ในการศึกษาพีชคณิต เราพบแนวคิดของพหุนาม (เช่น ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ และอื่นๆ) และเศษส่วนพีชคณิต (เช่น $\frac(x+5)(x) )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ etc.) ความคล้ายคลึงกันของแนวคิดเหล่านี้คือทั้งในพหุนามและเศษส่วนพีชคณิต ตัวแปรและค่าตัวเลข เลขคณิต: การบวก การลบ การคูณ การยกกำลัง ความแตกต่างระหว่างแนวคิดเหล่านี้คือการหารด้วยตัวแปรไม่ได้ดำเนินการในพหุนาม และการหารด้วยตัวแปรสามารถดำเนินการในเศษส่วนพีชคณิต
ทั้งพหุนามและเศษส่วนพีชคณิตเรียกว่านิพจน์พีชคณิตตรรกยะในวิชาคณิตศาสตร์ แต่พหุนามเป็นนิพจน์ตรรกยะจำนวนเต็ม และนิพจน์เศษส่วนเชิงพีชคณิตเป็นนิพจน์ตรรกยะแบบเศษส่วน
เป็นไปได้ที่จะได้นิพจน์พีชคณิตทั้งหมดจากนิพจน์ที่เป็นเศษส่วนโดยใช้การแปลงที่เหมือนกัน ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นคุณสมบัติหลักของเศษส่วน - การลดเศษส่วน ลองดูในทางปฏิบัติ:
ตัวอย่าง 1
แปลง:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
การตัดสินใจ:สมการเศษส่วน-ตรรกยะนี้สามารถแปลงได้โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของการตัดเศษส่วน นั่นคือ การหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกันนอกเหนือจาก $0$
เศษส่วนนี้ลดไม่ได้ในทันที จำเป็นต้องแปลงตัวเศษ
เราแปลงนิพจน์ในตัวเศษของเศษส่วน สำหรับสิ่งนี้ เราใช้สูตรสำหรับผลต่างกำลังสอง: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
เศษส่วนมีรูปแบบ
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]
ทีนี้เราเห็นแล้วว่าตัวเศษและตัวส่วนมี ปัจจัยร่วม--นี่คือนิพจน์ $x-2$ ซึ่งเราจะลดเศษส่วน
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]
หลังจากการลดลง เราได้รับว่านิพจน์เศษส่วน-ตรรกยะดั้งเดิม $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ กลายเป็นพหุนาม $x-2$ นั่นคือ มีเหตุผลทั้งหมด
ทีนี้มาให้ความสนใจกับความจริงที่ว่านิพจน์ $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ และ $x-2\ $ ถือว่าเหมือนกันไม่ใช่สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรเพราะ เพื่อให้นิพจน์เศษส่วน-ตรรกยะมีอยู่และลดลงโดยพหุนาม $x-2$ ตัวส่วนของเศษส่วนไม่ควรเท่ากับ $0$ (เช่นเดียวกับตัวประกอบที่เราลด ในตัวอย่างนี้ ตัวส่วนและตัวประกอบเหมือนกันแต่ไม่เสมอไป)
ค่าตัวแปรที่จะมีเศษพีชคณิตเรียกว่าค่าตัวแปรที่ถูกต้อง
เราใส่เงื่อนไขในตัวส่วนของเศษส่วน: $x-2≠0$ แล้ว $x≠2$
ดังนั้นนิพจน์ $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ และ $x-2$ จึงเหมือนกันสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร ยกเว้น $2$
คำจำกัดความ 1
เท่ากันนิพจน์คือค่าที่เท่ากันสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร
การแปลงที่เหมือนกันคือการแทนที่นิพจน์ดั้งเดิมด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน การแปลงดังกล่าวรวมถึงการดำเนินการ: การบวก การลบ การคูณ การนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ นำเศษส่วนพีชคณิตไปยังตัวส่วนร่วม ลดเศษส่วนพีชคณิต นำมา เช่นเงื่อนไข ฯลฯ ต้องคำนึงว่าการเปลี่ยนแปลงจำนวนหนึ่ง เช่น การลดลง การลดลงของเงื่อนไขที่คล้ายคลึงกัน สามารถเปลี่ยนค่าที่อนุญาตของตัวแปรได้
เทคนิคที่ใช้พิสูจน์ตัวตน
แปลงด้านซ้ายของข้อมูลประจำตัวไปทางด้านขวาหรือในทางกลับกันโดยใช้การแปลงข้อมูลประจำตัว
ลดทั้งสองส่วนให้เป็นนิพจน์เดียวกันโดยใช้การแปลงที่เหมือนกัน
โอนนิพจน์ในส่วนหนึ่งของนิพจน์ไปยังอีกส่วนหนึ่ง และพิสูจน์ว่าผลต่างที่ได้เท่ากับ $0$
วิธีการใดข้างต้นที่จะใช้เพื่อพิสูจน์เอกลักษณ์ที่กำหนดขึ้นอยู่กับเอกลักษณ์ดั้งเดิม
ตัวอย่าง 2
