ในตัวอย่างนี้ ตัวส่วนและตัวประกอบตรงกัน แต่ไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป)

ค่าตัวแปรที่มีเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตจะเรียกว่าค่าตัวแปรที่ถูกต้อง

เราตั้งเงื่อนไขให้กับตัวส่วนของเศษส่วน: $x-2≠0$ แล้ว $x≠2$

ดังนั้นนิพจน์ $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ และ $x-2$ จะเหมือนกันสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร ยกเว้น $2$

คำจำกัดความ 1

เท่าเทียมกันนิพจน์คือค่าที่เท่ากันสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร

การแปลงที่เหมือนกันคือการแทนที่นิพจน์เดิมด้วยตัวที่เท่ากัน การแปลงดังกล่าวรวมถึงการดำเนินการ: บวก ลบ คูณ ถอดตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ นำเศษส่วนพีชคณิตมา ตัวส่วนร่วม, การลดลงของเศษส่วนพีชคณิต , การลดลงของพจน์ที่เหมือนกัน เป็นต้น ต้องคำนึงว่าการเปลี่ยนแปลงจำนวนหนึ่ง เช่น การลดลง การลดลงของคำที่คล้ายกัน สามารถเปลี่ยนค่าที่อนุญาตของตัวแปรได้

เทคนิคที่ใช้ในการพิสูจน์ตัวตน

แปลงด้านซ้ายของเอกลักษณ์ให้เป็นด้านขวาหรือกลับกันโดยใช้การแปลงเอกลักษณ์

ลดทั้งสองส่วนให้เป็นนิพจน์เดียวกันโดยใช้การแปลงที่เหมือนกัน

โอนนิพจน์ในส่วนหนึ่งของนิพจน์ไปยังอีกนิพจน์หนึ่ง และพิสูจน์ว่าผลลัพธ์ที่ได้คือผลต่างเท่ากับ $0$

วิธีใดข้างต้นที่จะใช้เพื่อพิสูจน์ตัวตนที่กำหนดขึ้นอยู่กับตัวตนเดิม

ตัวอย่างที่ 2

พิสูจน์ตัวตน $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

สารละลาย:ในการพิสูจน์เอกลักษณ์นี้ เราใช้วิธีแรกข้างต้น กล่าวคือ เราจะแปลงด้านซ้ายของเอกลักษณ์จนกว่าจะเท่ากับด้านขวา

พิจารณาด้านซ้ายของเอกลักษณ์: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- มันคือผลต่างของพหุนามสองตัว ในกรณีนี้ พหุนามตัวแรกคือกำลังสองของผลรวมของพจน์ 3 พจน์ ในการยกกำลังสองของผลรวมของพจน์หลายพจน์ เราใช้สูตร:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

ในการทำเช่นนี้เราต้องคูณจำนวนด้วยพหุนาม จำไว้ว่า ในการทำเช่นนี้เราต้องคูณตัวประกอบร่วมนอกวงเล็บด้วยแต่ละพจน์ของพหุนามในวงเล็บ จากนั้นเราจะได้:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

ตอนนี้กลับไปที่พหุนามดั้งเดิม มันจะอยู่ในรูปแบบ:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

โปรดทราบว่ามีเครื่องหมาย "-" อยู่ด้านหน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าเมื่อเปิดวงเล็บ เครื่องหมายทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บจะกลับด้าน

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

หากเรานำคำศัพท์ที่คล้ายกัน เราจะได้ว่า monomials $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ และ $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ หักล้างกัน เช่น ผลรวมของพวกเขาเท่ากับ $0$

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

ดังนั้น จากการแปลงที่เหมือนกัน เราได้นิพจน์ที่เหมือนกันทางด้านซ้ายของเอกลักษณ์เดิม

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

โปรดทราบว่านิพจน์ผลลัพธ์แสดงว่าตัวตนดั้งเดิมเป็นจริง

โปรดทราบว่าในเอกลักษณ์เดิม อนุญาตให้ใช้ค่าทั้งหมดของตัวแปร ซึ่งหมายความว่าเราได้พิสูจน์เอกลักษณ์โดยใช้การแปลงที่เหมือนกัน และค่าที่อนุญาตทั้งหมดของตัวแปรจะเป็นจริง

ให้นิพจน์พีชคณิตสองนิพจน์:

มาทำตารางค่าของแต่ละนิพจน์เหล่านี้สำหรับค่าตัวเลขที่แตกต่างกันของตัวอักษร x

เราเห็นว่าสำหรับค่าทั้งหมดที่ให้กับตัวอักษร x ค่าของนิพจน์ทั้งสองจะเท่ากัน เช่นเดียวกันสำหรับค่าอื่นๆ ของ x

เพื่อยืนยันสิ่งนี้ เราแปลงนิพจน์แรก ตามกฎการกระจาย เราเขียน:

หลังจากดำเนินการตามหมายเลขที่ระบุแล้ว เราได้รับ:

ดังนั้น นิพจน์แรกหลังจากการทำให้เข้าใจง่ายจึงเหมือนกับนิพจน์ที่สองทุกประการ

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับค่าใด ๆ ของ x ค่าของนิพจน์ทั้งสองมีค่าเท่ากัน

นิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้นเรียกว่าเท่ากันหรือเหมือนกัน

ดังนั้นจึงเป็นนิพจน์ที่เหมือนกัน

ขอให้ข้อสังเกตสำคัญประการหนึ่ง ลองแสดงออก:

เมื่อรวบรวมตารางที่คล้ายกับตารางก่อนหน้าแล้ว เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าทั้งสองนิพจน์ สำหรับค่าใดๆ ของ x ยกเว้น มีค่าตัวเลขเท่ากัน เฉพาะเมื่อนิพจน์ที่สองเท่ากับ 6 และนิพจน์แรกสูญเสียความหมาย เนื่องจากตัวส่วนเป็นศูนย์ (จำไว้ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) เราสามารถพูดได้ว่านิพจน์เหล่านี้เหมือนกันหรือไม่?

