ความหมายของคำว่า "เลขคณิต. พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค เลขคณิตคืออะไร หมายความว่าอย่างไร และสะกดอย่างไรให้ถูกต้อง เลขคณิตทำอะไร

"เลขคณิต" คืออะไร? คำนี้สะกดถูกต้องอย่างไร. แนวคิดและการตีความ

เลขคณิต ศิลปะแห่งการคำนวณด้วยจำนวนจริงบวก ประวัติโดยย่อของเลขคณิต ตั้งแต่สมัยโบราณ การทำงานกับตัวเลขถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนที่แตกต่างกัน: หนึ่งเกี่ยวข้องโดยตรงกับคุณสมบัติของตัวเลข อีกส่วนหนึ่งเกี่ยวข้องกับเทคนิคการนับ โดย "เลขคณิต" ในหลายประเทศ มักจะหมายถึงสาขาสุดท้ายนี้ ซึ่งเป็นสาขาคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดอย่างไม่ต้องสงสัย เห็นได้ชัดว่าปัญหาที่ใหญ่ที่สุดสำหรับเครื่องคิดเลขโบราณเกิดจากการทำงานกับเศษส่วน สิ่งนี้สามารถอนุมานได้จาก Ahmes Papyrus (เรียกอีกอย่างว่า Rhinda Papyrus) ซึ่งเป็นงานคณิตศาสตร์ของชาวอียิปต์โบราณที่มีอายุประมาณ 1650 ปีก่อนคริสตกาล เศษส่วนทั้งหมดที่กล่าวถึงในกระดาษปาปิรัส ยกเว้น 2/3 มีตัวเศษเท่ากับ 1 ความยากลำบากในการจัดการเศษส่วนก็สังเกตเห็นได้ชัดเจนเช่นกันเมื่อศึกษายาเม็ดรูปลิ่มแบบบาบิโลนโบราณ ทั้งชาวอียิปต์โบราณและชาวบาบิโลนดูเหมือนจะคำนวณด้วยลูกคิดบางรูปแบบ ศาสตร์แห่งตัวเลขได้รับการพัฒนาอย่างมีนัยสำคัญโดยชาวกรีกโบราณตั้งแต่พีทาโกรัสประมาณ 530 ปีก่อนคริสตกาล สำหรับเทคนิคการคำนวณเองนั้นชาวกรีกทำได้น้อยกว่ามากในด้านนี้ ในทางตรงกันข้าม ชาวโรมันที่อาศัยอยู่ภายหลังแทบไม่ได้มีส่วนสนับสนุนศาสตร์แห่งจำนวนเลย แต่ตามความต้องการของการพัฒนาการผลิตและการค้าอย่างรวดเร็ว พวกเขาปรับปรุงลูกคิดเป็นอุปกรณ์การนับ ไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับต้นกำเนิดของเลขคณิตอินเดีย มีเพียงไม่กี่งานเกี่ยวกับทฤษฎีและการปฏิบัติของการดำเนินการกับตัวเลขเท่านั้นที่เขียนขึ้นหลังจากที่ระบบตำแหน่งของอินเดียได้รับการปรับปรุงโดยการรวมศูนย์เข้าไปด้วย เราไม่ทราบแน่ชัดว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อใด แต่ในขณะนั้นได้มีการวางรากฐานสำหรับอัลกอริธึมเลขคณิตที่พบบ่อยที่สุดของเรา (ดูเพิ่มเติมที่ NUMBERS AND NUMBER SYSTEMS) ระบบตัวเลขของอินเดียและอัลกอริธึมเลขคณิตแรกถูกยืมโดยชาวอาหรับ หนังสือเรียนเลขอารบิกที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ถูกเขียนขึ้นโดยอัลคอวาริซมีราวปี 825 มีการใช้และอธิบายตัวเลขอินเดียอย่างกว้างขวาง ตำรานี้ได้รับการแปลเป็นภาษาละตินในเวลาต่อมาและมีผลกระทบอย่างมากต่อยุโรปตะวันตก ชื่ออัล-คอวาริซมีที่ผิดเพี้ยนได้มาจากคำว่า "อัลกอรึทึม" ซึ่งเมื่อผสมกับคำภาษากรีก aritmos แล้ว กลายเป็นคำว่า "อัลกอริธึม" เลขคณิตอินโด-อารบิกกลายเป็นที่รู้จักในยุโรปตะวันตกเนื่องจากผลงานของ L. Fibonacci The Book of the Abacus (Liber abaci, 1202) วิธี Abacist ให้ความเรียบง่ายคล้ายกับการใช้ระบบตำแหน่งของเรา อย่างน้อยก็สำหรับการบวกและการคูณ Abatsistov เปลี่ยนอัลกอริธึมที่ใช้ศูนย์และวิธีการแบ่งและการแยกภาษาอาหรับ รากที่สอง . หนังสือเรียนเลขคณิตเล่มแรกๆ ที่เราไม่รู้จัก ตีพิมพ์ในเตรวิโซ (อิตาลี) ในปี 1478 เล่มนี้เกี่ยวข้องกับการชำระหนี้ในธุรกรรมทางการค้า ตำราเล่มนี้ได้กลายเป็นบรรพบุรุษของตำราเลขคณิตหลายเล่มที่ปรากฏในภายหลัง จนถึงต้นศตวรรษที่ 17 มีการเผยแพร่หนังสือเรียนดังกล่าวมากกว่าสามร้อยเล่มในยุโรป อัลกอริธึมเลขคณิตได้รับการปรับปรุงอย่างมากในช่วงเวลานี้ ในคริสต์ศตวรรษที่ 16-17 สัญลักษณ์สำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ปรากฏขึ้น เช่น =, +, -, *, "root" และ / เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าเศษส่วนทศนิยมถูกประดิษฐ์ขึ้นในปี ค.ศ. 1585 โดย S. Stevin, ลอการิทึมโดย J. Napier ในปี 1614 และกฎการเลื่อนโดย W. Outred ในปี 1622 อุปกรณ์คอมพิวเตอร์แอนะล็อกและดิจิทัลสมัยใหม่ถูกประดิษฐ์ขึ้นในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 . ดูเพิ่มเติมที่ คณิตศาสตร์; ประวัติคณิตศาสตร์; ทฤษฎีตัวเลข แถว การใช้เครื่องจักรของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ด้วยการพัฒนาของสังคม ความต้องการการคำนวณที่รวดเร็วและแม่นยำยิ่งขึ้นก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ความต้องการนี้ทำให้เกิดสิ่งประดิษฐ์ที่โดดเด่นสี่อย่าง: การกำหนดตัวเลขฮินดู-อารบิก เศษส่วนทศนิยม ลอการิทึม และคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ ในความเป็นจริง อุปกรณ์การนับที่ง่ายที่สุดมีอยู่ก่อนการถือกำเนิดของเลขคณิตสมัยใหม่ เพราะในสมัยโบราณ การคำนวณทางคณิตศาสตร์เบื้องต้นได้ดำเนินการบนลูกคิด (ในรัสเซีย ลูกคิดถูกใช้เพื่อการนี้) อุปกรณ์คอมพิวเตอร์สมัยใหม่ที่ง่ายที่สุดถือได้ว่าเป็นกฎแบบสไลด์ ซึ่งเป็นสองแบบเลื่อนตามมาตราส่วนลอการิทึมอื่นๆ ซึ่งช่วยให้สามารถคูณและหาร บวกและลบเซกเมนต์ของสเกลได้ B. Pascal (1642) ถือเป็นผู้ประดิษฐ์เครื่องจักรเพิ่มเชิงกลเครื่องแรก ต่อมาในศตวรรษเดียวกัน G. Leibniz (1671) ในเยอรมนีและ S. Morland (1673) ในอังกฤษได้คิดค้นเครื่องจักรสำหรับการคูณ เครื่องเหล่านี้ได้กลายเป็นบรรพบุรุษของอุปกรณ์คอมพิวเตอร์เดสก์ท็อป (arithmometers) ในศตวรรษที่ 20 ซึ่งทำให้สามารถดำเนินการบวก ลบ คูณ และหารได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ ในปี ค.