พิสูจน์ตัวตน $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
การตัดสินใจ:ในการพิสูจน์ตัวตนนี้ เราใช้วิธีแรกในวิธีข้างต้น กล่าวคือ เราจะแปลงด้านซ้ายของข้อมูลประจำตัวจนกว่าจะเท่ากับด้านขวา
พิจารณาทางด้านซ้ายของข้อมูลประจำตัว: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- คือผลต่างของพหุนามสองพหุนาม ในกรณีนี้ พหุนามแรกคือกำลังสองของผลบวกของพจน์ 3 พจน์ ในการยกกำลังสองผลรวมของหลายพจน์ เราใช้สูตร:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
ในการนี้ เราต้องคูณตัวเลขด้วยพหุนาม จำไว้ว่า สำหรับสิ่งนี้ เราต้องคูณตัวประกอบร่วมที่อยู่นอกวงเล็บด้วยพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามในวงเล็บ จากนั้นเราจะได้:
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
กลับไปที่พหุนามเดิม มันจะอยู่ในรูปแบบ:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
โปรดทราบว่ามีเครื่องหมาย "-" อยู่ด้านหน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าเมื่อเปิดวงเล็บ เครื่องหมายทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บจะกลับด้าน
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
ถ้าเรานำคำที่คล้ายกันมา เราก็จะได้ monomial $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ และ $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ ยกเลิกกัน นั่นคือ ผลรวมของพวกเขาเท่ากับ $0$
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
ดังนั้น โดยการแปลงที่เหมือนกัน เราได้นิพจน์ที่เหมือนกันทางด้านซ้ายของเอกลักษณ์ดั้งเดิม
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
โปรดทราบว่านิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์แสดงว่าตัวตนดั้งเดิมนั้นเป็นจริง
โปรดทราบว่าในเอกลักษณ์ดั้งเดิมอนุญาตให้ใช้ค่าทั้งหมดของตัวแปรซึ่งหมายความว่าเราพิสูจน์ตัวตนโดยใช้ การแปลงที่เหมือนกันและเป็นจริงสำหรับค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของตัวแปร
สมการ
จะแก้สมการได้อย่างไร?
ในส่วนนี้ เราจะจำ (หรือศึกษา - อย่างที่ใครๆ ก็ชอบ) สมการพื้นฐานที่สุด แล้วสมการคืออะไร? เมื่อพูดถึงมนุษย์ นี่เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง ซึ่งมีเครื่องหมายเท่ากับและไม่ทราบ ซึ่งมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์". แก้สมการคือการหาค่า x ดังกล่าวซึ่งเมื่อแทนค่าเป็น อักษรย่อการแสดงออกจะทำให้เราระบุตัวตนที่ถูกต้อง ผมขอเตือนคุณว่าตัวตนคือการแสดงออกที่ไม่ก่อให้เกิดความสงสัยแม้แต่กับคนที่ไม่มีภาระกับความรู้ทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน เช่น 2=2, 0=0, ab=ab เป็นต้น แล้วจะแก้สมการยังไง?ลองคิดออก
มีสมการทุกประเภท (ฉันประหลาดใจใช่ไหม) แต่ความหลากหลายที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภทเท่านั้น
4. อื่น.)
ที่เหลือ ที่สำคัญที่สุด ใช่เลย ...) ซึ่งรวมถึงลูกบาศก์ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และอื่นๆ ทุกประเภท เราจะทำงานอย่างใกล้ชิดกับพวกเขาในส่วนที่เกี่ยวข้อง
ฉันต้องบอกทันทีว่าบางครั้งสมการของสามประเภทแรกนั้นซับซ้อนจนคุณจำไม่ได้ ... ไม่มีอะไร เราจะเรียนรู้วิธีคลายมัน
และทำไมเราถึงต้องการสี่ประเภทนี้? แล้วไงต่อ สมการเชิงเส้น แก้ได้ทางเดียว สี่เหลี่ยมคนอื่น เศษส่วนเหตุผล - ที่สามเอ พักผ่อนไม่แก้เลย! ไม่ใช่ว่าพวกเขาไม่ได้ตัดสินใจเลย ฉันไม่พอใจคณิตศาสตร์อย่างไร้ประโยชน์) เพียงแต่พวกเขามีเทคนิคและวิธีการพิเศษเฉพาะของตัวเอง
แต่สำหรับใครก็ตาม (ฉันขอย้ำ - สำหรับ ใดๆ!) สมการเป็นพื้นฐานที่เชื่อถือได้และปราศจากปัญหาในการแก้ ทำงานได้ทุกที่และทุกเวลา ฐานนี้ - ฟังดูน่ากลัว แต่สิ่งนี้ง่ายมาก และมาก (มาก!)สิ่งสำคัญ.