เราตกลงกันก่อนหน้านี้ว่าแต่ละนิพจน์จะพิจารณาเฉพาะค่าตัวอักษรที่ยอมรับได้นั่นคือสำหรับค่าที่นิพจน์ไม่สูญเสียความหมาย ซึ่งหมายความว่าที่นี่เมื่อเปรียบเทียบสองนิพจน์ เราจะพิจารณาเฉพาะค่าตัวอักษรที่ถูกต้องสำหรับนิพจน์ทั้งสอง ดังนั้นเราต้องยกเว้นค่า และเนื่องจากค่าอื่นๆ ของ x ทั้งสองนิพจน์มีค่าตัวเลขเท่ากัน เราจึงมีสิทธิ์พิจารณาค่าเหล่านั้นเหมือนกัน

จากที่กล่าวมา เราได้ให้คำจำกัดความของนิพจน์ที่เหมือนกันดังต่อไปนี้:

1. นิพจน์เรียกว่าเหมือนกันหากมีค่าตัวเลขเท่ากันสำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น

ถ้าสอง การแสดงออกที่เหมือนกันเชื่อมต่อกับเครื่องหมายเท่ากับ เราจะได้ตัวตน วิธี:

2. ตัวตนคือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น

เราเคยพบตัวตนมาก่อนแล้ว ตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกันทั้งหมดคืออัตลักษณ์ ซึ่งเราได้แสดงกฎพื้นฐานของการบวกและการคูณ

ตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกันที่แสดงกฎการสลับที่ของการบวก

และกฎการเชื่อมโยงของการคูณ

ใช้ได้กับค่าตัวอักษรใด ๆ ดังนั้นความเท่าเทียมกันเหล่านี้จึงเป็นตัวตน

ความเท่ากันทางเลขคณิตที่แท้จริงทั้งหมดถือเป็นเอกลักษณ์เช่นกัน ตัวอย่างเช่น:

ในพีชคณิต เรามักจะต้องแทนที่นิพจน์ด้วยนิพจน์ที่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องค้นหาค่าของนิพจน์

เราจะอำนวยความสะดวกในการคำนวณอย่างมากหากเราแทนที่นิพจน์ที่กำหนดด้วยนิพจน์ที่เหมือนกัน ตามกฎการกระจายเราสามารถเขียน:

แต่ตัวเลขในวงเล็บรวมกันได้ 100 ดังนั้นเราจึงมีตัวตน:

แทน 6.53 ทางด้านขวาของมัน เราจะพบค่าตัวเลข (653) ของนิพจน์นี้ทันที (ในใจ)

การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์ที่เหมือนกันเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันของนิพจน์นี้

โปรดจำไว้ว่าการแสดงออกทางพีชคณิตใด ๆ สำหรับค่าตัวอักษรที่ยอมรับได้คือบางส่วน

ตัวเลข. จากนี้ไปกฎหมายและคุณสมบัติทั้งหมดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ให้ไว้ในบทที่แล้วจะใช้บังคับกับการแสดงออกทางพีชคณิต ดังนั้น การใช้กฎและคุณสมบัติของการดำเนินการทางเลขคณิตจะเปลี่ยนนิพจน์พีชคณิตให้เป็นนิพจน์ที่เหมือนกัน

การแปลงตัวตนแสดงถึงงานที่เราทำด้วยตัวเลขและ การแสดงออกตามตัวอักษรเช่นเดียวกับนิพจน์ที่มีตัวแปร เราทำการแปลงทั้งหมดเพื่อนำนิพจน์ดั้งเดิมไปสู่รูปแบบที่สะดวกสำหรับการแก้ปัญหา เราจะพิจารณาประเภทหลักของการแปลงที่เหมือนกันในหัวข้อนี้

การเปลี่ยนแปลงตัวตนของนิพจน์ มันคืออะไร?

เป็นครั้งแรกที่เราพบกับแนวคิดของการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันในบทเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 จากนั้นเรามาทำความรู้จักกับแนวคิดของนิพจน์ที่เท่ากันก่อน มาจัดการกับแนวคิดและคำจำกัดความเพื่ออำนวยความสะดวกในการดูดซึมของหัวข้อ

คำจำกัดความ 1

การเปลี่ยนแปลงตัวตนของนิพจน์เป็นการดำเนินการเพื่อแทนที่นิพจน์เดิมด้วยนิพจน์ที่จะมีค่าเท่ากับนิพจน์ดั้งเดิม

บ่อยครั้งที่คำจำกัดความนี้ใช้ในรูปแบบย่อซึ่งตัดคำว่า "เหมือนกัน" ออก สันนิษฐานว่าไม่ว่าในกรณีใด ๆ เราทำการแปลงนิพจน์ในลักษณะเพื่อให้ได้นิพจน์ที่เหมือนกับต้นฉบับและไม่จำเป็นต้องเน้นแยกต่างหาก

ภาพประกอบ คำนิยามนี้ตัวอย่าง.

ตัวอย่างที่ 1

ถ้าเราแทนที่นิพจน์ x + 3 - 2เพื่อการแสดงออกที่เท่าเทียมกัน x+1จากนั้นเราจะดำเนินการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน x + 3 - 2.