ศ. 1812 C. Babbage นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษได้เริ่มสร้างโปรเจ็กต์สำหรับเครื่องคำนวณตารางคณิตศาสตร์ แม้ว่างานในโครงการจะดำเนินต่อไปหลายปี แต่ก็ยังไม่เสร็จ อย่างไรก็ตาม โครงการของ Babbage ทำหน้าที่เป็นแรงผลักดันสำหรับการสร้างคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่ ซึ่งตัวอย่างแรกปรากฏขึ้นเมื่อราวปี 1944 ความเร็วของเครื่องจักรเหล่านี้สร้างความตื่นตาตื่นใจให้กับจินตนาการ: ด้วยความช่วยเหลือในไม่กี่นาทีหรือชั่วโมง ก็สามารถแก้ปัญหาที่ ก่อนหน้านี้ต้องใช้เวลาหลายปีในการคำนวณอย่างต่อเนื่อง แม้จะต้องใช้เครื่องจักรเพิ่มเติมก็ตาม สาระสำคัญของสสารสามารถอธิบายได้ด้วยตัวอย่างของปัญหาเลขคณิตเฉพาะ เช่น การคำนวณจำนวน p (อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง) ความพยายามอย่างเป็นระบบครั้งแรกในการคำนวณ p พบได้ในอาร์คิมิดีส (ค. 240 ปีก่อนคริสตกาล) เมื่อใช้ระบบตัวเลขที่ไม่สมบูรณ์ เขาพยายามคำนวณ p ด้วยความแม่นยำเทียบเท่าในระบบตัวเลขสมัยใหม่ของเราเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง โดยใช้วิธีการของอาร์คิมิดีส L. van Zeulen (ค.ศ. 1540-1610) ได้อุทิศส่วนสำคัญในชีวิตของเขาเพื่อสิ่งนี้ สามารถคำนวณ p ด้วยความแม่นยำทศนิยม 35 ตำแหน่ง ในปีพ.ศ. 2416 หลังจากทำงานมาสิบห้าปี W. Shanks ได้รับค่า p ด้วยตัวเลข 707 หลัก แต่ต่อมาปรากฎว่าตั้งแต่หลัก 528 ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในการคำนวณของเขา ในปี 1958 คอมพิวเตอร์ IBM คำนวณ 707 หลักของตัวเลข p ใน 40 วินาที และดำเนินการคำนวณต่อไป ได้รับ 10,000 หลักใน 100 นาที ดูเพิ่มเติมที่ คอมพิวเตอร์; พีไอ. ตัวเลขบวกจำนวนเต็ม พื้นฐานของความคิดของเราเกี่ยวกับตัวเลขคือแนวคิดที่เข้าใจง่ายของเซต การโต้ตอบระหว่างเซต และลำดับที่ไม่รู้จบของสัญญาณหรือเสียงที่แยกแยะได้ ลำดับของสัญลักษณ์ที่เราทุกคนคุ้นเคย 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... ไม่มีอะไรเลยนอกจากลำดับอนันต์ของสัญลักษณ์ที่แตกต่างและลำดับอนันต์ของ เสียงที่แตกต่าง (หรือคำ ) "หนึ่ง", "สอง", "สาม", "สี่", "ห้า", "หก", "เจ็ด", "แปด", "เก้า", "สิบ", "สิบเอ็ด", "สิบสอง", . .. สอดคล้องกับอักขระบางตัว ชุดใด ๆ ที่มีองค์ประกอบทั้งหมดที่สามารถใส่ในการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับองค์ประกอบของบางส่วนเริ่มต้นของลำดับสัญลักษณ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเราเรียกว่าชุด จำกัด จำนวนองค์ประกอบในชุดจะแสดงด้วยสัญลักษณ์สุดท้ายของกลุ่ม ตัวอย่างเช่น ชุดของรายการที่สามารถใส่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับส่วนเริ่มต้น 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 เป็นชุดสุดท้ายที่มีองค์ประกอบ 8 ("แปด") . สัญลักษณ์ 8 ระบุ "จำนวน" ของรายการในชุดเดิม หมายเลขนี้เป็นสัญลักษณ์หรือป้ายกำกับที่กำหนดให้กับชุดที่กำหนด ป้ายเดียวกันถูกกำหนดให้กับทุกชุดและเฉพาะชุดที่สามารถใส่ในการโต้ตอบแบบตัวต่อตัวกับชุดที่กำหนด คำจำกัดความที่ชัดเจนของเลเบลสำหรับเซ็ตจำกัดใด ๆ ที่ระบุเรียกว่า "การคำนวณใหม่" องค์ประกอบของเซ็ตที่กำหนด และตัวเลเบลเองนั้นเรียกว่าจำนวนเต็มธรรมชาติหรือบวก (ดูเพิ่มเติมที่ NUMBER; ทฤษฎีเซ็ต) ให้ A และ B เป็นเซตจำกัดสองชุดที่ไม่มีองค์ประกอบร่วมกัน และให้ A มีองค์ประกอบ n รายการ และ B มีองค์ประกอบ m จากนั้นเซต S ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของเซต A และ B ที่นำมารวมกันเป็นเซตจำกัดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ s กล่าว ตัวอย่างเช่น ถ้า A ประกอบด้วยองค์ประกอบ (a, b, c) ชุด B ประกอบด้วยองค์ประกอบ (x, y) ให้ตั้งค่า S = A + B และประกอบด้วยองค์ประกอบ (a, b, c, x, y) ตัวเลข s เรียกว่าผลรวมของตัวเลข n และ m และเราเขียนได้ดังนี้: s = n + m ในสัญกรณ์นี้ ตัวเลข n และ m เรียกว่าพจน์ การดำเนินการหาผลรวมเรียกว่าการบวก สัญลักษณ์ตัวดำเนินการ "+" จะอ่านว่า "บวก" ชุด P ประกอบด้วยคู่ที่เรียงลำดับทั้งหมดซึ่งองค์ประกอบแรกถูกเลือกจากชุด A และชุดที่สองจากชุด B เป็นชุดจำกัดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ p ตัวอย่างเช่น ถ้าก่อนหน้านี้ A = (a, b, c), B = (x, y) ดังนั้น P = AґB = ((a, x), (a, y), (b, x) (b, y), (c, x), (c, y)). หมายเลข p เรียกว่าผลคูณของตัวเลข a และ b และเราเขียนมันดังนี้: p = a*b หรือ p = a*b ตัวเลข a และ b ในผลคูณเรียกว่าแฟกเตอร์ การหาผลคูณเรียกว่าการคูณ สัญลักษณ์การทำงาน ґ อ่านว่า "คูณด้วย" สามารถแสดงให้เห็นได้ว่ากฎพื้นฐานของการบวกและการคูณจำนวนเต็มต่อไปนี้เป็นไปตามคำจำกัดความเหล่านี้: - กฎการสลับเปลี่ยนของการบวก: a + b = b + a; - กฎแห่งการเชื่อมโยงของการบวก: a + (b + c) = (a + b) + c; - กฎการสลับเปลี่ยนของการคูณ: a*b = b*a; - กฎของการเชื่อมโยงการคูณ: a*(b*c) = (a*b)*c; - กฎการกระจาย: aґ(b + c)= (a*b) + (a*c). ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกสองจำนวน และหากมีจำนวนเต็มบวก c ที่ a = b + c เราก็บอกว่า a มากกว่า b (เขียนเป็น a > b) หรือ b น้อยกว่า a ( เขียนแบบนี้: b b หรือ a