ที่จริงแล้ว คำตอบของสมการประกอบด้วยการแปลงแบบเดียวกันนี้ ที่ 99%. ตอบคำถาม: " จะแก้สมการได้อย่างไร?" โกหก แค่ในการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ คำใบ้ชัดเจนไหม)
การแปลงเอกลักษณ์ของสมการ
ที่ สมการใด ๆเพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก จำเป็นต้องแปลงและทำให้ตัวอย่างเดิมง่ายขึ้น ยิ่งไปกว่านั้น เพื่อที่ว่าเมื่อเปลี่ยนรูปลักษณ์ สาระสำคัญของสมการไม่เปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่า เหมือนกันหรือเทียบเท่า.
โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้คือ สำหรับสมการเท่านั้นในวิชาคณิตศาสตร์ ยังคงมีการแปลงเหมือนกัน นิพจน์นี่เป็นอีกหัวข้อหนึ่ง
ตอนนี้เราจะทำซ้ำ all-all-all พื้นฐาน การแปลงสมการที่เหมือนกัน
พื้นฐานเพราะใช้ได้กับ ใดๆสมการ - เชิงเส้น, สมการกำลังสอง, เศษส่วน, ตรีโกณมิติ, เลขชี้กำลัง, ลอการิทึม ฯลฯ ฯลฯ
การแปลงที่เหมือนกันครั้งแรก: สามารถบวกทั้งสองข้างของสมการใดๆ ได้ (ลบออก) ใดๆ(แต่เหมือนกัน!) ตัวเลขหรือนิพจน์ (รวมถึงนิพจน์ที่ไม่ทราบสาเหตุ!) สาระสำคัญของสมการไม่เปลี่ยนแปลง
อีกอย่าง คุณใช้การแปลงนี้เป็นประจำ คุณแค่คิดว่าคุณย้ายพจน์บางพจน์จากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย พิมพ์:
เรื่องคุ้นเคยเราย้ายผีไปทางขวาและเราได้รับ:
จริงๆแล้วคุณ เอาออกไปจากทั้งสองข้างของสมการดิวซ์ ผลลัพธ์จะเหมือนกัน:
x+2 - 2 = 3 - 2
การโอนเงื่อนไขไปทางซ้าย-ขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเพียงรูปแบบย่อของการแปลงที่เหมือนกันครั้งแรก และทำไมเราต้องมีความรู้ลึกซึ้งเช่นนี้? - คุณถาม. ไม่มีอะไรในสมการ ย้ายมันเพื่อประโยชน์ของพระเจ้า อย่าลืมเปลี่ยนป้าย แต่ในความไม่เท่าเทียม นิสัยชอบเปลี่ยนใจ อาจนำไปสู่ทางตัน ....
การแปลงเอกลักษณ์ครั้งที่สอง: สมการทั้งสองข้างสามารถคูณ (หาร) เท่ากันได้ ไม่ใช่ศูนย์ตัวเลขหรือนิพจน์ ข้อจำกัดที่เข้าใจได้ปรากฏขึ้นแล้ว: มันโง่ที่จะคูณด้วยศูนย์ และมันเป็นไปไม่ได้ที่จะหารเลย นี่คือการเปลี่ยนแปลงที่คุณใช้เมื่อคุณตัดสินใจบางอย่างที่เจ๋งเช่น
เข้าใจได้, X= 2. แต่คุณพบมันได้อย่างไร? การคัดเลือก? หรือเพียงแค่สว่างขึ้น? เพื่อไม่ให้รับและรอความเข้าใจคุณต้องเข้าใจว่าคุณเป็นเพียง หารทั้งสองข้างของสมการโดย 5. เมื่อหารด้านซ้าย (5x) ห้าลดลงเหลือ X บริสุทธิ์ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการ และเมื่อหารด้านขวาของ (10) ด้วยห้า มันกลับกลายเป็นผีสาง
นั่นคือทั้งหมดที่
เป็นเรื่องตลก แต่การแปลงที่เหมือนกันทั้งสอง (เพียงสอง!) นี้รองรับวิธีแก้ปัญหา สมการคณิตศาสตร์ทั้งหมดยังไง! มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะดูตัวอย่างว่าอะไรและอย่างไรใช่ไหม)
ตัวอย่างการแปลงสมการที่เหมือนกัน ปัญหาหลัก.