ตัวอย่างที่ 2

การแทนที่นิพจน์ 2 a 6 ด้วยนิพจน์ 3เป็นการแปลงตัวตนในขณะที่แทนที่นิพจน์ xต่อการแสดงออก x2ไม่ใช่การแปลงที่เหมือนกัน เนื่องจากนิพจน์ xและ x2ไม่เท่ากัน

เราดึงความสนใจของคุณไปที่รูปแบบของสำนวนการเขียนเมื่อดำเนินการแปลงที่เหมือนกัน เรามักจะเขียนนิพจน์ดั้งเดิมและนิพจน์ผลลัพธ์เป็นค่าความเสมอภาค ดังนั้น การเขียน x + 1 + 2 = x + 3 หมายความว่านิพจน์ x + 1 + 2 ถูกย่อให้อยู่ในรูป x + 3

การดำเนินการตามลำดับนำเราไปสู่ห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันต่อเนื่องกันหลายครั้ง ดังนั้นเราจึงเข้าใจสัญกรณ์ x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x เป็นการดำเนินการตามลำดับของการแปลงสองรายการ ขั้นแรก นิพจน์ x + 1 + 2 ถูกย่อให้อยู่ในรูป x + 3 และถูกย่อให้อยู่ในรูป 3 + x

การแปลงข้อมูลประจำตัวและ ODZ

นิพจน์จำนวนหนึ่งที่เราเริ่มศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าตัวแปรใด ๆ การดำเนินการแปลงที่เหมือนกันในกรณีเหล่านี้ทำให้เราต้องใส่ใจกับขอบเขตของค่าตัวแปรที่ยอมรับได้ (ODV) การทำการแปลงที่เหมือนกันอาจทำให้ ODZ ไม่เปลี่ยนแปลงหรือทำให้แคบลง

ตัวอย่างที่ 3

เมื่อทำการเปลี่ยนจากนิพจน์ ก + (−b)ต่อการแสดงออก เอบีช่วงของค่าตัวแปรที่อนุญาต กและ ขยังคงเหมือนเดิม

ตัวอย่างที่ 4

การเปลี่ยนจากนิพจน์ x เป็นนิพจน์ x 2 xนำไปสู่การลดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร x จากชุดของทั้งหมด จำนวนจริงไปยังเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่ไม่รวมศูนย์

ตัวอย่างที่ 5

การเปลี่ยนแปลงตัวตนของนิพจน์ x 2 xนิพจน์ x นำไปสู่การขยายช่วงของค่าที่ถูกต้องของตัวแปร x จากชุดของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นศูนย์เป็นชุดของจำนวนจริงทั้งหมด

การจำกัดหรือขยายช่วงของค่าตัวแปรที่อนุญาตเมื่อดำเนินการแปลงที่เหมือนกันมีความสำคัญในการแก้ปัญหา เนื่องจากอาจส่งผลต่อความแม่นยำของการคำนวณและนำไปสู่ข้อผิดพลาด

การเปลี่ยนแปลงตัวตนขั้นพื้นฐาน

มาดูกันว่าการแปลงที่เหมือนกันคืออะไรและดำเนินการอย่างไร ให้เราแยกประเภทของการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันที่เราต้องจัดการบ่อยที่สุดออกเป็นกลุ่มหลัก

นอกจากการแปลงเอกลักษณ์พื้นฐานแล้ว ยังมีการแปลงอีกจำนวนหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการแสดงออกของประเภทใดประเภทหนึ่ง สำหรับเศษส่วน นี่คือวิธีการลดขนาดและการลดขนาดตัวส่วนใหม่ สำหรับนิพจน์ที่มีรากและเลขยกกำลัง การดำเนินการทั้งหมดที่ดำเนินการตามคุณสมบัติของรากและเลขยกกำลัง สำหรับนิพจน์ลอการิทึม การดำเนินการที่ดำเนินการตามคุณสมบัติของลอการิทึม สำหรับนิพจน์ตรีโกณมิติ การดำเนินการทั้งหมดโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ การเปลี่ยนแปลงเฉพาะทั้งหมดนี้มีการกล่าวถึงโดยละเอียดใน หัวข้อที่เลือกซึ่งสามารถพบได้บนเว็บไซต์ของเรา ด้วยเหตุผลนี้ เราจะไม่พูดถึงสิ่งเหล่านี้ในบทความนี้

ให้เราดำเนินการพิจารณาการแปลงหลักที่เหมือนกัน

การจัดเรียงเงื่อนไขปัจจัยใหม่

เริ่มต้นด้วยการจัดเรียงข้อกำหนดใหม่ เราจัดการกับการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันนี้บ่อยที่สุด และข้อความต่อไปนี้ถือเป็นกฎหลักที่นี่: ไม่ว่าผลรวมใด ๆ การจัดเรียงคำศัพท์ในสถานที่ใหม่จะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์

กฎนี้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการสลับที่และเชื่อมโยงของการบวก คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยให้เราจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ในสถานที่ต่างๆ และในขณะเดียวกันก็ได้รับนิพจน์ที่เหมือนกันทุกประการกับคำศัพท์ดั้งเดิม นั่นคือเหตุผลที่การจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ในสถานที่ในผลรวมจึงเป็นการแปลงที่เหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 6

เรามีผลรวมของสามเทอม 3 + 5 + 7 . ถ้าเราสลับเทอม 3 กับ 5 นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ 5 + 3 + 7 มีหลายตัวเลือกสำหรับการจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ในกรณีนี้ ทั้งหมดนี้นำไปสู่การได้รับนิพจน์ที่เหมือนกันกับต้นฉบับ

ไม่เพียงแค่ตัวเลขเท่านั้น แต่นิพจน์ยังสามารถทำหน้าที่เป็นเงื่อนไขในผลรวมได้อีกด้วย สามารถจัดเรียงใหม่ได้เช่นเดียวกับตัวเลขโดยไม่กระทบต่อผลลัพธ์สุดท้ายของการคำนวณ

ตัวอย่างที่ 7

ผลรวมของสามพจน์ 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 และ - 12 a ของรูปแบบ 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + (- 12) a สามารถจัดเรียงพจน์ใหม่ได้ เช่น (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 ในทางกลับกัน คุณสามารถจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ในส่วนของเศษส่วน 1 a + b ในขณะที่เศษส่วนจะอยู่ในรูปแบบ 1 b + a และนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูต ก 2 + 2 ก + 5เป็นผลรวมที่สามารถแลกเปลี่ยนข้อกำหนดได้