ประการหนึ่ง นี่เป็นคำถามที่ง่ายมาก ในทางกลับกัน เด็กนักเรียนและผู้ใหญ่จำนวนมากมักสับสนระหว่างเลขคณิตกับคณิตศาสตร์ และไม่รู้จริงๆ ว่าอะไรคือความแตกต่างระหว่างสองวิชานี้ คณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่ครอบคลุมที่สุดซึ่งรวมถึงการดำเนินการกับตัวเลข เลขคณิตเป็นเพียงสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ เลขคณิตรวมถึงความคุ้นเคยกับตัวเลข การนับอย่างง่าย และการดำเนินการกับตัวเลข ก่อนหน้านี้ในโรงเรียนบทเรียนถูกเรียกว่าเลขคณิตอย่างแม่นยำและเมื่อเวลาผ่านไปพวกเขาก็เริ่มมีชื่อคณิตศาสตร์ซึ่งไหลเข้าสู่พีชคณิตอย่างราบรื่น อันที่จริง พีชคณิตเริ่มต้นเมื่อตัวเลขที่ไม่รู้จักปรากฏในตัวอย่างและใช้ตัวอักษรแทน กล่าวคือ ดำเนินการกับ . อย่างง่าย xและ y.

ภาคเรียน "เลขคณิต"มาจากคำภาษากรีก "เลขคณิต"ซึ่งหมายถึง "จำนวน" ในศตวรรษที่ 14-15 คำนี้ได้รับการแปลในอังกฤษอย่างไม่ถูกต้องนัก - "ศิลปะเมตริก" ซึ่งหมายถึง "ศิลปะเมตริก" โดยพื้นฐานแล้วเหมาะสำหรับเรขาคณิตมากกว่าการนับอย่างง่ายและการใช้งานง่ายด้วยตัวเลข

สาเหตุหนึ่งที่ไม่ใช้แนวคิดเรื่อง "เลขคณิต" ในโรงเรียนก็คือ แม้แต่ในห้องเรียน โรงเรียนประถมนอกจากตัวเลขแล้ว พวกเขายังศึกษารูปทรงเรขาคณิตและหน่วยการวัดด้วย (เซนติเมตร เมตร ฯลฯ) ซึ่งนอกเหนือไปจากการคำนวณปกติแล้ว อย่างไรก็ตาม การเรียนรู้จินตคณิตเกิดขึ้นในชีวิตของเด็กเองในระดับหนึ่ง ในกระบวนการทำความรู้จักโลกภายนอก ภาคเรียน "คิดเลขในใจ"หมายถึงความสามารถในการนับในใจ เห็นด้วย เราแต่ละคนได้เรียนรู้สิ่งนี้ในบางช่วงของชีวิต ไม่ใช่แค่ต้องขอบคุณบทเรียนในโรงเรียนเท่านั้น

ทุกวันนี้ มีวิธีการทั้งหมดในการพัฒนาทักษะการนับจิตความเร็วสูงในเด็ก ตัวอย่างเช่น การฝึกลูกคิดแบบโบราณนั้นได้รับความนิยมเป็นพิเศษ ซึ่งขึ้นอยู่กับความสามารถในการนับบัญชีพิเศษ (แตกต่างจากปกติที่มีหลักสิบ) ลูกคิดแปลจากภาษาอังกฤษและ is "บัญชี"ดังนั้นชื่อของเทคนิคจึงฟังดูเหมือนกัน ชาวญี่ปุ่นเรียกเทคนิคนี้ว่าการฝึกโซโรบันเพราะ ในภาษาของพวกเขา "ลูกคิด" เรียกว่า "โซโรบัน"

มีการดำเนินการพื้นฐานสี่ประการในการคำนวณ: การบวก การลบ การคูณ และการหาร และไม่สำคัญว่าจะใช้จำนวนเต็มในตัวอย่างหรือทศนิยมและเศษส่วนหรือไม่ คุณสามารถแนะนำเด็กให้รู้จักกับตัวเลขตั้งแต่เด็กปฐมวัย และทำได้อย่างง่ายดายและในเกม ไม่เพียง แต่จินตนาการเท่านั้นที่จะช่วยผู้ปกครองในเรื่องนี้ แต่ยังมีสื่อการเรียนรู้พิเศษมากมายที่สามารถพบได้ในร้านค้าใด ๆ

โดย ความต้องการที่ทันสมัยในชั้นประถมศึกษาปีแรกเด็กควรนับอย่างน้อยภายในสิบ (และควรมากถึง 20) และดำเนินการพื้นฐานด้วยตัวเลขที่คุ้นเคย - บวกและลบ สิ่งสำคัญคือเด็กสามารถเปรียบเทียบได้ว่าตัวเลขใดมากกว่า ตัวไหนน้อยกว่า และตัวเลขใดที่เท่ากัน ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่ามันเป็นเลขคณิตที่เด็กควรรู้ก่อนเข้าโรงเรียน

ข้อกำหนดดังกล่าวไม่ได้นำเสนอเฉพาะในรัสเซียเท่านั้น แต่ยังนำเสนอไปทั่วโลกด้วยเพราะ ก้าวของชีวิตเร่งขึ้นและปริมาณความรู้เพิ่มขึ้นทุกวัน รู้อะไรมาบ้างก็พอ หลักสูตรโรงเรียนเมื่อ 20-30 ปีที่แล้ว ปัจจุบันใช้ข้อมูลไม่เกิน 50% ของข้อมูลที่ครูสอน อย่างไรก็ตาม เลขคณิตยังคงเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาตัวเลขและการนับตลอดจนระดับเริ่มต้นของคณิตศาสตร์ โดยที่เป็นไปไม่ได้ที่จะเรียนรู้งานและทักษะที่ซับซ้อนมากขึ้น

เลขคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข คุณสมบัติ และความสัมพันธ์

ชื่อของมันมาจากภาษากรีก: ในภาษา Hellas โบราณคำว่า " จังหวะ"(ยังออกเสียงว่า" เลขคณิต") วิธี " ตัวเลข».