มาเริ่มกันที่ แรกการแปลงที่เหมือนกัน เลื่อนซ้าย-ขวา.
เป็นตัวอย่างให้น้องๆ)
สมมติว่าเราต้องแก้สมการต่อไปนี้:
3-2x=5-3x
จำคาถา: "ด้วย X - ทางซ้าย, ไม่มี X - ทางขวา!"คาถานี้เป็นคำสั่งในการใช้การแปลงเอกลักษณ์ครั้งแรก) เรามีนิพจน์อะไรกับ x ทางด้านขวา? 3x? คำตอบคือผิด! ทางขวามือของเรา - 3x! ลบสาม x! ดังนั้นเมื่อเบี่ยงไปทางซ้ายเครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวก รับ:
3-2x+3x=5
ดังนั้น X's จึงถูกรวมเข้าด้วยกัน มาทำตัวเลขกันเถอะ สามทางซ้าย. สัญญาณอะไร? คำตอบ "ไม่มี" ไม่เป็นที่ยอมรับ!) ต่อหน้าทั้งสาม ไม่มีอะไรถูกดึงออกมา และนี่หมายความว่าข้างหน้าสามคือ บวกนักคณิตศาสตร์จึงเห็นด้วย ไม่มีอะไรเขียน ดังนั้น บวกดังนั้นทริปเปิ้ลจะถูกโอนไปทางด้านขวา ด้วยเครื่องหมายลบเราได้รับ:
-2x+3x=5-3
มีพื้นที่ว่างเหลืออยู่ ทางด้านซ้าย - ให้สิ่งที่คล้ายกันทางด้านขวา - นับ คำตอบคือทันที:
ในตัวอย่างนี้ การแปลงที่เหมือนกันเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว อันที่สองไม่จำเป็น โอเค.)
เป็นแบบอย่างแก่ผู้ใหญ่)
ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...
อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์
นอกจากการศึกษาการดำเนินการและคุณสมบัติของมันในพีชคณิตแล้ว พวกเขายังได้ศึกษาแนวคิดเช่น นิพจน์ สมการ ความไม่เท่าเทียมกัน . ความคุ้นเคยครั้งแรกกับพวกเขาเกิดขึ้นใน หลักสูตรประถมคณิตศาสตร์. พวกเขาได้รับการแนะนำตามกฎโดยไม่มีคำจำกัดความที่เข้มงวดซึ่งส่วนใหญ่มักจะเน้นย้ำซึ่งต้องการให้ครูไม่เพียง แต่ต้องระมัดระวังในการใช้คำศัพท์ที่แสดงถึงแนวคิดเหล่านี้เท่านั้น แต่ยังต้องทราบคุณสมบัติจำนวนหนึ่งด้วย ดังนั้น งานหลักที่เรากำหนดเมื่อเริ่มศึกษาเนื้อหาของย่อหน้านี้คือการชี้แจงและทำความเข้าใจเกี่ยวกับนิพจน์ (ตัวเลขและตัวแปร) ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขและความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลข สมการและความไม่เท่าเทียมกัน
การศึกษาแนวคิดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการใช้ภาษาคณิตศาสตร์หมายถึง ภาษาเทียมซึ่งถูกสร้างและพัฒนาควบคู่ไปกับศาสตร์นี้หรือศาสตร์นั้น เช่นเดียวกับภาษาคณิตศาสตร์อื่นๆ มันมีตัวอักษรในตัวเอง ในหลักสูตรของเรา จะนำเสนอบางส่วน เนื่องจากจำเป็นต้องให้ความสำคัญกับความสัมพันธ์ระหว่างพีชคณิตและเลขคณิตมากขึ้น ตัวอักษรนี้รวมถึง:
1) หมายเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ตัวเลขจะถูกเขียนตามกฎพิเศษ
2) สัญญาณของการดำเนินงาน +, -, , :;
3) สัญญาณความสัมพันธ์<, >, =, ม;
4) อักษรตัวพิมพ์เล็กของอักษรละตินใช้เพื่อกำหนดตัวเลข
5) วงเล็บ (กลม, หยิก, ฯลฯ ) เรียกว่าสัญญาณทางเทคนิค
การใช้ตัวอักษรนี้ คำต่างๆ ถูกสร้างขึ้นในพีชคณิต เรียกพวกมันว่า นิพจน์ และประโยคที่ได้มาจากคำ - ความเท่าเทียมกันทางตัวเลข ความไม่เท่าเทียมกันทางตัวเลข, สมการ, ความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปร.