ในทำนองเดียวกับคำศัพท์ ในนิพจน์ดั้งเดิม เราสามารถแลกเปลี่ยนปัจจัยและได้สมการที่ถูกต้องเหมือนกัน การดำเนินการนี้อยู่ภายใต้กฎต่อไปนี้:

คำจำกัดความ 2

ในผลิตภัณฑ์ การจัดเรียงตัวประกอบในสถานที่ใหม่จะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการคำนวณ

กฎนี้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการสลับที่และเชื่อมโยงของการคูณ ซึ่งยืนยันความถูกต้องของการแปลงที่เหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 8

งาน 3 5 7การเปลี่ยนรูปของปัจจัยสามารถแสดงในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 หรือ 3 7 5.

ตัวอย่างที่ 9

การเปลี่ยนปัจจัยในผลิตภัณฑ์ x + 1 x 2 - x + 1 x จะให้ x 2 - x + 1 x x + 1

การขยายวงเล็บ

วงเล็บสามารถมีรายการนิพจน์ตัวเลขและนิพจน์ที่มีตัวแปร นิพจน์เหล่านี้สามารถเปลี่ยนเป็นนิพจน์ที่เท่ากันได้ ซึ่งจะไม่มีวงเล็บเลยหรือจะมีน้อยกว่าในนิพจน์ดั้งเดิม วิธีการแปลงนิพจน์นี้เรียกว่าการขยายวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 10

มาดำเนินการกับวงเล็บในการแสดงออกของแบบฟอร์ม 3 + x − 1 xเพื่อให้ได้นิพจน์ที่เหมือนกันทุกประการ 3 + x − 1 x.

นิพจน์ 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x สามารถแปลงเป็นนิพจน์ที่เท่ากันทุกประการโดยไม่ต้องใส่วงเล็บ 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x

เราได้กล่าวถึงรายละเอียดกฎสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยวงเล็บในหัวข้อ "การขยายวงเล็บ" ซึ่งโพสต์ไว้ในทรัพยากรของเรา

เงื่อนไขการจัดกลุ่มปัจจัย

ในกรณีที่เรากำลังจัดการกับคำศัพท์ตั้งแต่สามคำขึ้นไป เราสามารถใช้การแปลงที่เหมือนกันในลักษณะดังกล่าวเป็นการจัดกลุ่มคำศัพท์ได้ โดยวิธีการแปลงนี้หมายถึงการรวมคำศัพท์หลายคำเข้าด้วยกันเป็นกลุ่มโดยการจัดเรียงใหม่และวางไว้ในวงเล็บ

เมื่อจัดกลุ่ม คำศัพท์จะถูกแลกเปลี่ยนในลักษณะที่คำศัพท์ที่จัดกลุ่มอยู่ในเรกคอร์ดนิพจน์ที่อยู่ติดกัน หลังจากนั้นสามารถใส่ไว้ในวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 11

ใช้การแสดงออก 5 + 7 + 1 . ถ้าเราจัดกลุ่มเทอมแรกกับเทอมที่สาม เราจะได้ (5 + 1) + 7 .

การจัดกลุ่มปัจจัยดำเนินการในลักษณะเดียวกับการจัดกลุ่มคำศัพท์

ตัวอย่างที่ 12

ทำงาน 2 3 4 5เป็นไปได้ที่จะจัดกลุ่มปัจจัยที่หนึ่งกับปัจจัยที่สาม และปัจจัยที่สองกับปัจจัยที่สี่ ในกรณีนี้เราจะมาถึงนิพจน์ (2 4) (3 5). และถ้าเราจัดกลุ่มปัจจัยที่หนึ่ง สอง และสี่ เราจะได้นิพจน์ (2 3 5) 4.

ข้อกำหนดและปัจจัยที่จัดกลุ่มสามารถแสดงเป็น จำนวนเฉพาะเช่นเดียวกับการแสดงออก กฎการจัดกลุ่มได้รับการกล่าวถึงโดยละเอียดในหัวข้อ "ข้อกำหนดและปัจจัยการจัดกลุ่ม"

การแทนที่ความแตกต่างด้วยผลรวม ผลิตภัณฑ์บางส่วน และในทางกลับกัน

การแทนที่ความแตกต่างด้วยผลรวมเป็นไปได้ด้วยความคุ้นเคยของเรากับตัวเลขที่ตรงกันข้าม ตอนนี้ลบออกจากตัวเลข กตัวเลข ขสามารถมองเป็นการบวกเลขได้ กตัวเลข -ข. ความเท่าเทียมกัน ก - ข = ก + (− ข)สามารถพิจารณาได้ว่ายุติธรรมและโดยพื้นฐานแล้วจะดำเนินการแทนที่ผลต่างด้วยผลรวม

ตัวอย่างที่ 13

ใช้การแสดงออก 4 + 3 − 2 ซึ่งผลต่างของตัวเลข 3 − 2 เราเขียนเป็นผลรวมได้ 3 + (− 2) . รับ 4 + 3 + (− 2) .

ตัวอย่างที่ 14

ความแตกต่างทั้งหมดในการแสดงออก 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2สามารถแทนที่ด้วยผลรวมเช่น 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

เราสามารถดำเนินการผลรวมจากผลต่างใดๆ ในทำนองเดียวกัน เราสามารถทำการทดแทนแบบย้อนกลับได้

การแทนที่การหารด้วยการคูณด้วยส่วนกลับของตัวหารเป็นไปได้ด้วยแนวคิดของจำนวนส่วนกลับ การแปลงนี้สามารถเขียนได้เป็น ก: ข = ก (ข − 1).