เลขคณิตศึกษากฎการคำนวณและคุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของตัวเลข ในส่วนที่เรียกว่าทฤษฎีจำนวน (หรือเลขคณิตที่สูงกว่า) จะศึกษาคุณสมบัติของจำนวนเต็มแต่ละตัว

เลขคณิตเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่สุดกับทฤษฎีจำนวน พีชคณิต และเรขาคณิต และเป็นหนึ่งในศาสตร์ทางคณิตศาสตร์หลัก เช่นเดียวกับศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด

วิชาหลักของเลขคณิตคือการดำเนินการกับตัวเลข คุณสมบัติ และ ชุดตัวเลข. นอกจากนี้ คณิตศาสตร์ยังศึกษาประเด็นต่างๆ เช่น ที่มาและการพัฒนาแนวคิดของตัวเลข การวัด และเทคนิคการนับ

การดำเนินการเกี่ยวกับตัวเลขซึ่งเป็นหัวข้อของการศึกษาเลขคณิต ได้แก่ การบวก การลบ การหาร และการคูณ พวกเขายังรวมถึงการดำเนินการต่างๆ เช่น การแตกราก การยกกำลัง และการแก้สมการตัวเลขต่างๆ

นอกจากนี้ในอดีตปรากฎว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์รวมถึงการคูณการทวีคูณ นอกเหนือจากการแบ่ง หารด้วยเศษและโดยสอง; ตรวจสอบ; การคำนวณผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและเลขคณิต ในเวลาเดียวกัน การคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีลำดับชั้นของตัวเอง ซึ่งระดับสูงสุดจะถูกครอบครองโดยการแยกรากและยกกำลัง ค่าที่ต่ำกว่าคือการคูณและการหาร จากนั้นบวกและลบ

ควรสังเกตว่าการวัดเหล่านั้นและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่แพร่หลาย การใช้งานจริง(เช่น เปอร์เซ็นต์ สัดส่วน ฯลฯ) เป็นของที่เรียกว่าเลขคณิตล่าง และแนวคิดของตัวเลขและการวิเคราะห์เชิงตรรกะเป็นของเลขคณิตเชิงทฤษฎี

เลขคณิตมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับพีชคณิต หัวข้อหลักของการศึกษาคือการดำเนินการต่างๆ กับตัวเลขที่ไม่คำนึงถึงคุณสมบัติและคุณลักษณะ ในเวลาเดียวกัน การถอนรากถอนโคนและการเพิ่มพลังเป็นส่วนทางเทคนิคของพีชคณิต

เพราะใน ชีวิตประจำวัน เลขคณิตมีการใช้งานเกือบทุกที่ ดังนั้นความรู้บางอย่างในวิทยาศาสตร์นี้จึงจำเป็นสำหรับทุกคนอย่างแท้จริง ตลอดชีวิต การดำเนินการต่างๆ เช่น การนับ การคำนวณปริมาตร พื้นที่ ความเร็ว ช่วงเวลาและความยาว จะต้องดำเนินการบ่อยมาก

เพื่อที่จะเชี่ยวชาญในวิชาชีพใดๆ ก็ตาม จำเป็นต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน และสิ่งนี้ใช้ได้กับความเชี่ยวชาญเฉพาะทางที่เกี่ยวข้องกับเศรษฐศาสตร์ เทคโนโลยี และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ

เลขคณิต (เลขคณิตกรีกจากเลขคณิต - ตัวเลข)

ศาสตร์แห่งตัวเลข โดยหลักแล้ว ตัวเลขธรรมชาติ (จำนวนเต็มบวก) และเศษส่วน (ตรรกยะ) และการดำเนินการกับตัวเลขเหล่านั้น

การมีแนวคิดที่พัฒนาเพียงพอของจำนวนธรรมชาติและความสามารถในการดำเนินการกับตัวเลขมีความจำเป็นสำหรับภาคปฏิบัติและ กิจกรรมทางวัฒนธรรมบุคคล. ดังนั้น ก. เป็นธาตุ การศึกษาก่อนวัยเรียนเด็กและวิชาบังคับของหลักสูตรของโรงเรียน

ทาง ตัวเลขธรรมชาติมากมาย แนวคิดทางคณิตศาสตร์(เช่น แนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์คือจำนวนจริง) ในเรื่องนี้ ก. เป็นหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน เมื่อเน้นไปที่การวิเคราะห์เชิงตรรกะของแนวคิดเรื่องจำนวน (ดูจำนวน) บางครั้งก็ใช้คำว่าเลขคณิตเชิงทฤษฎี พีชคณิตมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับพีชคณิต (ดูพีชคณิต) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การดำเนินการกับตัวเลขจะได้รับการศึกษาโดยไม่คำนึงถึงคุณสมบัติส่วนบุคคล คุณสมบัติเฉพาะของจำนวนเต็มเป็นเรื่องของทฤษฎีจำนวน (ดู ทฤษฎีจำนวน)

ประวัติอ้างอิงกำเนิดในสมัยโบราณจากความต้องการทางปฏิบัติของการนับและการวัดที่ง่ายที่สุด เลขคณิตพัฒนาร่วมกับความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น กิจกรรมทางเศรษฐกิจและความสัมพันธ์ทางสังคม การคำนวณเงิน งานวัดระยะทาง เวลา พื้นที่ และข้อกำหนดที่วิทยาศาสตร์อื่นสร้างขึ้น

การเกิดขึ้นของการนับและระยะเริ่มต้นของการก่อตัวของแนวคิดทางคณิตศาสตร์มักจะตัดสินโดยการสังเกตที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการนับในหมู่ชนชาติดึกดำบรรพ์และโดยอ้อมโดยการศึกษาร่องรอยของขั้นตอนที่คล้ายกันที่เก็บรักษาไว้ในภาษาของชนชาติอารยะและสังเกต ระหว่างการดูดซึมของแนวคิดเหล่านี้โดยเด็ก ข้อมูลเหล่านี้บ่งชี้ว่าการพัฒนาองค์ประกอบของกิจกรรมทางจิตที่รองรับกระบวนการนับต้องผ่านระยะกลางจำนวนหนึ่ง ซึ่งรวมถึง: ความสามารถในการรับรู้หนึ่งและวัตถุเดียวกันและเพื่อแยกแยะวัตถุในชุดของวัตถุที่จะนับ ความสามารถในการสร้างการสลายตัวอย่างละเอียดถี่ถ้วนของชุดนี้เป็นองค์ประกอบที่แยกความแตกต่างออกจากกันและในเวลาเดียวกันก็เท่ากับในการนับ (โดยใช้ชื่อ "หน่วย" ของการนับ) ความสามารถในการสร้างความสอดคล้องกันระหว่างองค์ประกอบของสองชุด ในตอนแรกโดยตรง และจากนั้นโดยการเปรียบเทียบกับองค์ประกอบของชุดออบเจ็กต์ที่ได้รับคำสั่งเพียงครั้งเดียว นั่นคือ ชุดของออบเจ็กต์ที่จัดเรียงตามลำดับที่แน่นอน องค์ประกอบของชุดคำสั่งมาตรฐานคือคำ (ตัวเลข) ที่ใช้ในการนับวัตถุที่มีลักษณะเชิงคุณภาพใด ๆ และสอดคล้องกับการก่อตัวของแนวคิดนามธรรมของตัวเลข ภายใต้เงื่อนไขที่แตกต่างกันมาก เราสามารถสังเกตลักษณะที่คล้ายคลึงกันของการเกิดขึ้นทีละน้อยและการพัฒนาทักษะที่ระบุไว้และแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับทักษะเหล่านั้น

ในตอนแรก การนับจะเป็นไปได้เฉพาะสำหรับคอลเล็กชันของวัตถุจำนวนค่อนข้างน้อย ซึ่งเกินกว่าที่ความแตกต่างเชิงปริมาณจะรับรู้ได้ไม่ชัดเจนและมีลักษณะเฉพาะด้วยคำที่มีความหมายเหมือนกันกับคำว่า "จำนวนมาก" ในเวลาเดียวกัน รอยบากบนต้นไม้ (บัญชี "แท็ก") การนับก้อนกรวด ลูกประคำ นิ้ว ฯลฯ รวมถึงชุดที่มีองค์ประกอบจำนวนคงที่เช่น "ดวงตา" - เป็นคำพ้องความหมายสำหรับตัวเลข “ สอง”, มือ ("pascarpus") - เป็นคำพ้องความหมายและพื้นฐานที่แท้จริงของตัวเลข "ห้า" เป็นต้น