ดังที่คุณทราบ บันทึก 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2-17 เรียกว่า นิพจน์ตัวเลข เกิดจากตัวเลข ป้ายการกระทำ วงเล็บ ถ้าเราดำเนินการทั้งหมดที่ระบุในนิพจน์ เราจะได้ตัวเลขที่เรียกว่า ค่าของนิพจน์ตัวเลข . ดังนั้น ค่าของนิพจน์ตัวเลขคือ 3 × 2 - 4 เท่ากับ 2
มีนิพจน์ตัวเลขที่ไม่พบค่า สำนวนดังกล่าวเรียกว่า ไม่สมเหตุสมผล .
ตัวอย่างเช่น, นิพจน์ 8: (4 - 4) ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากไม่พบค่าของมัน: 4 - 4 = 0 และการหารด้วยศูนย์เป็นไปไม่ได้ นิพจน์ 7-9 ก็ไม่มีเหตุผลเช่นกันถ้าเราพิจารณามันในชุด ตัวเลขธรรมชาติเนื่องจากไม่พบค่าของนิพจน์ 7-9 ในชุดนี้
พิจารณาสัญกรณ์ 2a + 3 มันถูกสร้างขึ้นจากตัวเลข เครื่องหมายการกระทำ และตัวอักษร a. หากแทน a เราแทนตัวเลข จะได้รับนิพจน์ตัวเลขที่แตกต่างกัน:
ถ้า a = 7 แล้ว 2 × 7 + 3;
ถ้า a = 0 แล้ว 2 × 0 + 3;
ถ้า a = - 4 แล้ว 2 × (- 4) + 3.
ในสัญกรณ์ 2a + 3 จดหมายดังกล่าวเรียกว่า ตัวแปร และรายการตัวเอง 2a + 3 - การแสดงออกของตัวแปร
ตัวแปรทางคณิตศาสตร์มักจะเขียนแทนด้วยany ตัวพิมพ์เล็กอักษรละติน. ที่ โรงเรียนประถมเพื่อแสดงถึงตัวแปร นอกจากตัวอักษรแล้ว ยังใช้เครื่องหมายอื่นๆ เช่น œ จากนั้นนิพจน์ที่มีตัวแปรจะมีรูปแบบดังนี้: 2ל + 3
แต่ละนิพจน์ที่มีตัวแปรจะสัมพันธ์กับชุดของตัวเลข ซึ่งใช้แทนกันซึ่งส่งผลให้นิพจน์ตัวเลขมีความสมเหตุสมผล ชุดนี้มีชื่อว่า ขอบเขตการแสดงออก .
ตัวอย่างเช่น,โดเมนของนิพจน์ 5: (x - 7) ประกอบด้วยทั้งหมด ตัวเลขจริงยกเว้นหมายเลข 7 เนื่องจากสำหรับ x \u003d 7 นิพจน์ 5: (7 - 7) ไม่สมเหตุสมผล
ในวิชาคณิตศาสตร์ นิพจน์มีตัวแปรตั้งแต่หนึ่ง สองตัวขึ้นไป
ตัวอย่างเช่น, 2a + 3 เป็นนิพจน์หนึ่งตัวแปร และ (3x + 8y) × 2 เป็นนิพจน์ที่มีสามตัวแปร เพื่อให้ได้นิพจน์ตัวเลขจากนิพจน์ที่มีตัวแปรสามตัว แทนที่จะใช้ตัวแปรแต่ละตัว ให้แทนที่ตัวเลขที่อยู่ในขอบเขตของนิพจน์
ดังนั้นเราจึงพบว่านิพจน์ตัวเลขและนิพจน์ที่มีตัวแปรเกิดขึ้นจากตัวอักษรของภาษาคณิตศาสตร์ได้อย่างไร ถ้าเราเปรียบเสมือนภาษารัสเซีย สำนวนก็คือคำในภาษาคณิตศาสตร์
แต่ด้วยการใช้ตัวอักษรของภาษาคณิตศาสตร์ มันเป็นไปได้ที่จะสร้างเช่นบันทึก: (3 + 2)) - × 12 หรือ 3x - y: +) 8 ซึ่งเรียกว่านิพจน์ตัวเลขหรือนิพจน์ที่มีตัวแปรไม่ได้ ตัวอย่างเหล่านี้บ่งชี้ว่าคำอธิบาย - จากที่อักขระของตัวอักษรของนิพจน์ภาษาคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้น ตัวเลขและตัวแปร ไม่ได้เป็นคำจำกัดความของแนวคิดเหล่านี้ ให้คำจำกัดความของนิพจน์ตัวเลข (นิพจน์ที่มีตัวแปรถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน)
คำนิยาม.ถ้า f และ q เป็นนิพจน์ตัวเลข ดังนั้น (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) คือนิพจน์ตัวเลข ตัวเลขแต่ละตัวถือเป็นนิพจน์ตัวเลข