กฎนี้เป็นพื้นฐานของกฎสำหรับการหารเศษส่วนธรรมดา

ตัวอย่างที่ 15

ส่วนตัว 1 2: 3 5 สามารถแทนที่ด้วยผลิตภัณฑ์ของแบบฟอร์ม 1 2 5 3.

ในทำนองเดียวกัน โดยการเปรียบเทียบ การหารสามารถถูกแทนที่ด้วยการคูณ

ตัวอย่างที่ 16

ในกรณีของการแสดงออก 1+5:x:(x+3)แทนที่การแบ่งด้วย xสามารถคูณด้วย 1 x. หารด้วย x + 3เราสามารถแทนที่ด้วยการคูณด้วย 1 x + 3. การแปลงช่วยให้เราได้นิพจน์ที่เหมือนกับต้นฉบับ: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

การแทนที่การคูณด้วยการหารจะดำเนินการตามรูปแบบ ก ข = ก: (ข − 1).

ตัวอย่างที่ 17

ในนิพจน์ 5 x x 2 + 1 - 3 การคูณสามารถแทนที่ด้วยการหารเป็น 5: x 2 + 1 x - 3

การดำเนินการกับตัวเลข

การดำเนินการกับตัวเลขอยู่ภายใต้กฎของการดำเนินการ ขั้นแรก ดำเนินการด้วยพลังของตัวเลขและรากของตัวเลข หลังจากนั้น เราจะแทนที่ค่าลอการิทึม ตรีโกณมิติ และฟังก์ชันอื่นๆ จากนั้นดำเนินการในวงเล็บ จากนั้นคุณสามารถดำเนินการอื่น ๆ ทั้งหมดจากซ้ายไปขวาได้ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าการคูณและการหารจะดำเนินการก่อนการบวกและการลบ

การดำเนินการกับตัวเลขทำให้คุณสามารถแปลงนิพจน์ดั้งเดิมให้เป็นนิพจน์ที่เหมือนกันได้

ตัวอย่างที่ 18

มาแปลงนิพจน์ 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x โดยการดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมดด้วยตัวเลข

สารละลาย

ก่อนอื่นมาดูระดับ 2 3 และรูท 4 และคำนวณค่า: 2 3 = 8 และ 4 = 2 2 = 2

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในนิพจน์ดั้งเดิมและรับ: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

ทีนี้มาทำวงเล็บกัน: 8 − 1 = 7 . และไปที่นิพจน์ 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) กัน

เราก็ต้องทำการคูณ 3 และ 7 . เราได้: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

คำตอบ: 3 2 3 - 1 ก + 4 x 2 + 5 x = 21 ก + 2 (x 2 + 5 x)

การดำเนินการกับตัวเลขอาจนำหน้าด้วยการแปลงข้อมูลประจำตัวประเภทอื่นๆ เช่น การจัดกลุ่มตัวเลขหรือการขยายวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 19

ใช้การแสดงออก 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

สารละลาย

ก่อนอื่น เราจะเปลี่ยนผลหารในวงเล็บ 6: 3 ในความหมายของมัน 2 . เราได้: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

มาขยายวงเล็บ: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

มาจัดกลุ่มกันเถอะ ปัจจัยที่เป็นตัวเลขในผลิตภัณฑ์ ตลอดจนคำศัพท์ที่เป็นตัวเลข: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

ลองทำวงเล็บ: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

คำตอบ:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

หากเราทำงานกับนิพจน์ตัวเลข จุดประสงค์ของงานของเราคือการค้นหาค่าของนิพจน์ หากเราแปลงนิพจน์ด้วยตัวแปร เป้าหมายของการกระทำของเราก็คือทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

คร่อมปัจจัยร่วม

ในกรณีที่เงื่อนไขในนิพจน์มีตัวประกอบเดียวกัน เราสามารถนำตัวประกอบร่วมนี้ออกจากวงเล็บได้ ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นเราต้องแสดงนิพจน์ดั้งเดิมเป็นผลคูณของปัจจัยร่วมและนิพจน์ในวงเล็บ ซึ่งประกอบด้วยเงื่อนไขดั้งเดิมที่ไม่มีปัจจัยร่วม

ตัวอย่างที่ 20

เป็นตัวเลข 2 7 + 2 3เราดึงตัวประกอบร่วมออกมาได้ 2 นอกวงเล็บและได้นิพจน์ที่ถูกต้องเหมือนกันของแบบฟอร์ม 2 (7 + 3).

คุณสามารถรีเฟรชหน่วยความจำของกฎสำหรับการใส่ตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บในส่วนที่เกี่ยวข้องของทรัพยากรของเรา เนื้อหากล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับกฎสำหรับการแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บและให้ตัวอย่างมากมาย

การลดลงของคำที่คล้ายกัน

ทีนี้ มาดูผลรวมที่มีคำที่เหมือนกันกัน เป็นไปได้สองตัวเลือกที่นี่: ผลรวมที่มีคำเดียวกัน และผลรวมที่มีคำต่างกันด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข การดำเนินการกับผลรวมที่มีเงื่อนไขที่เหมือนกันเรียกว่าการลดลงของเงื่อนไขที่เหมือนกัน มีการดำเนินการดังนี้: เราใส่ส่วนตัวอักษรทั่วไปออกจากวงเล็บและคำนวณผลรวมของค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขในวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 21

พิจารณาการแสดงออก 1 + 4 x − 2 x. เราสามารถนำส่วนที่แท้จริงของ x ออกจากวงเล็บและรับนิพจน์ได้ 1 + x (4 − 2). ลองคำนวณค่าของนิพจน์ในวงเล็บและรับผลรวมของรูปแบบ 1 + x · 2

การแทนที่ตัวเลขและนิพจน์ด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน

ตัวเลขและนิพจน์ที่ประกอบเป็นนิพจน์ดั้งเดิมสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันทุกประการ การเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ดั้งเดิมดังกล่าวนำไปสู่นิพจน์ที่เท่ากันทุกประการ

ตัวอย่างที่ 22 ตัวอย่างที่ 23

พิจารณาการแสดงออก 1 + ก5ซึ่งเราสามารถแทนที่ดีกรี 5 ด้วยผลคูณที่เท่ากันได้ ตัวอย่างเช่น ของแบบฟอร์ม 4. สิ่งนี้จะทำให้เรามีการแสดงออก 1 + ก 4.

การเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินการนั้นเป็นของเทียม มันสมเหตุสมผลในการเตรียมพร้อมสำหรับการเปลี่ยนแปลงอื่น ๆ

ตัวอย่างที่ 24

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงของผลรวม 4 x 3 + 2 x 2. นี่คือคำศัพท์ 4x3เราสามารถนำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์ 2 x 2 x 2 x. เป็นผลให้นิพจน์ดั้งเดิมใช้แบบฟอร์ม 2 x 2 2 x + 2 x 2. ตอนนี้เราสามารถแยกปัจจัยร่วมได้ 2x2และนำออกจากวงเล็บ: 2 x 2 (2 x + 1).

การบวกและการลบจำนวนเดียวกัน

การเพิ่มและการลบจำนวนหรือนิพจน์เดียวกันในเวลาเดียวกันเป็นเทคนิคการแปลงนิพจน์เทียม

ตัวอย่างที่ 25

พิจารณาการแสดงออก x 2 + 2 x. เราสามารถเพิ่มหรือลบหนึ่งจากมันได้ ซึ่งจะทำให้เราสามารถทำการแปลงที่เหมือนกันอีกครั้งได้ในภายหลัง - เพื่อเลือกกำลังสองของทวินาม: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการครั้งสุดท้ายเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์คือ "หลัก"

นั่นคือ หากคุณแทนที่ตัวเลข (ใดๆ) แทนตัวอักษร และพยายามคำนวณค่าของนิพจน์ หากการกระทำสุดท้ายเป็นการคูณ เราก็จะได้ผลิตภัณฑ์ (นิพจน์ถูกแยกย่อยเป็นปัจจัยต่างๆ)

หากการกระทำสุดท้ายเป็นการบวกหรือการลบ หมายความว่านิพจน์นั้นไม่ได้แยกตัวประกอบ (ดังนั้นจึงไม่สามารถลดลงได้)

หากต้องการแก้ไขด้วยตัวคุณเอง ตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1. ฉันหวังว่าคุณจะไม่รีบตัดทันทีและ? ยังไม่เพียงพอที่จะ "ลด" หน่วยเช่นนี้:

ขั้นตอนแรกควรแยกตัวประกอบ:

4. การบวกและการลบเศษส่วน การนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม

การบวกและการลบเศษส่วนธรรมดาเป็นการดำเนินการที่รู้จักกันดี: เรามองหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่ขาดหายไป และเพิ่ม/ลบตัวเศษ

จำไว้:

คำตอบ:

1. ตัวส่วนและเป็น coprime นั่นคือไม่มีตัวประกอบร่วม ดังนั้น LCM ของตัวเลขเหล่านี้จึงเท่ากับผลคูณ นี่จะเป็นตัวส่วนร่วม:

2. นี่คือตัวส่วนร่วมคือ:

3. สิ่งแรกที่นี่ เศษส่วนผสมเปลี่ยนเป็นผิดแล้ว - ตามแบบแผนปกติ:

เป็นอีกเรื่องหนึ่งหากเศษส่วนประกอบด้วยตัวอักษร ตัวอย่างเช่น

เริ่มกันง่ายๆ:

ก) ตัวส่วนไม่มีตัวอักษร

ที่นี่ทุกอย่างเหมือนกันกับเศษส่วนตัวเลขทั่วไป: เราพบตัวส่วนร่วมกัน คูณแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่ขาดหายไป และเพิ่ม / ลบตัวเศษ:

ตอนนี้ในตัวเศษ คุณสามารถนำตัวเศษที่คล้ายกัน ถ้ามี และแยกตัวประกอบ:

ลองด้วยตัวคุณเอง:

คำตอบ:

b) ตัวส่วนประกอบด้วยตัวอักษร

จำหลักการหาตัวส่วนร่วมที่ไม่มีตัวอักษร:

ก่อนอื่นเรากำหนด ปัจจัยทั่วไป;

จากนั้นเราจะเขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดออกมาในครั้งเดียว

แล้วคูณด้วยปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ไม่ใช่ปัจจัยทั่วไป

ในการระบุตัวประกอบร่วมของตัวส่วน ขั้นแรก เราจะแยกย่อยตัวประกอบเหล่านั้นออกเป็นปัจจัยง่ายๆ:

เราเน้นปัจจัยทั่วไป:

ตอนนี้เราเขียนปัจจัยทั่วไปเพียงครั้งเดียวและเพิ่มปัจจัยที่ไม่ธรรมดาทั้งหมด (ไม่ขีดเส้นใต้):

นี่คือตัวส่วนร่วม

กลับไปที่ตัวอักษรกันเถอะ ตัวส่วนจะได้รับในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

เราแยกส่วนออกเป็นปัจจัย

กำหนดตัวคูณทั่วไป (เหมือนกัน)

เขียนปัจจัยทั่วไปทั้งหมดเพียงครั้งเดียว

เราคูณมันด้วยปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ไม่ใช่ปัจจัยทั่วไป

ดังนั้นตามลำดับ:

1) แยกส่วนออกเป็นปัจจัย:

2) กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน):

3) เขียนปัจจัยทั่วไปทั้งหมดออกมาแล้วคูณด้วยปัจจัยอื่น ๆ ทั้งหมด (ไม่ขีดเส้นใต้):

ตัวหารร่วมจึงอยู่ตรงนี้ เศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยส่วนที่สอง - โดย:

อย่างไรก็ตาม มีเคล็ดลับอย่างหนึ่งคือ

ตัวอย่างเช่น: .