การนับลำดับด้วยวาจา (หนึ่ง, สอง, สาม, ฯลฯ ) การพึ่งพาโดยตรงซึ่งในการนับนิ้ว (การออกเสียงที่สอดคล้องกันของชื่อนิ้วมือ, ส่วนของมือ) ในบางกรณีสามารถตรวจสอบได้โดยตรงมีความเกี่ยวข้องกับการนับของ กลุ่มที่มีวัตถุจำนวนหนึ่ง ตัวเลขนี้เป็นฐานของระบบตัวเลขที่สอดคล้องกัน ซึ่งมักจะเป็นผลมาจากการนับนิ้วของสองมือ เท่ากับ 10 อย่างไรก็ตาม ยังมีการจัดกลุ่ม 5, 20 (ภาษาฝรั่งเศส 80 "quatre-vingt" = 4 × 20 ), 12 ("โหล"), 60 และ 11 อันละ ( นิวซีแลนด์). ในยุคของความสัมพันธ์ทางการค้าที่พัฒนาแล้ว วิธีการนับ (ทั้งทางวาจาและลายลักษณ์อักษร) ตามธรรมชาติแสดงให้เห็นแนวโน้มต่อความสม่ำเสมอของชนเผ่าและเชื้อชาติที่สื่อสารถึงกัน เหตุการณ์นี้มีบทบาทชี้ขาดในการจัดตั้งและเผยแพร่การประยุกต์ในปัจจุบัน เวลาของระบบการนับ (แคลคูลัส (ดูการคำนวณ)) หลักการของค่าตัวเลขท้องถิ่น (ระดับบิต) และวิธีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เห็นได้ชัดว่าเหตุผลที่คล้ายกันอธิบายความคล้ายคลึงกันที่รู้จักกันดีของตัวเลขในภาษาต่างๆ ตัวอย่างเช่น two - dva (Skt.), δυο (กรีก), duo (Lat.), two (อังกฤษ)

แหล่งที่มาของข้อมูลที่เชื่อถือได้ครั้งแรกเกี่ยวกับสถานะของความรู้เลขคณิตในยุคอารยธรรมโบราณคือเอกสารที่เป็นลายลักษณ์อักษรของดร. อียิปต์ (Mathematical Papyri) เขียนเมื่อประมาณ 2 พันปีก่อนคริสต์ศักราช อี เหล่านี้เป็นชุดของปัญหาที่ระบุวิธีแก้ปัญหา กฎสำหรับการดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนเต็มและเศษส่วนด้วยตารางเสริม โดยไม่มีคำอธิบายใดๆ เกี่ยวกับลักษณะทางทฤษฎี การแก้ปัญหาบางอย่างในคอลเล็กชันนี้จัดทำขึ้นโดยพื้นฐานแล้วด้วยความช่วยเหลือของการรวบรวมและการแก้สมการ นอกจากนี้ยังมีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

เกี่ยวกับวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ในระดับค่อนข้างสูงของชาวบาบิโลนในช่วง 2-3 พันปีก่อนคริสต์ศักราช อี อนุญาตให้ตัดสินข้อความทางคณิตศาสตร์รูปแบบคิวนิฟอร์ม การเขียนหมายเลขของชาวบาบิโลนในรูปแบบอักษรคูนเป็นการผสมผสานระหว่างระบบทศนิยม (สำหรับตัวเลขที่น้อยกว่า 60) กับเพศที่มีฐานทางเพศ โดยมีหน่วยบิต 60, 60 2 เป็นต้น ตัวบ่งชี้ที่สำคัญที่สุด ระดับสูงก. คือการใช้เศษส่วนเพศที่มีการกระจายระบบการนับเดียวกันกับเศษส่วน คล้ายกับเศษส่วนทศนิยมสมัยใหม่ เทคนิคการคำนวณทางคณิตศาสตร์ในหมู่ชาวบาบิโลนในทางทฤษฎีคล้ายกับวิธีปกติในระบบทศนิยมนั้นซับซ้อนเนื่องจากต้องใช้ตารางสูตรคูณที่กว้างขวาง (สำหรับตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 59) ในวัสดุรูปลิ่มที่ยังหลงเหลืออยู่ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็น คู่มือการเรียนนอกจากนี้ยังมีตารางที่เกี่ยวข้องของส่วนกลับ (สองหลักและสามหลักนั่นคือด้วยความแม่นยำ 1/60 2 และ 1/60 3) ที่ใช้ในการหาร

ในบรรดาชาวกรีกโบราณ ด้านที่ใช้งานได้จริงของ A. ไม่ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติม ระบบการนับเลขที่พวกเขาใช้โดยใช้ตัวอักษรของตัวอักษรนั้นไม่เหมาะสำหรับการคำนวณที่ซับซ้อนกว่าแบบบาบิโลนมากนัก ในทางกลับกัน นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณได้วางรากฐานสำหรับการพัฒนาทางทฤษฎีของก. ในแง่ของหลักคำสอนเรื่องจำนวนธรรมชาติ ทฤษฎีสัดส่วน การวัดปริมาณ และ - โดยนัย - รวมถึงทฤษฎีของจำนวนอตรรกยะด้วย ใน "องค์ประกอบ" ของยุคลิด (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) มีการพิสูจน์ความไม่มีที่สิ้นสุดของจำนวนเฉพาะที่มีนัยสำคัญและยังคงมีอยู่ ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการหารลงตัว อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาการวัดทั่วไปของสองส่วนและส่วนร่วม ตัวหารมากที่สุดของจำนวนสองจำนวน (ดู อัลกอริธึมแบบยุคลิด) การพิสูจน์การไม่มีจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองเป็น 2 (ความไม่ลงตัวของจำนวน √2) และกำหนดไว้ใน รูปทรงเรขาคณิตทฤษฎีสัดส่วน ปัญหาทางทฤษฎีจำนวนที่พิจารณา ได้แก่ ปัญหาเรื่องจำนวนสมบูรณ์ (ดู เลขสมบูรณ์) (ยุคลิด) เกี่ยวกับจำนวนพีทาโกรัส (ดู เลขพีทาโกรัส) และในยุคต่อมา - อัลกอริธึมสำหรับการแยกจำนวนเฉพาะ (ตะแกรง Eratosthenes) และการแก้สมการไม่แน่นอนจำนวนหนึ่งขององศาที่ 2 และสูงกว่า (ไดโอแฟนตัส)

บทบาทสำคัญในการสร้างแนวคิดเรื่องอนุกรมจำนวนนับไม่ถ้วนเล่นโดย Psammit ของอาร์คิมิดีส (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ซึ่งพิสูจน์ความเป็นไปได้ในการตั้งชื่อและแสดงตัวเลขจำนวนมากตามอำเภอใจ งานเขียนของอาร์คิมิดีสเป็นพยานถึงศิลปะที่ค่อนข้างสูงในการได้รับค่าประมาณของปริมาณที่ต้องการ: การแยกรากจากจำนวนหลายค่า การหาค่าประมาณที่เป็นเหตุเป็นผลของจำนวนอตรรกยะ เช่น

ชาวโรมันไม่ได้พัฒนาเทคนิคการคำนวณให้ก้าวหน้า เหลือแต่ระบบการนับ (เลขโรมัน) ที่มีมาจนถึงยุคของเรา ซึ่งปรับให้เข้ากับการกระทำเพียงเล็กน้อย และปัจจุบันใช้เฉพาะเพื่อกำหนดเลขลำดับเท่านั้น