หากปฏิบัติตามคำจำกัดความนี้ทุกประการ ก็จะต้องเขียนวงเล็บปีกกามากเกินไป เช่น (7) + (5) หรือ (6): (2) ในการย่อสัญกรณ์ เราตกลงที่จะไม่เขียนวงเล็บหากมีการเพิ่มหรือลบนิพจน์หลายนิพจน์ และการดำเนินการเหล่านี้ดำเนินการจากซ้ายไปขวา ในทำนองเดียวกัน วงเล็บจะไม่ถูกเขียนเมื่อมีการคูณหรือหารตัวเลขหลายตัว และการดำเนินการเหล่านี้จะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา
ตัวอย่างเช่นพวกเขาเขียนดังนี้: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 หรือ 120: 15-7:12
นอกจากนี้ เราตกลงที่จะดำเนินการขั้นที่สองก่อน (การคูณและการหาร) จากนั้นจึงดำเนินการในขั้นตอนแรก (การบวกและการลบ) ดังนั้นนิพจน์ (12-4:3) + (5-8:2-7) จึงมีการเขียนดังนี้: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7
งาน.ค้นหาค่าของนิพจน์ 3x (x - 2) + 4(x - 2) สำหรับ x = 6
การตัดสินใจ
1 ทาง. แทนที่ตัวเลข 6 แทนตัวแปรในนิพจน์นี้: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2) ในการหาค่าของนิพจน์ตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์ เราดำเนินการตามที่ระบุทั้งหมด: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88 ดังนั้น , เมื่อไร X= 6 ค่าของนิพจน์ 3x(x-2) + 4(x-2) คือ 88
2 ทาง. ก่อนแทนที่เลข 6 ในนิพจน์นี้ มาทำให้ง่ายขึ้น: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2)(3x + 4). แล้วแทนที่ในนิพจน์ผลลัพธ์แทน Xข้อ 6 ทำดังนี้ (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4x (18 + 4) = 4x22 = 88
ให้เราใส่ใจกับสิ่งต่อไปนี้ ทั้งในวิธีแรกในการแก้ปัญหา และในวิธีที่สอง เราแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่ง
ตัวอย่างเช่นนิพจน์ 18 × 4 + 4 × 4 ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ 72 + 16 และนิพจน์ 3x (x - 2) + 4(x - 2) - โดยนิพจน์ (X - 2)(3x + 4) และการแทนที่เหล่านี้นำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน ในวิชาคณิตศาสตร์อธิบายวิธีแก้ปัญหานี้พวกเขาบอกว่าเราดำเนินการ การแปลงที่เหมือนกัน นิพจน์
คำนิยาม.กล่าวได้ว่านิพจน์สองนิพจน์มีค่าเท่ากัน ถ้าค่าใดๆ ของตัวแปรจากโดเมนของนิพจน์ ค่าที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน
ตัวอย่างของนิพจน์ที่เท่ากันคือนิพจน์ 5(x + 2) และ 5x+ 10 เพราะสำหรับค่าจริงใดๆ Xค่าของพวกเขาเท่ากัน
หากนิพจน์สองนิพจน์ที่เท่ากันในชุดใดชุดหนึ่งรวมกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ เราก็จะได้ประโยคที่เรียกว่า ตัวตน ในชุดนี้
ตัวอย่างเช่น, 5(x + 2) = 5x + 10 คือเอกลักษณ์ของเซตของจำนวนจริง เพราะสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด ค่าของนิพจน์ 5(x + 2) และ 5x + 10 จะเท่ากัน การใช้สัญกรณ์ตัวระบุทั่วไป เอกลักษณ์นี้สามารถเขียนได้ดังนี้: (" x н R) 5(x + 2) = 5x + 10 ความเท่าเทียมกันของตัวเลขจริงถือเป็นข้อมูลประจำตัวด้วย
การแทนที่นิพจน์ด้วยนิพจน์อื่นที่เท่ากันในบางชุดเรียกว่า การแปลงที่เหมือนกันของนิพจน์ที่กำหนดในชุดนี้