เราเห็นปัจจัยเดียวกันในตัวส่วน แต่ทั้งหมดมีตัวบ่งชี้ต่างกัน ตัวส่วนร่วมจะเป็น:

ในขอบเขต

ในขอบเขต

ในขอบเขต

ในระดับ

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น:

วิธีทำให้เศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากัน?

จำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

ไม่มีที่ไหนบอกว่าตัวเลขเดียวกันสามารถลบ (หรือบวก) จากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนได้ เพราะมันไม่ใช่เรื่องจริง!

ดูด้วยตัวคุณเอง: นำเศษส่วนใดๆ มาบวกเข้ากับตัวเศษและตัวส่วน เช่น ได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

ดังนั้นกฎที่ไม่สั่นคลอนอีกข้อหนึ่ง:

เมื่อคุณนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมกัน ให้ใช้การคูณเท่านั้น!

แต่คุณต้องคูณอะไรเพื่อให้ได้มา?

ที่นี่และทวีคูณ และคูณด้วย:

นิพจน์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จะเรียกว่า "ตัวประกอบ"

เช่น เป็นปัจจัยเบื้องต้น. - เดียวกัน. แต่ - ไม่: มันถูกแยกย่อยเป็นปัจจัย

แล้วการแสดงออกล่ะ? เป็นประถมศึกษา?

ไม่ เนื่องจากสามารถแยกตัวประกอบได้:

(คุณได้อ่านเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบในหัวข้อ "")

ดังนั้นปัจจัยพื้นฐานที่คุณแยกย่อยนิพจน์ด้วยตัวอักษรจึงเป็นอะนาล็อก ปัจจัยสำคัญที่คุณแยกย่อยตัวเลข และเราจะทำเช่นเดียวกันกับพวกเขา

เราเห็นว่าตัวส่วนทั้งสองมีตัวประกอบ มันจะไปที่ตัวหารร่วมในยกกำลัง (จำทำไม?)

ตัวคูณเป็นแบบพื้นฐานและไม่มีเหมือนกันซึ่งหมายความว่าเศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วย:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ก่อนคูณตัวส่วนเหล่านี้ด้วยความตื่นตระหนก คุณต้องคิดก่อนว่าจะแยกตัวประกอบอย่างไร ทั้งสองเป็นตัวแทนของ:

ยอดเยี่ยม! แล้ว:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ตามปกติ เราจะแยกตัวประกอบของตัวส่วน ในตัวส่วนแรก เราแค่ใส่มันออกจากวงเล็บ ในวินาที - ความแตกต่างของกำลังสอง:

ดูเหมือนว่าจะไม่มีปัจจัยร่วมกัน แต่ถ้าคุณดูอย่างใกล้ชิดพวกเขาก็คล้ายกันมาก ... และความจริงก็คือ:

ลองเขียน:

นั่นคือ มันกลายเป็นแบบนี้: ในวงเล็บ เราเปลี่ยนเงื่อนไข และในขณะเดียวกัน เครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนก็เปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม รับทราบคุณจะต้องทำเช่นนี้บ่อยๆ

ตอนนี้เรามาถึงส่วนร่วม:

เข้าใจแล้ว? ตอนนี้มาตรวจสอบกัน

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำตอบ:

ที่นี่เราต้องจำอีกสิ่งหนึ่ง - ความแตกต่างของลูกบาศก์:

โปรดทราบว่าตัวส่วนของเศษส่วนที่สองไม่มีสูตร "กำลังสองของผลรวม"! กำลังสองของผลรวมจะมีลักษณะดังนี้:

A คือสิ่งที่เรียกว่ากำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม: เทอมที่สองในนั้นเป็นผลคูณของผลรวมของผลแรกและผลสุดท้าย ไม่ใช่ผลคูณสองเท่า ผลรวมกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์เป็นปัจจัยหนึ่งในการขยายความแตกต่างของลูกบาศก์:

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีสามเศษส่วนอยู่แล้ว?

ใช่เหมือนกัน! ก่อนอื่นมาทำให้มันเป็นเช่นนั้น จำนวนเงินสูงสุดปัจจัยในตัวส่วนเหมือนกัน:

โปรดสังเกต: หากคุณเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บเดียว เครื่องหมายที่อยู่ด้านหน้าเศษส่วนจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม เมื่อเราเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บที่สอง เครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนก็จะกลับด้านอีกครั้ง เป็นผลให้เขา (เครื่องหมายหน้าเศษส่วน) ไม่เปลี่ยนแปลง

เราเขียนตัวส่วนแรกให้เต็มในตัวส่วนร่วม จากนั้นเราเพิ่มปัจจัยทั้งหมดที่ยังไม่ได้เขียนจากตัวที่สองและตัวที่สาม (และต่อไปเรื่อยๆ หากมีเศษส่วนมากกว่านี้) นั่นคือมันเป็นดังนี้:

อืม ... ด้วยเศษส่วนมันชัดเจนว่าต้องทำอะไร แต่สิ่งที่เกี่ยวกับทั้งสอง?

ง่ายมาก คุณรู้วิธีบวกเศษส่วนแล้วใช่ไหม ดังนั้นคุณต้องแน่ใจว่าผีสางกลายเป็นเศษส่วน! ข้อควรจำ: เศษส่วนคือการดำเนินการหาร (ตัวเศษจะถูกหารด้วยตัวส่วน ในกรณีที่คุณลืมกะทันหัน) และไม่มีอะไรง่ายไปกว่าการหารจำนวนด้วย ในกรณีนี้ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะกลายเป็นเศษส่วน:

สิ่งที่จำเป็น!