เป็นการยากที่จะติดตามความต่อเนื่องในการพัฒนาคณิตศาสตร์ที่สัมพันธ์กับวัฒนธรรมที่เก่าแก่และเก่าแก่กว่า อย่างไรก็ตาม ขั้นตอนที่สำคัญมากในการพัฒนา A. มีความเกี่ยวข้องกับวัฒนธรรมของอินเดีย ซึ่งมีอิทธิพลต่อทั้งประเทศในเอเชียตะวันตกและยุโรป และประเทศทางตะวันออก เอเชีย (จีน ญี่ปุ่น). นอกเหนือจากการใช้พีชคณิตในการแก้ปัญหาเนื้อหาเลขคณิตแล้ว ข้อดีที่สำคัญที่สุดของชาวอินเดียนแดงก็คือการนำระบบเลขตำแหน่งมาใช้ (ใช้เลขสิบหลักรวมศูนย์เพื่อระบุว่าไม่มีหน่วยใดในหลักใด ๆ ) ซึ่ง ทำให้สามารถพัฒนากฎที่ค่อนข้างง่ายสำหรับการดำเนินการคำนวณพื้นฐาน

นักวิทยาศาสตร์ในยุคกลางตะวันออกไม่เพียงแต่รักษามรดกของนักคณิตศาสตร์กรีกโบราณในการแปลเท่านั้น แต่ยังมีส่วนในการเผยแพร่และพัฒนาความสำเร็จของชาวอินเดียนแดงอีกด้วย วิธีการดำเนินการเลขคณิตซึ่งส่วนใหญ่ยังห่างไกลจากความทันสมัย ​​แต่ได้ใช้ประโยชน์จากระบบเลขตำแหน่งตั้งแต่ศตวรรษที่ 10 แล้ว น. อี เริ่มทยอยเข้าสู่ยุโรปโดยเฉพาะในอิตาลีและสเปน

เมื่อต้นศตวรรษที่ 17 ความก้าวหน้าทางสถาปัตยกรรมที่ค่อนข้างช้าในยุคกลางก็ถูกแทนที่ด้วย การปรับปรุงวิธีการคำนวณอย่างรวดเร็วซึ่งสัมพันธ์กับความต้องการเชิงปฏิบัติที่เพิ่มขึ้นสำหรับเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ (ปัญหาของดาราศาสตร์ทะเล กลศาสตร์ การคำนวณเชิงพาณิชย์ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น ฯลฯ) เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 10 ซึ่งคนอินเดียยังคงใช้อยู่ (เมื่อแยกออก รากที่สอง) และดึงดูดความสนใจของนักวิทยาศาสตร์ชาวยุโรปซ้ำแล้วซ้ำอีก ถูกใช้ครั้งแรกโดยปริยายในตารางตรีโกณมิติ เป็นครั้งแรก (1427) ที่เขาอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับระบบเศษส่วนทศนิยมและกฎของการดำเนินการกับอัล-คาชี สัญกรณ์ของเศษส่วนทศนิยมซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วนสมัยใหม่นั้นพบได้ในงานเขียนของเอส. สตีวินในปี ค.ศ. 1585 และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมาก็แพร่หลายไป การประดิษฐ์ลอการิทึมเมื่อต้นศตวรรษที่ 17 เป็นของยุคเดียวกัน เจ เนเปียร์ โอม ในช่วงต้นศตวรรษที่ 18 วิธีการดำเนินการและบันทึกการคำนวณได้รูปแบบที่ทันสมัย

ในรัสเซียก่อนต้นศตวรรษที่ 17 ใช้หมายเลขคล้ายกับกรีก ระบบการนับเลขแบบปากเปล่าได้รับการพัฒนามาอย่างดีและมีลักษณะเฉพาะ เข้าถึงหมวดหมู่ที่ 50 จากคู่มือเลขคณิตรัสเซียต้นศตวรรษที่ 18 เลขคณิตของ L. F. Magnitsky (ดู Magnitsky) (1703) ซึ่งได้รับความนิยมอย่างสูงจาก M. V. Lomonosov มีความสำคัญมากที่สุด ประกอบด้วยคำจำกัดความของ ก. ดังนี้ “เลขคณิตหรือตัวเศษเป็นศิลปะที่เที่ยงตรง ไร้ที่ติ และเข้าใจได้สำหรับทุกคน มีประโยชน์มากที่สุดและน่ายกย่องที่สุดตั้งแต่สมัยโบราณและล่าสุดซึ่งอาศัยอยู่คนละยุคสมัย นักคณิตศาสตร์ที่ยุติธรรมที่สุด คิดค้นและอธิบาย” นอกจากประเด็นเรื่องการนับ การนำเสนอเทคนิคการคำนวณด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน (รวมถึงทศนิยม) และงานที่เกี่ยวข้องแล้ว คู่มือนี้ยังประกอบด้วยองค์ประกอบของพีชคณิต เรขาคณิต และตรีโกณมิติ ตลอดจนข้อมูลเชิงปฏิบัติที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณเชิงพาณิชย์และการนำทาง งาน การนำเสนอของ A. กำลังมีมากขึ้นหรือน้อยลง ดูทันสมัยโดย L. Euler และลูกศิษย์ของเขา

คำถามเชิงทฤษฎีของเลขคณิตการพัฒนาคำถามเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับหลักคำสอนของจำนวนและหลักคำสอนของการวัดปริมาณไม่สามารถแยกออกจากการพัฒนาของคณิตศาสตร์โดยรวม: ขั้นเด็ดขาดของมันเชื่อมโยงกับช่วงเวลาที่กำหนดการพัฒนาพีชคณิตเรขาคณิตและการวิเคราะห์อย่างเท่าเทียมกัน สิ่งสำคัญที่สุดควรพิจารณาสร้างหลักคำสอนทั่วไปของปริมาณ x หลักคำสอนนามธรรมที่สอดคล้องกันของตัวเลข (ดูจำนวน) (ทั้งหมด ตรรกยะ และอตรรกยะ) และอุปกรณ์ตามตัวอักษรของพีชคณิต

ความสำคัญพื้นฐานของคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์ที่เพียงพอสำหรับการศึกษาปริมาณอย่างต่อเนื่องของชนิดต่างๆ ได้รับการยอมรับในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ที่เกี่ยวข้องกับการรวมใน A. ของแนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะซึ่งกำหนดโดยลำดับของการประมาณที่เป็นเหตุเป็นผล มีบทบาทสำคัญในเรื่องนี้โดยใช้เครื่องมือของเศษส่วนทศนิยมและการใช้ลอการิทึม ซึ่งขยายขอบเขตของการดำเนินการที่ดำเนินการด้วยความแม่นยำที่ต้องการสำหรับจำนวนจริง (อตรรกยะและตรรกยะ)

การก่อสร้าง Grassmann เสร็จสมบูรณ์เพิ่มเติมโดยงานของ J. Peano ซึ่งระบบของแนวคิดพื้นฐาน (ไม่ได้กำหนดโดยแนวคิดอื่น ๆ ) แตกต่างอย่างชัดเจนคือ: แนวคิดของจำนวนธรรมชาติ, แนวคิดของการสืบเนื่องของจำนวนหนึ่งโดยตรงหลังจากที่อีกในอนุกรมธรรมชาติและแนวคิดของสมาชิกเริ่มต้น ของอนุกรมธรรมชาติ (ซึ่งสามารถถ่ายเป็น 0 หรือ 1) แนวคิดเหล่านี้เชื่อมโยงถึงกันด้วยสัจพจน์ห้าประการ ซึ่งถือได้ว่าเป็นคำจำกัดความเชิงสัจพจน์ของแนวคิดพื้นฐานเหล่านี้