ดังนั้น การแทนที่นิพจน์ 5(x + 2) ด้วยนิพจน์ 5x + 10 ซึ่งเท่ากับนิพจน์นั้น เราจึงทำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันของนิพจน์แรก แต่ให้สองนิพจน์เพื่อค้นหาว่าพวกเขาเท่ากันหรือไม่? ค้นหาค่านิพจน์ที่สอดคล้องกันโดยการแทนที่ตัวเลขเฉพาะสำหรับตัวแปร? ยาวนานและเป็นไปไม่ได้เสมอไป แต่แล้วอะไรคือกฎที่ต้องปฏิบัติตามเมื่อทำการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน? มีกฎเหล่านี้อยู่มากมาย หนึ่งในนั้นคือคุณสมบัติของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต
งาน.แยกตัวประกอบนิพจน์ axe - bx + ab - b 2
การตัดสินใจ.มาจัดกลุ่มสมาชิกของนิพจน์นี้เป็นสองกลุ่ม (อันแรกกับอันที่สอง อันที่สามกับอันที่สี่): axe - bx + ab - b 2 \u003d (ax-bx) + (ab-b 2) การแปลงนี้เป็นไปได้ตามคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการบวกจำนวนจริง
เรานำปัจจัยร่วมในนิพจน์ผลลัพธ์ออกจากวงเล็บแต่ละอัน: (ax - bx) + (ab - b 2) \u003d x (a - b) + b (a - b) - การแปลงนี้เป็นไปได้ตามการกระจาย สมบัติของการคูณเทียบกับการลบจำนวนจริง
ในนิพจน์ผลลัพธ์ เงื่อนไขมีปัจจัยร่วม เราเอามันออกจากวงเล็บ: x (a - b) + b (a - b) \u003d (a - b) (x - b) พื้นฐานของการแปลงที่ดำเนินการคือคุณสมบัติการกระจายของการคูณเทียบกับการบวก
ดังนั้น axe - bx + ab - b 2 \u003d (a - b) (x - b)
ในหลักสูตรเริ่มต้นของคณิตศาสตร์ตามกฎแล้วจะทำการแปลงที่เหมือนกันเท่านั้น นิพจน์ตัวเลข. พื้นฐานทางทฤษฎีการแปลงดังกล่าวเป็นคุณสมบัติของการบวกและการคูณ กฎต่างๆ: การบวกผลบวกกับตัวเลข ตัวเลขกับผลรวม การลบตัวเลขออกจากผลรวม ฯลฯ
ตัวอย่างเช่นในการหาผลคูณของ 35 × 4 คุณต้องทำการแปลง: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. การแปลงที่ดำเนินการอยู่บนพื้นฐานของ: คุณสมบัติการกระจายของการคูณในส่วนที่เกี่ยวกับการบวก; หลักการเขียนตัวเลขในระบบเลขฐานสิบ (35 = 30 + 5); กฎการคูณและการบวกจำนวนธรรมชาติ
ตัวเลขและนิพจน์ที่ประกอบกันเป็นนิพจน์ดั้งเดิมสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันได้ การแปลงนิพจน์ดั้งเดิมดังกล่าวนำไปสู่นิพจน์ที่เท่ากัน
ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 3+x ตัวเลข 3 สามารถแทนที่ด้วยผลรวม 1+2 ซึ่งส่งผลให้นิพจน์ (1+2)+x ซึ่งเท่ากับนิพจน์ดั้งเดิมเหมือนกัน อีกตัวอย่างหนึ่ง: ในนิพจน์ 1+a 5 ระดับของ 5 สามารถแทนที่ด้วยผลคูณที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ของรูปแบบ a·a 4 นี่จะให้นิพจน์ 1+a·a 4 แก่เรา
การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้นจริงอย่างไม่ต้องสงสัย และมักจะเป็นการเตรียมตัวสำหรับการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น ในผลรวม 4·x 3 +2·x 2 โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของดีกรี ระยะ 4·x 3 สามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ 2·x 2 ·2·x หลังจากการแปลงดังกล่าว นิพจน์ดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 2·x 2 ·2·x+2·x 2 แน่นอน เทอมในผลรวมที่เป็นผลลัพธ์มีตัวประกอบร่วม 2 x 2 ดังนั้นเราจึงสามารถแปลงค่าต่อไปนี้ได้ - ในวงเล็บ หลังจากนั้นเราจะมาถึงนิพจน์: 2 x 2 (2 x+1) .