5. การคูณและการหารเศษส่วน

ตอนนี้ส่วนที่ยากที่สุดจบลงแล้ว และข้างหน้าเรานั้นง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็สำคัญที่สุด:

ขั้นตอน

ขั้นตอนการนับเป็นอย่างไร การแสดงออกที่เป็นตัวเลข? โปรดจำไว้ว่าเมื่อพิจารณาถึงค่าของนิพจน์ดังกล่าว:

คุณนับหรือไม่

มันควรจะทำงาน

ดังนั้นฉันเตือนคุณ

ขั้นตอนแรกคือการคำนวณระดับ

ประการที่สองคือการคูณและการหาร หากมีการคูณและการหารหลายรายการพร้อมกัน คุณสามารถทำตามลำดับใดก็ได้

และสุดท้าย เราทำการบวกและการลบ อีกครั้งในลำดับใดก็ได้

แต่: นิพจน์ในวงเล็บถูกประเมินว่าผิดระเบียบ!

หากวงเล็บหลายอันคูณหรือหารกันเอง เราจะประเมินนิพจน์ในแต่ละวงเล็บก่อน แล้วจึงคูณหรือหาร

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีวงเล็บอื่นในวงเล็บ? ลองคิดดูสิ นิพจน์บางอย่างเขียนไว้ในวงเล็บ สิ่งแรกที่ต้องทำเมื่อประเมินการแสดงออกคืออะไร? ถูกต้อง คำนวณวงเล็บ เราคิดออกแล้ว: ก่อนอื่นเราคำนวณวงเล็บปีกกาด้านใน แล้วจึงคำนวณอย่างอื่น

ดังนั้น ลำดับของการดำเนินการสำหรับนิพจน์ด้านบนจึงเป็นดังนี้ (การกระทำปัจจุบันถูกเน้นด้วยสีแดง นั่นคือ การกระทำที่ฉันกำลังดำเนินการอยู่):

โอเค มันง่ายไปหมด

แต่นั่นไม่เหมือนกับการแสดงออกด้วยตัวอักษรใช่ไหม

ไม่ มันเหมือนกัน! แทนที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น จำเป็นต้องดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต นั่นคือ การดำเนินการที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า: นำที่คล้ายกันการบวกเศษส่วน การลดเศษส่วน และอื่นๆ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการกระทำของการแยกตัวประกอบพหุนาม (เรามักใช้เมื่อทำงานกับเศษส่วน) ส่วนใหญ่แล้ว สำหรับการแยกตัวประกอบ คุณต้องใช้ i หรือเพียงแค่นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

โดยปกติแล้วเป้าหมายของเราคือการแสดงนิพจน์เป็นผลิตภัณฑ์หรือผลหาร

ตัวอย่างเช่น:

มาทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

1) ขั้นแรก เราลดความซับซ้อนของนิพจน์ในวงเล็บ เรามีผลต่างของเศษส่วน และเป้าหมายของเราคือแสดงเป็นผลคูณหรือผลหาร ดังนั้นเราจึงนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมและบวก:

เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นอีก ปัจจัยทั้งหมดในที่นี้เป็นค่าพื้นฐาน (คุณยังจำได้ไหมว่าหมายความว่าอย่างไร)

2) เราได้รับ:

การคูณเศษส่วน: อะไรจะง่ายกว่านี้

3) ตอนนี้คุณสามารถย่อ:

ตกลงมันจบลงแล้ว ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม

ตัวอย่างอื่น:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ขั้นแรกให้ลองแก้ปัญหาด้วยตัวคุณเองจากนั้นดูวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย:

ก่อนอื่นเรามากำหนดขั้นตอน

ขั้นแรก ให้เพิ่มเศษส่วนในวงเล็บ แทนที่จะเป็นเศษส่วนสองส่วน จะได้เศษส่วนหนึ่ง

จากนั้นเราจะทำการหารเศษส่วน เราเพิ่มผลลัพธ์ด้วยเศษส่วนสุดท้าย

ฉันจะกำหนดหมายเลขขั้นตอน:

ตอนนี้ฉันจะแสดงกระบวนการทั้งหมดโดยย้อมการกระทำปัจจุบันด้วยสีแดง:

1.หากมีเหมือนกันต้องนำมาทันที เมื่อใดก็ตามที่เรามีสิ่งที่คล้ายกันขอแนะนำให้นำติดตัวไปทันที

2. เช่นเดียวกับการลดเศษส่วน: ทันทีที่มีโอกาสที่จะลดเศษส่วนก็ต้องใช้ ข้อยกเว้นคือเศษส่วนที่คุณบวกหรือลบ ถ้าตอนนี้เศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากัน ควรทิ้งเศษส่วนไว้ทีหลัง

นี่คืองานบางอย่างที่คุณต้องแก้ไขด้วยตัวคุณเอง:

และสัญญาตั้งแต่แรก:

คำตอบ:

โซลูชั่น (โดยย่อ):

หากคุณจัดการกับตัวอย่างสามตัวอย่างแรกเป็นอย่างน้อย แสดงว่าคุณเข้าใจหัวข้อนี้แล้ว

ตอนนี้เพื่อการเรียนรู้!

การแปลงการแสดงออก สรุปและสูตรพื้นฐาน

การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน:

• นำที่คล้ายกัน: หากต้องการเพิ่ม (ลด) คำที่เหมือนกัน คุณต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และกำหนดส่วนตัวอักษร
• การแยกตัวประกอบ:การนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ การนำไปใช้ ฯลฯ
• การลดเศษส่วน: ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ โดยที่ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง
  1) ตัวเศษและตัวส่วน แยกตัวประกอบ
  2) หากมีตัวประกอบร่วมกันในตัวเศษและตัวส่วน ก็สามารถขีดฆ่าได้

  สำคัญ: ตัวคูณเท่านั้นที่สามารถลดได้!

• การบวกและการลบเศษส่วน:
  ;
• การคูณและการหารเศษส่วน:
  ;