สัจพจน์ของ Peano: 1) 1 เป็นจำนวนธรรมชาติ 2) จำนวนธรรมชาติถัดไปเป็นจำนวนธรรมชาติ 3) 1 ไม่เป็นไปตามจำนวนธรรมชาติใด ๆ 4) ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ เอตามจำนวนธรรมชาติ ขและสำหรับจำนวนธรรมชาติ กับ, แล้ว ขและ กับเหมือนกัน; 5) ถ้าประพจน์ใดพิสูจน์ได้ว่าเป็น 1 และหากจากการสันนิษฐานว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ น, ย่อมเป็นไปตามที่เป็นจริงสำหรับสิ่งต่อไปนี้ พีจำนวนธรรมชาติ แล้วโจทย์นี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด สัจพจน์นี้ - สัจพจน์ของการเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์ - ทำให้เป็นไปได้ในอนาคตที่จะใช้คำจำกัดความของการกระทำของ Grasmann และพิสูจน์ คุณสมบัติทั่วไปตัวเลขธรรมชาติ

โครงสร้างเหล่านี้ ซึ่งช่วยแก้ปัญหาในการพิสูจน์บทบัญญัติอย่างเป็นทางการของ ก. ทิ้งคำถามเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงตรรกะของ ก. จำนวนธรรมชาติในความหมายที่กว้างขึ้นของคำ โดยมีการรวมการดำเนินการที่กำหนดการใช้งาน ของ ก. ทั้งที่อยู่ในกรอบของคณิตศาสตร์เองและในชีวิตจริง การวิเคราะห์คำถามด้านนี้ โดยได้ชี้แจงเนื้อหาของแนวคิดเรื่องจำนวนเชิงปริมาณแล้ว ในขณะเดียวกันก็พบว่าคำถามในการพิสูจน์ข้อ ก มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับปัญหาพื้นฐานทั่วไปของการวิเคราะห์ระเบียบวิธีของสาขาวิชาคณิตศาสตร์ หากประโยคที่ง่ายที่สุดของ ก. ที่เกี่ยวข้องกับการนับวัตถุเบื้องต้นและเป็นลักษณะทั่วไปของประสบการณ์ที่มีอายุหลายศตวรรษของมนุษยชาติโดยธรรมชาติแล้วเข้ากับรูปแบบตรรกะที่ง่ายที่สุดแล้ว ก. เป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาชุดอนันต์ของ จำนวนธรรมชาติต้องมีการตรวจสอบความสอดคล้องของระบบสัจพจน์ที่สอดคล้องกันและการวิเคราะห์รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความหมายของข้อเสนอทั่วไปที่ตามมา

ย่อ:ไคลน์ เอฟ คณิตศาสตร์เบื้องต้นจากมุมมองของผู้สูงวัยทรานส์ กับเขา. vol. 3 ed., vol. 1, M.-L., 1935; Arnold I. V. , เลขคณิตเชิงทฤษฎี, 2nd ed., M. , 1939; Belyustin V.K. , วิธีที่ผู้คนค่อยๆ มาถึงเลขคณิตจริง, M. , 1940; Grebencha M.K. , Arithmetika, 2nd ed., M. , 1952; Berman G.N. , ตัวเลขและวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับมัน, 3rd ed., M. , 1960; Deptyan I. Ya. ประวัติเลขคณิต 2nd ed., M. , 1965; Vygodsky M. Ya. เลขคณิตและพีชคณิตใน โลกโบราณ, ครั้งที่ 2, ม., 2510.

ไอ.วี.อาร์โนลด์.

ใหญ่ สารานุกรมของสหภาพโซเวียต. - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

คำพ้องความหมาย:

ดูว่า "เลขคณิต" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

- (จากเลขคณิตกรีก และ toche art) ศาสตร์ที่มีตัวเลขเป็นวิชา พจนานุกรมคำต่างประเทศรวมอยู่ในภาษารัสเซีย Chudinov A.N. , 1910. ARITHMETICS จากกรีก. เลขคณิต ตัวเลข และเทคโนโลยี ศิลปะ ศาสตร์แห่งตัวเลข ... ... พจนานุกรมคำต่างประเทศของภาษารัสเซีย

เลขคณิตเป็นส่วนพื้นฐานที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ มันมีลักษณะที่ปรากฏต่อความต้องการของผู้คนในบัญชี

คิดเลขในใจ

เลขคณิตจิตคืออะไร? การคำนวณทางจิตเป็นวิธีการเรียนรู้ที่จะนับอย่างรวดเร็วซึ่งมาจากสมัยโบราณ

ปัจจุบันครูต่างพยายามไม่เพียงแค่สอนให้เด็กรู้จักการนับเร็วเท่านั้น แต่ยังพยายามพัฒนาความคิดด้วย

กระบวนการเรียนรู้นั้นขึ้นอยู่กับการใช้และการพัฒนาของสมองทั้งสองซีก สิ่งสำคัญคือสามารถใช้ร่วมกันได้เพราะเสริมซึ่งกันและกัน

แท้จริงแล้ว ซีกซ้ายมีหน้าที่รับผิดชอบในตรรกะ คำพูด และความมีเหตุมีผล ในขณะที่ซีกขวามีหน้าที่ในจินตนาการ

โปรแกรมการฝึกอบรมรวมถึงการฝึกอบรมในการใช้งานและการใช้เครื่องมือเช่น ลูกคิด.

ลูกคิดเป็นเครื่องมือหลักในการศึกษาจินตคณิต เนื่องจากนักเรียนเรียนรู้ที่จะทำงานกับพวกเขา แยกแยะกระดูก และตระหนักถึงแก่นแท้ของการนับ เมื่อเวลาผ่านไป ลูกคิดจะกลายเป็นจินตนาการของคุณ และนักเรียนจะจินตนาการ ต่อยอดจากความรู้นี้และแก้ตัวอย่าง

คำติชมเกี่ยวกับวิธีการสอนเหล่านี้เป็นไปในเชิงบวกอย่างมาก มีหนึ่งลบ - มีการจ่ายเงินการฝึกอบรมและไม่ใช่ทุกคนที่สามารถจ่ายได้ ดังนั้นเส้นทางของอัจฉริยะจึงขึ้นอยู่กับสถานการณ์ทางการเงิน

คณิตศาสตร์และเลขคณิต

คณิตศาสตร์และเลขคณิตเป็นแนวคิดที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด หรือมากกว่า เลขคณิตคือส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ทำงานกับตัวเลขและการคำนวณ (การดำเนินการกับตัวเลข)

เลขคณิตเป็นส่วนหลักและเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ พื้นฐานของคณิตศาสตร์คือแนวคิดและการดำเนินการที่สำคัญที่สุดซึ่งเป็นพื้นฐานในการสร้างความรู้ที่ตามมาทั้งหมด การดำเนินการหลัก ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ การหาร

ตามกฎแล้วมีการศึกษาเลขคณิตที่โรงเรียนตั้งแต่เริ่มต้นการฝึกอบรมนั่นคือ ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 เด็กเรียนรู้พื้นฐานของคณิตศาสตร์

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป- นี่คือการดำเนินการเลขคณิตในระหว่างที่มีการเพิ่มตัวเลขสองตัวและผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขใหม่ - ตัวที่สาม

a+b=c.