การบวกลบเลขเดียวกัน
การแปลงนิพจน์ที่ประดิษฐ์ขึ้นอีกประการหนึ่งคือการบวกและการลบตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกันในเวลาเดียวกัน การแปลงดังกล่าวเหมือนกัน เนื่องจากในความเป็นจริง เทียบเท่ากับการบวกศูนย์ และการเพิ่มศูนย์จะไม่เปลี่ยนค่า
ขอพิจารณาตัวอย่าง. ลองใช้นิพจน์ x 2 +2 x กัน หากมีการเพิ่มสิ่งหนึ่งเข้าไปและอีกอันหนึ่งถูกนำออกไป สิ่งนี้จะช่วยให้สามารถทำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันอีกรายการหนึ่งได้ในอนาคต - เลือกกำลังสองของทวินาม: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
บรรณานุกรม.
- พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 7 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 17 - ม. : การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3
- พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
- มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำรานักเรียน สถาบันการศึกษา/ เอ.จี. มอร์ดโควิช. - ฉบับที่ 17 เพิ่ม - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ป่วย ไอ 978-5-346-02432-3
หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google (บัญชี) และลงชื่อเข้าใช้: https://accounts.google.com
คำบรรยายสไลด์:
ข้อมูลประจำตัว การแปลงเอกลักษณ์ของนิพจน์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7
จงหาค่าของนิพจน์ที่ x=5 และ y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 จงหาค่าของ นิพจน์ที่ x=6 และ y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33
สรุป: เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน ตามมาจากคุณสมบัติการกระจายซึ่งโดยทั่วไปสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรค่าของนิพจน์ 3(x + y) และ 3x + 3y จะเท่ากัน 3(x+y) = 3x+3y
พิจารณาตอนนี้นิพจน์ 2x + y และ 2xy สำหรับ x=1 และ y=2 พวกเขารับ ค่าเท่ากัน: 2x+y=2*1+2=4 2x=2*1*2=4 ที่ x=3, y=4 ค่านิพจน์ต่างกัน 2x+y=2*3+4=10 2x=2* 3*4 =24
สรุป: นิพจน์ 3(x+y) และ 3x+3y เท่ากัน แต่นิพจน์ 2x+y และ 2xy ไม่เท่ากัน คำจำกัดความ: นิพจน์สองนิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรจะกล่าวว่าเท่ากัน
เอกลักษณ์ ความเท่าเทียมกัน 3(x+y) และ 3x+3y เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของ x และ y ความเท่าเทียมกันดังกล่าวเรียกว่าอัตลักษณ์ คำจำกัดความ: ความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรเรียกว่าเอกลักษณ์ ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่แท้จริงถือเป็นตัวตนด้วย เราได้พบกับตัวตนแล้ว
อัตลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่แสดงคุณสมบัติพื้นฐานของการกระทำกับตัวเลข a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac
สามารถยกตัวอย่างอื่นๆ ของอัตลักษณ์ได้: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยนิพจน์อื่นที่เท่ากันเรียกว่า การแปลงเอกลักษณ์ หรือเพียงแค่การแปลงนิพจน์
ในการนำพจน์ที่คล้ายกัน คุณต้องเพิ่มสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป ตัวอย่างที่ 1 เราให้เงื่อนไขเช่น 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x
หากมีเครื่องหมายบวกอยู่ด้านหน้าวงเล็บ สามารถละเว้นวงเล็บได้ โดยคงเครื่องหมายของแต่ละคำที่อยู่ในวงเล็บไว้ ตัวอย่างที่ 2 ขยายวงเล็บในนิพจน์ 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c
หากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้าวงเล็บ สามารถละเว้นวงเล็บได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละคำที่อยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างที่ 3 ลองเปิดวงเล็บในนิพจน์ a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c
การบ้าน: น. 5 ฉบับที่ 91, 97, 99 ขอบคุณสำหรับบทเรียน!
ในหัวข้อ: การพัฒนาระเบียบวิธี การนำเสนอ และหมายเหตุ
วิธีการเตรียมนักเรียนสำหรับการสอบในหัวข้อ "นิพจน์และการแปลงนิพจน์"
โครงงานนี้จัดทำขึ้นโดยมีวัตถุประสงค์เพื่อเตรียมความพร้อมนักเรียนสำหรับการสอบของรัฐในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 และต่อไปให้เป็นปึกแผ่น การสอบของรัฐในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11...