การลบ- นี่คือการดำเนินการเลขคณิตในระหว่างที่ตัวเลขที่สองถูกลบออกจากตัวเลขแรกและตัวเลขที่สามจะเป็นผลลัพธ์

สูตรเพิ่มเติมแสดงดังนี้: a - b = c.

การคูณเป็นการกระทำซึ่งเป็นผลมาจากการที่ผลรวมของเงื่อนไขที่เหมือนกันจะพบ

สูตรสำหรับการกระทำนี้คือ: a1+a2+…+an=n*a.

แผนกคือการหารเป็นส่วนเท่าๆ กันของตัวเลขหรือตัวแปร

สมัครหลักสูตร "เร่งการนับจิตไม่คิดเลขในใจ" เพื่อเรียนรู้วิธีบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลังสอง และแม้แต่การรูทอย่างรวดเร็วและถูกต้อง ใน 30 วัน คุณจะได้เรียนรู้วิธีใช้ลูกเล่นง่ายๆ เพื่อลดความซับซ้อนของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ แต่ละบทเรียนประกอบด้วยเทคนิคใหม่ ตัวอย่างที่ชัดเจน และงานที่เป็นประโยชน์

การเรียนรู้เลขคณิต

เลขคณิตสอนอยู่ในกำแพงของโรงเรียน ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 เด็ก ๆ เริ่มเรียนวิชาคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานและคณิตศาสตร์

การบวกเลข

เลขคณิต ป.5

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 นักเรียนเริ่มเรียนหัวข้อต่างๆเช่นตัวเลขเศษส่วนจำนวนคละ คุณสามารถค้นหาข้อมูลเกี่ยวกับการดำเนินการกับตัวเลขเหล่านี้ได้ในบทความของเราเกี่ยวกับการดำเนินการที่เกี่ยวข้อง

เศษส่วนคืออัตราส่วนของตัวเลขสองตัวต่อกันหรือตัวเศษต่อตัวส่วน ตัวเลขเศษส่วนสามารถแทนที่ได้ด้วยการดำเนินการหาร ตัวอย่างเช่น ¼ = 1:4

คละจำนวนเป็นจำนวนเศษส่วน เฉพาะส่วนที่ไฮไลท์เป็นจำนวนเต็ม ส่วนจำนวนเต็มถูกจัดสรรโดยที่ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน ตัวอย่างเช่น มีเศษส่วน: 5/4 สามารถแปลงได้โดยเน้นทั้งส่วน: 1 จำนวนเต็มและ¼

ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม:

งานหมายเลข 1:

งานหมายเลข 2:

เลขคณิต ป.6

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 หัวข้อการแปลงเศษส่วนเป็นตัวพิมพ์เล็กจะปรากฏขึ้น มันหมายความว่าอะไร? ตัวอย่างเช่น ให้เศษส่วน ½ จะเท่ากับ 0.5 ¼ = 0.25

ตัวอย่างสามารถเขียนในลักษณะนี้: 0.25+0.73+12/31

ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม:

งานหมายเลข 1:

งานหมายเลข 2:

เกมสำหรับการพัฒนาการนับจิตและการนับความเร็ว

มีเกมที่ยอดเยี่ยมมากมายที่ช่วยพัฒนาการนับ ช่วยพัฒนาทักษะทางคณิตศาสตร์และการคิดทางคณิตศาสตร์ การนับจิต และการนับความเร็ว! คุณสามารถเล่นและพัฒนาได้! คุณน่าสนใจ? อ่านบทความสั้น ๆ เกี่ยวกับเกมและอย่าลืมลองด้วยตัวเอง

เกม "คะแนนด่วน"

เกม "นับอย่างรวดเร็ว" จะช่วยให้คุณนับจิตได้เร็วขึ้น สาระสำคัญของเกมคือในภาพที่นำเสนอแก่คุณ คุณจะต้องเลือกคำตอบใช่หรือไม่ใช่สำหรับคำถามที่ว่า "มีผลไม้ที่เหมือนกัน 5 ผลหรือไม่" ทำตามเป้าหมายของคุณและเกมนี้จะช่วยคุณในเรื่องนี้

เกม "การเปรียบเทียบทางคณิตศาสตร์"

เกมเปรียบเทียบคณิตศาสตร์จะทำให้คุณต้องเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวกับนาฬิกา นั่นคือคุณต้องเลือกหนึ่งในสองตัวเลขโดยเร็วที่สุด จำไว้ว่าเวลามีจำกัด และยิ่งคุณตอบถูกมากเท่าไหร่ ทักษะทางคณิตศาสตร์ของคุณก็จะยิ่งพัฒนาขึ้น! เรามาลองกันไหม?

เกม "การเพิ่มอย่างรวดเร็ว"

เกม " เพิ่มอย่างรวดเร็ว"- เครื่องจำลองการนับอย่างรวดเร็วที่ยอดเยี่ยม สาระสำคัญของเกม: ให้สนาม 4x4 นั่นคือ 16 หมายเลข และเหนือฟิลด์คือหมายเลขที่สิบเจ็ด เป้าหมายของคุณคือการใช้ตัวเลขสิบหกตัวเพื่อสร้าง 17 โดยใช้การดำเนินการบวก ตัวอย่างเช่น คุณมีตัวเลข 28 เขียนอยู่เหนือฟิลด์ จากนั้นในฟิลด์ คุณต้องหาตัวเลขดังกล่าว 2 ตัวที่รวมกันเป็น 28 คุณพร้อมที่จะลองใช้หรือไม่? งั้นก็ลุยเลย ซ้อม!

การพัฒนาเลขคณิตจิตมหัศจรรย์

เราได้พิจารณาเพียงส่วนยอดของภูเขาน้ำแข็งเพื่อให้เข้าใจคณิตศาสตร์ได้ดีขึ้น - ลงทะเบียนในหลักสูตรของเรา: เร่งการนับจิต - ไม่ใช่เลขคณิตทางจิต

จากหลักสูตรนี้ คุณจะไม่เพียงแต่เรียนรู้กลอุบายมากมายสำหรับการคูณ บวก คูณ หาร การคำนวณเปอร์เซ็นต์ที่ง่ายและรวดเร็ว แต่ยังต้องฝึกฝนในงานพิเศษและเกมการศึกษาอีกด้วย! การนับจิตยังต้องอาศัยสมาธิและสมาธิเป็นอย่างมาก ซึ่งได้รับการฝึกฝนอย่างแข็งขันในการแก้ปัญหาที่น่าสนใจ

อ่านเร็วใน 30 วัน

เพิ่มความเร็วในการอ่านของคุณ 2-3 เท่าใน 30 วัน ตั้งแต่ 150-200 ถึง 300-600 wpm หรือ 400 ถึง 800-1200 wpm หลักสูตรนี้ใช้แบบฝึกหัดแบบดั้งเดิมในการพัฒนาการอ่านเร็ว เทคนิคที่เร่งการทำงานของสมอง วิธีการเพิ่มความเร็วในการอ่านอย่างค่อยเป็นค่อยไป ทำความเข้าใจจิตวิทยาของการอ่านเร็วและคำถามของผู้เข้าร่วมหลักสูตร เหมาะสำหรับเด็กและผู้ใหญ่ที่อ่านได้ถึง 5,000 คำต่อนาที

พัฒนาการด้านความจำและสมาธิในเด็กอายุ 5-10 ปี

วัตถุประสงค์ของหลักสูตรคือเพื่อพัฒนาความจำและความสนใจของเด็กเพื่อให้เขาเรียนที่โรงเรียนได้ง่ายขึ้นเพื่อให้เขาจำได้ดีขึ้น